Études de cas pratique

EGC

Analyse d’un Mur Exposé au Soleil

Analyse Thermique d'un Mur Exposé au Soleil

Comprendre les Échanges Thermiques d'un Mur Exposé au Soleil

Lorsqu'un mur extérieur est exposé au soleil, il est soumis à plusieurs types d'échanges thermiques simultanés qui influencent sa température de surface et le flux de chaleur le traversant. Ces échanges comprennent :

  • L'absorption du rayonnement solaire : Le mur absorbe une partie du rayonnement solaire incident, ce qui augmente sa température. Cette absorption dépend de l'irradiance solaire et du coefficient d'absorption (ou absorptivité \(\alpha\)) de la surface du mur.
  • L'émission de rayonnement infrarouge : Le mur, comme tout corps ayant une température, émet un rayonnement infrarouge vers son environnement. Cet échange dépend de la température de surface du mur et de son émissivité (\(\epsilon\)).
  • La convection avec l'air extérieur : Le mur échange de la chaleur par convection avec l'air extérieur. Cet échange dépend de la différence de température entre la surface du mur et l'air, ainsi que du coefficient de transfert thermique par convection (\(h_e\)).
  • La conduction à travers le mur : La chaleur se propage par conduction à travers les différentes couches du mur, de la surface extérieure vers la surface intérieure (ou inversement).
  • La convection avec l'air intérieur : La surface intérieure du mur échange de la chaleur par convection avec l'air intérieur, dépendant de leur différence de température et du coefficient de convection intérieur (\(h_i\)).

L'analyse de ces échanges permet de déterminer la température de surface extérieure du mur et le flux de chaleur qui le traverse, ce qui est essentiel pour évaluer les gains ou pertes de chaleur du bâtiment.

Données de l'étude

On considère un mur extérieur d'une habitation, d'une surface \(A = 20 \, \text{m}^2\). Le mur est constitué d'une seule couche homogène de béton.

Caractéristiques du mur et de l'environnement :

  • Épaisseur du mur en béton (\(e\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
  • Conductivité thermique du béton (\(\lambda\)) : \(1.7 \, \text{W/(m.K)}\)
  • Coefficient d'absorption solaire de la surface extérieure (\(\alpha\)) : \(0.7\)
  • Émissivité de la surface extérieure (\(\epsilon\)) : \(0.9\)
  • Irradiance solaire globale incidente sur le mur (\(I_{sol}\)) : \(600 \, \text{W/m}^2\)
  • Température de l'air extérieur (\(T_e\)) : \(28 \, ^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de transfert thermique par convection extérieur (\(h_e\)) : \(15 \, \text{W/(m}^2\text{.K)}\)
  • Température de l'air intérieur (\(T_i\)) : \(22 \, ^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de transfert thermique par convection intérieur (\(h_i\)) : \(8 \, \text{W/(m}^2\text{.K)}\)
  • Constante de Stefan-Boltzmann (\(\sigma\)) : \(5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/(m}^2\text{.K}^4)\)
  • On supposera que la température du ciel et des environs pour le rayonnement est égale à la température de l'air extérieur (\(T_{env} = T_e\)).
Schéma : Échanges Thermiques sur un Mur Exposé au Soleil
Mur (e, λ) Tse Tsi Extérieur Te, he Isol x α Φconv,e Φrad,e Φcond Intérieur Ti, hi Φconv,i Échanges Thermiques du Mur

Schéma des échanges thermiques pour un mur exposé au soleil.

Questions à traiter

  1. Calculer la densité de flux solaire absorbée (\(\phi_{sol,abs}\)) par la surface extérieure du mur.
  2. Exprimer la densité de flux thermique échangée par rayonnement (\(\phi_{rad,e}\)) par la surface extérieure en fonction de sa température \(T_{se}\) (en Kelvin).
  3. Exprimer la densité de flux thermique échangée par convection (\(\phi_{conv,e}\)) avec l'air extérieur en fonction de \(T_{se}\).
  4. Exprimer la densité de flux thermique transmise par conduction (\(\phi_{cond}\)) à travers le mur en fonction de \(T_{se}\) et de la température de surface intérieure \(T_{si}\).
  5. Établir l'équation du bilan thermique sur la surface extérieure du mur pour déterminer \(T_{se}\). (Ne pas résoudre numériquement à ce stade).
  6. En supposant que la température de surface extérieure \(T_{se}\) est de \(45 \, ^\circ\text{C}\), calculer le flux de chaleur total (\(\Phi\)) traversant le mur.
  7. Calculer la température de la surface intérieure (\(T_{si}\)) du mur sous cette condition.

Correction : Analyse Thermique d'un Mur Exposé au Soleil

Question 1 : Densité de Flux Solaire Absorbée (\(\phi_{sol,abs}\))

Principe :

La densité de flux solaire absorbée est la part de l'irradiance solaire incidente qui est effectivement absorbée par la surface du mur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi_{sol,abs} = \alpha \cdot I_{sol}\]
Données spécifiques :
  • Coefficient d'absorption solaire (\(\alpha\)) : \(0.7\)
  • Irradiance solaire globale (\(I_{sol}\)) : \(600 \, \text{W/m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi_{sol,abs} &= 0.7 \times 600 \, \text{W/m}^2 \\ &= 420 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité de flux solaire absorbée est \(\phi_{sol,abs} = 420 \, \text{W/m}^2\).

Question 2 : Densité de Flux Rayonnée par la Surface Extérieure (\(\phi_{rad,e}\))

Principe :

La surface extérieure émet un rayonnement infrarouge vers l'environnement. Le flux net rayonné est la différence entre ce qui est émis par le mur et ce qui est absorbé du rayonnement de l'environnement (ciel, sol, etc.). En supposant que l'environnement se comporte comme un corps noir à \(T_e\), et que la surface du mur a une émissivité \(\epsilon\).

Formule(s) utilisée(s) (Loi de Stefan-Boltzmann) :
\[\phi_{rad,e} = \epsilon \cdot \sigma \cdot (T_{se}^4 - T_{e}^4)\]

Attention : Les températures doivent être en Kelvin (K). \(T(K) = T(^\circ C) + 273.15\).

Expression :

Soit \(T_{se,K} = T_{se}(^\circ C) + 273.15\) et \(T_{e,K} = T_e(^\circ C) + 273.15\).

\[\phi_{rad,e} = 0.9 \times 5.67 \times 10^{-8} \times (T_{se,K}^4 - (28+273.15)^4)\] \[\phi_{rad,e} = 5.103 \times 10^{-8} \times (T_{se,K}^4 - (301.15)^4)\]
Résultat Question 2 : \(\phi_{rad,e} = 5.103 \times 10^{-8} (T_{se,K}^4 - 301.15^4) \, \text{W/m}^2\), avec \(T_{se,K}\) en Kelvin.

Question 3 : Densité de Flux Convectée par la Surface Extérieure (\(\phi_{conv,e}\))

Principe :

La chaleur est échangée par convection entre la surface extérieure du mur et l'air ambiant extérieur.

Formule(s) utilisée(s) (Loi de Newton) :
\[\phi_{conv,e} = h_e \cdot (T_{se} - T_e)\]

Ici, les températures peuvent être en °C ou K car c'est une différence.

Expression :
\[\phi_{conv,e} = 15 \cdot (T_{se}(^\circ C) - 28)\]
Résultat Question 3 : \(\phi_{conv,e} = 15 \cdot (T_{se} - 28) \, \text{W/m}^2\), avec \(T_{se}\) en °C.

Question 4 : Densité de Flux Conduite à Travers le Mur (\(\phi_{cond}\))

Principe :

La chaleur est transmise par conduction à travers le mur, de la surface extérieure vers la surface intérieure. La résistance thermique du mur (\(R_{mur}\)) est \(e/\lambda\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi_{cond} = \frac{T_{se} - T_{si}}{R_{mur}} = \frac{\lambda}{e} (T_{se} - T_{si})\]
Expression :

Calcul de \(R_{mur}\) :

\[R_{mur} = \frac{0.20 \, \text{m}}{1.7 \, \text{W/(m.K)}} \approx 0.1176 \, \text{m}^2\text{.K/W}\]
\[\phi_{cond} = \frac{1}{0.1176} (T_{se}(^\circ C) - T_{si}(^\circ C)) \approx 8.50 \cdot (T_{se} - T_{si})\]
Résultat Question 4 : \(\phi_{cond} \approx 8.50 \cdot (T_{se} - T_{si}) \, \text{W/m}^2\), avec \(T_{se}\) et \(T_{si}\) en °C.

Question 5 : Bilan Thermique sur la Surface Extérieure

Principe :

En régime stationnaire, la somme des flux thermiques surfaciques sur la surface extérieure est nulle. Le flux solaire absorbé est égal à la somme des flux perdus par rayonnement, convection vers l'extérieur, et conduction vers l'intérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi_{sol,abs} = \phi_{rad,e} + \phi_{conv,e} + \phi_{cond}\]
Équation du Bilan (sans résolution numérique) :
\[420 = 5.103 \times 10^{-8} ((T_{se}(^\circ C)+273.15)^4 - 301.15^4) + 15 (T_{se}(^\circ C) - 28) + \frac{1.7}{0.20} (T_{se}(^\circ C) - T_{si}(^\circ C))\]

Cette équation contient deux inconnues \(T_{se}\) et \(T_{si}\). Pour la résoudre, il faudrait une seconde équation, typiquement le bilan sur la surface intérieure ou le flux de conduction lié à la convection intérieure.

Résultat Question 5 : L'équation du bilan est :
\(420 = 5.103 \times 10^{-8} ((T_{se}+273.15)^4 - 301.15^4) + 15 (T_{se} - 28) + 8.5 (T_{se} - T_{si})\)
(avec \(T_{se}\) et \(T_{si}\) en °C).

Question 6 : Flux de Chaleur Total (\(\Phi\)) si \(T_{se} = 45 \, ^\circ\text{C}\)

Principe :

Si \(T_{se}\) est connue, on peut calculer \(\phi_{cond}\) si \(T_{si}\) est aussi connue. Le flux de chaleur qui entre dans le mur par conduction à partir de la surface extérieure est \(\phi_{cond,se \Rightarrow si}\). Ce flux est aussi égal au flux qui quitte la surface intérieure par convection vers l'air intérieur : \(\phi_{conv,i} = h_i (T_{si} - T_i)\). Donc, \(\frac{\lambda}{e} (T_{se} - T_{si}) = h_i (T_{si} - T_i)\). Cela permet de trouver \(T_{si}\). Ensuite, le flux de chaleur total \(\Phi\) est \(\phi_{cond} \times A\).

Calcul de \(T_{si}\) :
\[\frac{1.7}{0.20} (45 - T_{si}) = 8 (T_{si} - 22)\] \[8.5 (45 - T_{si}) = 8 T_{si} - 176\] \[382.5 - 8.5 T_{si} = 8 T_{si} - 176\] \[382.5 + 176 = 8 T_{si} + 8.5 T_{si}\] \[558.5 = 16.5 T_{si}\] \[T_{si} = \frac{558.5}{16.5} \approx 33.848 \, ^\circ\text{C}\]

On arrondit \(T_{si} \approx 33.85 \, ^\circ\text{C}\).

Calcul de \(\phi_{cond}\) :
\[ \begin{aligned} \phi_{cond} &= 8.5 \cdot (T_{se} - T_{si}) \\ &= 8.5 \cdot (45 - 33.85) \\ &= 8.5 \cdot (11.15) \\ &\approx 94.775 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du flux total \(\Phi\). (Utilisation de \(A = 20 \, \text{m}^2\) comme indiqué dans l'énoncé) :

\[ \begin{aligned} \Phi &= \phi_{cond} \cdot A \\ &= 94.775 \, \text{W/m}^2 \times 20 \, \text{m}^2 \\ &\approx 1895.5 \, \text{W} \end{aligned} \]

On arrondit \(\Phi \approx 1895.5 \, \text{W}\).

Résultat Question 6 : Le flux de chaleur total traversant le mur est \(\Phi \approx 1895.5 \, \text{W}\).

Question 7 : Température de Surface Intérieure (\(T_{si}\))

Principe :

La température de surface intérieure \(T_{si}\) a été calculée à l'étape précédente pour déterminer le flux de conduction.

Résultat du calcul précédent :
\[T_{si} \approx 33.85 \, ^\circ\text{C}\]
Résultat Question 7 : La température de la surface intérieure du mur est \(T_{si} \approx 33.85 \, ^\circ\text{C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'irradiance solaire \(I_{sol}\) augmente, la température de surface extérieure \(T_{se}\) va généralement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. L'absorptivité solaire (\(\alpha\)) d'une surface représente :

9. Le flux de chaleur par convection dépend principalement :

10. En régime stationnaire, le bilan thermique sur une surface signifie que :

Glossaire

Irradiance Solaire (\(I_{sol}\))
Puissance du rayonnement solaire reçue par unité de surface. Unité : W/m².
Absorptivité (\(\alpha\))
Fraction du rayonnement solaire incident qui est absorbée par une surface. Valeur sans dimension entre 0 et 1.
Émissivité (\(\epsilon\))
Rapport entre l'énergie rayonnée par une surface réelle et celle rayonnée par un corps noir à la même température. Valeur sans dimension entre 0 et 1.
Constante de Stefan-Boltzmann (\(\sigma\))
Constante physique intervenant dans la loi de Stefan-Boltzmann, qui relie la puissance totale rayonnée par un corps noir à sa température. \(\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \, \text{W/(m}^2\text{.K}^4)\).
Coefficient de Transfert Thermique par Convection (\(h\))
Mesure de l'efficacité du transfert de chaleur par convection entre une surface et un fluide. Unité : W/(m².K).
Flux Thermique Surfacique (\(\phi\))
Quantité de chaleur transférée par unité de temps et par unité de surface. Unité : W/m².
Flux de Chaleur Total (\(\Phi\))
Quantité totale de chaleur transférée par unité de temps à travers une surface donnée (\(\Phi = \phi \cdot A\)). Unité : W.
Température de Surface Extérieure (\(T_{se}\))
Température de la face du mur en contact avec l'environnement extérieur.
Température de Surface Intérieure (\(T_{si}\))
Température de la face du mur en contact avec l'environnement intérieur.
Analyse Thermique d'un Mur Exposé au Soleil - Exercice d'Application

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