Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte
📝 Situation du Projet et Enjeux Structurels
Dans le cadre du vaste plan de modernisation des infrastructures routières de la Nouvelle-Aquitaine, le projet de construction du Viaduc de la Vallée de la Vézère, situé en Corrèze, constitue un maillon essentiel pour le désenclavement du territoire. Cet ouvrage d'art, localisé en zone protégée Natura 2000, doit répondre à des contraintes environnementales strictes interdisant tout appui provisoire dans le lit mineur de la rivière. C'est pourquoi la solution d'un Viaduc à Travées Indépendantes à Poutres Précontraintes (VIPP) a été retenue. Cette typologie permet une préfabrication industrielle des poutres sur une aire dédiée, suivie d'un lançage à la grue, minimisant ainsi l'impact sur l'écosystème aquatique.
Le bureau d'études "INGÉ-STRUCT", mandaté par le Conseil Départemental, a validé le dimensionnement général du tablier (hourdis béton armé) et des appuis (piles marteau et culées). La mission actuelle se concentre sur la phase la plus critique des études d'exécution (EXE) : le dimensionnement des aciers actifs de précontrainte pour les poutres principales. La maîtrise de la fissuration du béton est l'enjeu majeur de cette étape pour garantir la durabilité de l'ouvrage (durée de vie 100 ans) face aux agressions chimiques (sels de déverglaçage) et aux cycles thermiques.
Vous intervenez en qualité d'Ingénieur Structure Confirmé. Votre objectif est de déterminer avec précision la section d'acier de précontrainte (\(A_p\)) nécessaire pour une poutre standard de 30 mètres de portée. Vous devez justifier chaque étape du calcul selon les Eurocodes, en visant la classe de vérification 2 (précontrainte limitée), ce qui implique une absence totale de traction en fibre inférieure sous la combinaison quasi-permanente des charges (ELS QP).
- Implantation Géographique
Brive-la-Gaillarde (19), Franchissement Vézère - Maîtrise d'Ouvrage
Conseil Départemental de la Corrèze - Typologie Structurelle
VIPP - Poutres PRAD précontraintes par post-tension
"Attention, pour ce pré-dimensionnement, simplifie l'estimation des pertes différées. Utilise un coefficient global de perte de tension de 15% (\(\Delta P / P_0 = 0.15\)). Cela nous donnera une enveloppe sécuritaire pour commander les aciers avant le calcul fin aux éléments finis."
Les paramètres suivants sont extraits du dossier de consultation des entreprises (DCE) et des rapports géotechniques. Ils sont impératifs pour la suite de l'étude et définissent les contraintes matérielles.
📚 Référentiel Normatif & Règlementaire
NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2)NF EN 1991-2 (Charges Trafic)L'étude doit se conformer strictement aux Eurocodes structuraux. L'Eurocode 2 définit les modèles de comportement du béton et de l'acier de précontrainte (lois de comportement parabole-rectangle ou bilinéaires). L'Eurocode 1-2 définit les charges routières (modèle de charge 1, tandem, etc.) qui ont permis d'aboutir aux charges linéiques fournies ci-dessous.
[Art. 3.1] CHOIX DU BÉTON DE STRUCTURE
Le béton constitutif des poutres sera de classe de résistance C45/55. Ce choix technique est motivé par la nécessité d'obtenir une résistance à la compression élevée très tôt (dès 3 jours) pour permettre la mise en tension partielle des câbles sur le banc de préfabrication sans risquer d'éclatement ou de fluage excessif. De plus, un béton haute performance offre une compacité supérieure, retardant la pénétration des agents agressifs.
[Art. 3.2] CHOIX DES ACIERS DE PRÉCONTRAINTE
L'acier actif sera constitué de torons T15S (15.7mm) de classe Y1860 S7. Le choix de la classe S7 (7 fils, très basse relaxation) est impératif pour minimiser les pertes différées de tension au cours de la vie de l'ouvrage. La limite élastique élevée (1860 MPa) permet de réduire la section d'acier nécessaire et donc l'encombrement des gaines dans l'âme de la poutre.
[Art. 4.5] DURABILITÉ & CLASSE D'EXPOSITION
L'ouvrage étant situé sur un axe routier soumis à un salage fréquent en hiver, il est classé en zone d'exposition XD1 (Corrosion induite par les chlorures). Cette contrainte environnementale impose un enrobage nominal des armatures actives de \(c_{\text{nom}} = 40 \text{ mm}\) minimum pour garantir la protection physico-chimique des aciers pendant 100 ans.
| GÉOMÉTRIE DE LA SECTION EN T (POUTRE SEULE) | |
| Portée de calcul (entre axes appuis) | \(L = 30.00 \text{ m}\) |
| Hauteur totale de la section | \(h = 1.80 \text{ m}\) |
| Position du Centre de Gravité (fibre inf.) | \(v = 0.76 \text{ m}\) |
| Moment d'Inertie (Section brute) | \(I = 0.54 \text{ m}^4\) |
| Aire de la section brute | \(A_c = 0.95 \text{ m}^2\) |
| CHARGES LINÉIQUES DE CALCUL | |
| Charge Permanente (\(g_{k}\)) (Poids propre poutre + hourdis + équipements) | \(g = 65 \text{ kN/m}\) |
| Charge d'Exploitation (\(q_{k}\)) (Système B, UDL + Tandem répartis) | \(q = 45 \text{ kN/m}\) |
- Corps de poutre (Gris) : Section transversale en béton armé (Coffrage).
- Ligne Rouge Discontinue : Axe Neutre Mécanique (G). Au-dessus : Compression (sous poids propre). En-dessous : Traction.
- Zone Tendue : Partie inférieure de la section où le béton risque de fissurer sans précontrainte.
- v : Distance fondamentale entre la fibre la plus sollicitée (bas) et le centre de gravité.
| Paramètre Physique | Symbole | Valeur Numérique | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Moment d'Inertie quadratique | \(I\) | 0.54 | \(m^4\) |
| Aire de la Section Béton | \(A_c\) | 0.95 | \(m^2\) |
| Distance Fibre Inférieure / G | \(v\) | 0.76 | \(m\) |
| Limite Élastique Acier | \(f_{p01k}\) | 1640 | \(MPa\) |
| Contrainte admissible service (estimée) | \(\sigma_{p,\text{adm}}\) | 1280 | \(MPa\) |
E. Protocole Méthodologique de Résolution
Pour mener à bien le dimensionnement des aciers actifs, nous allons appliquer une démarche déterministe rigoureuse, en remontant de l'effet (le moment extérieur) à la cause nécessaire (la force de précontrainte). Voici le séquençage logique de l'étude :
1. Bilan des Sollicitations Extérieures
Calcul du Moment Fléchissant maximal à mi-travée (\(M_{\text{max}}\)) sous la combinaison de charges caractéristique de l'État Limite de Service (ELS).
2. Optimisation Géométrique du Câblage
Détermination de l'excentricité maximale réalisable (\(e_0\)) en respectant les contraintes d'enrobage normatif pour maximiser le rendement du câble.
3. Dimensionnement de la Force de Précontrainte (P)
Application de la formule de Navier généralisée pour calculer la force \(P\) minimale requise pour annuler les tractions en fibre inférieure.
4. Détermination du Ferraillage Actif
Conversion de la force mécanique en section d'acier (\(A_p\)), choix du nombre de torons et définition des unités d'ancrage.
Calcul de la Section d’Acier de Précontrainte
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
La première étape consiste à quantifier précisément l'effort de flexion que la poutre devra subir durant sa vie en service. Le béton possède une très faible résistance à la traction. Le moment fléchissant positif (\(M > 0\)) généré par la gravité tend à ouvrir des fissures en partie basse. Notre objectif est de calculer ce moment maximal pour pouvoir ensuite lui opposer une "contre-flexion" par précontrainte.
Référentiel : EN 1990 (Bases de Calcul - Combinaisons ELS).
Pour le dimensionnement de la précontrainte (vérification de la non-fissuration), nous ne travaillons pas à l'État Limite Ultime (ELU) mais à l'État Limite de Service (ELS). Plus précisément, nous utilisons la combinaison Quasi-Permanente. Cette combinaison représente l'état de chargement moyen durable de la structure. Elle inclut 100% des charges permanentes (\(G\)) et une fraction des charges variables (\(Q\)), pondérée par le coefficient \(\psi_2\). Dans cet exercice, par souci de simplification sécuritaire souvent adoptée en phase d'avant-projet, nous considérerons la superposition directe des charges sans réduction (\(\psi_2 = 1.0\)), soit \(G + Q\).
📋 Données d'Entrée
| Type de Charge | Notation | Valeur |
|---|---|---|
| Charge Permanente Linéique | \(g\) | \(65 \text{ kN/m}\) |
| Charge d'Exploitation Linéique | \(q\) | \(45 \text{ kN/m}\) |
| Portée de calcul | \(L\) | \(30.00 \text{ m}\) |
En Ouvrage d'Art, les moments sont gigantesques. Pour éviter les erreurs d'ordres de grandeur avec des zéros inutiles, convertissez dès le début vos forces en Mégalnewtons (MN). Rappel : \(1 \text{ kN} = 10^{-3} \text{ MN}\). Ici, \(g = 0.065 \text{ MN/m}\).
📝 Calcul Détaillé du Moment
1. Calcul de la Charge Linéique Totale (ELS)On somme la charge permanente et la charge d'exploitation pour obtenir la charge de service :
On applique la formule parabolique du moment avec la portée au carré :
Interprétation Post-Calcul : Ce moment de 12.38 MN.m est l'effort qui tente de "casser" la poutre en deux par le bas. C'est cette valeur exacte que la précontrainte devra combattre.
Le moment fléchissant est positif, ce qui signifie que la fibre inférieure est tendue. C'est cohérent avec un chargement gravitaire.
Un moment de ~12 MN.m pour une portée de 30m est tout à fait cohérent pour un pont routier. À titre de comparaison, une poutre de bâtiment classique reprendrait environ 0.5 à 1 MN.m. Nous sommes ici dans le domaine du Génie Civil lourd, les ordres de grandeur sont respectés.
Ne jamais confondre le moment à l'ELS (Service) et à l'ELU (Ultime). Ici, nous cherchons à éviter les fissures en service, donc on utilise les charges non pondérées par 1.35 ou 1.5. Utiliser les coefficients ELU conduirait à un surdimensionnement massif et inutile de la précontrainte initiale.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
L'efficacité mécanique d'un câble de précontrainte dépend de deux facteurs : sa force de traction (\(P\)) et sa position dans la section (son bras de levier). Plus le câble est placé bas dans la section (loin de la fibre neutre), plus il génère un "contre-moment" de flexion important qui s'oppose au poids du pont. Notre but est de calculer la position la plus basse possible (\(e_0\) max) tout en respectant les règles de durabilité (enrobage du béton).
Référentiel : EN 1992-1-1 (Dispositions constructives).
L'excentricité \(e_0\) est définie algébriquement comme la distance verticale entre le centre de gravité de la section brute (\(G\)) et le centre de gravité des câbles actifs. Pour maximiser l'effet de la précontrainte, nous devons "coller" les câbles au fond du coffrage. Cependant, l'acier ne doit jamais être exposé à l'air ou à l'eau sous peine de corrosion immédiate. Nous devons donc laisser une épaisseur de béton protecteur : c'est l'enrobage nominal (\(c_{\text{nom}}\)).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Distance Fibre Neutre - Fibre Inférieure (\(v\)) | \(0.76 \text{ m}\) |
| Enrobage Nominal requis (\(c_{\text{nom}}\)) | \(0.040 \text{ m}\) |
| Diamètre estimé des gaines (\(\phi\)) | \(\approx 0.080 \text{ m}\) |
Dans la pratique, pour une poutre de cette puissance, on ne met pas un seul câble, mais plusieurs (3, 4 ou 5). Ils sont disposés en "paquet" (souvent sur deux lits superposés). La valeur \(d'\) représente la distance au barycentre du paquet de câbles. Pour des poutres VIPP, une valeur empirique standard pour le pré-dimensionnement est \(d' \approx 0.15 \text{ m}\) à \(0.18 \text{ m}\).
📝 Calcul de l'Excentricité de Calcul
1. Estimation de la distance d'Nous retiendrons une distance moyenne au centre de gravité des aciers permettant de loger deux lits de câbles :
On soustrait cette distance à la position du centre de gravité de la section :
Interprétation Post-Calcul : Les câbles seront placés, en moyenne, à 60 cm plus bas que le centre de gravité de la poutre. Ce bras de levier important est un atout majeur pour l'efficacité de la structure.
Cette valeur d'excentricité est optimale pour une poutre de 1.80m de haut.
Le centre de gravité est à 0.76m du bas. Si nous avions trouvé une excentricité supérieure à 0.70m, cela aurait signifié que les câbles sortent du béton (\(0.76 - 0.70 = 0.06m\) d'enrobage restant, c'est limite). Ici, avec 0.60m, il reste 16cm de béton en bas, ce qui est largement suffisant pour noyer les gaines.
Attention aux interférences avec le ferraillage passif (les cadres). Les gaines de précontrainte sont volumineuses (diamètre 80-90mm). Il faut s'assurer lors du dessin de ferraillage que les cadres peuvent contourner ces gaines tout en respectant leur propre enrobage.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
Nous abordons ici le calcul central de l'exercice. Nous connaissons le "mal" (le moment de flexion \(M_{\text{max}}\)) et le "levier" (\(e_0\)). Nous devons maintenant calculer la "force" (\(P\)) nécessaire pour qu'en fibre inférieure, la compression générée par la précontrainte soit au moins égale à la traction générée par les charges. C'est le critère de non-fissuration.
Référentiel : EN 1992-1-1 (Vérification des contraintes à l'ELS).
La contrainte totale en fibre inférieure (\(\sigma_{\text{inf}}\)) résulte de la superposition de trois effets physiques distincts :
1. L'effet piston : La force \(P\) comprime toute la section uniformément (\(+P/A\)).
2. L'effet de flexion inverse : L'excentricité du câble crée un moment qui comprime le bas (\(+P \cdot e_0 \cdot v / I\)).
3. L'effet des charges : Le poids du pont tend la fibre inférieure (\(-M_{\text{max}} \cdot v / I\)).
Le critère de classe 2 impose : \(\sigma_{\text{inf}} \ge 0\) (pas de traction).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur (Unités SI : MN, m) |
|---|---|
| Moment Max (\(M_{\text{max}}\)) | 12.375 MN.m |
| Distance à la fibre (\(v\)) | 0.76 m |
| Inertie (\(I\)) | 0.54 \(m^4\) |
| Aire (\(A_c\)) | 0.95 \(m^2\) |
| Excentricité (\(e_0\)) | 0.60 m |
Pour simplifier le calcul, raisonnez en deux temps : calculez d'abord la contrainte de traction que le béton subirait sans précontrainte (la "dette"), puis calculez l'efficacité de votre câble (le "remboursement" par MN de force).
📝 Calcul Détaillé
1. Calcul de la contrainte de traction (La "Demande")Calculons la traction pure générée par le chargement extérieur :
Calculons combien de MPa de compression nous gagnons pour chaque MN de force P appliqué :
On divise la demande par la capacité unitaire pour obtenir la force totale :
Interprétation Post-Calcul : Il faut une force permanente de 9.18 MN (environ 920 tonnes) pour maintenir la poutre comprimée malgré les charges.
C'est la force minimale requise en service, après toutes les pertes différées (fluage, relaxation).
Pour une poutre VIPP classique, on a souvent une contrainte de précontrainte moyenne (\(P/A\)) autour de 10-12 MPa. Ici : \(9.18 / 0.95 \approx 9.7 \text{ MPa}\). Le résultat est parfaitement dans la norme des ouvrages courants. Un résultat > 25 MPa aurait été suspect (section trop petite).
Attention à ne pas oublier le terme \(1/A_c\) (compression uniforme) dans le calcul de l'efficacité. Bien que l'effet de flexion (\(e_0 \cdot v / I\)) soit prépondérant, la compression axiale représente ici environ 55% de l'efficacité totale. L'oublier conduirait à surdimensionner inutilement les aciers.
🎯 Objectif & 📚 Référentiel
Nous avons une force théorique (\(P = 9.18 \text{ MN}\)). Il faut maintenant la traduire en réalité physique : combien de torons d'acier devons-nous installer ? Nous devons aussi tenir compte du fait que la force diminue dans le temps (pertes de précontrainte dues au fluage du béton et à la relaxation de l'acier).
Référentiel : ETA (Agrément Technique Européen) - Systèmes de Précontrainte.
La force \(P_{\text{min}}\) calculée à l'étape 3 est la force finale, à l'infini (\(P_{\infty}\)), c'est-à-dire après que toutes les pertes se soient produites (après 50 ans). Or, au moment de la mise en tension, nous ne pouvons pas dépasser une certaine contrainte pour ne pas casser l'acier.
On estime généralement la contrainte utile résiduelle \(\sigma_{p,\infty}\) à environ 1200 MPa pour de l'acier T15S (soit environ 20% de pertes totales par rapport à la tension initiale de 1488 MPa). C'est cette valeur sécuritaire que nous utiliserons pour déterminer la quantité d'acier.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Force requise (\(P_{\text{min}}\)) | \(9.18 \text{ MN}\) |
| Contrainte dimensionnement (\(\sigma_{p,\text{dim}}\)) | \(1200 \text{ MPa}\) |
| Section unitaire toron T15S | \(150 \text{ mm}^2\) |
Ne cherchez pas à "optimiser" au toron près. Il est toujours préférable d'avoir un nombre pair de câbles et un nombre standard de torons par câble (ex: 12, 13, 19) pour faciliter les approvisionnements et l'utilisation de vérins standards.
📝 Calcul du Ferraillage Actif
1. Calcul de la Section d'Acier ThéoriqueOn divise la force requise par la contrainte admissible de dimensionnement :
Nous utilisons des torons T15S standards (\(150 \text{ mm}^2\)).
Pour assurer la symétrie de l'effort dans la section (pas de flexion déviée), nous devons utiliser un nombre pair de câbles.
Si on utilise 4 câbles : \(51 / 4 = 12.75\) torons par câble.
$\Rightarrow$ On choisit donc 4 unités de 13 torons (soit 52 torons au total).
Vérifions la force réelle apportée par 4 câbles de 13 torons T15S (52 torons au total) :
Interprétation Post-Calcul : