Viaduc de la Vallée
1. Contexte de la mission
📖 Description du Projet
Le projet concerne la construction du Viaduc de la Vallée, un ouvrage d'art stratégique situé sur la Route Départementale 902 (RD 902). Cet ouvrage permet le franchissement de la rivière "La Claire", caractérisée par un lit majeur instable et des crues saisonnières importantes.
Pour répondre aux contraintes hydrauliques et limiter l'impact sur l'écosystème de la rivière, le Maître d'Ouvrage (DREAL Auvergne-Rhône-Alpes) a opté pour une structure de type VIPP (Viaduc à travées Indépendantes à Poutres Précontraintes). Cette solution technique permet de préfabriquer les éléments porteurs (poutres) sur une aire de préfabrication hors de la zone inondable, puis de les lancer ou de les poser à la grue, minimisant ainsi les travaux dans le lit de la rivière.
🎯 Votre Rôle et les Enjeux Techniques
Vous intervenez en tant d'Ingénieur Structure au sein du bureau d'études d'exécution (B.E.T. Structure) mandaté par l'entreprise de Gros Œuvre. Le dimensionnement général a été validé en phase PRO (Projet), mais il vous incombe désormais de produire les Notes de Calculs d'Exécution (EXE) qui serviront à établir les plans de ferraillage définitifs pour l'atelier de préfabrication.
L'objet spécifique de cette note de calcul est la validation de la poutre de rive standard (repère P.01) lors d'une phase critique souvent oubliée : la phase de transfert de précontrainte (ou mise en tension).
Pourquoi cette phase est-elle critique ?
- Béton Jeune : La mise en tension des câbles intervient très tôt (généralement entre 3 et 7 jours après le coulage) pour libérer les bancs de préfabrication. À cet âge, le béton n'a pas encore atteint sa résistance caractéristique finale (C40/50), mais une résistance plus faible (souvent estimée à 30 MPa).
- Effort Maximal : C'est à cet instant que la force dans les câbles est la plus élevée (P_initiale), car les pertes différées (fluage, retrait) ne se sont pas encore produites.
- Chargement Minimal : La poutre est seule (pas de hourdis, pas de chaussée, pas de véhicules). Seul son poids propre s'oppose à la force de soulèvement de la précontrainte.
Il existe donc un risque réel que la poutre "casse vers le haut" sous l'effet de la précontrainte si le poids propre ne suffit pas à compenser la traction induite en fibre supérieure. Votre mission est de vérifier mathématiquement que les contraintes restent dans les limites admissibles définies par l'Eurocode 2 pour éviter toute fissuration prématurée.
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📍 Localisation & Environnement
Site : RD 902, franchissement de la rivière "La Claire" (Zone classée Natura 2000).
Contraintes : La classification environnementale interdit formellement tout étaiement provisoire dans le lit mineur de la rivière pour préserver la faune aquatique. De plus, l'accès au site par des routes sinueuses limite la longueur des éléments préfabriqués transportables à 20 mètres maximum. -
🏢 Maîtrise d'Ouvrage (MOA)
Client : DREAL Auvergne-Rhône-Alpes (Direction Régionale de l'Environnement, de l'Aménagement et du Logement).
Exigences : Une durabilité de 100 ans est requise (Ponts-Routes). Le client impose l'utilisation d'un béton C40/50 formulé pour résister aux cycles gel/dégel sévères et aux sels de déverglaçage (Classe d'exposition XC4 + XF1). -
🏗️ Typologie Structurelle
Structure : VIPP (Viaduc à travées Indépendantes à Poutres Précontraintes).
Principe : Le tablier est constitué de poutres préfabriquées en béton précontraint, posées côte à côte, puis solidarisées par un hourdis (dalle de compression) en béton armé coulé en place. Cette solution "mixte" permet d'allier la rapidité de pose des éléments préfa et la robustesse du monolithisme final. -
📏 Géométrie de la Travée
Portée de calcul : 16.00 m entre les axes des appareils d'appui (néoprènes frettés sur chevêtres).
Élancement : Le ratio Portée/Hauteur est de 1/16 (h=1m), ce qui est un standard économique pour du VIPP, offrant un bon compromis entre l'optimisation matière et la limitation des flèches à long terme. -
🔧 Méthodologie Constructive
Phasage des travaux :
1. Préfabrication des poutres sur une aire dédiée (banc de préfa) à proximité du site.
2. Mise en précontrainte par post-tension (objet de cette note).
3. Levage, transport et pose sur piles définitives à l'aide d'une grue mobile de forte capacité.
4. Coffrage, ferraillage et coulage du hourdis de liaison (clavage). -
💪 Système de Précontrainte
Technique : Post-tension interne par câbles 12T15S (12 torons de 15.7mm).
Détail : Des gaines métalliques sont positionnées dans le coffrage avant bétonnage. Après durcissement du béton, les torons sont enfilés puis tendus par vérins hydrauliques prenant appui sur les abouts de la poutre. Enfin, un coulis de ciment est injecté pour protéger l'acier et assurer l'adhérence. -
⚠️ Point Critique (Objet de l'étude)
Le Transfert (t=3 jours) : C'est l'instant T où la force des vérins est relâchée et transférée au béton via les ancrages. À ce moment précis, la poutre subit l'effort maximal de compression sans aucune charge utile (hourdis, chaussée) pour le compenser. Le risque de fissuration par traction en partie haute (fibre supérieure) est alors maximal.
Vous devez vérifier que la poutre préfabriquée supporte les sollicitations lors de la mise en tension des câbles, moment où le béton est jeune et où aucune surcharge ne s'applique (hormis le poids propre).
Note de l'Expert : "En précontrainte, le moment critique n'est pas toujours en service (chargé). La phase de transfert (vide + précontrainte max) peut provoquer des tractions excessives en fibre supérieure ou des compressions trop fortes en fibre inférieure."
2. Cahier des Charges & Livrables
Conformément au contrat de maîtrise d'œuvre et aux exigences du fascicule 65 (Exécution des ouvrages de génie civil en béton armé ou précontraint), les livrables attendus pour le dossier d'Exécution (EXE) doivent permettre la validation technique de l'ouvrage par le Bureau de Contrôle avant le lancement de la préfabrication.
Votre note de calcul devra s'articuler autour des 4 axes majeurs détaillés ci-dessous :
1. Note d'Hypothèses Générales (H)
Ce document fondateur doit figer toutes les données d'entrée avant de lancer les calculs. Vous devez y expliciter :
- Les Règlements : Confirmation de l'usage des Eurocodes (EN 1990, 1991, 1992) et des annexes nationales.
- Les Matériaux : Justification des classes de résistance du béton (évolution de \(f_{\text{ck}}(t)\) dans le temps pour le décintrement) et des caractéristiques de l'acier de précontrainte (T15S, \(f_{\text{peg}}\), relaxation).
- Les Actions : Inventaire précis des charges permanentes (Poids propre \(g\)) et de la force de précontrainte \(P\). Attention : Vous devez justifier la valeur de \(P\) retenue (ici après pertes instantanées) et expliquer son point d'application (tracé du câble).
2. Justification des Sections (Note de Calculs)
C'est le cœur de votre mission. Vous devez démontrer par le calcul que la poutre résiste aux sollicitations.
- Caractéristiques Géométriques : Calcul détaillé des propriétés de la section brute (Aire \(A\), Moment statique, Inertie \(I\), position du centre de gravité \(v, v'\)). Une erreur ici se répercute sur tous les résultats.
- Sollicitations : Calcul du moment fléchissant \(M_g\) à mi-travée sous poids propre seul (la poutre porte son propre poids).
- État de Contraintes : Calcul des contraintes normales \(\sigma\) en fibre supérieure et inférieure. Vous utiliserez la formule de Navier-Bernoulli généralisée à la précontrainte : \(\sigma = \frac{N}{A} + \frac{M \cdot y}{I}\).
3. Vérification Réglementaire (Critères ELU/ELS)
Les valeurs calculées doivent être confrontées aux limites admissibles (critères d'acceptation) de l'Eurocode 2. Pour la phase de transfert (t=3 jours), les enjeux sont spécifiques :
- Compression : Le béton ne doit pas s'écraser sous l'effort de précontrainte concentré. La limite est généralement fixée à \(0.6 f_{\text{ck}}(t)\).
- Traction : C'est le point critique. Le béton ne doit pas fissurer en fibre supérieure (à cause de la contre-flèche). La limite est fixée à \(f_{\text{ctm}}(t)\) (résistance moyenne à la traction au moment du transfert). Si cette limite est dépassée, il faut ferrailler passivement ou réduire la précontrainte.
4. Livrables Graphiques (Croquis de Principe)
Une note de calcul ne suffit pas. Elle doit être traduite en plans pour le chantier. Vous fournirez :
- Schéma de Câblage : Vue en élévation montrant le tracé parabolique du câble et sa position aux abouts et à mi-travée.
- Diagrammes de Contraintes : Représentation graphique de la répartition des contraintes sur la hauteur de la section (le fameux "papillon" de contraintes). Cela permet de visualiser instantanément si la section est entièrement comprimée ou partiellement tendue.
🎥 Principe Structurel : L'Effet de la Précontrainte
Visualisation du tracé du câble (parabolique) qui génère une force de soulèvement opposée au poids propre.
3. Données Techniques (Extrait CCTP & Normes)
Ce projet s'inscrit dans le cadre réglementaire des Eurocodes, qui constituent les normes de conception structurelle à l'échelle européenne. Pour cet ouvrage d'art, nous appliquerons spécifiquement l'Eurocode 0 (Bases de calcul), l'Eurocode 1 (Actions sur les structures) et surtout l'Eurocode 2 (Calcul des structures en béton), accompagnés de leurs Annexes Nationales Françaises qui définissent les paramètres spécifiques au climat et aux pratiques de construction en France.
Vous trouverez ci-dessous les extraits pertinents du Cahier des Clauses Techniques Particulières (C.C.T.P.), document contractuel qui fixe les exigences qualitatives et techniques du marché.
EXTRAIT DU C.C.T.P. - LOT 03 OUVRAGES D'ART
ARTICLE 03.2.1 : MATÉRIAUX BÉTON
Le béton mis en œuvre pour les poutres préfabriquées sera un Béton Haute Performance (BHP) pour garantir une résistance élevée à la compression dès le jeune âge (nécessaire lors du transfert de la précontrainte).
• Classe de résistance : C40/50 (Cylindrique/Cubique).
• Masse volumique armé : \( \rho = 25 \text{ kN/m}^3 \) (incluant le poids des aciers).
• Résistance caractéristique à la compression à 28 jours : \(f_{\text{ck}} = 40 \text{ MPa}\).
• Résistance moyenne à la traction : \(f_{\text{ctm}} = 3.5 \text{ MPa}\).
ARTICLE 03.4.2 : PRÉCONTRAINTE PAR POST-TENSION
La précontrainte longitudinale sera assurée par des câbles intérieurs au béton, composés de torons T15S (diamètre nominal 15.2mm ou 15.7mm selon fournisseur), de classe de relaxation 1860 (TBR - Très Basse Relaxation).
• Force de précontrainte initiale totale : P = 2500 kN (valeur de calcul après déduction des pertes instantanées par frottement et recul d'ancrage).
• Tracé du câble : Parabolique, avec une excentricité maximale à mi-travée fixée à \(e_0 = -0.35 \text{ m}\) par rapport au centre de gravité de la section.
ARTICLE 03.5.1 : GÉOMÉTRIE ET TOLÉRANCES
Les poutres principales (poutres VIPP) présenteront une section transversale rectangulaire constante sur toute leur longueur pour simplifier les coffrages.
• Dimensions nominales : Largeur \(b = 0.40 \text{ m}\), Hauteur \(h = 1.00 \text{ m}\).
• Portée de calcul entre appareils d'appui : \(L = 16.00 \text{ m}\).
A. Contraintes Environnementales & Réglementaires
L'environnement dans lequel l'ouvrage est construit dicte les paramètres de durabilité. Ces choix impactent directement l'épaisseur d'enrobage des aciers pour éviter la corrosion.
- Durée d'utilisation de projet : 100 ans. Contrairement aux bâtiments classiques (50 ans), les ouvrages d'art (ponts) doivent être conçus pour durer un siècle, ce qui impose des coefficients de sécurité stricts.
- Classe d'exposition : XC4 (Corrosion induite par carbonatation). L'ouvrage est en extérieur, soumis à une alternance d'humidité et de séchage (pluie, brouillard). Cela impose un enrobage nominal \(c_{\text{nom}} \geq 50 \text{ mm}\) pour protéger les gaines de précontrainte.
- Zone Sismique : Zone 2 (Sismicité Faible). Les dispositions parasismiques complexes ne sont pas requises pour cet exercice de dimensionnement statique.
B. Caractéristiques Matériaux (Synthèse Calcul)
Pour passer des résistances "caractéristiques" (valeurs théoriques sur éprouvette) aux valeurs de "calcul" (utilisées pour dimensionner la pièce), nous devons appliquer des coefficients partiels de sécurité (\(\gamma\)). Ces coefficients couvrent les incertitudes liées à la fabrication du matériau et à sa mise en œuvre sur chantier.
| Matériau | Notation | Valeur Caractéristique (\(k\)) | Coefficient Sécurité (\(\gamma\)) | Valeur de Calcul (\(d\)) |
|---|---|---|---|---|
| Béton | \(f_{\text{ck}}\) | 40 MPa | \(\gamma_c = 1.50\) | \(f_{\text{cd}} = \frac{40}{1.5} = 26.67 \text{ MPa}\) |
| Acier Actif | \(f_{p0.1\text{k}}\) | 1600 MPa (Limite élastique) | \(\gamma_s = 1.15\) | \(f_{\text{pd}} = \frac{1600}{1.15} = 1391 \text{ MPa}\) |
C. Données Géométriques (Poutre VIPP)
Nous travaillons sur une poutre dite "VIPP" (Viaduc à travées Indépendantes à Poutres Précontraintes). Bien que ces poutres aient souvent une forme en "I" (avec des talons pour loger les câbles et une table de compression en haut), nous considérons ici une section rectangulaire simplifiée pour faciliter l'approche pédagogique des calculs d'inertie.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Remarque & Interprétation |
|---|---|---|---|
| Portée entre appuis | \(L\) | 16.00 m | C'est la distance effective entre les axes des appareils d'appui (néoprène). C'est cette longueur qui génère le moment de flexion. |
| Section transversale | \(b \times h\) | 0.40 \(\times\) 1.00 m | Section rectangulaire massive. La hauteur importante (1m) est nécessaire pour maximiser l'inertie \(I\) et donc la rigidité. |
| Excentricité câble | \(e_0\) | -0.35 m | Distance verticale G-Câble. Le signe (-) indique que le câble est situé sous le centre de gravité G. |
| Enrobage gaine | \(c_{\text{nom}}\) | 50 mm | Distance minimale entre le bord du béton et la gaine métallique du câble, dictée par la classe d'exposition XC4. |
D. Fiche Technique Synthétique (Récapitulatif)
Pour faciliter la lecture du dossier et éviter les erreurs lors des calculs, l'ensemble des contraintes techniques et réglementaires spécifiques à la poutre P.01 est condensé dans la fiche d'identité suivante. C'est votre tableau de bord pour l'exercice.
| FICHE D'IDENTITÉ - POUTRE P.01 | |||
|---|---|---|---|
| Ouvrage | Viaduc de la Vallée | Phase étudiée | Transfert (Mise en tension t=3j) |
| Type d'élément | Poutre VIPP (BP) | Repère Plan | Travée 1 - Poutre Rive |
| Section (b x h) | 40 x 100 cm | Portée de Calcul | 16.00 m |
| Matériaux | Béton C40/50 - T15S | Exposition | XC4 (Extérieur, 100 ans) |
| Précontrainte | P = 2500 kN (Initiale) | Excentricité | \(e_0 = -0.35 \text{ m}\) |
| Critère Limitant | Pas de traction excessive en fibre supérieure lors du vérinage (risque de fissuration avant chargement). | ||
Vue Longitudinale du Câblage (Élévation)
Analyse de plan : Le câble suit une parabole pour optimiser l'effort : il est centré aux appuis (moment nul) et excentré au maximum en travée (moment max), créant une force de soulèvement là où le poids propre pèse le plus.
Coupe A-A (Mi-travée)
Géométrie : La section rectangulaire massive permet de reprendre l'effort de compression important induit par la précontrainte P sans risque de flambement local.
Modélisation Mécanique (RDM)
Hypothèse de calcul : La poutre est modélisée comme un système isostatique sur deux appuis simples. On utilise le principe de superposition : on calcule séparément les contraintes dues au poids propre (qui fait descendre la poutre) et celles dues à la précontrainte (qui la fait remonter), puis on les additionne.
E. Descente de Charges Détaillée :
Le calcul est effectué sur la section brute \(0.40 \times 1.00\). Pour cette phase de transfert, seules deux actions sont prises en compte : le poids propre du béton et la force de précontrainte.
| Poste de charge | Détail du calcul | Charge Perm. g (kN/m) | Précontrainte P (kN) |
|---|---|---|---|
| Poids Propre Poutre | \(0.40 \times 1.00 \times 25 \text{ kN/m}^3\) | 10.00 | - |
| Effort de Précontrainte | Force totale des câbles (après pertes instantanées) | - | 2500 |
| Totaux pour Calcul | g = 10.0 kN/m | P = 2.5 MN | |
F. Méthodologie d'étude
Pour mener à bien cette mission, vous suivrez rigoureusement la méthodologie standard du bureau d'études. Chaque étape doit être justifiée par une note de calcul claire. Voici le déroulé séquentiel attendu pour la validation du dossier :
- Calculer les caractéristiques géométriques de la section brute (Aire \(A\), Inertie \(I\), position de la fibre neutre \(v\)).
- Déterminer le moment fléchissant maximal \(M_g\) à mi-travée dû uniquement au poids propre de la poutre.
- Calculer les contraintes dues à la précontrainte seule (\(\sigma_P\)) en fibre supérieure et inférieure (Effet Normal + Effet Flexion).
- Superposer les états de contraintes (\(\sigma_{\text{tot}} = \sigma_P + \sigma_g\)) pour obtenir l'état réel de la poutre lors du transfert.
- Vérifier la conformité réglementaire en comparant les résultats aux contraintes limites admissibles du béton (traction et compression).
Les bases théoriques : Mécanique de la Précontrainte
Le béton est un matériau remarquable en compression (il porte facilement des immeubles), mais médiocre en traction (il fissure dès 2 ou 3 MPa). C'est son talon d'Achille. Dans une poutre fléchie, la partie basse est tendue : elle fissure, l'acier passif prend le relais, mais la rigidité chute.
L'idée de génie de la précontrainte est d'anticiper ces tractions en comprimant artificiellement le béton avant qu'il ne reçoive les charges. C'est le principe de la "Pile de Livres" : pour soulever une rangée de livres horizontale sans qu'elle ne s'effondre, vous pressez fort aux deux extrémités. Cette pression (précontrainte) crée un frottement qui empêche les livres de glisser et de s'ouvrir vers le bas.
1. L'Effet de Compression Axiale (L'écrasement)
Imaginez que le câble passe exactement au centre de gravité de la poutre (centré). En tirant dessus avec une force \(P\), on écrase la poutre uniformément sur toute sa section.
Phénomène physique : Chaque centimètre carré de béton reçoit la même "dose" de compression. C'est comme serrer un étau. Cette compression uniforme permet de "tuer" les futures tractions pures.
Formule de la Contrainte Normale
Où \(P\) est la force dans le câble [MN] et \(A\) l'aire de la section [m²]. Le signe (-) indique une compression. C'est le socle de base de la résistance de la poutre.
2. L'Effet de l'Excentricité (Le levier)
Si on déplace le câble vers le bas (excentricité \(e_0\)), on crée un déséquilibre volontaire. La force \(P\) ne pousse plus au centre, mais en bas. Cela crée un couple de rotation (un moment) qui tend à faire remonter la poutre.
Phénomène physique : C'est l'effet "arc". En tirant sur la corde (le câble en bas), l'arc (la poutre) se courbe vers le haut. Cela comprime très fort le bas (là où le câble appuie) et détend le haut. C'est exactement l'inverse de ce que fait le poids de la poutre !
Formule du Moment de Précontrainte
Contrainte de Flexion induite
Où \(I\) est l'inertie [m⁴] (la résistance à la courbure) et \(v\) la distance à la fibre [m]. Ce terme varie linéairement sur la hauteur : il est maximal aux fibres extrêmes.
3. Le Principe de Superposition (La recette de cuisine)
En ingénierie, pour résoudre un problème complexe, on le découpe en problèmes simples que l'on additionne. Pour une poutre précontrainte, l'état de contrainte final en un point donné est simplement la somme arithmétique de trois contributions :
- La compression pure (-P/A) : Le "fond" de compression constant.
- La flexion de précontrainte (± P.e.v/I) : La "banane" vers le haut.
- La flexion des charges extérieures (± M.v/I) : La "banane" vers le bas (Poids propre, camions, etc.).
L'Équation Fondamentale de la Précontrainte
Enjeu du calcul : L'art de l'ingénieur consiste à doser \(P\) et \(e_0\) pour que, quelle que soit la valeur de \(M_{\text{ext}}\) (vide ou chargé à bloc), le total \(\sigma_{\text{tot}}\) reste toujours dans les "clous" (ni trop comprimé, ni tendu).
4. Pourquoi le transfert est-il dangereux ?
On pourrait penser que le moment le plus dangereux est quand le pont est plein de camions. C'est souvent faux en précontrainte !
Au moment du transfert (quand on relâche les vérins), la poutre est seule (poids propre \(g\) faible) mais la précontrainte \(P\) est maximale (pas encore de pertes). C'est le moment où la poutre est "la plus courbée vers le haut".
Si on a prévu trop de précontrainte pour porter les futurs camions, on risque de casser la poutre vers le haut dès sa fabrication, en fissurant la fibre supérieure par traction excessive. C'est ce critère que nous vérifions dans cet exercice.
Correction : Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint (VIP)
Question 1 : Caractéristiques Géométriques de la Section
Principe
Avant de pouvoir calculer la moindre contrainte dans le matériau, il est impératif de définir la "carte d'identité géométrique" de la poutre. En Résistance des Matériaux (RDM), la réponse d'une poutre aux efforts ne dépend que de deux choses : le matériau (défini par son module \(E\)) et la forme de sa section transversale.
Dans cette phase de transfert de précontrainte, le béton est supposé non fissuré (comportement élastique linéaire). Nous travaillons donc sur la Section Brute de béton seul. Cela signifie que nous négligeons provisoirement la présence des gaines vides ou des aciers, car leur impact sur la rigidité globale est négligeable (< 5%) à ce stade d'avant-projet détaillé.
Mini-Cours : Le Moment d'Inertie
Qu'est-ce que l'Inertie Quadratique \(I\) ?
C'est une grandeur géométrique qui mesure la résistance d'une section à la flexion (à la courbure).
Imaginez une règle plate en plastique :
• Si vous la pliez à plat (faible hauteur \(h\)), elle fléchit très facilement : son inertie est faible.
• Si vous essayez de la plier sur la tranche (grande hauteur \(h\)), elle est très raide : son inertie est forte.
Mathématiquement, l'inertie est proportionnelle à la hauteur au cube (\(h^3\)). C'est pour cela que les poutres de ponts sont toujours très hautes ("élancées").
Remarque Pédagogique
Cohérence des Unités : En Génie Civil, les plans sont souvent en centimètres (\(cm\)) ou millimètres (\(mm\)). Cependant, pour les calculs de contraintes (qui aboutissent à des Pascals \(Pa\) ou Mégapascals \(MPa\)), il est impératif de tout convertir en mètres (\(m\)) dès le début. Cela évite les erreurs de puissance de 10 catastrophiques (un facteur \(10^4\) à \(10^8\) sur l'inertie !).
Normes & Références
Le calcul des propriétés de sections est encadré par l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), article 5.3.2.2, qui autorise l'utilisation de la section brute de béton pour les analyses globales élastiques, tant que la structure n'est pas fissurée.
Formules Utilisées
Géométrie d'un Rectangle
Aire de la section (A)
Moment d'inertie quadratique (I)
Position de la fibre extrême (v)
Note : Le diviseur 12 vient de l'intégration mathématique \( \int y^2 dA \) sur un rectangle centré.
Hypothèses de Travail
Pour mener ce calcul, nous validons les hypothèses suivantes :
- Section Homogène : Le béton est considéré comme un matériau isotrope et homogène.
- Section Constante : La poutre est prismatique (pas de variation de largeur).
- Comportement Élastique : Les sections planes restent planes (Hypothèse de Bernoulli).
Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Largeur de la poutre | \(b\) | 0.40 | m |
| Hauteur de la poutre | \(h\) | 1.00 | m |
Astuces de Calcul
Ordre de grandeur : Pour une section rectangulaire pleine, l'inertie est grossièrement égale à \( 0.08 \times A \times h^2 \). Cela permet de vérifier rapidement si votre calculatrice ne vous a pas donné un résultat aberrant.
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
Visualisons les données géométriques brutes extraites des plans de coffrage.
Section Brute (Plan)
Propriétés à trouver
Calculs Détaillés
1. Calcul de l'Aire de la Section (\(A\))
L'aire représente la surface de matière disponible pour résister à l'effort normal de compression \(P\). Plus \(A\) est grande, plus la contrainte de compression sera faible pour une même force.
Substitution numérique
Ce résultat est immédiat mais fondamental : \(0.40 \text{ m}^2\) correspond à \(4000 \text{ cm}^2\). C'est une section massive.
2. Calcul de l'Inertie Quadratique (\(I\))
L'inertie \(I\) quantifie la répartition de la matière par rapport au centre de gravité. La matière loin du centre (en haut et en bas) "compte" beaucoup plus (au cube de la distance) que la matière au centre.
Substitution numérique
La valeur \(0.0333 \text{ m}^4\) peut sembler petite car elle est en mètres puissance 4, mais c'est une inertie considérable pour une poutre de bâtiment.
3. Position des Fibres Extrêmes (\(v\))
Nous devons connaître la distance exacte entre le centre de gravité \(G\) (où le moment est nul en flexion pure) et les bords de la poutre, là où les contraintes seront maximales. Pour un rectangle homogène, \(G\) est au centre géométrique.
Substitution numérique
La fibre supérieure est à \(+0.50 \text{ m}\) et la fibre inférieure à \(-0.50 \text{ m}\) de l'axe neutre.
Schémas de Validation (Résultats)
Voici la synthèse graphique des caractéristiques calculées qui serviront pour la suite de l'étude.
Section Caractérisée
Réflexions & Analyse
L'inertie obtenue (\(0.0333 \text{ m}^4\)) est le paramètre clé. Si nous avions choisi une section carrée de même aire (\(0.63 \times 0.63 \text{ m}\)), l'inertie aurait été de \(0.013 \text{ m}^4\), soit presque 3 fois moins !
Cela démontre l'intérêt crucial de la hauteur (\(h\)) : en augmentant la hauteur, on augmente drastiquement la rigidité sans ajouter de matière (donc sans alourdir la poutre).
Points de Vigilance
Erreur Classique : Ne confondez jamais \(b\) (largeur) et \(h\) (hauteur) dans la formule de l'inertie. \(h\) est au cube ! Si vous inversez, vous calculez l'inertie de la poutre couchée sur le flanc, qui est très faible et fausse le calcul de contrainte.
Points à Retenir
Pour réussir ce type de calcul :
- Toujours convertir les dimensions en mètres au début.
- Identifier l'axe fort de flexion (généralement vertical).
- Se rappeler que \(G\) est au milieu pour un rectangle.
Le Saviez-vous ?
Le terme "moment quadratique" (Inertie) vient du fait que l'on intègre une distance au carré (\(y^2\)). C'est l'équivalent, pour la flexion, de la masse pour le mouvement rectiligne : plus l'inertie est grande, plus il est "difficile" de mettre la poutre en rotation (courbure).
FAQ
Pourquoi néglige-t-on les aciers passifs et actifs ?
En section brute, on considère que le béton occupe tout le volume. Le coefficient d'équivalence acier/béton \(n = E_s/E_c\) est d'environ 5 à 15. Remplacer un petit trou de gaine par de l'acier ou du béton change l'inertie de moins de 5%, ce qui est acceptable pour un prédimensionnement ou une vérification de phase provisoire.
À vous de jouer :
Si la hauteur doublait (\(h=2.00 \text{ m}\)) en gardant la même largeur, par combien l'inertie serait-elle multipliée ?
📝 Mémo Technique
Inertie = Rigidité = Résistance à la flèche.
Hauteur = Efficacité (car au cube dans l'inertie).
Question 2 : Sollicitations (Poids Propre)
Principe
Une fois la géométrie définie, la poutre "existe" physiquement. Elle a donc une masse, et soumise à la gravité, elle pèse sur ses appuis. Ce poids propre constitue la première (et parfois la seule) charge que la poutre doit supporter lors de sa mise en tension.
L'objectif ici est de déterminer l'intensité de l'effort interne (le Moment Fléchissant \(M_g\)) généré par ce poids au milieu de la poutre. Ce moment est crucial car il va "tendre" la fibre inférieure et "comprimer" la fibre supérieure, s'opposant ainsi (partiellement) à l'effet de la précontrainte.
Mini-Cours : De la Gravité au Moment
La Chaîne de Transmission des Charges :
- Volume à Poids : On part du volume de la poutre. Le béton armé a une masse volumique normalisée de \(2500 \text{ kg/m}^3\), ce qui correspond à un poids volumique \(\rho \approx 25 \text{ kN/m}^3\).
- Charge Linéique (\(g\)) : On ramène ce poids par mètre de longueur de poutre. C'est une charge répartie uniforme (en \(\text{kN/m}\)).
- Moment Fléchissant (\(M\)) : Sous l'effet de cette charge, la poutre se courbe. Le moment est maximal au centre. Pour une poutre sur deux appuis simples, la courbe des moments est une parabole parfaite.
Remarque Pédagogique
Le sens physique : Imaginez la poutre comme une planche flexible posée sur deux tréteaux. Son propre poids la fait "faire le ventre" vers le bas. C'est ce creux que nous chiffrons ici avec le moment \(M_g\). C'est un moment dit "positif" (dans la convention RDM classique) qui tend les fibres du bas.
Normes & Références
Eurocode 1 (NF EN 1991-1-1) : Fixe le poids volumique des matériaux de construction. Pour le béton armé ordinaire ou précontraint, la valeur caractéristique est \(\gamma_{beton} = 25 \text{ kN/m}^3\).
Formules Utilisées
Mécanique Statique
Charge linéique (poids par mètre)
Moment maximal (Isostatique - Charge Uniforme)
Hypothèses de Travail
- Le poids des ancrages et des sur-épaisseurs aux abouts est négligé (calcul en section courante).
- La poutre est supposée simplement appuyée (rotule + rouleau) lors du transfert.
Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Aire de la section (calculée Q1) | \(A\) | 0.40 | m² |
| Poids volumique du béton armé | \(\rho\) | 25 | kN/m³ |
| Portée de calcul | \(L\) | 16.00 | m |
Astuces de Calcul
La règle du "10" : Si votre section fait \(A \text{ m}^2\), le poids propre en \(\text{kN/m}\) est \(25 \times A\). Pour une section de \(0.4 \text{ m}^2\), cela fait \(10 \text{ kN/m}\). Facile à vérifier de tête !
Schémas Situation Initiale
Modèle de Chargement
Calculs Détaillés
1. Calcul de la Charge Linéique Permanente (\(g\))
On transforme le poids volumique en poids linéique. C'est la charge que supporte chaque mètre de poutre.
Substitution numérique
Chaque mètre de cette poutre pèse 1 tonne (\(10 \text{ kN}\)).
2. Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_g\))
On applique la formule du moment maximal à mi-travée pour une poutre isostatique. Le carré de la portée \(L^2\) donne beaucoup de poids à la longueur : doubler la portée multiplie le moment par 4 !
Substitution numérique
3. Conversion d'Unités (Crucial !)
Nos formules de contraintes (\(\sigma = M/I \cdot v\)) utilisent des mètres (\(m\)) et des Mégapascals (\(MN/m^2\)). Il faut donc convertir le moment \(kNm\) en \(MNm\).
Rappel : \(1 \text{ MN} = 1000 \text{ kN}\), donc \(1 \text{ MNm} = 1000 \text{ kNm}\).
Conversion
Schémas de Validation (Résultats)
Voici l'allure des sollicitations le long de la poutre. Le moment est nul aux appuis et maximal au centre.
Diagramme des Moments Fléchissants
Réflexions & Analyse
Un moment de \(320 \text{ kNm}\) est significatif. Pour donner une idée, c'est comme si on suspendait une masse de 8 tonnes au bout d'un plongeoir de 4 mètres. C'est cet effort que la précontrainte doit combattre (et vaincre !) pour que la poutre ne fissure pas en bas en service.
Points de Vigilance
Attention aux unités ! C'est la source d'erreur n°1. Si vous injectez "320" dans la formule de contrainte au lieu de "0.320", vous obtiendrez des contraintes 1000 fois trop grandes (des GigaPascals !), ce qui est physiquement impossible.
Points à Retenir
- \(M = qL^2/8\) pour une charge répartie sur appuis simples.
- Le moment de poids propre est toujours présent, on ne peut pas "l'éteindre".
- Toujours convertir le moment en \(MNm\) avant de calculer \(\sigma\) en \(MPa\).
Le Saviez-vous ?
Si la poutre était en acier (densité 78.5 kN/m³), elle serait beaucoup plus lourde à volume égal, mais comme l'acier est plus résistant, la section serait plus fine, donc le poids total serait finalement plus faible ! Le béton est un matériau "lourd" par rapport à sa résistance.
FAQ
Pourquoi ne compte-t-on pas les charges d'exploitation (véhicules) ?
Nous vérifions la phase de transfert, c'est-à-dire le moment précis où l'on coupe les câbles sur le banc de préfabrication. À cet instant, la poutre est seule sur le banc, il n'y a ni hourdis, ni bitume, ni camions dessus. C'est un état provisoire mais critique.
À vous de jouer :
Si la portée passait de \(16 \text{ m}\) à \(20 \text{ m}\), quelle serait la valeur du nouveau moment \(M_g\) ?
📝 Mémo Technique
Le moment croît avec le carré de la portée.
\(16m \to 320 \text{ kNm}\).
\(20m \to 500 \text{ kNm}\) (+56% d'effort pour +25% de longueur !).
Question 3 : Contraintes sous Précontrainte seule
Principe
Nous entrons au cœur du sujet. Il s'agit de calculer l'état de contrainte interne du béton généré uniquement par la force des câbles, en l'absence de toute charge extérieure (comme si la poutre flottait en apesanteur, soumise uniquement à la tension du câble).
Le câble, tendu à \( P = 2500 \text{ kN} \) et ancré aux extrémités, exerce une pression colossale sur le béton. Comme il est excentré vers le bas, il ne se contente pas d'écraser la poutre : il la fait fléchir vers le haut.
Mini-Cours : Décomposition de l'Effort de Précontrainte
L'analogie de la Force Déportée :
En Mécanique (torseurs), une force \( P \) appliquée hors du centre de gravité (à une distance \( e_0 \)) est équivalente à :
- Une Force Axiale \( N = -P \) appliquée au centre de gravité \( G \) (Compression pure).
- Un Moment de Flexion \( M_p = P \cdot e_0 \) qui fait tourner la section (Flexion pure).
C'est ce qu'on appelle le Théorème de transport des forces. Nous allons calculer les contraintes générées par ces deux composantes séparément, puis les additionner.
Remarque Pédagogique
Attention aux signes ! C'est la source d'erreur n°1 en précontrainte.
• La force \( P \) est toujours positive en valeur absolue, mais l'effort normal \( N \) est négatif (compression).
• L'excentricité \( e_0 \) est algébrique : négative si sous \( G \), positive si dessus.
• Le moment \( M_p \) résultant aura donc un signe qui dictera le sens de la courbure.
Normes & Références
Eurocode 2 : Définit la force de précontrainte \( P_{m,0} \) (force initiale juste après transfert) comme la force au vérin moins les pertes immédiates (frottement, recul d'ancrage). C'est cette valeur (donnée ici à 2500 kN) qui doit être utilisée pour les vérifications en phase de construction.
Formules Utilisées
Formule de Navier Généralisée
Contrainte totale en un point y
Avec \( N = -P \) et \( M_p = P \cdot e_0 \).
Formule Développée (Pratique)
Hypothèses de Travail
- Le béton a un comportement élastique linéaire (loi de Hooke).
- La section reste plane après déformation (Bernoulli).
- On néglige la variation d'excentricité le long de la poutre pour ce calcul en section centrale (coupe locale).
Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force de Précontrainte | \(P\) | 2.5 | MN |
| Aire de la section | \(A\) | 0.40 | m² |
| Inertie de la section | \(I\) | 0.0333 | m⁴ |
| Excentricité du câble | \(e_0\) | -0.35 | m |
| Position fibre supérieure | \(y_{\text{sup}}\) | +0.50 | m |
| Position fibre inférieure | \(y_{\text{inf}}\) | -0.50 | m |
Astuces de Calcul
Intuition physique : Le câble est en bas. Il tire les bouts de la poutre vers le bas. La poutre "fait le dos rond" vers le haut. Donc :
- En bas (côté câble) : Ça écrase très fort -> Grosse Compression.
- En haut (opposé câble) : Ça s'ouvre -> Traction probable.
Schémas Situation Initiale
Action Mécanique du Câble
Calculs Détaillés
1. Calcul du Terme de Compression Pure (\(\sigma_N\))
C'est la contrainte uniforme qui s'appliquerait si le câble était parfaitement centré. Elle est toujours négative (compression).
Substitution numérique
La poutre subit une compression de base de 62.5 bars (6.25 MPa) sur toute sa hauteur.
2. Calcul du Moment de Précontrainte (\(M_p\))
C'est le moment fléchissant généré par le décentrement du câble.
Substitution numérique
Le signe (-) indique un moment "négatif" (courbure inverse de celle du poids propre), provoquant une contre-flèche.
3. Calcul des Contraintes de Flexion (\(\sigma_{M_p}\))
On calcule l'effet de ce moment sur les fibres extrêmes.
Rappel formule flexion : \( \sigma = - \frac{M \cdot y}{I} \).
Pour la fibre Supérieure (\(y = +0.50 \text{ m}\)) :
Pour la fibre Inférieure (\(y = -0.50 \text{ m}\)) :
4. Synthèse : Contraintes Totales de Précontrainte (\(\sigma_P\))
On additionne l'effet "écrasement" (\(-6.25\)) et l'effet "flexion" (\(\pm 13.13\)).
Schémas de Validation (Résultats)
Visualisons la répartition des contraintes due uniquement à la précontrainte. Notez la traction importante en haut.
Diagramme des Contraintes (P seule)
Réflexions & Analyse
Le résultat est frappant : la précontrainte seule met la fibre supérieure en traction à \(+6.88 \text{ MPa}\). Or, le béton fissure généralement vers \(+3 \text{ MPa}\).
Conclusion immédiate : Une poutre précontrainte ne peut JAMAIS rester sans son poids propre. Si on la posait sur le flanc (où le poids ne s'oppose plus à la courbure), elle exploserait instantanément sous l'effet des câbles !
Points de Vigilance
Erreur de signe = Danger de mort ! Si vous vous trompez de signe sur le moment \(M_p\), vous allez ajouter de la compression en haut au lieu de la traction. Vous penserez que tout va bien, alors que la poutre est en train de se rompre. Vérifiez toujours physiquement : câble en bas \(\rightarrow\) poutre qui se soulève \(\rightarrow\) traction en haut.
Points à Retenir
- La précontrainte n'est pas qu'une compression : c'est aussi une flexion.
- L'excentricité est le levier qui amplifie l'efficacité du câble.
- La force \(N/A\) est le "bruit de fond", le moment \(P \cdot e\) est la "mélodie".
Le Saviez-vous ?
On appelle "blocs d'about" les extrémités renforcées des poutres où les câbles sont ancrés. C'est là que la compression est pure (car les câbles reviennent souvent au centre de gravité en about) et intense. On y met beaucoup de ferraillage passif pour éviter l'éclatement du béton (frettage).
FAQ
Pourquoi le câble est-il courbe et pas droit en bas ?
Si le câble restait en bas jusqu'aux appuis, il créerait un moment de soulèvement même aux extrémités, là où le poids propre ne crée aucun moment (car moment nul sur appui). Résultat : traction excessive et fissure garantie sur les appuis. On remonte donc le câble vers l'axe neutre aux extrémités pour annuler le moment \(P \cdot e\) là où on n'en a pas besoin.
À vous de jouer :
Si on plaçait le câble exactement au centre de gravité (\(e_0 = 0\)), quelle serait la contrainte en haut et en bas ?
📝 Mémo Technique
Si \(e=0\), il ne reste que \(-P/A\). La flexion disparaît. C'est de la précontrainte centrée (utilisée pour les tirants, pas pour les poutres).
Question 4 : Vérification Finale (Superposition P + G)
Principe
Nous arrivons à l'étape décisive. Jusqu'à présent, nous avons calculé séparément les effets de la précontrainte (qui tend à courber la poutre vers le haut) et du poids propre (qui la courbe vers le bas).
Le principe de superposition, valable dans le domaine élastique, nous autorise à additionner simplement ces contraintes pour obtenir l'état réel de la matière. C'est le bilan comptable des forces internes.
Mini-Cours : Les Critères de Sécurité au Transfert
Que vérifie-t-on à t = 3 jours ?
À cet âge précoce, le béton est encore "tendre" (résistance plus faible qu'à 28 jours). On vérifie deux limites (Eurocode 2 - 5.10.2.2) :
- Compression : La contrainte ne doit pas dépasser \( 0.6 f_{ck}(t) \) pour éviter l'écrasement local ou le fluage excessif non linéaire.
- Traction : La contrainte doit rester inférieure à \( f_{ctm}(t) \) (résistance moyenne à la traction) pour éviter la fissuration prématurée de la fibre supérieure. Si le béton fissure maintenant, la durabilité est compromise avant même la mise en service !
Remarque Pédagogique
La bataille des moments : Visualisez la section à mi-travée. La précontrainte crée un moment énorme qui veut "casser" la poutre vers le haut. Le poids propre est votre seul allié : il crée un moment inverse qui "calme" cette ardeur. Si la poutre est trop légère, la précontrainte gagne et la poutre fissure en haut.
Normes & Références
Eurocode 2 : Article 5.10.2.1 (Vérification des états limites de service). La limitation des contraintes de compression à 60% de \( f_{ck} \) est une règle standard pour les phases de construction.
Formules Utilisées
Principe de Superposition
Calcul des contraintes dues au poids propre
Contrainte Totale
Données d'Entrée (Rappels)
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Moment Poids Propre (\(M_g\)) | \(0.320 \text{ MNm}\) | Question 2 |
| Contrainte Précontrainte Sup (\(\sigma_{P,\text{sup}}\)) | \(+6.88 \text{ MPa}\) | Question 3 |
| Contrainte Précontrainte Inf (\(\sigma_{P,\text{inf}}\)) | \(-19.38 \text{ MPa}\) | Question 3 |
| Inertie (\(I\)) | \(0.0333 \text{ m}^4\) | Question 1 |
| Fibre (\(v\)) | \(0.50 \text{ m}\) | Question 1 |
Astuces de Calcul
Vérification rapide : Le poids propre comprime TOUJOURS la fibre supérieure (signe -) et tend TOUJOURS la fibre inférieure (signe +) pour une poutre sur deux appuis. Si vous trouvez l'inverse, vous avez un problème de signe.
Schémas Situation Initiale
Nous avons deux diagrammes de contraintes à additionner.
État 1 : Précontrainte seule
État 2 : Poids Propre (à calculer)
Calculs Détaillés
1. Calcul des contraintes dues au Poids Propre (\(\sigma_g\))
On utilise la formule classique de flexion. Le moment \(M_g = 0.320 \text{ MNm}\) est positif, donc il comprime en haut (\(y>0\)) et tend en bas (\(y<0\)).
Fibre Supérieure (\(y = +0.50 \text{ m}\))
Le poids de la poutre apporte une compression bienfaisante de 4.80 MPa en haut, ce qui va réduire la traction de la précontrainte.
Fibre Inférieure (\(y = -0.50 \text{ m}\))
Symétriquement, le poids tend le bas de la poutre.
2. Superposition (Bilan Final)
On effectue la somme algébrique pour chaque fibre.
Bilan Fibre Supérieure
Résultat : Il reste une traction résiduelle de \(2.08 \text{ MPa}\). C'est positif, donc c'est de la traction.
Bilan Fibre Inférieure
Résultat : La compression en bas est réduite, mais reste très forte (\(-14.58 \text{ MPa}\)).
Schémas de Validation (Résultats)
Voici le diagramme final obtenu par addition graphique des deux états précédents.
Diagramme Final (Résultante)
Réflexions & Analyse
Analyse de la sécurité :
• En compression (bas) : \(14.58 \text{ MPa}\). Le béton résiste à \(30\) ou \(40 \text{ MPa}\). On est largement en sécurité (\(\approx 36\%\) de la capacité).
• En traction (haut) : \(2.08 \text{ MPa}\). C'est la valeur critique. Si le béton a une résistance \(f_{\text{ctm}} = 2.5 \text{ MPa}\), ça passe de justesse ! C'est souvent le cas en précontrainte : on optimise au maximum.
Points de Vigilance
Le temps joue contre nous (ou pour nous) : Ici, à \(t=3\text{j}\), le béton est encore jeune. Sa résistance à la traction est faible. C'est pour cela que la vérification est cruciale. Attendre 2 jours de plus permettrait à \(f_{\text{ctm}}\) de monter à \(3 \text{ MPa}\), sécurisant davantage l'opération.
Points à Retenir
- \( \sigma_{\text{tot}} = \sigma_{\text{precontrainte}} + \sigma_{\text{poids\_propre}} \).
- Le poids propre soulage la traction en haut (il est bénéfique ici).
- Le poids propre diminue la compression en bas (il "consomme" de la réserve).
Le Saviez-vous ?
Cette traction de \(2 \text{ MPa}\) en fibre supérieure peut être annulée en ajoutant des barres d'acier passif (ferraillage classique) dans la partie haute de la poutre. C'est ce qu'on appelle la "précontrainte partielle" ou le ferraillage de peau.
FAQ
Que se passe-t-il si la poutre fissure en haut ?
Si la traction dépasse la résistance, une fissure verticale apparaît en partie haute. Elle se refermera dès qu'on posera le hourdis ou qu'on circulera sur le pont (car les charges ajoutent de la compression en haut), mais elle peut laisser une entrée pour la corrosion. C'est donc à éviter absolument.
À vous de jouer :
Quelle serait la contrainte totale en haut si le poids propre était négligé (hypothèse absurde de gravité zéro) ?
📝 Mémo Technique
Superposition = Addition algébrique (avec les signes).
Le poids propre est l'ennemi de la flèche, mais l'ami de la précontrainte au transfert !
Question 5 : Vérification Réglementaire et Conclusion
Principe
Avoir calculé les contraintes ne suffit pas. Il faut maintenant jouer le rôle de l'ingénieur de contrôle : comparer ces valeurs "réelles" aux limites "admissibles" imposées par la norme (Eurocode 2).
La difficulté réside ici dans la temporalité : nous sommes à \( t = 3 \text{ jours} \). Le béton n'a pas encore atteint sa pleine puissance (C40/50). Il faut donc estimer sa résistance "jeune" pour ne pas le casser en tirant sur les câbles trop tôt.
Mini-Cours : Le Béton au Jeune Âge
La course contre la montre :
Le béton durcit par réaction chimique (hydratation). Cette réaction prend du temps.
• À 28 jours : On considère qu'il a 100% de sa résistance caractéristique (\( f_{ck} \)).
• À 3 jours : Pour un béton rapide (BHP), il a environ 60% à 70% de sa force finale.
C'est cette résistance réduite, notée \( f_{ck}(t) \), qui sert de juge de paix pour autoriser le transfert. Si on tire trop fort sur un béton trop mou, les ancrages rentrent dedans (poinçonnement) ou la poutre explose.
Remarque Pédagogique
Critère de Décintrement : Sur chantier, on ne fait pas le calcul théorique du temps. On écrase des éprouvettes de béton conservées à côté de la poutre. Si la presse indique \( \geq 30 \text{ MPa} \), alors on a le feu vert pour tendre les câbles. Dans cette note, nous allons vérifier si cette valeur cible de 30 MPa est suffisante.
Normes & Références
Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1) - Article 5.10.2.2 :
• Limitation de la compression au transfert : \( \sigma_c \leq 0.6 f_{ck}(t) \).
• Limitation de la traction (sans armatures passives maîtresses) : \( \sigma_t \leq f_{ctm}(t) \) (résistance moyenne en traction).
Formules Utilisées
Inégalités de Vérification
Critère de Compression
Critère de Traction
Hypothèses de Travail
- Le béton est de classe C40/50 à 28 jours.
- On suppose (ou on vise) une résistance au moment du transfert \( f_{ck}(3j) = 30 \text{ MPa} \).
- La résistance à la traction est déduite de la compression selon la loi de l'Eurocode : \( f_{ctm} = 0.30 \times f_{ck}^{(2/3)} \).
Données d'Entrée (Calculées précédemment)
| Fibre | Contrainte Calculée | Nature |
|---|---|---|
| Supérieure | \(+2.08 \text{ MPa}\) | Traction |
| Inférieure | \(-14.58 \text{ MPa}\) | Compression |
Astuces de Calcul
Ordre de grandeur traction : La résistance en traction du béton vaut environ 1/10ème de sa résistance en compression. Si \( f_c = 30 \), alors \( f_t \approx 3 \). C'est très peu ! C'est pour ça que la traction est le critère dimensionnant.
Schémas Situation Initiale
Jauge de Compression (Bas)
Jauge de Traction (Haut)
Calculs Détaillés
1. Calcul des Limites Admissibles (Béton C30 estimé)
On suppose que le béton a atteint \( f_{ck}(t) = 30 \text{ MPa} \) au moment du transfert.
Limite en Compression (\(\overline{\sigma}_c\))
Limite en Traction (\(\overline{\sigma}_t\))
Selon l'EC2, \( f_{ctm} = 0.3 \times (f_{ck})^{(2/3)} \). Pour 30 MPa :
Par sécurité, on prend souvent une valeur plancher plus conservatrice, disons 2.5 MPa pour tenir compte de la dispersion.
2. Confrontation (Le verdict)
Vérification Fibre Inférieure (Compression) :
Taux de travail : \( \frac{14.58}{18.0} = 81\% \). C'est élevé mais acceptable. Le béton ne s'écrasera pas.
Vérification Fibre Supérieure (Traction) :
Taux de travail : \( \frac{2.08}{2.90} = 72\% \). C'est conforme. Le béton ne fissurera pas.
Schéma de Synthèse Réglementaire
Domaine de Sécurité
Réflexions & Analyse
On constate que les marges ne sont pas énormes, surtout en compression (81%). Cela montre que la poutre est "optimisée". Si le béton n'a que 25 MPa de résistance (au lieu de 30) le jour du transfert, la limite de compression tombe à \( 0.6 \times 25 = 15 \text{ MPa} \). Avec nos 14.58 MPa réels, on serait à la limite de la rupture !
Décision Ingénieur : Il est impératif d'attendre que le béton atteigne 30 MPa avant de décintrer. C'est un point d'arrêt (P.A.) sur le plan de contrôle qualité.
Points de Vigilance
Effet d'échelle : Attention, les limites de traction de l'Eurocode diminuent quand la hauteur de la section augmente (effet d'échelle). Pour une poutre de 1m de haut, la valeur \(f_{ctm}\) doit être pondérée. Ici, nous avons simplifié, mais sur un projet réel, la limite serait peut-être plus stricte (ex: 2.6 MPa).
Points à Retenir
- La vérification se fait avec les caractéristiques du béton à l'instant t, pas à 28 jours.
- La traction est le critère de fissuration.
- La compression est le critère de durabilité et de fluage.
Le Saviez-vous ?
Si la traction dépasse la limite, on peut placer des armatures passives (HA) pour "coudre" les fissures. On parle alors de précontrainte "Classe III" (fissuration autorisée mais contrôlée), moins chère mais moins durable.
FAQ
Peut-on transférer la précontrainte à 1 jour ?
Rarement pour des poutres de cette taille. À 24h, le béton est trop fragile (< 15 MPa). Les ancrages risqueraient de "poinçonner" (s'enfoncer dans) le béton, détruisant l'about de poutre.
La conception est VALIDÉE pour la phase de transfert, SOUS RÉSERVE d'une résistance béton \( f_{ck} \geq 30 \text{ MPa} \).
À vous de jouer :
Si le chantier est pressé et transfère alors que \( f_{ck} = 20 \text{ MPa} \), quelle est la marge de sécurité en compression ?
📝 Mémo Technique
Toujours vérifier l'âge du béton.
La résistance grimpe vite au début, chaque jour compte !
Diagramme des Contraintes Finales
Ce diagramme est la synthèse graphique de tous les calculs précédents. Il représente la répartition des contraintes normales \(\sigma\) (en MPa) sur toute la hauteur de la section de la poutre (de la fibre inférieure à la fibre supérieure).
Il illustre le principe fondamental de la précontrainte : la superposition des états.
- État 1 (Précontrainte P seule) : Le câble, situé en bas, comprime fortement le bas de la poutre et tend le haut (effet "banane" ou contre-flèche).
- État 2 (Poids propre g seul) : La gravité fait fléchir la poutre vers le bas, comprimant le haut et tendant le bas.
- État Final (P + g) : C'est la somme algébrique des deux. Le diagramme ci-dessous montre le résultat net.
Analyse détaillée des résultats :
1. Fibre Supérieure (Zone Critique en Traction)
On observe une contrainte positive de +2.08 MPa. Cela signifie que le béton est "tiré" (traction).
Pourquoi ? L'effort de précontrainte est tellement puissant qu'il soulève la poutre (contre-flèche) plus fort que le poids propre ne la fait descendre. Le "dos" de la poutre est donc tendu.
Est-ce grave ? Tant que cette valeur reste inférieure à la résistance à la traction du béton (\(f_{ctm} \approx 2.5 \text{ MPa}\)), le béton ne fissure pas. Ici, c'est validé (2.08 < 2.5).
2. Fibre Inférieure (Zone de Compression)
On lit une contrainte négative de -14.58 MPa. Le béton est fortement comprimé.
L'intérêt ? Cette "réserve de compression" est essentielle. Lorsque les surcharges d'exploitation (véhicules) viendront plus tard appuyer sur le pont, elles créeront de la traction en bas. Cette traction viendra simplement "consommer" la compression préexistante, sans jamais (idéalement) rendre le béton tendu. C'est le secret du béton précontraint !
3. L'Axe Neutre Réel
Sur le schéma, le point où la contrainte est nulle (croisement des lignes pointillées) ne se trouve pas au centre de gravité G, mais est décalé vers le haut. Cela montre que plus de 80% de la section travaille en compression, ce qui est très favorable pour la durabilité de l'ouvrage.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
📚 Glossaire Technique & Définitions
Retrouvez ci-dessous les définitions essentielles pour comprendre les notes de calculs en béton précontraint.
Concrètement, le processus suit ces étapes : 1) On dispose des gaines vides dans le coffrage avant le bétonnage. 2) On coule le béton. 3) Une fois que le béton a atteint une résistance suffisante (généralement 3 jours), on enfile les câbles dans les gaines. 4) On les tend à l'aide de vérins hydrauliques qui prennent appui directement sur la pièce en béton durci. 5) L'effort est bloqué par des têtes d'ancrage (clavettes). 6) Enfin, on injecte un coulis de ciment dans la gaine pour protéger les aciers de la corrosion et assurer l'adhérence (précontrainte par post-tension injectée).
C'est la méthode reine pour les grands ouvrages d'art (ponts, viaducs) car elle permet de gérer les phases de construction, d'assembler des voussoirs préfabriqués et d'ajuster la tension sur site.
Le type le plus courant en France est le T15S (Super), d'un diamètre nominal de 15.7mm (section ~150mm²). Sa résistance à la rupture est colossale : environ 1860 MPa (Fprg), soit près de 4 fois la résistance des aciers de ferraillage classiques (B500B).
Pour obtenir des forces importantes (comme les 2500 kN de l'exercice), on regroupe plusieurs torons (ex: 12T15 ou 19T15) à l'intérieur d'une même gaine pour former un "câble".
Lorsqu'un câble est maintenu tendu à une longueur constante pendant une longue période, la contrainte à l'intérieur diminue naturellement (l'acier "se relâche" un peu sous l'effort permanent). Ce n'est pas un allongement (la longueur est fixée par les ancrages), mais une chute de force interne.
Contrairement au fluage (qui est une déformation différée du béton sous charge), la relaxation est une propriété intrinsèque du métal. Elle dépend de la classe de l'acier (TBR : Très Basse Relaxation), de la température ambiante et du niveau de tension initial. Elle représente généralement 2 à 5% des pertes totales de précontrainte à long terme et doit être prise en compte pour garantir la force finale P∞.
Mécanisme : Puisque le câble est généralement placé en partie basse (excentricité négative), il crée un moment fléchissant constant ou variable qui s'oppose à la gravité. La poutre se "cambre".
Cette "cambrure" initiale est calculée précisément pour compenser la flèche vers le bas causée par le poids propre immédiat et, plus tard, une partie des charges d'exploitation et du fluage. C'est un indicateur de contrôle essentiel sur chantier : si la contre-flèche réelle mesurée lors du vérinage ne correspond pas à la valeur théorique, cela peut signaler un problème de frottement dans les gaines ou une qualité de béton insuffisante (module d'élasticité E trop faible).
C'est le "bras de levier" de la force P. Plus l'excentricité est grande (en valeur absolue), plus le moment de précontrainte \( M_p = P \cdot e \) est important, et plus la poutre est capable de "porter" des charges lourdes en s'opposant à leur moment fléchissant.
Dans une poutre isostatique sur appuis simples, l'excentricité n'est pas constante : elle suit le diagramme des moments des charges extérieures. Elle est souvent nulle aux appuis (où le moment est nul) et maximale à mi-travée (où le moment est max), ce qui donne au câble son allure parabolique caractéristique.
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