Études de cas pratique

EGC

La loi de Hooke calcul

Calcul avec la Loi de Hooke en Résistance des Matériaux

Comprendre la Loi de Hooke

La loi de Hooke est un principe fondamental en Résistance Des Matériaux (RDM) qui décrit le comportement élastique des matériaux. Elle stipule que, pour de petites déformations, l'allongement (ou la déformation) d'un matériau est directement proportionnel à la force (ou contrainte) qui lui est appliquée. Cette relation linéaire est caractérisée par le module d'Young (\(E\)), aussi appelé module d'élasticité longitudinale, qui est une propriété intrinsèque du matériau indiquant sa rigidité. La loi de Hooke s'exprime par la relation \(\sigma = E \cdot \varepsilon\), où \(\sigma\) est la contrainte normale et \(\varepsilon\) est la déformation unitaire. Comprendre et appliquer cette loi est essentiel pour prédire comment les structures se déformeront sous l'effet des charges et pour s'assurer qu'elles ne dépassent pas les limites admissibles de déformation ou de contrainte.

Données de l'étude

Une barre cylindrique en acier est soumise à un effort de traction axial.

Caractéristiques de la barre et de la sollicitation :

  • Longueur initiale de la barre (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la barre (\(D\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Force de traction appliquée (\(F\)) : \(50 \, \text{kN}\)
  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\) (GigaPascals)

Objectif : Calculer la contrainte normale, la déformation unitaire et l'allongement total de la barre.

Schéma d'une Barre en Traction
Barre Cylindrique en Traction Barre (L0, D) F L0 = 2.0 m D=20mm \(\Delta\)L

Barre cylindrique soumise à un effort de traction F, montrant sa longueur initiale L0 et son allongement \(\Delta L\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre en \(\text{mm}^2\).
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre en MégaPascals (\(\text{MPa}\) ou \(\text{N/mm}^2\)).
  3. Calculer la déformation unitaire (ou allongement relatif, \(\varepsilon\)) de la barre (sans unité).
  4. Calculer l'allongement total de la barre (\(\Delta L\)) en millimètres (\(\text{mm}\)).

Correction : Calcul avec la Loi de Hooke

Question 1 : Aire de la section transversale (\(A\))

Principe :

La barre a une section circulaire. L'aire (\(A\)) d'un cercle de diamètre \(D\) est donnée par la formule \(A = \frac{\pi D^2}{4}\). Il est important d'être cohérent avec les unités. Si le diamètre est en millimètres (\(\text{mm}\)), l'aire sera en \(\text{mm}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi D^2}{4}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de la barre (\(D\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 400 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.159 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale de la barre est \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte normale (\(\sigma\)) dans la barre

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force interne par unité de surface. Dans le cas d'une traction axiale simple, elle est calculée en divisant la force de traction appliquée (\(F\)) par l'aire de la section transversale (\(A\)) de la barre. Si la force est en Newtons (N) et l'aire en \(\text{mm}^2\), la contrainte sera en \(\text{N/mm}^2\), ce qui équivaut à des MégaPascals (MPa). Il faut convertir la force de kN en N (1 kN = 1000 N).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{F}{A}\]
Données spécifiques :
  • Force de traction (\(F\)) : \(50 \, \text{kN} = 50 \times 10^3 \, \text{N} = 50000 \, \text{N}\)
  • Aire de la section (\(A\)) : \(\approx 314.159 \, \text{mm}^2\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{50000 \, \text{N}}{314.159 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 159.155 \, \text{N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans la barre est \(\sigma \approx 159.16 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation unitaire (\(\varepsilon\))

Principe :

La loi de Hooke établit une relation linéaire entre la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation unitaire (\(\varepsilon\)) pour les matériaux élastiques : \(\sigma = E \cdot \varepsilon\). La déformation unitaire (ou allongement relatif) représente l'allongement par unité de longueur initiale. Elle est sans dimension. Nous pouvons la calculer en réarrangeant la loi de Hooke : \(\varepsilon = \sigma / E\). Il faut s'assurer que les unités de \(\sigma\) et \(E\) sont cohérentes. Si \(\sigma\) est en MPa (\(\text{N/mm}^2\)) et \(E\) est en GPa (\(\text{kN/mm}^2\) ou \(10^3 \, \text{N/mm}^2\)), une conversion est nécessaire. \(1 \, \text{GPa} = 1000 \, \text{MPa} = 1000 \, \text{N/mm}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\varepsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(\approx 159.155 \, \text{MPa}\) (de Q2)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \frac{159.155 \, \text{MPa}}{210000 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.00075788 \end{aligned} \]

La déformation est un nombre sans dimension, mais on peut aussi l'exprimer en \(\text{mm/mm}\) ou en pourcentage (en multipliant par 100).

Résultat Question 3 : La déformation unitaire de la barre est \(\varepsilon \approx 0.000758\) (ou \(0.0758\%\)).

Question 4 : Allongement total de la barre (\(\Delta L\))

Principe :

La déformation unitaire (\(\varepsilon\)) est définie comme l'allongement total (\(\Delta L\)) divisé par la longueur initiale (\(L_0\)) : \(\varepsilon = \Delta L / L_0\). Par conséquent, l'allongement total est le produit de la déformation unitaire par la longueur initiale de la barre. Il faut s'assurer que les unités de longueur sont cohérentes. Si \(L_0\) est en mètres et que nous voulons \(\Delta L\) en millimètres, une conversion sera nécessaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \varepsilon \times L_0\]
Données spécifiques :
  • Déformation unitaire (\(\varepsilon\)) : \(\approx 0.00075788\) (de Q3)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.0 \, \text{m} = 2000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= 0.00075788 \times 2000 \, \text{mm} \\ &\approx 1.51576 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement total de la barre est \(\Delta L \approx 1.52 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si une barre de 1m s'allonge de 1mm, sa déformation unitaire \(\varepsilon\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Hooke relie :

2. Le module d'Young (\(E\)) est une mesure de :

3. Si une force de \(100 \, \text{N}\) est appliquée sur une aire de \(10 \, \text{mm}^2\), la contrainte est de :

Glossaire

Loi de Hooke
Principe de la physique qui stipule que la déformation élastique d'un corps est proportionnelle à la force qui lui est appliquée. Pour les contraintes et déformations normales : \(\sigma = E \cdot \varepsilon\).
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. Exprimée en Pascals (Pa) ou ses multiples (MPa, GPa).
Déformation Unitaire (ou Allongement Relatif, \(\varepsilon\))
Rapport de l'allongement total (\(\Delta L\)) d'un corps à sa longueur initiale (\(L_0\)). C'est une grandeur sans dimension, souvent exprimée en \(\text{m/m}\), \(\text{mm/mm}\) ou en pourcentage.
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, c'est une mesure de la rigidité d'un matériau. Il représente le rapport entre la contrainte normale et la déformation unitaire dans le domaine élastique. Unité : Pascals (Pa) ou ses multiples.
Traction
Sollicitation qui tend à étirer ou allonger un corps.
Compression
Sollicitation qui tend à écraser ou raccourcir un corps.
Domaine Élastique
Plage de contraintes et de déformations pour laquelle un matériau reprend sa forme initiale après la suppression de la charge. La loi de Hooke s'applique dans ce domaine.
Aire de la Section Transversale (\(A\))
Surface de la coupe d'un élément perpendiculairement à son axe principal.
Allongement Total (\(\Delta L\))
Variation de la longueur d'un corps sous l'effet d'une force.
Calcul avec la Loi de Hooke - Exercice d'Application

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