Calcul des Dimensions d'une Semelle de Fondation
Contexte : Les fondations, l'assise de toute construction.
Toute structure de génie civil, qu'il s'agisse d'un pont, d'un bâtiment ou d'un simple poteau, repose sur le sol par l'intermédiaire de ses fondations. La semelle est la fondation superficielle la plus courante ; son rôle est de répartir les charges concentrées provenant de la structure sur une surface de sol suffisamment grande pour que celui-ci puisse les supporter sans rupture ni tassement excessif. Le dimensionnement correct d'une semelle est donc une étape fondamentale et critique pour garantir la stabilité et la durabilité de l'ensemble de l'ouvrage.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une introduction au calcul de la capacité portanteLa capacité portante (ou contrainte de rupture) est la pression maximale que le sol peut supporter avant de céder. On utilise une valeur admissible, qui est la capacité portante ultime divisée par un facteur de sécurité. d'une fondation superficielle. Nous allons déterminer la largeur minimale d'une semelle carrée pour qu'elle puisse supporter une charge verticale et un moment de flexion en toute sécurité, en vérifiant que la pression exercée sur le sol ne dépasse pas sa résistance. C'est le calcul de base que tout ingénieur en structure ou en géotechnique doit maîtriser.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer l'excentricité d'une charge sur une fondation.
- Appliquer la condition de non-soulèvement de la semelle.
- Déterminer la contrainte maximale exercée par la semelle sur le sol.
- Calculer la contrainte admissible du sol à partir de ses caractéristiques géotechniques.
- Dimensionner la largeur de la semelle pour satisfaire le critère de résistance.
Données de l'étude
Schéma de la Semelle et des Charges
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge verticale (ELU) | \(N_{\text{Ed}}\) | 800 | \(\text{kN}\) |
| Moment fléchissant (ELU) | \(M_{\text{Ed}}\) | 120 | \(\text{kN} \cdot \text{m}\) |
| Poids volumique du sol | \(\gamma\) | 19 | \(\text{kN/m³}\) |
| Contrainte admissible du sol (ELS) | \(q_{\text{adm}}\) | 200 | \(\text{kPa}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'excentricité \(e\) de la charge appliquée à la base de la semelle.
- Vérifier la condition de non-soulèvement de la semelle et en déduire une première condition sur la largeur \(B\).
- Exprimer la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\) sous la semelle en fonction de \(B\).
- Dimensionner la largeur minimale \(B\) (au cm près) pour que la contrainte maximale ne dépasse pas la contrainte admissible du sol.
Les bases du Calcul de Fondation
Avant la correction, revoyons les concepts de contrainte et d'excentricité.
1. Contrainte sous charge centrée :
Si seule une force verticale \(N\) est appliquée au centre d'une semelle d'aire \(A\), la pression (ou contrainte) sur le sol est uniforme et vaut :
\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Pour une semelle carrée de côté B, \(A = B^2\).
2. Effet du Moment Fléchissant et Excentricité :
Un moment fléchissant \(M\) crée des contraintes de compression d'un côté de la semelle et de traction (ou de moindre compression) de l'autre. La combinaison de \(N\) et \(M\) est équivalente à une force unique \(N\) appliquée avec un décalage \(e\) par rapport au centre, appelé excentricité :
\[ e = \frac{M}{N} \]
La contrainte n'est plus uniforme mais varie linéairement (ou de façon trapézoïdale).
3. Distribution des Contraintes et Condition de non-soulèvement :
Les contraintes maximale et minimale sous la semelle sont données par la formule de Navier :
\[ \sigma_{\text{max/min}} = \frac{N}{A} \pm \frac{M}{I/v} = \frac{N}{B^2} \pm \frac{M}{B^3/6} \]
Le sol ne pouvant pas résister à la traction, on doit s'assurer que la contrainte minimale \(\sigma_{\text{min}}\) reste positive ou nulle. Cela impose que l'excentricité \(e\) soit inférieure au sixième de la largeur de la semelle : \(e \le B/6\). C'est la "règle du tiers central".
