EGC

Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

Contexte : L'ossature bois, un savoir-faire ancestral et une technique d'avenir.

En construction bois, les pannes sont des éléments horizontaux de la charpente qui supportent la couverture (tuiles, ardoises, bac acier). Elles reposent sur les fermes et transmettent les charges permanentes (poids propre, isolation) et les charges climatiques (neige, vent) à la structure principale. Le dimensionnement correct d'une panne est essentiel pour garantir la sécurité et la durabilité de la toiture. Cet exercice vous guidera dans la vérification de la résistance d'une panne en bois massif selon les règles de l'Eurocode 5Norme européenne de calcul des structures en bois. Elle définit les méthodes de calcul pour vérifier la résistance (ELU) et la déformation (ELS) des éléments en bois..

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur structure bois. À partir des caractéristiques d'un matériau (classe de bois), de sa géométrie et des conditions d'exposition, nous allons déterminer sa résistance de calcul et en déduire la charge maximale qu'il peut supporter en toute sécurité. C'est le cœur du métier du dimensionnement.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les propriétés géométriques d'une section de bois rectangulaire.
  • Comprendre et appliquer les coefficients de l'Eurocode 5 (k_mod, γ_M).
  • Déterminer la résistance en flexion de calcul d'un élément en bois.
  • Calculer la charge uniformément répartie admissible à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Vérifier la condition de flèche à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On étudie une panne de toiture en bois massif de section rectangulaire, simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle est soumise à une charge uniformément répartie \(q\) qui représente les charges de neige et de toiture. On cherche à déterminer la charge \(q\) maximale que cette panne peut supporter.

Schéma de la panne et de son chargement
q = ? L = 4.0 m Section h b
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 225 \(\text{mm}\)
Classe de bois C24
Classe de service 2
Classe de durée de la charge Moyenne durée (neige)

Questions à traiter

  1. Calculer le module d'inertie de la section \(W_y\).
  2. Déterminer la résistance en flexion de calcul \(f_{m,d}\).
  3. Calculer le moment résistant de la section \(M_{R,d}\).
  4. En déduire la charge uniformément répartie admissible \(q_{\text{adm}}\) à l'ELU.
  5. Vérifier que la flèche sous une charge de service \(q_{\text{ser}} = 0.7 \cdot q_{\text{adm}}\) est inférieure à la limite admissible de L/300.

Les bases du calcul bois (Eurocode 5)

Avant de commencer, voici les concepts clés de l'Eurocode 5 que nous utiliserons.

1. Résistance Caractéristique vs. Résistance de Calcul :
La norme donne une résistance "caractéristique" (\(f_k\)), qui est une valeur statistique (fractile 5%). Pour le calcul, on utilise une résistance de "calcul" (\(f_d\)) qui est plus faible pour intégrer des sécurités. La formule est : \[ f_d = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_k}{\gamma_M} \]

2. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) :
Ce coefficient de modification tient compte de l'effet de la durée de la charge et de l'humidité du bois (la "classe de service"). Un bois humide et chargé longtemps est moins résistant. Pour une classe de service 2 et une charge de moyenne durée (neige), la norme nous donne \(k_{\text{mod}} = 0.8\).

3. Le coefficient \(\gamma_M\) :
C'est un coefficient de sécurité partiel sur le matériau. Pour le bois massif, l'Eurocode 5 impose \(\gamma_M = 1.3\). Il couvre les incertitudes sur la qualité du matériau.

Correction : Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

Question 1 : Calculer le module d'inertie de la section (Wy)

Principe (le concept physique)

Le module d'inertie (ou module de flexion) \(W_y\) est une propriété géométrique qui lie directement le moment fléchissant maximal dans une section à la contrainte maximale. Il représente l'efficacité de la forme de la section à résister à la flexion. Plus \(W_y\) est grand, plus la poutre peut supporter un moment important pour une même contrainte admissible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module d'inertie \(W\) est directement lié au moment quadratique \(I\) par la relation \(W = I / v\), où \(v\) est la distance de la fibre la plus éloignée à l'axe neutre. Pour une section rectangulaire, \(I_y = bh^3/12\) et \(v = h/2\), ce qui donne bien \(W_y = (bh^3/12) / (h/2) = bh^2/6\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une simple planche. Elle pliera beaucoup moins si vous la mettez sur la tranche (grande hauteur \(h\)) que si vous la mettez à plat. Le module d'inertie, avec son terme en \(h^2\), quantifie mathématiquement cette "efficacité de la forme" que l'on ressent intuitivement.

Normes (la référence réglementaire)

Les propriétés géométriques des sections de bois standard (hauteur, largeur, module d'inertie, moment quadratique) sont souvent listées dans des abaques ou des catalogues de fabricants, en annexe des normes comme l'Eurocode 5, pour faciliter le travail de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le module d'inertie par rapport à l'axe fort y-y est :

\[ W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement rectangulaire, sans défauts majeurs (nœuds, fentes) aux endroits critiques, et que les dimensions utilisées sont les dimensions réelles de la pièce de bois.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 225 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs de structures, il est crucial de rester cohérent dans ses unités. Le couple Newton (N) et millimètre (mm) est très pratique car il donne directement des contraintes en N/mm², ce qui correspond exactement aux Mégapascals (MPa).

Schéma (Avant les calculs)
Section Rectangulaire et Axe de Flexion Fort
b = 75 mmh = 225 mmy
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les dimensions en mm. L'unité sera des mm³.

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^2}{6} \\ &= \frac{75 \cdot 50625}{6} \, \text{mm}^3 \\ &= 632812.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

On peut aussi l'exprimer en cm³ pour avoir des valeurs plus lisibles : \(632.8 \, \text{cm}^3\).

Schéma (Après les calculs)
Section avec Module d'Inertie Calculé
Wy ≈ 633 cm³
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 632 812.5 mm³ est la capacité géométrique de la section à résister à la flexion. C'est sur cette base que nous allons calculer le moment maximal que la panne pourra supporter une fois que nous aurons déterminé la résistance du matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre le module d'inertie \(W_y = bh^2/6\) avec le moment quadratique \(I_y = bh^3/12\). Le premier sert au calcul de résistance (\(\sigma = M/W\)), le second au calcul de déformation (flèche).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le module d'inertie \(W\) mesure l'efficacité GÉOMÉTRIQUE d'une section pour la RÉSISTANCE.
  • Pour une section rectangulaire, \(W_y = bh^2/6\).
  • La hauteur \(h\) a une influence prépondérante (puissance 2).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour optimiser l'utilisation du bois, on utilise des poutres en I ou des poutres en lamellé-collé. Ces techniques permettent de créer des sections avec un très grand module d'inertie (grande hauteur) pour un minimum de matière, en concentrant le bois là où les contraintes sont maximales (dans les semelles supérieures et inférieures).

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre \(W_y\) et \(W_z\) ?

\(W_y\) est le module d'inertie pour la flexion autour de l'axe fort y-y (la manière "normale" de charger une poutre, sur sa plus petite largeur). \(W_z\) serait le module pour une flexion autour de l'axe faible z-z (si on chargeait la poutre "à plat"). \(W_z\) serait beaucoup plus petit.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le module d'inertie de la section est \(W_y = 632812.5 \, \text{mm}^3\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait une section de 100x300 mm, quel serait le nouveau module d'inertie en mm³ ?

Question 2 : Déterminer la résistance en flexion de calcul (fm,d)

Principe (le concept physique)

La résistance du bois n'est pas une valeur fixe. Elle dépend de sa classe (C24 ici), de l'humidité ambiante (classe de service) et de la durée pendant laquelle la charge est appliquée. L'Eurocode 5 combine ces effets via des coefficients pour passer de la résistance "de catalogue" (caractéristique) à une résistance de calcul sécuritaire, utilisable par l'ingénieur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche s'appelle le calcul aux états limites. La résistance caractéristique \(f_k\) est une valeur statistique (que seulement 5% des échantillons n'atteignent pas). En la divisant par \(\gamma_M\), on se protège contre la variabilité du matériau. En la multipliant par \(k_{\text{mod}}\), on prend en compte que le bois "flue" et perd de sa résistance sous des charges de longue durée ou dans un environnement humide.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme prévoir la durée d'un trajet en voiture. La durée "caractéristique" serait le temps de parcours sans trafic. La durée de "calcul" serait ce temps, augmenté d'une marge pour les bouchons (\(1/\gamma_M\)) et d'un facteur lié à la météo (\(k_{\text{mod}}\)). On planifie avec la durée de calcul pour être sûr d'arriver à l'heure.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1) fournit les tableaux des propriétés des bois (Tableau 1) et les valeurs du coefficient \(k_{\text{mod}}\) (Tableau 3.1). Pour un bois de classe C24, la résistance caractéristique en flexion est \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La résistance de calcul est obtenue par la formule de l'Eurocode 5 :

\[ f_{m,d} = \frac{k_{\text{mod}} \cdot f_{m,k}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la classe de service et la durée de la charge ont été correctement identifiées. On suppose également que le bois utilisé sur le chantier correspond bien à la classe C24 spécifiée dans les plans.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance caractéristique en flexion (C24), \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de modification, \(k_{\text{mod}} = 0.8\) (Classe de service 2, moyenne durée)
  • Coefficient partiel de sécurité, \(\gamma_M = 1.3\) (Bois massif)
Astuces(Pour aller plus vite)

Mémorisez les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) pour les cas les plus courants : 0.6 pour les charges permanentes en milieu intérieur/extérieur abrité, 0.8 pour la neige, 0.9 pour l'habitation, 1.1 pour le vent. Cela accélère grandement les pré-dimensionnements.

Schéma (Avant les calculs)
De la Résistance Caractéristique à la Résistance de Calcul
f_m,k = 24 MPak_mod / γ_Mf_m,d = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule. Comme \(f_{m,k}\) est en MPa (N/mm²), le résultat sera aussi en MPa.

\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= \frac{0.8 \cdot 24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &= \frac{19.2}{1.3} \, \text{MPa} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
De la Résistance Caractéristique à la Résistance de Calcul
f_m,k = 24 MPak_mod / γ_Mf_m,d ≈ 14.77 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de calcul (14.77 MPa) est significativement plus faible que la résistance caractéristique (24 MPa). C'est normal, c'est l'effet des coefficients de sécurité. Cela signifie que pour nos calculs, nous considérons que le bois ne doit jamais être soumis à une contrainte de flexion supérieure à 14.77 N/mm².

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans la sélection du \(k_{\text{mod}}\). Il faut bien lire l'énoncé pour identifier la classe de service et la durée de la charge, puis utiliser le bon tableau de la norme. Un mauvais \(k_{\text{mod}}\) peut mener à un surdimensionnement ou, plus grave, à un sous-dimensionnement de l'élément.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de calcul \(f_d\) est toujours inférieure à la résistance caractéristique \(f_k\).
  • Elle intègre des sécurités via \(k_{\text{mod}}\) (durée, humidité) et \(\gamma_M\) (matériau).
  • La formule est \(f_d = k_{\text{mod}} \cdot f_k / \gamma_M\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des charges de très courte durée, comme un choc ou une rafale de vent extrême, le coefficient \(k_{\text{mod}}\) peut être supérieur à 1 (par exemple 1.1). Cela signifie que l'on considère que le bois a la capacité de résister à un effort plus important s'il est appliqué très brièvement.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\gamma_M\) est-il plus grand pour le bois (1.3) que pour l'acier (1.0) ?

