Études de cas pratique

EGC

Analyse d’une Machine Synchrone en Charge

Analyse d’une Machine Synchrone en Charge

Analyse d’une Machine Synchrone en Charge

Comprendre l'Analyse d’une Machine Synchrone en Charge

Les machines synchrones, fonctionnant principalement comme alternateurs (générateurs) dans les centrales électriques ou comme moteurs à vitesse constante dans l'industrie, sont des composants essentiels des réseaux électriques. Leur analyse en charge, c'est-à-dire lorsqu'elles fournissent ou consomment de la puissance, est cruciale pour comprendre leur comportement, leur rendement et leur interaction avec le réseau. Cette analyse implique l'utilisation de modèles équivalents par phase (comme le modèle de Behn-Eschenburg), la construction de diagrammes vectoriels (phasoriels) des tensions et courants, et le calcul des puissances active et réactive. Des paramètres clés tels que la force électromotrice interne (f.é.m. ou excitation), la réactance synchrone, l'angle interne (ou angle de charge) et le facteur de puissance jouent un rôle déterminant dans leur fonctionnement.

Données de l'étude

On étudie un alternateur synchrone triphasé, couplé en étoile, connecté à un réseau infini (bus infini).

Caractéristiques de l'alternateur et du réseau :

  • Puissance apparente nominale (\(S_n\)) : \(10 \, \text{MVA}\)
  • Tension nominale entre phases du réseau (\(U\)) : \(6.0 \, \text{kV}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
  • Réactance synchrone par phase (\(X_s\)) : \(1.2 \, \Omega\)/phase
  • Résistance d'induit par phase (\(R_a\)) : Négligeable (\(R_a \approx 0 \, \Omega\))
  • L'alternateur fournit au réseau une puissance active (\(P\)) de \(8 \, \text{MW}\) avec un facteur de puissance (\(\cos\phi\)) de \(0.85\) inductif (en retard).
Schéma Équivalent Monophasé et Diagramme Phasoriel Simplifié
Schéma Équivalent Monophasé Ef jXs V (Réseau) Ia Diagramme Phasoriel (non à l'échelle) Réel Imag. V Ia φ jXsIa Ef δ

Schéma équivalent monophasé d'un alternateur synchrone et son diagramme phasoriel simplifié.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension simple (\(V\)) du réseau.
  2. Calculer la puissance apparente (\(S\)) fournie par l'alternateur.
  3. Calculer le courant d'induit (\(I_a\)) débité par l'alternateur.
  4. Calculer l'angle de déphasage (\(\phi\)) entre la tension simple \(V\) et le courant \(I_a\).
  5. Calculer la puissance réactive (\(Q\)) fournie par l'alternateur.
  6. Calculer la f.é.m. interne (\(E_f\)) par phase de l'alternateur (module). (Utiliser le modèle de Behn-Eschenburg : \(\vec{E_f} = \vec{V} + jX_s \vec{I_a}\)).
  7. Calculer l'angle interne (\(\delta\)) entre \(\vec{E_f}\) et \(\vec{V}\).
  8. Si le courant d'excitation est augmenté, comment cela affecterait-il qualitativement la puissance réactive \(Q\) fournie et l'angle \(\phi\) (en supposant \(P\) constante) ?

Correction : Analyse d’une Machine Synchrone en Charge

Question 1 : Tension simple (\(V\)) du réseau

Principe :

La tension donnée est une tension entre phases (\(U\)). Pour un couplage étoile, la tension simple (phase-neutre) \(V\) est \(U / \sqrt{3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = \frac{U}{\sqrt{3}}\]
Données spécifiques :
  • Tension entre phases (\(U\)) : \(6000 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= \frac{6000 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx \frac{6000}{1.73205} \, \text{V} \\ &\approx 3464.1 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension simple du réseau est \(V \approx 3464.1 \, \text{V}\).

Question 2 : Puissance apparente (\(S\)) fournie

Principe :

La puissance apparente \(S\) est liée à la puissance active \(P\) et au facteur de puissance \(\cos\phi\) par la relation \(P = S \cos\phi\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S = \frac{P}{\cos\phi}\]
Données spécifiques :
  • Puissance active (\(P\)) : \(8 \, \text{MW} = 8 \times 10^6 \, \text{W}\)
  • Facteur de puissance (\(\cos\phi\)) : \(0.85\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= \frac{8 \times 10^6 \, \text{W}}{0.85} \\ &\approx 9.41176 \times 10^6 \, \text{VA} \\ &= 9.412 \, \text{MVA} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La puissance apparente fournie est \(S \approx 9.412 \, \text{MVA}\).

Question 3 : Courant d'induit (\(I_a\))

Principe :

Pour un système triphasé, la puissance apparente est \(S = \sqrt{3} U I_a\) (avec \(U\) tension entre phases) ou \(S = 3 V I_a\) (avec \(V\) tension simple).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_a = \frac{S}{\sqrt{3} U} \quad \text{ou} \quad I_a = \frac{S}{3V}\]
Données spécifiques :
  • Puissance apparente (\(S\)) : \(\approx 9.41176 \times 10^6 \, \text{VA}\)
  • Tension entre phases (\(U\)) : \(6000 \, \text{V}\)
  • Tension simple (\(V\)) : \(\approx 3464.1 \, \text{V}\)
Calcul (utilisant \(U\)) :
\[ \begin{aligned} I_a &= \frac{9.41176 \times 10^6 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \times 6000 \, \text{V}} \\ &\approx \frac{9.41176 \times 10^6}{1.73205 \times 6000} \\ &\approx \frac{9.41176 \times 10^6}{10392.3} \\ &\approx 905.65 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant d'induit est \(I_a \approx 905.65 \, \text{A}\).

Question 4 : Angle de déphasage (\(\phi\))

Principe :

L'angle de déphasage \(\phi\) est l'angle dont le cosinus est le facteur de puissance. Le signe dépend si le circuit est inductif (courant en retard, \(\phi > 0\)) ou capacitif (courant en avance, \(\phi < 0\)). Ici, il est inductif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi = \arccos(\cos\phi)\]
Données spécifiques :
  • Facteur de puissance (\(\cos\phi\)) : \(0.85\) (inductif)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi &= \arccos(0.85) \\ &\approx 31.788^\circ \end{aligned} \]

Puisque le facteur de puissance est inductif, le courant est en retard sur la tension, donc \(\phi\) est positif.

Résultat Question 4 : L'angle de déphasage est \(\phi \approx 31.79^\circ\).

Question 5 : Puissance réactive (\(Q\))

Principe :

La puissance réactive \(Q\) est liée à la puissance apparente \(S\) et à l'angle \(\phi\) par \(Q = S \sin\phi\). Elle peut aussi être calculée à partir de \(P\) et \(\tan\phi\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi}\] \[Q = S \sin\phi\]
Données spécifiques :
  • Puissance apparente (\(S\)) : \(\approx 9.41176 \times 10^6 \, \text{VA}\)
  • \(\cos\phi = 0.85\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sin\phi &= \sqrt{1 - (0.85)^2} = \sqrt{1 - 0.7225} = \sqrt{0.2775} \approx 0.52678 \\ Q &= (9.41176 \times 10^6 \, \text{VA}) \times 0.52678 \\ &\approx 4.9576 \times 10^6 \, \text{var} \\ &= 4.958 \, \text{Mvar} \end{aligned} \]

Puisque le facteur de puissance est inductif, la machine fournit de la puissance réactive au réseau.

Résultat Question 5 : La puissance réactive fournie est \(Q \approx 4.958 \, \text{Mvar}\).

Question 6 : F.é.m. interne (\(E_f\)) par phase

Principe :

On utilise le modèle de Behn-Eschenburg pour une phase de l'alternateur : \(\vec{E_f} = \vec{V} + jX_s \vec{I_a}\) (en négligeant \(R_a\)). On travaille avec des grandeurs complexes (phasorielles). Prenons \(\vec{V}\) comme référence de phase : \(\vec{V} = V \angle 0^\circ\). Le courant \(\vec{I_a}\) est en retard de \(\phi\) sur \(\vec{V}\) : \(\vec{I_a} = I_a \angle -\phi\). Le terme \(jX_s \vec{I_a}\) est en avance de \(90^\circ\) sur \(\vec{I_a}\), donc \(X_s I_a \angle (90^\circ-\phi)\). On peut utiliser la loi des cosinus sur le triangle formé par \(V\), \(X_s I_a\) et \(E_f\), ou décomposer en parties réelles et imaginaires.

\(E_f^2 = (V + X_s I_a \sin\phi)^2 + (X_s I_a \cos\phi)^2\) (si \(\phi\) est l'angle de \(I_a\) par rapport à \(V\), et que \(V\) est sur l'axe réel).
Plus précisément, si \(\vec{V} = V+j0\) et \(\vec{I_a} = I_a(\cos(-\phi) + j\sin(-\phi)) = I_a(\cos\phi - j\sin\phi)\).
\(jX_s \vec{I_a} = jX_s I_a (\cos\phi - j\sin\phi) = jX_s I_a \cos\phi + X_s I_a \sin\phi\).
\(\vec{E_f} = V + X_s I_a \sin\phi + j(X_s I_a \cos\phi)\).
Module : \(E_f = \sqrt{(V + X_s I_a \sin\phi)^2 + (X_s I_a \cos\phi)^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_f = \sqrt{(V + X_s I_a \sin\phi)^2 + (X_s I_a \cos\phi)^2}\]
Données spécifiques :
  • \(V \approx 3464.1 \, \text{V}\)
  • \(X_s = 1.2 \, \Omega\)
  • \(I_a \approx 905.65 \, \text{A}\)
  • \(\cos\phi = 0.85 \Rightarrow \phi \approx 31.79^\circ \Rightarrow \sin\phi \approx 0.52678\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_s I_a \sin\phi &\approx 1.2 \times 905.65 \times 0.52678 \approx 1086.78 \times 0.52678 \approx 572.42 \, \text{V} \\ X_s I_a \cos\phi &\approx 1.2 \times 905.65 \times 0.85 \approx 1086.78 \times 0.85 \approx 923.76 \, \text{V} \\ V + X_s I_a \sin\phi &\approx 3464.1 + 572.42 = 4036.52 \, \text{V} \\ E_f &= \sqrt{(4036.52)^2 + (923.76)^2} \\ &= \sqrt{16293503.79 + 853332.5776} \\ &= \sqrt{17146836.37} \\ &\approx 4140.87 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La f.é.m. interne par phase est \(E_f \approx 4140.9 \, \text{V}\).

Question 7 : Angle interne (\(\delta\))

Principe :

L'angle interne \(\delta\) est l'angle de déphasage entre \(\vec{E_f}\) et \(\vec{V}\). Il peut être calculé à partir des composantes de \(\vec{E_f}\) : \(\tan\delta = \frac{\text{Im}(\vec{E_f})}{\text{Re}(\vec{E_f})}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan\delta = \frac{X_s I_a \cos\phi}{V + X_s I_a \sin\phi}\]
Données spécifiques :
  • \(V + X_s I_a \sin\phi \approx 4036.52 \, \text{V}\)
  • \(X_s I_a \cos\phi \approx 923.76 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan\delta &= \frac{923.76}{4036.52} \approx 0.22885 \\ \delta &= \arctan(0.22885) \\ &\approx 12.88^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'angle interne est \(\delta \approx 12.88^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'angle interne \(\delta\) est généralement associé à :

Question 8 : Effet d'une augmentation de l'excitation

Principe :

Augmenter le courant d'excitation augmente la f.é.m. interne \(E_f\). Si la puissance active \(P\) fournie au réseau reste constante (contrôlée par la turbine), l'angle interne \(\delta\) devra s'ajuster. Une augmentation de \(E_f\) à \(P\) constante tend à rendre l'alternateur sur-excité, ce qui signifie qu'il fournit plus de puissance réactive au réseau (ou absorbe moins s'il était sous-excité). Le facteur de puissance \(\cos\phi\) et l'angle \(\phi\) changeront en conséquence.

Analyse qualitative :

Si \(E_f\) augmente et que \(P = (VE_f/X_s)\sin\delta\) reste constante, alors \(\sin\delta\) doit diminuer (car \(V\) et \(X_s\) sont constants), donc \(\delta\) diminue (pour de petits angles).
L'augmentation de \(E_f\) à \(P\) constante entraîne généralement une augmentation de la puissance réactive \(Q = (VE_f/X_s)\cos\delta - (V^2/X_s)\) fournie par l'alternateur.
Si \(Q\) augmente (devient plus positive ou moins négative), et \(P\) est constante, le point de fonctionnement sur le diagramme P-Q se déplace vers le haut. Cela signifie que \(\tan\phi = Q/P\) augmente. Si l'alternateur était initialement inductif (\(\phi > 0\)), l'angle \(\phi\) pourrait augmenter ou diminuer en fonction de la variation relative de \(Q\). Si \(Q\) devient plus positive, le courant \(I_a\) deviendra plus déphasé en arrière de \(V\), donc \(\phi\) augmentera (si on le considère toujours positif pour inductif). Le facteur de puissance \(\cos\phi\) diminuera si \(\phi\) s'éloigne de zéro.

Plus précisément, si \(E_f\) augmente, pour maintenir \(P\) constante, \(\delta\) doit diminuer. La puissance réactive \(Q = \frac{V E_f}{X_s} \cos\delta - \frac{V^2}{X_s}\) va augmenter. Si \(Q\) augmente, et \(P\) est constante, \(\tan\phi = Q/P\) augmente. Donc, \(\phi\) augmente (le courant devient plus en retard).

Résultat Question 8 : Une augmentation du courant d'excitation (donc de \(E_f\)), à puissance active \(P\) constante, tend à augmenter la puissance réactive \(Q\) fournie par l'alternateur au réseau (le rendant plus sur-excité). L'angle de déphasage \(\phi\) entre \(V\) et \(I_a\) augmentera (le courant deviendra plus en retard sur la tension), et le facteur de puissance \(\cos\phi\) diminuera (si initialement inductif et \(\phi < 90^\circ\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La réactance synchrone (\(X_s\)) d'un alternateur représente principalement :

2. Si un alternateur synchrone fournit de la puissance réactive à un réseau (fonctionnement sur-excité), son courant d'induit \(I_a\) est :

3. L'angle interne \(\delta\) d'un alternateur synchrone est l'angle entre :

Glossaire

Machine Synchrone
Machine électrique tournante dont la vitesse de rotation du rotor est synchronisée avec la fréquence du courant alternatif du stator. Peut fonctionner en alternateur (générateur) ou en moteur.
Alternateur
Machine synchrone utilisée pour convertir l'énergie mécanique en énergie électrique alternative.
Réseau Infini (Bus Infini)
Modèle idéalisé d'un réseau électrique de très grande puissance, dont la tension et la fréquence restent constantes quelles que soient les charges connectées ou déconnectées.
Force Électromotrice Interne (\(E_f\) ou f.é.m.)
Tension générée dans les enroulements de l'induit d'un alternateur due au champ magnétique créé par le courant d'excitation du rotor.
Réactance Synchrone (\(X_s\))
Réactance par phase d'un alternateur qui tient compte de l'effet du flux de réaction d'induit et des flux de fuite.
Résistance d'Induit (\(R_a\))
Résistance électrique des enroulements de l'induit (stator pour la plupart des machines synchrones).
Puissance Active (\(P\))
Partie de la puissance électrique qui est effectivement convertie en travail utile ou dissipée sous forme de chaleur. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q\))
Partie de la puissance électrique associée aux champs magnétiques et électriques dans les circuits AC. Nécessaire au fonctionnement de certains appareils (moteurs, transformateurs). Unité : Volt-Ampère Réactif (var).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la tension efficace et du courant efficace. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\). Unité : Volt-Ampère (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos\phi\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est utilisée.
Angle Interne (Angle de Charge, \(\delta\))
Angle de déphasage entre la f.é.m. interne (\(E_f\)) et la tension aux bornes (\(V\)) de l'alternateur. Il est directement lié à la puissance active fournie.
Diagramme Phasoriel (Vectoriel)
Représentation graphique des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) sous forme de vecteurs tournants (phaseurs) dans le plan complexe, permettant d'analyser leurs relations d'amplitude et de phase.
Sur-excitation / Sous-excitation
Un alternateur est sur-excité s'il fournit de la puissance réactive au réseau (\(Q > 0\)). Il est sous-excité s'il absorbe de la puissance réactive du réseau (\(Q < 0\)).
Analyse d’une Machine Synchrone en Charge - Exercice d'Application

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