Études de cas pratique

EGC

Comportement plastique et la rupture

Comportement Plastique et Rupture des Matériaux

Comprendre le Comportement Plastique et la Rupture

Au-delà de la limite d'élasticité, de nombreux matériaux, en particulier les métaux ductiles, entrent dans le domaine plastique. Dans cette zone, les déformations deviennent permanentes. Le matériau peut subir un écrouissage (augmentation de la contrainte nécessaire pour continuer la déformation), atteindre une contrainte maximale (résistance à la traction), puis subir une striction (réduction localisée de la section) avant de finalement se rompre. L'analyse de ce comportement est essentielle pour comprendre la capacité d'un matériau à absorber de l'énergie avant rupture (ténacité) et sa manière de faillir.

Données de l'étude

Un essai de traction est réalisé sur une éprouvette d'acier de construction. Les dimensions initiales de la partie calibrée de l'éprouvette sont :

  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(10.0 \, \text{mm}\)
  • Longueur entre repères initiale (\(L_0\)) : \(80.0 \, \text{mm}\)

Les résultats clés de l'essai sont les suivants :

  • Force à la limite d'élasticité apparente (\(N_e\)) : \(25.0 \, \text{kN}\)
  • Allongement à la limite d'élasticité (\(\Delta L_e\)) : \(0.100 \, \text{mm}\)
  • Force maximale atteinte (\(N_{\text{max}}\)) : \(40.0 \, \text{kN}\)
  • Allongement correspondant à la force maximale (\(\Delta L_{\text{max}}\)) : \(12.0 \, \text{mm}\)
  • Force à la rupture (\(N_r\)) : \(36.0 \, \text{kN}\)
  • Longueur finale entre repères après rupture (\(L_f\)) : \(98.0 \, \text{mm}\)
  • Diamètre final de la section rompue (\(D_f\)) : \(6.5 \, \text{mm}\)

Objectif : Déterminer plusieurs caractéristiques du comportement plastique et à la rupture de cet acier.

Schéma : Courbe Contrainte-Déformation Typique d'un Acier Ductile et Éprouvette
F F Éprouvette Courbe σ-ε (Acier Ductile) ε σ 0 σe σUTS Rupture

Éprouvette de traction et courbe contrainte-déformation typique d'un acier ductile.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire initiale de la section (\(A_0\)) de l'éprouvette.
  2. Calculer la limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) de l'acier.
  3. Calculer le module d'élasticité (Module d'Young, \(E\)) de l'acier.
  4. Calculer la résistance à la traction maximale (\(\sigma_{\text{UTS}}\)).
  5. Calculer l'allongement à la rupture en pourcentage (\(A\%\)).
  6. Calculer la striction (réduction de section à la rupture) en pourcentage (\(Z\%\)).

Correction : Comportement Plastique et Rupture

Question 1 : Calcul de l'Aire Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'aire initiale de la section transversale de l'éprouvette est la base pour calculer les contraintes d'ingénierie. Pour une section circulaire, \(A_0 = \pi D_0^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_0 = \frac{\pi D_0^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(D_0\)) : \(10.0 \, \text{mm}\)
Calcul de l'aire initiale :
\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{\pi \cdot (10.0 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 100 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 25\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 78.5398 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire initiale de la section est \(A_0 \approx 78.54 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Calcul de la Limite d'Élasticité (\(\sigma_e\))

Principe :

La limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) est la contrainte à laquelle le matériau commence à présenter des déformations plastiques significatives. Elle est calculée en divisant la force à la limite d'élasticité (\(N_e\)) par l'aire initiale (\(A_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_e = \frac{N_e}{A_0}\]
Données spécifiques :
  • Force à la limite d'élasticité (\(N_e\)) : \(25.0 \, \text{kN} = 25000 \, \text{N}\)
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(25\pi \, \text{mm}^2 \approx 78.5398 \, \text{mm}^2\)
Calcul de la limite d'élasticité :
\[ \begin{aligned} \sigma_e &= \frac{25000 \, \text{N}}{25\pi \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{1000}{\pi} \, \text{MPa} \\ &\approx 318.31 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La limite d'élasticité de l'acier est \(\sigma_e \approx 318.31 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Calcul du Module d'Élasticité (\(E\))

Principe :

Le module d'élasticité (\(E\)) est la pente de la courbe contrainte-déformation dans le domaine élastique. On utilise un point de cette zone (par exemple, le point de limite d'élasticité si le comportement est linéaire jusqu'à ce point) : \(E = \sigma_e / \epsilon_e\), où \(\epsilon_e = \Delta L_e / L_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_e = \frac{\Delta L_e}{L_0}\] \[E = \frac{\sigma_e}{\epsilon_e}\]
Données spécifiques :
  • Limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) : \(\approx 318.31 \, \text{MPa}\)
  • Allongement à la limite d'élasticité (\(\Delta L_e\)) : \(0.100 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(80.0 \, \text{mm}\)
Calcul du module d'élasticité :
\[ \begin{aligned} \epsilon_e &= \frac{0.100 \, \text{mm}}{80.0 \, \text{mm}} \\ &= 0.00125 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} E &= \frac{318.31 \, \text{MPa}}{0.00125} \\ &= 254648 \, \text{MPa} \\ &\approx 254.6 \, \text{GPa} \end{aligned} \]

Note : Cette valeur de E est un peu élevée pour un acier typique (généralement autour de 200-210 GPa). Cela peut être dû aux données d'essai fournies ou à une estimation basée sur un seul point. Pour une meilleure précision, on utiliserait la pente de plusieurs points dans la zone élastique.

Résultat Question 3 : Le module d'élasticité estimé est \(E \approx 254.6 \, \text{GPa}\).

Question 4 : Calcul de la Résistance à la Traction Maximale (\(\sigma_{\text{UTS}}\))

Principe :

La résistance à la traction maximale (\(\sigma_{\text{UTS}}\), ou \(R_m\)) est la contrainte maximale atteinte par le matériau (basée sur l'aire initiale) avant le début de la striction. Elle est calculée avec la force maximale \(N_{\text{max}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{UTS}} = \frac{N_{\text{max}}}{A_0}\]
Données spécifiques :
  • Force maximale (\(N_{\text{max}}\)) : \(40.0 \, \text{kN} = 40000 \, \text{N}\)
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(25\pi \, \text{mm}^2 \approx 78.5398 \, \text{mm}^2\)
Calcul de la résistance à la traction maximale :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{UTS}} &= \frac{40000 \, \text{N}}{25\pi \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{1600}{\pi} \, \text{MPa} \\ &\approx 509.296 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance à la traction maximale est \(\sigma_{\text{UTS}} \approx 509.30 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Calcul de l'Allongement à la Rupture en Pourcentage (\(A\%\))

Principe :

L'allongement à la rupture (\(A\%\)) est une mesure de la ductilité du matériau. Il représente l'allongement total de la partie calibrée de l'éprouvette au moment de la rupture, exprimé en pourcentage de sa longueur initiale entre repères.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A\% = \frac{L_f - L_0}{L_0} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Longueur finale entre repères (\(L_f\)) : \(98.0 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale entre repères (\(L_0\)) : \(80.0 \, \text{mm}\)
Calcul de l'allongement à la rupture :
\[ \begin{aligned} A\% &= \frac{98.0 \, \text{mm} - 80.0 \, \text{mm}}{80.0 \, \text{mm}} \times 100\% \\ &= \frac{18.0 \, \text{mm}}{80.0 \, \text{mm}} \times 100\% \\ &= 0.225 \times 100\% \\ &= 22.5\% \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'allongement à la rupture est \(A\% = 22.5\%\).

Question 6 : Calcul de la Striction (\(Z\%\))

Principe :

La striction (\(Z\%\)) est une autre mesure de la ductilité, représentant la réduction de l'aire de la section transversale de l'éprouvette au niveau de la rupture, exprimée en pourcentage de l'aire initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_f = \frac{\pi D_f^2}{4}\] \[Z\% = \frac{A_0 - A_f}{A_0} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • Aire initiale (\(A_0\)) : \(25\pi \, \text{mm}^2 \approx 78.5398 \, \text{mm}^2\)
  • Diamètre final à la rupture (\(D_f\)) : \(6.5 \, \text{mm}\)
Calcul de la striction :

D'abord, calculons l'aire finale \(A_f\) :

\[ \begin{aligned} A_f &= \frac{\pi \cdot (6.5 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 42.25 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 10.5625\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 33.1831 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Ensuite, la striction \(Z\%\) :

\[ \begin{aligned} Z\% &= \frac{25\pi \, \text{mm}^2 - 10.5625\pi \, \text{mm}^2}{25\pi \, \text{mm}^2} \times 100\% \\ &= \frac{14.4375\pi}{25\pi} \times 100\% \\ &= \frac{14.4375}{25} \times 100\% \\ &= 0.5775 \times 100\% \\ &= 57.75\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La striction (réduction de section à la rupture) est \(Z\% = 57.75\%\).

Quiz Intermédiaire 1 : La zone de striction sur une courbe contrainte-déformation conventionnelle se manifeste par :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

9. L'écrouissage d'un métal se réfère à :

10. La striction est un phénomène qui :

11. Un matériau ayant un grand allongement à la rupture (\(A\%\)) et une grande striction (\(Z\%\)) est considéré comme :

Glossaire

Comportement Plastique
Comportement d'un matériau au-delà de sa limite d'élasticité, où il subit des déformations permanentes.
Écrouissage
Phénomène par lequel un matériau métallique devient plus dur et plus résistant suite à une déformation plastique.
Limite d'Élasticité (\(\sigma_e\) ou \(f_y\))
Contrainte à laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement de manière significative.
Résistance à la Traction Maximale (\(\sigma_{\text{UTS}}\) ou \(R_m\))
Contrainte maximale (basée sur l'aire initiale) qu'un matériau peut supporter lors d'un essai de traction.
Striction
Réduction localisée de la section transversale d'une éprouvette en traction, qui se produit après avoir atteint la charge maximale et précède la rupture pour les matériaux ductiles.
Rupture
Séparation d'un corps en deux ou plusieurs parties sous l'effet d'une contrainte.
Ductilité
Capacité d'un matériau à subir des déformations plastiques importantes avant de se rompre. Elle est souvent mesurée par l'allongement à la rupture et la striction.
Allongement à la Rupture (\(A\%\))
Augmentation de la longueur d'une éprouvette au moment de la rupture, exprimée en pourcentage de sa longueur initiale.
Striction à la Rupture (\(Z\%\))
Réduction de l'aire de la section transversale d'une éprouvette au niveau de la rupture, exprimée en pourcentage de son aire initiale.
Comportement Plastique et Rupture - Exercice d'Application

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