Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte

Point Clé : La méthode de soustraction (rectangle total moins les vides) est souvent plus rapide et moins source d'erreurs pour les sections symétriques que l'addition des trois rectangles (membrure sup. + âme + membrure inf.) qui nécessiterait l'utilisation du théorème de Huygens.

Le calcul des caractéristiques géométriques des sections est une application directe des principes de la Résistance des Matériaux, qui sont à la base de toutes les normes de calcul de structure, y compris l'Eurocode 2.

On considère que la section de béton est homogène et non fissurée. L'influence des aciers passifs et des gaines de précontrainte sur les caractéristiques géométriques est négligée à ce stade, ce qui est une simplification courante pour le pré-dimensionnement.

Les valeurs obtenues sont élevées, ce qui est typique des grands ouvrages. Une inertie de 0.747 m⁴ indique une très forte rigidité en flexion. Le fait que le module de résistance W ait la même valeur numérique est une coïncidence due au fait que la distance à la fibre extrême \(v = h/2\) est égale à 1.0 m.

Cette étape est un prérequis absolu. Toutes les contraintes, et donc tous les dimensionnements qui suivront, dépendent directement de la précision de ces valeurs. Une erreur ici se répercuterait sur l'ensemble du calcul.

Erreur d'unités : La plus grande source d'erreur est le mélange des unités (m, cm, mm). Il est crucial de tout convertir dans un système cohérent (ici, le mètre) dès le début pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou 1 000 000 sur le résultat final.

Point Clé : Ne confondez pas les combinaisons ELS (\(G+Q\)) et ELU (\(1.35G+1.5Q\)). La précontrainte est dimensionnée pour les charges de service (ELS) afin de garantir le bon comportement de l'ouvrage au quotidien. La vérification à la rupture (ELU) est faite dans un second temps.

L'Eurocode 0 (EN 1990) définit les principes des combinaisons d'actions. Pour le dimensionnement en service, on utilise la combinaison "caractéristique" (souvent appelée à tort quasi-permanente), qui est la plus simple : \( \sum G_{\text{k,j}} + Q_{\text{k,1}} \). C'est ce que nous faisons ici en sommant \(M_{\text{G}}\) et \(M_{\text{Q}}\).

On suppose que les moments fournis incluent déjà tous les effets dynamiques et que les charges permanentes et d'exploitation agissent simultanément pour créer le cas de charge le plus défavorable pour la traction en fibre inférieure.

Un moment de 4000 kNm est une sollicitation très importante, typique d'un ouvrage d'art. Il est clair qu'une poutre en béton armé classique de cette portée aurait des dimensions beaucoup plus massives ou nécessiterait une quantité d'acier passif très élevée. C'est là que la précontrainte montre tout son intérêt.

Cette étape quantifie l'"agression" que la poutre doit subir. Sans connaître la sollicitation maximale (\(M_{\text{ser}}\)), il est impossible de dimensionner la "défense" (la précontrainte) nécessaire pour y faire face.

Oublier une charge : Il faut bien s'assurer que tous les moments de service (poids propre, superstructures, équipements, exploitation, etc.) ont été pris en compte. Omettre une partie de la charge conduirait à un sous-dimensionnement de la précontrainte.

Point Clé : Faites attention aux signes ! En convention de génie civil, la compression est négative et la traction est positive. Un moment qui tend la fibre inférieure (moment positif) crée des contraintes positives (traction) à cet endroit.

Cette formule, dite de Navier, est universelle. L'Eurocode 2 l'utilise pour la vérification des contraintes à l'ELS (section 7.2), en spécifiant les limites de contraintes admissibles en compression et en traction pour le béton.

On applique l'hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes après déformation. Cette hypothèse est valable pour les poutres élancées et permet d'affirmer que la déformation, et donc la contrainte, varient linéairement depuis l'axe neutre.

Une contrainte de +5.35 MPa est bien supérieure à la résistance en traction d'un béton C40/50 (qui est de l'ordre de 3.5 MPa). Sans précontrainte, la poutre serait donc largement fissurée en service, ce qui est inacceptable pour la durabilité d'un pont. Cela démontre la nécessité absolue de la précontrainte pour cet ouvrage.

Cette étape quantifie le "problème" à résoudre. La valeur de 5.35 MPa est la contrainte de traction exacte que notre système de précontrainte devra venir compenser. C'est la cible à atteindre.

Utiliser l'aire A au lieu du module W : Une erreur classique est de diviser la force par l'aire pour obtenir une contrainte. C'est valable pour un effort normal simple, mais pour un moment de flexion, il faut impérativement utiliser le module de résistance W (ou I/v).

Point Clé : N'oubliez pas le coefficient de pertes \(\eta\). La force \(P\) que l'on calcule est la force initiale, mais la force qui reste "en service" dans la poutre est réduite par les pertes. On doit donc en tenir compte dans le calcul de la contrainte apportée par la précontrainte.

L'Eurocode 2, section 5.10, détaille les effets de la précontrainte et la manière de les calculer. La section 7.2 spécifie les limites de contraintes à vérifier, notamment la condition de décompression (pas de traction) pour les classes d'exposition sensibles à la corrosion.

On se place dans le cas le plus simple où l'on vise une contrainte nulle en fibre inférieure (\(\sigma_{\text{total}} = 0\)). En pratique, on peut autoriser une légère traction si la section est bien confinée par des aciers passifs, ou au contraire viser une compression résiduelle pour plus de sécurité.

Il faut appliquer une force initiale de 3756 kN (environ 375 tonnes) sur les câbles pour garantir qu'aucune traction n'apparaisse en service. Cette force énorme est ce qui différencie la précontrainte du béton armé classique et nécessite des matériaux et des techniques de mise en œuvre spécifiques.

C'est le cœur du dimensionnement. Cette étape traduit un objectif de comportement (pas de traction) en une sollicitation interne à appliquer (la force P). C'est le lien entre la théorie de la résistance des matériaux et la conception d'un ouvrage précontraint.

Erreur de signe dans la formule : Les deux termes de la contrainte de précontrainte (\(-P/A\) et \(-P \cdot e_{\text{p}} / W\)) sont des compressions et doivent donc avoir le même signe (négatif), s'opposant à la traction (positive) des charges.

Point Clé : Le résultat du calcul est une section d'acier théorique. Le travail de l'ingénieur consiste ensuite à la traduire en un câblage réel, en choisissant un type de toron (ex: T15S de section 150 mm²) et un nombre de torons (ex: 2 torons 13T15S) qui fournissent une section totale supérieure ou égale à la section requise.

L'Eurocode 2 limite la tension maximale dans l'acier de précontrainte lors de la mise en tension à \(\sigma_{\text{p,max}} = \min(0.80 f_{\text{pk}}, 0.90 f_{\text{p0.1k}})\). La valeur \(f_{\text{pk}}\) est la résistance caractéristique à la rupture. On utilise ici une valeur courante de \(0.80 f_{\text{pk}}\) pour le dimensionnement.

On suppose que la contrainte dans l'acier est uniforme sur toute sa section. On choisit la limite de tension maximale autorisée par la norme pour optimiser la quantité d'acier et donc le coût.

Une section de 25.24 cm² peut sembler faible, mais il faut se rappeler qu'il s'agit d'acier à très haute performance. Cette petite section d'acier est capable de développer une force de plus de 375 tonnes, ce qui illustre l'efficacité de ce matériau.

C'est l'aboutissement du calcul : on obtient une quantité de matière concrète (des cm² d'acier) que l'on peut commander et mettre en œuvre sur le chantier. C'est la donnée finale qui permet de réaliser l'ouvrage.

Confondre \(f_{\text{pk}}\) et \(f_{\text{yd}}\) : Il ne faut jamais utiliser la limite élastique des aciers de béton armé (\(f_{\text{yk}} \approx 500\) MPa) pour calculer une section de précontrainte. Les aciers de précontrainte ont des résistances bien plus élevées (\(f_{\text{pk}} \approx 1860\) MPa).