Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Poussée Hydrostatique

Analyse de la Poussée Hydrostatique sur une Surface Plane

Comprendre la Poussée Hydrostatique

La poussée hydrostatique est la force résultante exercée par un fluide au repos sur une surface immergée. Cette force est due à la pression hydrostatique qui varie avec la profondeur. Pour les surfaces planes, la magnitude de cette force est égale au produit de la pression au centre de gravité (centroïde) de la surface par l'aire de la surface. Le point d'application de cette force résultante, appelé centre de poussée, est généralement situé en dessous du centre de gravité de la surface (sauf si la surface est horizontale). La détermination précise de la magnitude et du point d'application de la poussée hydrostatique est cruciale pour la conception et la vérification de la stabilité des ouvrages hydrauliques tels que les barrages, les vannes, les écluses, et les parois de réservoirs.

Données de l'étude

On considère une vanne rectangulaire verticale, articulée à son sommet, retenant de l'eau.

Caractéristiques de la vanne et du fluide :

  • Forme de la vanne : Rectangulaire
  • Hauteur de la vanne (\(H_v\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(L_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Le sommet de la vanne est situé à une profondeur (\(h_s\)) de \(1.0 \, \text{m}\) sous la surface libre de l'eau.
  • Fluide : Eau douce
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèse : La pression atmosphérique agit sur la surface libre de l'eau et de l'autre côté de la vanne, son effet net sur la force hydrostatique est donc nul.

Schéma : Force Hydrostatique sur une Vanne Verticale Immergée
Surface Libre Vanne P_sommet P_base F y_c h_s H_v y_G Poussée Hydrostatique

Distribution de la pression hydrostatique sur une vanne rectangulaire verticale immergée et position de la force résultante.

Questions à traiter

  1. Calculer la surface de la vanne (\(A_v\)).
  2. Calculer la profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la vanne par rapport à la surface libre de l'eau.
  3. Calculer la pression hydrostatique relative au centre de gravité de la vanne (\(P_G\)).
  4. Calculer la magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F\)) exercée par l'eau sur la vanne.
  5. Calculer le moment d'inertie (\(I_G\)) de la surface de la vanne par rapport à son axe horizontal passant par son centre de gravité. (Pour un rectangle de base \(L_v\) et de hauteur \(H_v\), \(I_G = L_v H_v^3 / 12\)).
  6. Calculer la profondeur du centre de poussée (\(y_C\)) par rapport à la surface libre de l'eau.

Correction : Calcul de la Poussée Hydrostatique

Question 1 : Surface de la vanne (\(A_v\))

Principe :

La vanne est rectangulaire. Sa surface (\(A_v\)) est le produit de sa hauteur (\(H_v\)) par sa largeur (\(L_v\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_v = H_v \times L_v\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la vanne (\(H_v\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(L_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_v &= 2.0 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 3.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La surface de la vanne est \(A_v = 3.0 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) de la vanne

Principe :

Le centre de gravité d'une surface rectangulaire se situe au milieu de sa hauteur. La profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) par rapport à la surface libre de l'eau est la profondeur du sommet de la vanne (\(h_s\)) plus la moitié de la hauteur de la vanne (\(H_v/2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_G = h_s + \frac{H_v}{2}\]
Données spécifiques :
  • Profondeur du sommet de la vanne (\(h_s\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(H_v\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_G &= 1.0 \, \text{m} + \frac{2.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.0 \, \text{m} + 1.0 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La profondeur du centre de gravité de la vanne est \(y_G = 2.0 \, \text{m}\).

Question 3 : Pression hydrostatique au centre de gravité (\(P_G\))

Principe :

La pression hydrostatique relative au centre de gravité de la surface immergée est calculée par \(P_G = \rho \cdot g \cdot y_G\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_G = \rho \cdot g \cdot y_G\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_G &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 19620 \, \text{N/m}^2 \\ &= 19620 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

En kilopascals (kPa) : \(P_G = 19.62 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3 : La pression hydrostatique au centre de gravité est \(P_G = 19620 \, \text{Pa}\) (ou \(19.62 \, \text{kPa}\)).

Question 4 : Force hydrostatique résultante (\(F\)) sur la vanne

Principe :

La magnitude de la force hydrostatique résultante (\(F\)) exercée sur une surface plane immergée est le produit de la pression au centre de gravité (\(P_G\)) de cette surface par l'aire totale (\(A_v\)) de la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = P_G \times A_v\]
Données spécifiques :
  • Pression au centre de gravité (\(P_G\)) : \(19620 \, \text{Pa}\)
  • Surface de la vanne (\(A_v\)) : \(3.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= 19620 \, \text{N/m}^2 \times 3.0 \, \text{m}^2 \\ &= 58860 \, \text{N} \end{aligned} \]

En kilonewtons (kN) : \(F = 58.86 \, \text{kN}\).

Résultat Question 4 : La force hydrostatique résultante sur la vanne est \(F = 58860 \, \text{N}\) (ou \(58.86 \, \text{kN}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la profondeur d'immersion du centre de gravité d'une porte double (surface constante), la force hydrostatique résultante :

Question 5 : Moment d'inertie (\(I_G\)) de la surface de la vanne

Principe :

Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe est une propriété géométrique qui décrit comment l'aire de cette surface est distribuée par rapport à cet axe. Pour une surface rectangulaire de largeur \(L_v\) (base) et de hauteur \(H_v\), le moment d'inertie par rapport à un axe horizontal passant par son centre de gravité est donné par la formule \(I_G = \frac{L_v H_v^3}{12}\). Ce moment d'inertie est utilisé dans le calcul de la position du centre de poussée.

Formule(s) utilisée(s) (pour un rectangle) :
\[I_G = \frac{L_v H_v^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la vanne (\(L_v\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne (\(H_v\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_G &= \frac{1.5 \, \text{m} \times (2.0 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{1.5 \, \text{m} \times 8.0 \, \text{m}^3}{12} \\ &= \frac{12.0 \, \text{m}^4}{12} \\ &= 1.0 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le moment d'inertie de la surface de la vanne par rapport à son axe centroïdal horizontal est \(I_G = 1.0 \, \text{m}^4\).

Question 6 : Profondeur du centre de poussée (\(y_C\))

Principe :

Le centre de poussée (\(y_C\)) est le point d'application de la force hydrostatique résultante. Il est toujours situé en dessous du centre de gravité (\(y_G\)) pour les surfaces planes non horizontales. Sa profondeur par rapport à la surface libre est calculée en ajoutant au terme \(y_G\) un terme qui dépend du moment d'inertie (\(I_G\)) de la surface par rapport à son axe centroïdal horizontal, de la surface (\(A_v\)), et de \(y_G\) lui-même.

Pour une surface plane verticale, si le sommet est à la surface, la formule simplifiée \(y_C = \frac{2}{3}H_p\) est applicable. Cependant, ici, le sommet de la vanne est déjà immergé à une profondeur \(h_s\). La distribution de pression est donc trapézoïdale. La formule générale est :

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_C = y_G + \frac{I_G}{y_G A_v}\]

Si le sommet de la porte était à la surface libre (\(h_s=0\)), alors \(y_G = H_v/2\) et \(A_v = L_v H_v\), \(I_G = L_v H_v^3 / 12\).
Dans ce cas spécifique, \(y_C = \frac{H_v}{2} + \frac{L_v H_v^3 / 12}{(H_v/2) L_v H_v} = \frac{H_v}{2} + \frac{H_v}{6} = \frac{3H_v + H_v}{6} = \frac{4H_v}{6} = \frac{2}{3}H_v\). Cette formule simplifiée \(y_C = \frac{2}{3}H_p\) (où \(H_p\) est la hauteur totale immergée de la surface depuis la surface libre) est valable uniquement si le sommet de la surface rectangulaire est à la surface libre. Ici, la porte est immergée, donc nous devons utiliser la formule générale avec le \(y_G\) de la porte par rapport à la surface libre.

Données spécifiques :
  • Profondeur du centre de gravité (\(y_G\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Moment d'inertie (\(I_G\)) : \(1.0 \, \text{m}^4\)
  • Surface de la vanne (\(A_v\)) : \(3.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_C &= 2.0 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{2.0 \, \text{m} \times 3.0 \, \text{m}^2} \\ &= 2.0 \, \text{m} + \frac{1.0 \, \text{m}^4}{6.0 \, \text{m}^3} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 0.1666... \, \text{m} \\ &\approx 2.1667 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La profondeur du centre de poussée est \(y_C \approx 2.167 \, \text{m}\) par rapport à la surface libre de l'eau.

Quiz Intermédiaire 2 : Le centre de poussée sur une surface plane immergée verticalement est toujours :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force hydrostatique sur une surface plane immergée dépend de :

2. Le centre de poussée est le point d'application :

3. Pour une surface rectangulaire verticale dont le sommet est à la surface libre, la distribution de pression est :

Glossaire

Pression Hydrostatique (\(P_h\))
Pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide située au-dessus de ce point.
Force Hydrostatique Résultante (\(F\))
Force totale exercée par la pression hydrostatique d'un fluide sur une surface immergée. Pour une surface plane, \(F = P_G \cdot A\), où \(P_G\) est la pression au centre de gravité et \(A\) est l'aire de la surface.
Centre de Gravité (Centroïde, \(y_G\))
Point géométrique d'une surface. Pour une surface plane, la force hydrostatique est calculée en utilisant la pression à cette profondeur.
Centre de Poussée (\(y_C\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. Il est généralement situé en dessous du centre de gravité pour les surfaces non horizontales.
Moment d'Inertie (\(I_G\))
Propriété géométrique d'une surface qui décrit comment son aire est distribuée par rapport à un axe. Utilisé pour calculer la position du centre de poussée.
Calcul des Forces Hydrostatiques sur les Portes - Exercice d'Application

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