Études de cas pratique

EGC

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint

Introduction à l'Analyse des Poutres Précontraintes

L'analyse d'une poutre en béton précontraint consiste à déterminer les contraintes dans le béton sous l'effet combiné de la force de précontrainte et des charges externes. L'objectif principal de la précontrainte est de maintenir le béton en compression (ou de limiter les tractions) dans les zones où les charges externes induiraient des tractions importantes, améliorant ainsi la durabilité et la performance de la poutre. Cette analyse est typiquement réalisée à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On étudie une poutre rectangulaire en béton précontraint par post-tension, simplement appuyée, soumise à son poids propre et à une charge d'exploitation.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Portée de la poutre (L) : \(15.0 \, \text{m}\)
  • Section de la poutre : base \(b = 40 \, \text{cm}\), hauteur \(h = 80 \, \text{cm}\)
  • Béton : C35/45 (\(f_{ck} = 35 \, \text{MPa}\))
  • Poids volumique du béton armé : \(\gamma_{BA} = 25 \, \text{kN/m}^3\)

Précontrainte :

  • Force de précontrainte utile (après toutes pertes) : \(P_k = 1500 \, \text{kN}\)
  • Excentricité du câble à mi-portée (supposée constante pour ce calcul simplifié des contraintes à mi-portée) : \(e = 25 \, \text{cm}\) (vers le bas par rapport au centre de gravité)

Charges externes (ELS) :

  • Charge permanente ajoutée (en plus du poids propre) : \(g'_{k} = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation : \(q_k = 10.0 \, \text{kN/m}\)

Hypothèse : On calcule les contraintes à mi-portée (\(x=L/2\)) sous la combinaison ELS caractéristique \(G+Q\). On considère la section brute de béton pour les calculs de contraintes.

Schéma : Section de la Poutre et Position du Câble
G P b = 40 cm h = 80 cm e = 25 cm \(y_{sup} = 40\) cm \(y_{inf} = 40\) cm Section Poutre (40x80)

Section transversale de la poutre montrant les dimensions et l'excentricité du câble.

Questions à traiter

  1. Calculer les caractéristiques géométriques de la section brute de béton : Aire (\(A_c\)), Moment d'inertie (\(I_c\)) par rapport à l'axe passant par le centre de gravité, distances aux fibres extrêmes (\(y_{sup}, y_{inf}\)) et modules d'inertie (\(W_{c,sup}, W_{c,inf}\)).
  2. Calculer les contraintes dans le béton aux fibres supérieure (\(\sigma_{p,sup}\)) et inférieure (\(\sigma_{p,inf}\)) dues à la seule force de précontrainte \(P_k\). Utiliser la formule \(\sigma = P/A \pm (P \cdot e \cdot y) / I\).
  3. Calculer le moment fléchissant maximal à mi-portée à l'ELS (\(M_{ser}\)) dû aux charges permanentes totales (\(G_{tot} = G_{poids\_propre} + G'_{k}\)) et à la charge d'exploitation (\(Q_k\)).
  4. Calculer les contraintes dans le béton aux fibres supérieure (\(\sigma_{M,sup}\)) et inférieure (\(\sigma_{M,inf}\)) dues uniquement au moment fléchissant \(M_{ser}\). Utiliser la formule \(\sigma = \mp M \cdot y / I\).
  5. Calculer les contraintes finales (\(\sigma_{final,sup}, \sigma_{final,inf}\)) à mi-portée en combinant les effets de la précontrainte et des charges externes.

Correction : Analyse de la Poutre Précontrainte

Question 1 : Caractéristiques Géométriques de la Section

Principe :

Calcul des propriétés géométriques d'une section rectangulaire brute.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_c = b \times h\] \[I_c = \frac{b h^3}{12}\] \[y_{sup} = y_{inf} = \frac{h}{2}\] \[W_{c,sup} = W_{c,inf} = \frac{I_c}{y_{sup}} = \frac{b h^2}{6}\]

Utilisation des unités cm pour faciliter la lecture, mais conversion en mm pour les calculs de contraintes.

Données spécifiques :
  • \(b = 40 \, \text{cm} = 400 \, \text{mm}\)
  • \(h = 80 \, \text{cm} = 800 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_c &= 40 \, \text{cm} \times 80 \, \text{cm} \\ &= 3200 \, \text{cm}^2 \\ &= 320000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_c &= \frac{40 \, \text{cm} \times (80 \, \text{cm})^3}{12} \\ &= \frac{40 \times 512000}{12} \, \text{cm}^4 \\ &= 1706667 \, \text{cm}^4 \\ &\approx 1.707 \times 10^{10} \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ y_{sup} = y_{inf} = \frac{80 \, \text{cm}}{2} = 40 \, \text{cm} = 400 \, \text{mm} \]
\[ \begin{aligned} W_{c,sup} = W_{c,inf} &= \frac{1706667 \, \text{cm}^4}{40 \, \text{cm}} \\ &= 42667 \, \text{cm}^3 \\ &\approx 4.267 \times 10^7 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(A_c = 320000 \, \text{mm}^2\), \(I_c \approx 1.707 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\), \(y_{sup} = y_{inf} = 400 \, \text{mm}\), \(W_{c} \approx 4.267 \times 10^7 \, \text{mm}^3\).

Question 2 : Contraintes dues à la Précontrainte (\(\sigma_{p,sup}, \sigma_{p,inf}\))

Principe :

La force de précontrainte excentrée \(P_k\) induit une compression uniforme (\(P_k/A_c\)) et une flexion (\(M_p = P_k \cdot e\)) dans la section.

Convention : Compression = négative, Traction = positive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_p = \frac{-P_k}{A_c} \pm \frac{M_p}{W_c} = \frac{-P_k}{A_c} \pm \frac{P_k \cdot e}{I_c} \cdot y \]

Fibre supérieure (y = -y_sup par rapport au câble si e est positif vers le bas): \(\sigma_{p,sup} = \frac{-P_k}{A_c} + \frac{P_k \cdot e \cdot y_{sup}}{I_c}\)

Fibre inférieure (y = +y_inf): \(\sigma_{p,inf} = \frac{-P_k}{A_c} - \frac{P_k \cdot e \cdot y_{inf}}{I_c}\)

Note : L'excentricité \(e\) est positive vers le bas, créant une compression supplémentaire en bas et une décompression (ou traction) en haut.

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(P_k = 1500 \, \text{kN} = 1500000 \, \text{N}\)
  • \(e = 25 \, \text{cm} = 250 \, \text{mm}\)
  • \(A_c = 320000 \, \text{mm}^2\)
  • \(I_c \approx 1.707 \times 10^{10} \, \text{mm}^4\)
  • \(y_{sup} = y_{inf} = 400 \, \text{mm}\)
Calcul :

Terme de compression uniforme :

\[ \sigma_{comp} = \frac{-1500000 \, \text{N}}{320000 \, \text{mm}^2} = -4.6875 \, \text{MPa} \]

Terme de flexion (\(M_p = P_k \cdot e = 1500000 \times 250 = 3.75 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)):

\[ \sigma_{flex} = \frac{M_p \cdot y}{I_c} = \frac{3.75 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{mm} \times 400 \, \text{mm}}{1.707 \times 10^{10} \, \text{mm}^4} \approx 8.787 \, \text{MPa} \]

Contrainte fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{p,sup} &= \sigma_{comp} + \sigma_{flex} \\ &= -4.6875 + 8.787 \\ &\approx +4.10 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction}) \end{aligned} \]

Contrainte fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{p,inf} &= \sigma_{comp} - \sigma_{flex} \\ &= -4.6875 - 8.787 \\ &\approx -13.47 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les contraintes dues à la précontrainte seule sont \(\sigma_{p,sup} \approx +4.10 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{p,inf} \approx -13.47 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Moment Fléchissant à l'ELS (\(M_{ser}\))

Principe :

Le moment fléchissant maximal à mi-portée pour une poutre simplement appuyée sous charge uniforme \(p_{ser}\) est donné par \(p_{ser} L^2 / 8\).

Formule(s) utilisée(s) :

Poids propre de la poutre (\(g_{poutre}\)) :

\[g_{poutre} = A_c \times \gamma_{BA}\]

Charge permanente totale (\(G_{tot}\)) :

\[G_{tot} = g_{poutre} + g'_{k}\]

Charge totale ELS (\(p_{ser}\)) :

\[p_{ser} = G_{tot} + Q_k\]

Moment maximal ELS (\(M_{ser}\)) :

\[M_{ser} = \frac{p_{ser} L^2}{8}\]
Données spécifiques :
  • \(A_c = 0.40 \, \text{m} \times 0.80 \, \text{m} = 0.32 \, \text{m}^2\)
  • \(\gamma_{BA} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(g'_{k} = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = q_k = 10.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 15.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} g_{poutre} &= 0.32 \, \text{m}^2 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \\ &= 8.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{tot} &= 8.0 \, \text{kN/m} + 5.0 \, \text{kN/m} \\ &= 13.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} p_{ser} &= 13.0 \, \text{kN/m} + 10.0 \, \text{kN/m} \\ &= 23.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M_{ser} &= \frac{23.0 \, \text{kN/m} \times (15.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{23.0 \times 225}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{5175}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 646.875 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment fléchissant maximal à l'ELS est \(M_{ser} = 646.875 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 4 : Contraintes dues au Moment (\(\sigma_{M,sup}, \sigma_{M,inf}\))

Principe :

Le moment fléchissant \(M_{ser}\) induit des contraintes de flexion dans la section, de traction dans une fibre et de compression dans l'autre.

Convention : Compression = négative, Traction = positive. Un moment positif (qui tend les fibres inférieures) induit de la traction en bas (\(+\)) et de la compression en haut (\(-\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_M = \frac{M_{ser}}{W_c} = \frac{M_{ser}}{I_c} \cdot y \]

Fibre supérieure (comprimée par M positif) : \(\sigma_{M,sup} = - \frac{M_{ser}}{W_{c,sup}}\)

Fibre inférieure (tendue par M positif) : \(\sigma_{M,inf} = + \frac{M_{ser}}{W_{c,inf}}\)

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(M_{ser} = 646.875 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 646.875 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(W_c = W_{c,sup} = W_{c,inf} \approx 4.267 \times 10^7 \, \text{mm}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\sigma_M| &= \frac{646.875 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{4.267 \times 10^7 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 15.16 \, \text{N/mm}^2 \, (\text{MPa}) \end{aligned} \]

Donc :

\[ \sigma_{M,sup} \approx -15.16 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \]
\[ \sigma_{M,inf} \approx +15.16 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction}) \]
Résultat Question 4 : Les contraintes dues au moment seul sont \(\sigma_{M,sup} \approx -15.16 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{M,inf} \approx +15.16 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Contraintes Finales à mi-portée (\(\sigma_{final,sup}, \sigma_{final,inf}\))

Principe :

Les contraintes finales sont la somme algébrique des contraintes dues à la précontrainte et des contraintes dues aux charges externes (moment fléchissant).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{final} = \sigma_{p} + \sigma_{M} \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{p,sup} \approx +4.10 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{p,inf} \approx -13.47 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{M,sup} \approx -15.16 \, \text{MPa}\)
  • \(\sigma_{M,inf} \approx +15.16 \, \text{MPa}\)
Calcul :

Fibre supérieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{final,sup} &= \sigma_{p,sup} + \sigma_{M,sup} \\ &\approx (+4.10) + (-15.16) \\ &= -11.06 \, \text{MPa} \quad (\text{Compression}) \end{aligned} \]

Fibre inférieure :

\[ \begin{aligned} \sigma_{final,inf} &= \sigma_{p,inf} + \sigma_{M,inf} \\ &\approx (-13.47) + (+15.16) \\ &= +1.69 \, \text{MPa} \quad (\text{Traction}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les contraintes finales à mi-portée sont \(\sigma_{final,sup} \approx -11.06 \, \text{MPa}\) (Compression) et \(\sigma_{final,inf} \approx +1.69 \, \text{MPa}\) (Traction).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est l'effet principal de la précontrainte par post-tension dans une poutre ?

2. Une excentricité positive du câble (vers le bas) dans une poutre simplement appuyée engendre, par l'effet de la précontrainte seule :

3. Le moment fléchissant dû aux charges externes (poids propre, G', Q) dans une poutre simplement appuyée :

Glossaire

Béton Précontraint
Béton dans lequel des contraintes internes sont introduites (généralement par tension d'aciers) pour améliorer sa performance, notamment en limitant la traction.
Post-tension
Technique où les aciers de précontrainte (tendons) sont mis en tension après le durcissement du béton.
Précontrainte (Force, P)
Force de compression introduite dans le béton par les tendons mis en tension. \(P_k\) désigne souvent la force caractéristique après pertes.
Excentricité (e)
Distance entre le centre de gravité de la section de béton et le centre de gravité des aciers de précontrainte.
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface dans un matériau (exprimée en MPa ou N/mm²). La compression est souvent notée négative, la traction positive.
Fibre supérieure / inférieure
Points les plus hauts et les plus bas de la section transversale d'une poutre.
Centre de Gravité (G)
Point d'application de la résultante des forces de gravité d'un corps ; correspond au centre géométrique pour une section homogène.
Moment d'Inertie (\(I_c\))
Caractéristique géométrique d'une section qui mesure sa résistance à la flexion. Dépend de la forme et des dimensions de la section.
Module d'Inertie (ou Module de Section, \(W_c\))
Rapport entre le moment d'inertie et la distance à la fibre la plus éloignée (\(W = I/y_{max}\)). Utilisé pour calculer la contrainte maximale de flexion (\(\sigma = M/W\)).
Moment Fléchissant (\(M\))
Moment interne dans une section de poutre qui provoque sa courbure (flexion).
État Limite de Service (ELS)
État limite relatif aux conditions normales d'utilisation (déformations, fissuration, vibrations).
Analyse d’une Poutre en Béton Précontraint - Exercice d'Application

D’autres exercices de béton armé et béton précontraint:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *