Études de cas pratique

EGC

Analyse d’un Système Fermé

Analyse d’un Système Fermé

Analyse d’un Système Fermé

Comprendre le Premier Principe de la Thermodynamique pour les Systèmes Fermés

Un système fermé est un système qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et de travail) avec son environnement, mais pas de matière. Le premier principe de la thermodynamique, ou principe de conservation de l'énergie, stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système fermé est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) reçue par le système et du travail (\(W\)) reçu par le système : \(\Delta U = Q + W\). Cet exercice se concentre sur l'application de ce principe à un gaz parfait contenu dans un cylindre-piston et subissant une transformation.

Données de l'étude

Un gaz parfait est contenu dans un cylindre muni d'un piston mobile. Le système (le gaz) subit une transformation d'un état initial 1 à un état final 2.

Caractéristiques de la transformation et du gaz :

Paramètre Valeur Symbole
Quantité de matière du gaz 2 \(\text{mol}\) \(n\)
Capacité thermique molaire à volume constant 20.8 \(\text{J/(mol} \cdot \text{K)}\) \(C_v\)
Chaleur fournie au gaz pendant la transformation +5000 \(\text{J}\) \(Q\)
Travail effectué PAR le gaz sur l'extérieur pendant la transformation 1500 \(\text{J}\) \(W_{\text{par le gaz}}\)
Température initiale du gaz 25 °C \(T_1\)

Hypothèses : Le gaz se comporte comme un gaz parfait. Les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques sont négligeables.

Schéma : Système fermé (gaz dans un cylindre-piston)
Cylindre Gaz (Système) Piston Q W_par gaz

Schéma d'un gaz dans un cylindre-piston subissant une transformation avec échanges de chaleur et de travail.

Questions à traiter

  1. Convertir la température initiale \(T_1\) en Kelvin (K).
  2. Déterminer le travail \(W\) reçu par le gaz (en Joules), en respectant la convention de signe du premier principe (\(\Delta U = Q + W\)).
  3. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz pendant cette transformation.
  4. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz en Kelvin et en °C.

Correction : Analyse d’un Système Fermé

Question 1 : Conversion de la température initiale (\(T_1\)) en Kelvin

Principe :

Pour convertir une température de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K), on utilise la formule \(T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_1(\text{K}) = T_1(°\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(25 \, °\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 (\text{K}) &= 25 + 273.15 \\ &= 298.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La température initiale est \(T_1 = 298.15 \, \text{K}\).

Question 2 : Travail (\(W\)) reçu par le gaz

Principe :

Le premier principe de la thermodynamique est souvent écrit comme \(\Delta U = Q + W\), où \(W\) est le travail reçu par le système. Si l'énoncé donne le travail effectué PAR le système (\(W_{\text{par le gaz}}\)), alors le travail reçu par le système est \(W = -W_{\text{par le gaz}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = -W_{\text{par le gaz}}\]
Données spécifiques :
  • Travail effectué PAR le gaz (\(W_{\text{par le gaz}}\)) : \(1500 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= -1500 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le travail reçu par le gaz est \(W = -1500 \, \text{J}\).

Question 3 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz

Principe :

On applique le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé : \(\Delta U = Q + W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = Q + W\]
Données spécifiques :
  • Chaleur fournie au gaz (\(Q\)) : \(+5000 \, \text{J}\)
  • Travail reçu par le gaz (\(W\)) : \(-1500 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 5000 \, \text{J} + (-1500 \, \text{J}) \\ &= 5000 \, \text{J} - 1500 \, \text{J} \\ &= 3500 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 3500 \, \text{J}\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\)) du gaz

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne est donnée par \(\Delta U = n C_v (T_2 - T_1)\). On peut réarranger cette équation pour trouver \(T_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U = n C_v (T_2 - T_1) \Rightarrow T_2 = T_1 + \frac{\Delta U}{n C_v}\]
Données spécifiques :
  • Variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) : \(3500 \, \text{J}\)
  • Quantité de matière (\(n\)) : \(2 \, \text{mol}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_v\)) : \(20.8 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(298.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_2 &= 298.15 \, \text{K} + \frac{3500 \, \text{J}}{2 \, \text{mol} \times 20.8 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= 298.15 \, \text{K} + \frac{3500 \, \text{J}}{41.6 \, \text{J/K}} \\ &\approx 298.15 \, \text{K} + 84.1346 \, \text{K} \\ &\approx 382.2846 \, \text{K} \end{aligned} \]

Conversion de \(T_2\) en °C :

\[ \begin{aligned} T_2(°\text{C}) &= 382.2846 - 273.15 \\ &\approx 109.13 \, °\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La température finale du gaz est \(T_2 \approx 382.28 \, \text{K}\) (soit environ \(109.13 \, °\text{C}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un système fermé reçoit de la chaleur (\(Q > 0\)) et effectue du travail sur l'extérieur (\(W_{\text{par le système}} > 0\)), sa variation d'énergie interne \(\Delta U\) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un système fermé est un système qui :

2. Le premier principe de la thermodynamique pour un système fermé s'écrit \(\Delta U = Q + W\). Dans cette équation, \(W\) représente :

3. Pour un gaz parfait, sa variation d'énergie interne \(\Delta U\) est directement proportionnelle à :

Glossaire

Système Fermé
En thermodynamique, un système qui peut échanger de l'énergie (sous forme de chaleur et de travail) avec son environnement, mais qui n'échange pas de matière.
Premier Principe de la Thermodynamique
Aussi connu comme le principe de conservation de l'énergie, il stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) ajoutée au système et du travail (\(W\)) effectué sur le système : \(\Delta U = Q + W\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre un système et son environnement dû à une différence de température. Par convention, \(Q > 0\) si la chaleur est reçue par le système, \(Q < 0\) si elle est cédée par le système.
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie qui n'est pas de la chaleur. Pour un système thermodynamique, il peut s'agir du travail des forces de pression (expansion/compression), du travail électrique, etc. Par convention (utilisée ici), \(W > 0\) si le travail est reçu par le système (compression), \(W < 0\) si le travail est effectué par le système (expansion).
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz où les interactions intermoléculaires sont négligeables et le volume propre des molécules est nul par rapport au volume total. Son équation d'état est \(PV=nRT\).
Capacité Thermique Molaire à Volume Constant (\(C_v\))
Quantité de chaleur nécessaire pour élever la température d'une mole d'une substance d'un Kelvin (ou Celsius) à volume constant.
Analyse d’un Système Fermé - Application

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