Le bois est un matériau naturel, sa résistance est donc intrinsèquement plus variable que celle de l'acier, qui est un produit industriel très contrôlé. Le coefficient de sécurité plus élevé pour le bois prend en compte cette plus grande incertitude sur les propriétés réelles du matériau.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance en flexion de calcul est \(f_{m,d} \approx 14.77 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance de calcul \(f_{m,d}\) pour du bois C18 (\(f_{m,k}=18\) MPa) dans les mêmes conditions ?

Question 3 : Calculer le moment résistant de la section (MR,d)

Principe (le concept physique)

Le moment résistant est le moment fléchissant maximal que la section peut supporter avant d'atteindre sa limite de résistance. Il combine la performance de la géométrie (le module d'inertie \(W_y\)) et la performance du matériau (la résistance de calcul \(f_{m,d}\)). C'est la capacité ultime de la poutre en flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans la théorie des poutres élastiques, la contrainte est maximale sur les fibres extrêmes. Le moment résistant est atteint lorsque cette contrainte maximale atteint la résistance de calcul. L'équilibre interne est assuré par un couple de forces : un bloc de compression en partie supérieure et un bloc de traction en partie inférieure. Le moment de ce couple est le moment résistant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le moment résistant, c'est la "force de levier" interne maximale de la poutre avant qu'elle ne cède. C'est la valeur de référence à ne jamais dépasser. Tout le travail de l'ingénieur consiste à calculer le moment "agissant" (créé par les charges) et à s'assurer qu'il reste inférieur à ce moment "résistant".

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(M_{R,d} = W_y \cdot f_{m,d}\) est l'application directe de la condition de vérification de la résistance en flexion de l'Eurocode 5 (clause 6.1.6) pour une section rectangulaire en flexion simple.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de résistance en flexion s'écrit \(\sigma_{m,d} \le f_{m,d}\). Comme \(\sigma_{m,d} = M_d / W_y\), le moment maximal est atteint quand \(\sigma_{m,d} = f_{m,d}\). On a donc :

\[ M_{R,d} = W_y \cdot f_{m,d} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la flexion se produit uniquement autour de l'axe fort y-y et que le phénomène d'instabilité par déversement (flambement latéral) est empêché, par exemple par des liteaux de toiture cloués sur la panne.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module d'inertie, \(W_y = 632812.5 \, \text{mm}^3\) (de Q1)
  • Résistance de calcul, \(f_{m,d} = 14.77 \, \text{MPa}\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez vos unités cohérentes. Si \(W_y\) est en mm³ et \(f_{m,d}\) en N/mm², \(M_{R,d}\) sera en N·mm. Pour le convertir en kN·m, il suffit de diviser par 1 000 000 (10⁶).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Contraintes à l'État Limite
-f_m,d+f_m,dM_Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités mm³ et MPa (N/mm²), le résultat sera en N·mm.

\[ \begin{aligned} M_{R,d} &= 632812.5 \, \text{mm}^3 \cdot 14.77 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 9346650 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &\approx 9.35 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Résistant de la Section
M_Rd ≈ 9.35 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La panne peut supporter un moment fléchissant maximal de 9.35 kN·m. Toute combinaison de charge et de portée qui génère un moment supérieur à cette valeur conduira à la rupture de l'élément selon les critères de l'Eurocode 5.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la résistance de calcul (\(f_{m,d}\)) et non la résistance caractéristique (\(f_{m,k}\)). Utiliser la valeur caractéristique omettrait tous les coefficients de sécurité et conduirait à un résultat dangereux et non réglementaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment résistant \(M_{R,d}\) est la capacité ultime de la section en flexion.
  • Il combine la géométrie (\(W_y\)) et la résistance du matériau (\(f_{m,d}\)).
  • La formule est simple : \(M_{R,d} = W_y \cdot f_{m,d}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Contrairement à l'acier, le bois n'a pas de comportement plastique. Sa rupture en flexion est fragile. C'est pourquoi on ne parle pas de "moment plastique" pour le bois, et les calculs se basent toujours sur une distribution élastique des contraintes.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce moment résistant est-il le même sur toute la poutre ?

Oui, le moment résistant est une propriété de la section, il est donc le même tout le long de la panne (si la section est constante). C'est le moment "agissant" (créé par les charges) qui varie le long de la poutre. La vérification consiste à s'assurer qu'en aucun point, le moment agissant ne dépasse ce moment résistant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment résistant de la section est \(M_{R,d} \approx 9.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment résistant \(M_{R,d}\) pour la section de 100x300 mm en bois C18 (cf. questions précédentes) ?

Question 4 : En déduire la charge répartie admissible (q_adm)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le moment maximal que la panne peut supporter (\(M_{R,d}\)), nous pouvons faire le lien avec la charge qui le provoque. Pour une charge uniformément répartie \(q\) sur une poutre simplement appuyée, le moment maximal se produit au milieu de la travée. En inversant la formule qui lie la charge au moment, on trouve la charge maximale admissible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant pour ce cas de charge est linéaire, passant de \(+qL/2\) à un appui à \(-qL/2\) à l'autre. Il s'annule au milieu. Le diagramme du moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant, c'est donc une parabole dont le sommet (le maximum) se trouve là où l'effort tranchant est nul, c'est-à-dire au milieu, avec une valeur de \(qL^2/8\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

On a la "force" de la poutre (\(M_{R,d}\)). On cherche maintenant la "charge" qui la sollicite au maximum. La formule \(M = qL^2/8\) est le "traducteur" qui permet de passer de la cause (la charge \(q\)) à l'effet le plus critique dans la poutre (le moment \(M\)).

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(M_{\text{max}} = qL^2/8\) est un résultat fondamental de la Résistance des Matériaux pour une poutre isostatique. Elle est utilisée par toutes les normes de calcul, y compris l'Eurocode 5, pour ce cas de charge simple.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le moment maximal pour une charge répartie est \(M_{\text{max}} = q L^2 / 8\). À l'état limite, le moment agissant \(M_d\) doit être inférieur ou égal au moment résistant \(M_{R,d}\). La charge admissible est donc celle pour laquelle \(M_d = M_{R,d}\) :

\[ \frac{q_{\text{adm}} \cdot L^2}{8} = M_{R,d} \quad \Rightarrow \quad q_{\text{adm}} = \frac{8 \cdot M_{R,d}}{L^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est parfaitement et uniformément répartie sur toute la longueur de la panne, et que les appuis sont de type "simple" (rotulés), ce qui est une modélisation courante pour des pannes posées sur des fermes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment résistant, \(M_{R,d} = 9.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (de Q3)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Si le moment est en kN·m et la portée en m, la charge sera directement en kN/m, ce qui est l'unité usuelle pour les charges réparties. C'est plus simple que de tout manipuler en N et mm pour cette dernière étape.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Agissant
M_max = qL²/8
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &= \frac{8 \cdot 9.35 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{(4.0 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{74.8}{16} \, \frac{\text{kN} \cdot \text{m}}{\text{m}^2} \\ &\approx 4.675 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge Admissible Déterminée
q_adm ≈ 4.68 kN/mM_max = M_Rd
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La panne peut supporter une charge totale (neige + toiture) de 4.675 kN par mètre linéaire, soit environ 467 kg par mètre. L'ingénieur doit ensuite comparer cette valeur à la charge réelle calculée à partir des plans et des normes climatiques pour valider la section de la panne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le terme de portée est au carré (\(L^2\)). Une petite erreur sur la mesure de la portée sur le chantier peut avoir un impact significatif sur la charge admissible réelle. Une portée de 4.2m au lieu de 4.0m réduit la charge admissible de près de 10% !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge admissible dépend inversement du carré de la portée (\(1/L^2\)).
  • La formule \(q_{\text{adm}} = 8 \cdot M_{R,d} / L^2\) est spécifique à une charge répartie sur une poutre bi-appuyée.
  • Cette charge est une valeur "ultime", incluant les coefficients de sécurité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si une panne repose sur trois appuis au lieu de deux (panne "continue"), le moment maximal est réduit à \(qL^2/11\) environ. La continuité permet de mieux répartir les efforts et de reprendre des charges plus importantes avec la même section de bois.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette charge \(q_{\text{adm}}\) inclut-elle le poids propre de la panne ?

Oui. Dans un calcul rigoureux, \(q_{\text{adm}}\) est la capacité totale. Pour trouver la charge "utile" (neige, etc.) que l'on peut ajouter, il faudrait soustraire le poids propre de la panne de cette valeur. Pour une panne de cette taille, le poids propre est d'environ 0.1 kN/m, donc c'est une faible part de la capacité totale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge uniformément répartie admissible à l'ELU est \(q_{\text{adm}} \approx 4.68 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la charge admissible \(q_{\text{adm}}\) si la portée était de 5.0 m ?

Question 5 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

La vérification à l'État Limite de Service (ELS) s'assure que la structure ne se déforme pas excessivement en conditions normales d'utilisation. Une flèche trop importante peut endommager les finitions (fissures dans les plafonds), créer des problèmes d'étanchéité ou générer un inconfort visuel. On compare donc la flèche calculée sous les charges de service à une limite réglementaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche est issue de la double intégration de l'équation \(EI \cdot y'' = M(x)\). Elle dépend de la charge \(q\), de la portée à la puissance 4 (\(L^4\)), et de la rigidité de la poutre, qui est le produit de la rigidité du matériau (\(E\)) et de la rigidité de la forme (\(I_y\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une passerelle qui rebondit beaucoup n'est pas forcément dangereuse (ELU OK), mais elle est inconfortable (ELS pas OK). La vérification de flèche assure ce confort. Pour les structures bois, c'est souvent le critère de flèche qui dimensionne l'élément, et non le critère de résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Pour le calcul de flèche, on utilise le module d'élasticité moyen \(E_{0,\text{mean}}\) car on s'intéresse au comportement le plus probable de la structure, pas au pire cas. Pour le bois C24, \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\). La limite de flèche usuelle pour les pannes est de L/300.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La flèche maximale pour une charge répartie est :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

Avec le moment quadratique \(I_y = \frac{b h^3}{12}\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une combinaison de charges de service (\(q_{\text{ser}}\)), qui est non pondérée ou moins pondérée que la charge ultime (\(q_{\text{adm}}\)). La valeur de 70% est une approximation courante du ratio entre charges de service et charges ultimes pour une combinaison avec de la neige.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de service, \(q_{\text{ser}} = 0.7 \cdot 4.675 \approx 3.27 \, \text{kN/m} = 3.27 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm}\)
  • Module d'élasticité, \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa} = 11000 \, \text{N/mm}^2\)
  • Base \(b=75\) mm, hauteur \(h=225\) mm
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme en \(L^4\) rend la flèche extrêmement sensible à la portée. Doubler la portée multiplie la flèche par \(2^4 = 16\). C'est la raison pour laquelle les grandes portées nécessitent des poutres très hautes (pour maximiser \(I_y\)) afin de contrôler la déformation.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche
f_max = ?f_lim = L/300
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le moment quadratique \(I_y\):

\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{75 \cdot 225^3}{12} \\ &= 71191406.25 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calculer la flèche (en N et mm):

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \cdot (3.27 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (71191406.25 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx \frac{4.1856 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{17}} \\ &\approx 13.95 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Comparer à la limite :

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ f_{\text{max}} (13.95 \, \text{mm}) > f_{\text{lim}} (13.33 \, \text{mm}) \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
Limite f_lim = 13.3 mmFlèche f_max = 13.95 mmNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de résistance (ELU) était satisfaite. Cependant, la vérification de flèche (ELS) ne l'est pas. La flèche calculée est légèrement supérieure à la limite admissible. En pratique, cela signifie que bien que la panne soit assez solide pour ne pas casser, elle est trop souple. L'ingénieur devrait donc choisir une section de bois plus haute pour augmenter l'inertie \(I_y\) et ainsi réduire la flèche.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Trois erreurs classiques : 1. Utiliser la charge ultime \(q_{\text{adm}}\) au lieu de la charge de service \(q_{\text{ser}}\). 2. Utiliser le module d'inertie \(W_y\) au lieu du moment quadratique \(I_y\). 3. Se tromper dans les unités, notamment avec la portée à la puissance 4.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de flèche est un critère de confort (ELS), pas de sécurité (ELU).
  • La flèche est extrêmement sensible à la portée (\(L^4\)).
  • C'est souvent le critère de flèche qui est dimensionnant pour les poutres en bois.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour contrer l'effet de la flèche due aux charges permanentes, les charpentiers peuvent mettre en œuvre une "contre-flèche". Il s'agit de poser la poutre avec une légère courbure vers le haut. Sous l'effet des charges permanentes (toiture, isolation...), la poutre s'aplatit pour devenir horizontale.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(E_{\text{mean}}\) et pas une valeur minorée pour la flèche ?

Parce que la flèche est un phénomène collectif qui concerne toute la poutre. Les variations locales de rigidité du bois (autour des nœuds par exemple) se compensent sur la longueur totale. On s'intéresse donc au comportement moyen, le plus probable, et non à un cas extrême localisé qui serait pertinent pour la résistance.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche calculée est de 13.95 mm, ce qui est supérieur à la limite de 13.33 mm. La condition de flèche n'est pas respectée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle hauteur minimale (en mm, par pas de 25mm) faudrait-il pour que la panne respecte le critère de flèche ?

Outil Interactif : Dimensionnement d'une Panne

Modifiez les paramètres de la panne pour voir leur influence sur sa capacité et sa déformation.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
225 mm
Résultats Clés
Charge Admissible ELU (kN/m) -
Flèche (pour q_adm) (mm) -
Ratio Flèche / Limite -

Le Saviez-Vous ?

Le bois est un matériau anisotrope : ses propriétés mécaniques ne sont pas les mêmes dans toutes les directions. Il est extrêmement résistant et rigide dans le sens des fibres, mais beaucoup plus faible perpendiculairement aux fibres. C'est pourquoi les poutres et les pannes sont toujours taillées avec le grand axe de la pièce aligné avec le sens du fil du bois.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi y a-t-il deux vérifications (ELU et ELS) ?

L'État Limite Ultime (ELU) concerne la sécurité et la résistance : on s'assure que la structure ne s'effondre pas sous des charges exceptionnelles (majorées par des coefficients). L'État Limite de Service (ELS) concerne le confort et la durabilité : on vérifie que sous des charges normales, les déformations, vibrations ou fissures restent dans des limites acceptables.

Que se passe-t-il si la panne est inclinée, comme c'est souvent le cas ?

Si la panne est inclinée, la charge verticale se décompose en deux composantes : une perpendiculaire aux fibres de la panne, et une parallèle. Cela engendre une "flexion déviée". Les calculs sont plus complexes car il faut vérifier la résistance selon les deux axes de la section et combiner les contraintes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on passe d'une charge de "moyenne durée" (neige, k_mod=0.8) à une charge "permanente" (poids propre, k_mod=0.6), la charge admissible de la panne va...

2. Pour une panne de 4m de portée, la charge admissible est de 4.68 kN/m. Si on double la portée à 8m (avec la même section), la nouvelle charge admissible sera...

Eurocode 5
Norme européenne de calcul pour les structures en bois, définissant les exigences de sécurité, d'aptitude au service et de durabilité.
k_mod
Coefficient de modification qui ajuste la résistance du bois en fonction de la classe de service (humidité) et de la durée d'application de la charge.
ELU / ELS
État Limite Ultime (vérification de la résistance, sécurité) et État Limite de Service (vérification de la déformation, confort).
Calcul de la Charge Admissible d’une Panne en Bois

D’autres exercices de structure en bois:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *