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Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Contexte : Pourquoi utiliser la précontrainte ?

Le béton est un matériau qui résiste très bien à la compression, mais très mal à la traction. Dans une poutre classique en béton armé, la partie inférieure se fissure sous l'effet de la flexion. Le béton précontraintTechnique de construction qui consiste à créer des contraintes de compression internes dans le béton avant sa mise en service, pour compenser les tractions futures. est une technique ingénieuse qui consiste à "pré-comprimer" le béton avant même qu'il ne soit soumis aux charges. On tend des câbles en acier à haute résistance à l'intérieur de la poutre, ce qui la comprime. Ainsi, lorsque les charges de service sont appliquées, elles doivent d'abord "vaincre" cette précompression avant de pouvoir mettre le béton en traction. Cela permet de construire des poutres plus élancées, de franchir de plus grandes portées (ponts, grandes salles) et de contrôler totalement la fissuration.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'analyse des contraintes dans une poutre en béton précontraint à l'État Limite de Service (ELS). Nous vérifierons que les contraintes de compression et de traction dans le béton restent dans les limites admissibles par la norme, à la fois lors de la mise en tension et en service.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les caractéristiques géométriques d'une section en I.
  • Déterminer les moments fléchissants dus aux charges permanentes et d'exploitation.
  • Calculer les contraintes générées par la force de précontrainte excentrée.
  • Superposer les contraintes dues à la précontrainte et aux charges extérieures.
  • Vérifier la conformité des contraintes en fibre supérieure et inférieure par rapport aux limites réglementaires.

Données de l'étude

On étudie une poutre de pont isostatique de section en I, précontrainte par post-tension avec un câble au tracé parabolique. On souhaite vérifier les contraintes à mi-portée à l'État Limite de Service (ELS).

Schéma de la poutre et du câble de précontrainte
Charges G+Q Câble parabolique L = 20 m e = 250 mm

Caractéristiques de la poutre et des matériaux :

  • Géométrie de la section en I :
    • Hauteur totale : \(h = 1.0 \, \text{m}\)
    • Largeur des membrures (supérieure et inférieure) : \(b = 0.5 \, \text{m}\)
    • Épaisseur des membrures : \(t_f = 0.2 \, \text{m}\)
    • Épaisseur de l'âme : \(t_w = 0.15 \, \text{m}\)
  • Béton : Classe C40/50
    • Masse volumique : \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\).
    • Contrainte admissible en compression en service : \( \sigma_{c,adm} = 0.6 \cdot f_{ck} = 24 \, \text{MPa}\).
    • Contrainte admissible en traction en service (précontrainte totale) : \( \sigma_{t,adm} = 0 \, \text{MPa}\).
  • Charges de service (hors poids propre) :
    • Charge permanente : \(G_k = 10 \, \text{kN/m}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\).
  • Précontrainte :
    • Force de précontrainte initiale : \(P_0 = 2500 \, \text{kN}\).
    • Pertes de précontrainte totales (à long terme) : 20%.
    • Excentricité du câble à mi-portée : \(e = 250 \, \text{mm}\) (vers le bas).

Questions à traiter

  1. Calculer les caractéristiques géométriques de la section : aire (\(A\)), position du centre de gravité et moment d'inertie (\(I\)).
  2. Déterminer la force de précontrainte finale (\(P_k\)) et calculer les contraintes dues à la précontrainte seule en fibre supérieure et inférieure à mi-portée.
  3. Calculer les moments fléchissants dus au poids propre (\(M_g\)) et aux charges de service (\(M_{g+q}\)) à mi-portée.
  4. Calculer les contraintes finales en service et vérifier qu'elles respectent les limites admissibles.

Correction : Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Question 1 : Calculer les caractéristiques géométriques de la section

Principe avec image animée (le concept physique)
Section en I Décomposition

Avant toute analyse de contraintes, il est indispensable de connaître les propriétés de la section transversale de la poutre. L'aire (\(A\)) est nécessaire pour les contraintes de compression, et le moment d'inertie (\(I\)) est crucial pour calculer les contraintes dues à la flexion. Pour une section composée comme un I, on la décompose en rectangles simples et on utilise le théorème de Huygens pour sommer les moments d'inertie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le théorème de HuygensThéorème qui permet de calculer le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe, à partir de son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité. (ou théorème des axes parallèles) stipule que le moment d'inertie d'un objet par rapport à un axe quelconque est égal à la somme de son moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par son centre de gravité, et du produit de son aire par le carré de la distance entre les deux axes (\(I_z = I_{zg} + A \cdot d^2\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La symétrie est votre meilleure amie ! Ici, la section est symétrique par rapport à l'axe horizontal, donc le centre de gravité se trouve à mi-hauteur. Cela simplifie grandement les calculs.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de calcul des propriétés géométriques sont des principes fondamentaux de la Résistance des Matériaux, une base de toutes les normes de calcul de structure, y compris l'Eurocode.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère la section brute de béton, en négligeant la surface des aciers passifs (s'il y en avait) et des gaines de précontrainte pour ce calcul initial.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire d'un rectangle :

\[ A = b \cdot h \]

Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à son centre :

\[ I_g = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Théorème de Huygens :

\[ I_{\text{total}} = \sum (I_{gi} + A_i \cdot d_i^2) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Membrure (x2) : \(b=500 \, \text{mm}, t_f=200 \, \text{mm}\)
  • Âme : \(t_w=150 \, \text{mm}, h_w=600 \, \text{mm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire totale :

\[ \begin{aligned} A &= 2 \times (A_{\text{membrure}}) + A_{\text{âme}} \\ &= 2 \times (500 \times 200) + (150 \times 600) \\ &= 200000 + 90000 \\ &= 290000 \, \text{mm}^2 = 0.29 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du moment d'inertie total (section symétrique, \(d\) est la distance du centre d'une membrure au centre de la poutre) :

\[ \begin{aligned} I &= I_{\text{âme}} + 2 \times (I_{\text{membrure}} + A_{\text{membrure}} \cdot d^2) \\ d &= \frac{h}{2} - \frac{t_f}{2} = 500 - 100 = 400 \, \text{mm} \\ I &= \frac{150 \cdot 600^3}{12} + 2 \times \left( \frac{500 \cdot 200^3}{12} + (500 \cdot 200) \cdot 400^2 \right) \\ &= 2.7 \times 10^9 + 2 \times (0.333 \times 10^9 + 1.6 \times 10^{10}) \\ &= 2.7 \times 10^9 + 3.266 \times 10^{10} \\ &\approx 3.54 \times 10^{10} \, \text{mm}^4 = 0.0354 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les membrures, bien que représentant une grande partie de l'aire, contribuent au moment d'inertie principalement par le terme de Huygens (\(A \cdot d^2\)). C'est le principe même d'une section en I : éloigner la matière de l'axe neutre pour maximiser l'inertie et donc la résistance à la flexion.

Point à retenir : Pour les sections composées, la méthode de décomposition et l'application du théorème de Huygens sont fondamentales pour déterminer le moment d'inertie.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Sans ces valeurs géométriques, aucun calcul de contrainte n'est possible. Elles caractérisent la "forme" de la poutre et sa capacité intrinsèque à résister aux efforts.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur sur Huygens : Oublier le terme de transport (\(A \cdot d^2\)) est l'erreur la plus commune et conduit à une sous-estimation dramatique du moment d'inertie.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme en "I" est l'une des formes les plus efficaces en génie des structures. Elle est utilisée aussi bien pour les poutres en acier (poutrelles IPN, IPE, HEB) que pour les poutres en béton précontraint, car elle optimise l'utilisation de la matière pour une résistance à la flexion maximale.

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je toujours décomposer en rectangles ?

C'est la méthode la plus simple pour les sections composées de formes rectangulaires. Pour des formes plus complexes (trapèzes, cercles), on utilise les formules d'inertie correspondantes, mais le principe de décomposition et d'application de Huygens reste le même.

Résultat Final : \(A = 0.29 \, \text{m}^2\) et \(I = 0.0354 \, \text{m}^4\).

À vous de jouer : Calculez l'aire (en m²) d'une section en T avec une membrure de 40x15 cm et une âme de 60x15 cm.