Correction : Calcul des Dimensions de la Semelle
Question 1 : Calculer l'excentricité (e)
Principe (le concept physique)
L'excentricité est une distance qui représente l'effet combiné d'une force et d'un moment. Au lieu de considérer une force centrée ET un couple, on peut imaginer une force unique décalée du centre. Ce décalage est l'excentricité. Elle nous permet de quantifier à quel point la charge "penche" d'un côté de la fondation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Ce principe découle de la statique du solide. Le torseur des actions {Force, Moment} appliqué au centre de la semelle est équivalent à un torseur glisseur {Force, 0} dont le point d'application est décalé de \(e = M/N\). Cette simplification est fondamentale pour analyser la distribution des contraintes sous la fondation.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous portez un sac à dos lourd. Si vous vous tenez droit, la charge est centrée. Si vous vous penchez en avant, votre centre de gravité se déplace. L'excentricité, c'est ce déplacement. Vous sentez alors plus de pression sur la pointe de vos pieds que sur vos talons. C'est exactement ce qui se passe pour la semelle.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 spécifie que les charges de calcul, y compris les moments, doivent être utilisées pour déterminer les excentricités. Ces charges sont obtenues à partir des combinaisons d'actions à l'État Limite Ultime (ELU) ou de Service (ELS) définies dans l'Eurocode 0.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de l'excentricité :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le moment et la force verticale sont appliqués dans le même plan vertical et que la semelle est infiniment rigide, assurant une distribution linéaire des contraintes sur le sol.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charge verticale, \(N_{\text{Ed}} = 800 \, \text{kN}\)
- Moment fléchissant, \(M_{\text{Ed}} = 120 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Soyez très vigilant avec les unités ! La charge est en kN et le moment en kN·m. Pour obtenir une excentricité en mètres, les unités sont déjà cohérentes. Si le moment était en MN·m, il faudrait le convertir.
Schéma (Avant les calculs)
Charges Appliquées et Excentricité
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de l'excentricité :
Schéma (Après les calculs)
Excentricité Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'excentricité est de 15 cm. Cela signifie que tout se passe comme si la charge de 800 kN était appliquée à 15 cm du centre de la semelle. Cette valeur est cruciale car elle va directement influencer la distribution des pressions sur le sol et donc la taille requise pour la fondation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est une mauvaise gestion des unités. Assurez-vous toujours que le moment et la force sont dans des unités compatibles (par exemple, kN·m et kN, ou N·mm et N) pour obtenir une distance cohérente (m ou mm).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'excentricité \(e\) convertit un système {Force + Moment} en une force excentrée équivalente.
- La formule est simple : \(e = M/N\).
- C'est la première étape indispensable de tout calcul de fondation soumise à un moment.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les structures, les moments en pied de poteau proviennent principalement des efforts horizontaux comme le vent ou les séismes, ou de la dissymétrie des charges sur les planchers. Un bon diseño architectural et structural cherche à minimiser ces moments pour réduire la taille et le coût des fondations.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le moment était de 200 kN·m pour la même charge de 800 kN, quelle serait la nouvelle excentricité en m ?
Question 2 : Vérifier la condition de non-soulèvement
Principe (le concept physique)
Le sol est un matériau qui ne peut pas résister à la traction. Si la charge est trop excentrée, un côté de la semelle aura tendance à se soulever, créant un vide entre la fondation et le sol. Cela est interdit car la surface de contact réelle serait réduite et la stabilité de l'ouvrage compromise. On doit donc s'assurer que la contrainte reste compressive (ou nulle) sur toute la surface.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distribution de contrainte trapézoïdale devient triangulaire lorsque \(\sigma_{\text{min}} = 0\). Ce cas limite est atteint lorsque l'excentricité \(e\) est exactement égale à \(B/6\). Si \(e > B/6\), la formule de Navier n'est plus valable et la semelle est considérée comme partiellement soulevée. La zone comprimée du sol est alors réduite, ce qui est une situation à éviter dans le dimensionnement courant.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la "règle du tiers central". Pour qu'une semelle rectangulaire reste entièrement en contact avec le sol, la force résultante doit être appliquée dans le tiers central de sa base. Pour une semelle carrée de côté B, cela signifie que l'excentricité `e` doit être inférieure à `B/6` dans chaque direction.
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 7 (EN 1997-1) impose cette vérification de non-soulèvement pour les fondations superficielles à l'État Limite de Service (ELS). Pour l'État Limite Ultime (ELU), un soulèvement partiel peut parfois être toléré, mais le calcul doit alors être mené avec une "largeur efficace" réduite \(B' = B - 2e\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition de non-soulèvement (ou de compression totale) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place dans le cas le plus restrictif en exigeant une compression sur toute la surface de la semelle, ce qui est une pratique courante et sécuritaire pour le dimensionnement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Excentricité, \(e = 0.15 \, \text{m}\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)
On peut directement inverser la formule pour obtenir une première estimation de la dimension minimale de la semelle : \(B \ge 6e\). C'est un calcul très rapide qui donne un ordre de grandeur immédiat pour la suite du dimensionnement.
Schéma (Avant les calculs)
Règle du Tiers Central
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la condition :
Schéma (Après les calculs)
Condition sur la Largeur B
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ce premier calcul nous donne une contrainte géométrique minimale. La largeur de la semelle devra être d'au moins 90 cm. Cependant, cette condition ne garantit pas que le sol pourra supporter la charge. Le calcul final de la dimension B devra aussi prendre en compte la résistance du sol (la capacité portante).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Cette règle du B/6 n'est valable que pour une section rectangulaire ou carrée. Pour une semelle circulaire de diamètre D, la condition devient \(e \le D/8\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le sol ne travaille pas en traction.
- Pour éviter le soulèvement, la charge résultante doit s'appliquer dans le tiers central.
- Cela se traduit par la condition \(e \le B/6\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les ouvrages anciens en maçonnerie (piliers d'églises, contreforts), les bâtisseurs appliquaient intuitivement cette règle. Ils donnaient à leurs fondations une largeur suffisante pour que la "ligne de pression" (la trajectoire de la force résultante) reste toujours à l'intérieur du tiers central, garantissant ainsi que les joints de mortier ne s'ouvrent jamais.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une excentricité de 0.25 m, quelle serait la largeur minimale B requise par cette condition ?
Question 3 : Exprimer la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\)
Principe (le concept physique)
La contrainte maximale est la pression la plus forte exercée par la semelle sur le sol. Elle se produit du côté où le moment de flexion "comprime" la fondation. C'est cette valeur critique que nous devrons comparer à la résistance du sol pour assurer qu'il n'y aura pas de poinçonnement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\sigma_{\text{max}} = \frac{N}{A} + \frac{M}{W}\) combine deux effets : la contrainte moyenne due à la charge centrée (\(N/A\)) et la contrainte de flexion due au moment (\(M/W\)). Le terme \(W = I/v\) est le module d'inertie de la section de la fondation, qui représente sa capacité à résister à la flexion.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La formule peut aussi s'écrire en fonction de l'excentricité : \(\sigma_{\text{max}} = \frac{N}{B^2}\left(1 + \frac{6e}{B}\right)\). Cette forme est souvent plus pratique car elle montre bien l'amplification de la contrainte due à l'excentricité. Si e=0, on retrouve \(\sigma = N/B^2\). Si e=B/6 (cas limite), le terme entre parenthèses vaut 2, ce qui signifie que la contrainte maximale est le double de la contrainte moyenne !
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des contraintes sous les fondations est une étape de base de la mécanique des sols, décrite dans tous les manuels et normes, y compris l'Eurocode 7. La norme précise comment calculer l'aire et le module d'inertie pour des formes de semelles plus complexes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la contrainte maximale pour une semelle carrée :
Ou, en utilisant l'excentricité :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la condition de non-soulèvement (\(e \le B/6\)) est respectée, ce qui valide l'utilisation de cette formule de distribution linéaire des contraintes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(N_{\text{Ed}} = 800 \, \text{kN}\)
- \(M_{\text{Ed}} = 120 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
- \(e = 0.15 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Laissez l'expression en fonction de B. Ne remplacez pas B par une valeur numérique à ce stade. L'objectif est d'obtenir une équation où B est la seule inconnue, que nous résoudrons à la question suivante.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Trapézoïdale des Contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
Expression de la contrainte maximale en fonction de B :
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste conceptuel à ce stade, car B n'est pas encore déterminé.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant une équation qui lie la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\) à la largeur B de la semelle. On voit que la contrainte diminue rapidement lorsque B augmente (en \(1/B^2\) et \(1/B^3\)). La prochaine étape consistera à imposer que cette contrainte soit inférieure à ce que le sol peut supporter.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à la formule du module d'inertie. Pour une semelle carrée de côté B, le moment d'inertie est \(I = B^4/12\) et la distance à la fibre la plus éloignée est \(v = B/2\), ce qui donne bien \(W = I/v = B^3/6\). Une erreur sur ce terme est fréquente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte maximale combine l'effet de la charge centrée et du moment.
- La formule générale est \(\sigma_{\text{max}} = N/A + M/W\).
- Cette formule est la base du dimensionnement de la fondation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette même formule de contrainte combinée est utilisée dans de nombreux autres domaines du génie civil, comme la vérification de la résistance des poteaux en béton armé (flexion composée) ou le calcul de la stabilité des barrages-poids.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour une semelle de B = 2.0 m, quelle serait la contrainte maximale en kPa ?
Question 4 : Dimensionner la largeur minimale B
Principe (le concept physique)
C'est l'étape finale du dimensionnement. On confronte la sollicitation (la contrainte maximale que la semelle applique au sol) à la résistance (la contrainte que le sol peut supporter). La condition de sécurité impose que la sollicitation soit inférieure ou égale à la résistance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\) est une valeur simplifiée de la capacité portante du sol. Dans un calcul complet selon l'Eurocode 7, on calculerait la résistance de calcul du sol \(q_{\text{R,d}}\) en tenant compte de la cohésion, de l'angle de frottement, de la profondeur de la fondation et de la forme de la semelle, le tout affecté de coefficients de sécurité partiels.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Nous avons deux conditions sur B : \(B \ge 0.90 \, \text{m}\) (pour éviter le soulèvement) et la condition de résistance que nous allons calculer maintenant. La dimension finale à retenir sera la plus grande des deux valeurs, car elle satisfera les deux critères simultanément.
Normes (la référence réglementaire)
La vérification fondamentale du dimensionnement des fondations à l'ELU selon l'Eurocode 7 est \(V_d \le R_d\), où \(V_d\) est la valeur de calcul de la charge verticale et \(R_d\) est la résistance de calcul du terrain au poinçonnement. Notre approche \(\sigma_{\text{max}} \le q_{\text{adm}}\) est une méthode simplifiée mais équivalente en esprit.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition de résistance :
Ce qui nous amène à l'inéquation à résoudre :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la contrainte admissible fournie par l'étude de sol est une valeur fiable qui intègre déjà les facteurs de sécurité nécessaires.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Expression de \(\sigma_{\text{max}}\) (de la Q3)
- Contrainte admissible, \(q_{\text{adm}} = 200 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Résoudre une équation du 3ème degré est complexe. En pratique, un ingénieur utilise un solveur ou procède par itérations. On peut commencer avec une estimation : si M=0, \(B = \sqrt{800/200} = 2 \, \text{m}\). Comme il y a un moment, B sera plus grand. Essayons B=2.2 m, puis B=2.3 m, etc., jusqu'à ce que la condition soit vérifiée.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
Calcul(s) (l'application numérique)
Nous devons résoudre \(\frac{800}{B^2} + \frac{720}{B^3} \le 200\). Procédons par itérations :
Essai avec B = 2.0 m (estimation initiale) :
\(290 > 200\), donc B=2.0 m est insuffisant.
Essai avec B = 2.2 m :
\(232.8 > 200\), donc B=2.2 m est encore insuffisant.
Essai avec B = 2.3 m :
\(210.4 > 200\), c'est très proche !
Essai avec B = 2.35 m :
\(200.3 \approx 200\), c'est acceptable.
On choisit une valeur pratique et sécuritaire, arrondie au 5 cm supérieurs :
Schéma (Après les calculs)
Dimension Finale de la Semelle
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La largeur minimale requise est de 2.35 m. En arrondissant à une valeur constructive de 2.40 m, nous satisfaisons à la fois la condition de résistance (\(B \ge 2.35 \, \text{m}\)) et la condition de non-soulèvement (\(B \ge 0.90 \, \text{m}\)). La semelle carrée aura donc des dimensions de 2.40 m x 2.40 m.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais oublier de vérifier les deux conditions : non-soulèvement et résistance. Dans certains cas (faible moment mais sol de mauvaise qualité), la condition de résistance peut imposer un B bien plus grand que celui requis par la règle du tiers central.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le dimensionnement final consiste à résoudre l'inéquation \(\sigma_{\text{max}} \le q_{\text{adm}}\).
- Cette résolution est souvent itérative en pratique.
- La dimension finale doit respecter toutes les conditions et être une valeur constructive.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les éoliennes, les fondations sont soumises à des moments de flexion très importants dus au vent. On utilise souvent de grandes fondations circulaires ou octogonales, parfois combinées à des pieux, pour fournir la résistance nécessaire et empêcher le renversement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la contrainte admissible du sol était de 300 kPa, quelle serait la largeur B minimale (arrondie au cm) ?
Outil Interactif : Dimensionnement de Semelle
Variez les charges et la résistance du sol pour voir leur impact sur la dimension de la semelle.
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Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre d'un problème géotechnique. Son inclinaison n'est pas due à un défaut de la structure elle-même, mais à une faiblesse du sol de fondation (un sol argileux compressible) qui s'est tassé de manière inégale sous le poids de la tour. Les travaux de stabilisation modernes ont consisté à extraire une partie du sol du côté nord pour provoquer un tassement contrôlé et redresser partiellement la tour.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si il y a de l'eau dans le sol ?
La présence d'eau change tout ! Il faut alors raisonner en contraintes effectives (la contrainte totale moins la pression de l'eau). De plus, un écoulement d'eau sous le rideau peut créer des pressions qui déstabilisent l'ouvrage (un phénomène appelé "boulance"). Les calculs deviennent alors beaucoup plus complexes.
La théorie de Rankine est-elle toujours applicable ?
La théorie de Rankine est une bonne première approche pour des cas simples (sol horizontal, pas de frottement mur-sol). Pour des cas plus complexes (mur incliné, sol en pente, frottement), d'autres théories comme celle de Coulomb ou des méthodes numériques (éléments finis) sont plus précises.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'angle de frottement du sol augmente (le sol est de meilleure qualité)...
2. La force de butée passive est...
- Angle de frottement interne (\(\phi'\))
- Propriété intrinsèque d'un sol granulaire (sable, gravier) qui mesure sa résistance au cisaillement. C'est l'équivalent de la "rugosité" entre les grains.
- Poussée des terres
- Force horizontale exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On la qualifie d'"active" lorsqu'elle est minimale (le mur s'éloigne du sol).
- Butée des terres
- Force de résistance horizontale maximale qu'un massif de sol peut opposer à un ouvrage qui se déplace contre lui. On la qualifie de "passive".
D’autres exercices de fondation :
Bonjour,
je trouve que le document est très intéressant et je me trouve dans le besoin.
Merci,
Cordialement.