Question 2 : Calculer les contraintes dues à la précontrainte seule

Principe avec image animée (le concept physique)
-P/A -Pe.y/I + = σ_p

La force de précontrainte \(P_k\) est appliquée avec une excentricité \(e\). Elle génère deux effets sur la section : une compression uniforme (\(N/A\)) et un moment de flexion (\(M = P_k \cdot e\)). Ce moment, appelé "moment de précontrainte", crée une traction en haut et une compression en bas, ce qui est l'inverse de l'effet des charges de gravité. C'est cet effet qui "annule" les futures tractions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force de précontrainte diminue dans le temps à cause de phénomènes complexes appelés "pertes de précontrainte" (retrait et fluage du béton, relaxation des aciers, frottements). Pour les calculs en service, on utilise la force de précontrainte à long terme, \(P_k\), après déduction de toutes les pertes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Faites très attention aux signes. Une compression est négative, une traction est positive. Le moment de précontrainte, qui fait "remonter" la poutre, est de signe opposé au moment des charges de gravité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 5.10, détaille le calcul des pertes de précontrainte. Pour un exercice simplifié, on utilise souvent un pourcentage global de pertes, comme c'est le cas ici.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les 20% de pertes sont une valeur fiable et englobent tous les phénomènes (immédiats et différés).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Force de précontrainte finale :

\[ P_k = P_0 \cdot (1 - \text{pertes}) \]

Contrainte en un point y (depuis le centre de gravité) :

\[ \sigma_p(y) = -\frac{P_k}{A} - \frac{P_k \cdot e \cdot y}{I} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_0 = 2500 \, \text{kN}\)
  • Pertes = 20% = 0.20
  • \(A = 0.29 \, \text{m}^2\), \(I = 0.0354 \, \text{m}^4\)
  • \(e = 0.25 \, \text{m}\)
  • Fibre supérieure : \(y_{sup} = +0.5 \, \text{m}\)
  • Fibre inférieure : \(y_{inf} = -0.5 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la force de précontrainte finale :

\[ \begin{aligned} P_k &= 2500 \, \text{kN} \times (1 - 0.20) \\ &= 2000 \, \text{kN} = 2.0 \, \text{MN} \end{aligned} \]

Calcul des contraintes en fibre supérieure (\(\sigma_{p,sup}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{p,sup} &= -\frac{2.0 \, \text{MN}}{0.29 \, \text{m}^2} - \frac{2.0 \, \text{MN} \cdot 0.25 \, \text{m} \cdot 0.5 \, \text{m}}{0.0354 \, \text{m}^4} \\ &= -6.89 - 7.06 \\ &= -13.95 \, \text{MPa} \, (\text{Compression}) \end{aligned} \]

Calcul des contraintes en fibre inférieure (\(\sigma_{p,inf}\)) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{p,inf} &= -\frac{2.0}{0.29} - \frac{2.0 \cdot 0.25 \cdot (-0.5)}{0.0354} \\ &= -6.89 + 7.06 \\ &= +0.17 \, \text{MPa} \, (\text{Traction}) \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La précontrainte seule met toute la fibre supérieure en forte compression, et la fibre inférieure en très légère traction. C'est l'effet recherché : créer une "réserve de compression" en bas de la poutre, là où les charges vont créer de la traction.

Point à retenir : La précontrainte excentrée génère une compression due à la force normale et une flexion (traction/compression) due au moment de précontrainte.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie l'effet "bénéfique" de la précontrainte. C'est la contrainte initiale de la poutre avant même d'appliquer la moindre charge de service.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur de signe : L'erreur la plus commune est de se tromper dans les signes des contraintes de flexion. Il faut bien visualiser que le moment de précontrainte \(P_k \cdot e\) fait "sourrire" la poutre, créant de la traction en haut et de la compression en bas.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur français Eugène Freyssinet est considéré comme le père du béton précontraint moderne. Il a été le premier, dans les années 1920, à comprendre la nécessité d'utiliser des aciers à très haute résistance et de compenser les pertes pour que la technique soit efficace.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le câble est-il parabolique ?

Le moment fléchissant dû aux charges uniformes est lui-même parabolique (maximal au centre, nul aux appuis). En donnant au câble une forme parabolique, on crée un moment de précontrainte qui s'oppose de manière optimale au moment des charges sur toute la longueur de la poutre.

Résultat Final : \(\sigma_{p,sup} = -13.95 \, \text{MPa}\) (Compression), \(\sigma_{p,inf} = +0.17 \, \text{MPa}\) (Traction).

À vous de jouer : Quelle serait la contrainte en fibre inférieure si l'excentricité était nulle (\(e=0\)) ?

Question 3 : Calculer les moments fléchissants

Principe avec image animée (le concept physique)
M(x)

Les charges de gravité (poids propre, charges permanentes et d'exploitation) créent un moment de flexion dans la poutre. Pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie, ce moment est maximal à mi-portée. Nous devons calculer ce moment pour déterminer les contraintes de traction et de compression qu'il engendre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En Résistance des Matériaux, le moment fléchissant (\(M\)) en une section d'une poutre représente la somme des moments de toutes les forces externes situées d'un côté de cette section. C'est cette grandeur qui est directement liée aux contraintes normales de flexion par la formule \(\sigma = \frac{M \cdot y}{I}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : N'oubliez pas le poids propre ! C'est une charge permanente qui est toujours présente et qui est souvent une part non négligeable de la charge totale, surtout pour les grandes portées en béton.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de moment pour les cas de charge simples (poutre isostatique, charge uniforme) sont des résultats standards de la statique et de la RDM, utilisés dans tous les codes de calcul.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On analyse la poutre à l'État Limite de Service (ELS), donc on utilise les charges de service non pondérées (\(\gamma_G = \gamma_Q = 1.0\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids propre par mètre linéaire :

\[ g = A \cdot \rho_b \]

Moment maximal pour une charge uniforme \(q\) sur une poutre isostatique :

\[ M_{\max} = \frac{q \cdot L^2}{8} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A = 0.29 \, \text{m}^2\)
  • \(\rho_b = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(G_k = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 20 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du poids propre :

\[ \begin{aligned} g &= 0.29 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 7.25 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

Calcul du moment dû au poids propre :

\[ \begin{aligned} M_g &= \frac{g \cdot L^2}{8} = \frac{7.25 \times 20^2}{8} \\ &= 362.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Calcul du moment total en service :

\[ \begin{aligned} M_{\text{service}} &= \frac{(g + G_k + Q_k) \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{(7.25 + 10 + 15) \times 20^2}{8} \\ &= \frac{32.25 \times 400}{8} \\ &= 1612.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poids propre représente environ 22% (\(362.5 / 1612.5\)) du moment total en service. C'est une part significative qui justifie l'utilisation de la précontrainte pour la "porter" en permanence.

Point à retenir : Les charges de gravité créent un moment de flexion positif (qui tend à faire "pleurer" la poutre), maximal à mi-portée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape quantifie l'effet des charges que la poutre doit supporter. C'est la sollicitation "défavorable" que la précontrainte a pour but de contrer.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la mauvaise formule de moment : La formule \(qL^2/8\) n'est valable que pour une charge uniforme sur une poutre isostatique. Pour d'autres cas (charge ponctuelle, poutre continue), les formules sont différentes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le Viaduc de Millau, un des ponts les plus hauts du monde, utilise des voussoirs en béton précontraint pour ses travées de 342 mètres. Sans la précontrainte, une telle portée serait impossible à réaliser en béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pondère-t-on pas les charges ici ?

Nous effectuons une vérification à l'État Limite de Service (ELS), qui concerne le comportement de la structure en conditions d'utilisation normales (fissuration, déformation). Pour l'ELS, on utilise des combinaisons de charges non pondérées ou quasi-permanentes. La pondération (1.35G + 1.5Q) est réservée à l'État Limite Ultime (ELU), qui concerne la ruine de la structure.

Résultat Final : \(M_g = 362.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et \(M_{\text{service}} = 1612.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment de service si la portée était de 25 m ?

Question 4 : Calculer les contraintes finales et vérifier

Principe avec image animée (le concept physique)
σ_p σ_M + = σ_final

Le principe de superposition s'applique ici. Les contraintes finales dans la poutre sont simplement la somme des contraintes dues à la précontrainte (calculées à la question 2) et des contraintes dues aux charges de service (calculées à partir du moment de la question 3). On vérifie ensuite que ces contraintes finales ne dépassent nulle part les limites admissibles pour le béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vérification des contraintes à l'ELS est l'une des vérifications fondamentales du béton précontraint. Elle garantit la durabilité de l'ouvrage en empêchant la fissuration (qui pourrait exposer les aciers à la corrosion) et en limitant les déformations excessives dues au fluage du béton sous de fortes compressions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : C'est l'étape de vérité. C'est ici que l'on voit si la précontrainte a été bien dimensionnée pour "annuler" les tractions dues aux charges et maintenir l'ensemble de la section en compression ou dans les limites autorisées.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de contraintes en service (\(\sigma_{c,adm}\) et \(\sigma_{t,adm}\)) sont définies dans l'Eurocode 2, section 7.2. Elles dépendent de la classe d'exposition et du type de précontrainte (totale, partielle ou limitée).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans le cas le plus défavorable à mi-portée, où le moment des charges est maximal. On considère une précontrainte totale, ce qui signifie qu'aucune traction n'est admise dans le béton en service.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contrainte de flexion due à un moment M :

\[ \sigma_M(y) = -\frac{M \cdot y}{I} \]

Contrainte totale :

\[ \sigma_{\text{total}} = \sigma_{\text{précontrainte}} + \sigma_{\text{charges}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma_{p,sup} = -13.95 \, \text{MPa}\) ; \(\sigma_{p,inf} = +0.17 \, \text{MPa}\)
  • \(M_{\text{service}} = 1612.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 1.6125 \, \text{MN} \cdot \text{m}\)
  • \(I = 0.0354 \, \text{m}^4\)
  • \(y_{sup} = +0.5 \, \text{m}\) ; \(y_{inf} = -0.5 \, \text{m}\)
  • \(\sigma_{c,adm} = -24 \, \text{MPa}\) ; \(\sigma_{t,adm} = 0 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Contraintes dues aux charges en fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{M,sup} &= -\frac{1.6125 \, \text{MN} \cdot \text{m} \times 0.5 \, \text{m}}{0.0354 \, \text{m}^4} \\ &= -22.77 \, \text{MPa} \, (\text{Compression}) \end{aligned} \]

Contraintes dues aux charges en fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{M,inf} &= -\frac{1.6125 \times (-0.5)}{0.0354} \\ &= +22.77 \, \text{MPa} \, (\text{Traction}) \end{aligned} \]

Contrainte finale en fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{sup,final}} &= \sigma_{p,sup} + \sigma_{M,sup} \\ &= -13.95 - 22.77 \\ &= -36.72 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Contrainte finale en fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{inf,final}} &= \sigma_{p,inf} + \sigma_{M,inf} \\ &= +0.17 + 22.77 \\ &= +22.94 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On compare les résultats aux limites :
- Fibre supérieure : \(\sigma_{\text{sup,final}} = -36.72 \, \text{MPa}\). C'est supérieur en valeur absolue à la limite de compression de \(-24 \, \text{MPa}\). La poutre n'est pas valide en l'état car le béton serait sur-comprimé.
- Fibre inférieure : \(\sigma_{\text{inf,final}} = +22.94 \, \text{MPa}\). C'est très supérieur à la limite de traction de \(0 \, \text{MPa}\). La poutre n'est pas valide et se fissurerait largement en partie basse.

Point à retenir : La vérification finale consiste à additionner les contraintes de précontrainte et de charges, puis à comparer le résultat aux contraintes admissibles en compression et en traction.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape de validation ultime du dimensionnement en service. Elle permet de conclure si la poutre, avec la géométrie, les matériaux et la précontrainte choisis, est apte à remplir sa fonction durablement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Convention de signe : Une erreur dans la convention de signe (compression négative, traction positive) peut mener à des conclusions totalement erronées sur la validité de la poutre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour corriger le problème de cette poutre, un ingénieur pourrait augmenter sa hauteur (pour augmenter l'inertie et le bras de levier), augmenter la force de précontrainte, ou utiliser un béton de plus haute performance avec des limites de contraintes plus élevées.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie "précontrainte totale" ?

Cela signifie que le cahier des charges impose une absence totale de traction dans le béton sous les charges de service. C'est une exigence stricte, souvent utilisée pour des ouvrages d'art ou des structures devant être très durables. La "précontrainte partielle" autorise une légère traction, mais sans dépasser la résistance en traction du béton.

Résultat Final : La poutre n'est pas valide. La compression en fibre supérieure (\(-36.72 \, \text{MPa}\)) dépasse la limite de \(-24 \, \text{MPa}\) et la traction en fibre inférieure (\(+22.94 \, \text{MPa}\)) dépasse la limite de \(0 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Si la limite de compression admissible était de -30 MPa, la fibre supérieure serait-elle validée ?

Mini Fiche Mémo : Analyse d'une Poutre Précontrainte

Étape Formule Clé & Objectif
1. Géométrie \(A = \sum A_i\) et \(I = \sum (I_{gi} + A_i d_i^2)\)
Déterminer les caractéristiques de la section pour les calculs de contraintes.
2. Contraintes de Précontrainte \( \sigma_p = -P_k/A \pm (P_k \cdot e \cdot y)/I \)
Calculer l'effet de la précontrainte seule (compression + flexion).
3. Moment des Charges \( M_{\text{service}} = M_g + M_G + M_Q \)
Calculer le moment fléchissant total dû aux charges de service.
4. Vérification Finale \( \sigma_{\text{final}} = \sigma_p + \sigma_M \le \sigma_{\text{adm}} \)
Superposer les effets et vérifier le respect des limites admissibles.

Outil Interactif : Analyse de Contraintes

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les contraintes finales.

Paramètres de la Poutre
2500 kN
1.0 m
Contraintes Finales à Mi-Portée
Contrainte Supérieure (\(\sigma_{sup}\)) -
Contrainte Inférieure (\(\sigma_{inf}\)) -
-

Le Saviez-Vous ?

Le Viaduc de Millau, un des ponts les plus hauts du monde, utilise des voussoirs en béton précontraint pour ses travées de 342 mètres. Sans la précontrainte, une telle portée serait impossible à réaliser en béton.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre pré-tension et post-tension ?

En pré-tension, les câbles sont tendus entre deux culées d'ancrage, puis le béton est coulé autour. Une fois le béton durci, on relâche les câbles, qui transmettent leur force au béton par adhérence. C'est utilisé pour les éléments préfabriqués en usine. En post-tension, on coule le béton en laissant des gaines vides. Une fois le béton durci, on enfile les câbles dans les gaines, on les tend avec des vérins, puis on les ancre aux extrémités de la poutre. C'est la méthode utilisée pour les grands ouvrages sur chantier.

Pourquoi la précontrainte est-elle si efficace ?

Elle utilise les matériaux de manière optimale : l'acier à haute résistance, qui est excellent en traction, est utilisé pour être tendu, et le béton, excellent en compression, est utilisé pour être comprimé. En combinant les deux intelligemment, on crée un matériau composite capable de résister à la flexion sur de très grandes portées sans se fissurer.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la force de précontrainte, la compression dans la fibre inférieure de la poutre (avant application des charges) va :

2. Le principal avantage de la précontrainte par rapport au béton armé classique est de :

Béton Précontraint
Béton dans lequel des contraintes de compression internes ont été introduites de manière contrôlée avant sa mise en service, afin de compenser les contraintes de traction qui apparaîtront sous les charges.
État Limite de Service (ELS)
État correspondant aux conditions d'utilisation normales de la structure. Les vérifications à l'ELS portent sur la fissuration, les déformations et les vibrations.
Excentricité (e)
Distance entre le centre de gravité de la section de béton et le point d'application de la force de précontrainte. C'est cette distance qui crée le moment de précontrainte.
Post-tension
Technique de précontrainte où les câbles sont tendus après que le béton a durci.
Fondamentaux du Génie Civil : Analyse d'une Poutre en Béton Précontraint

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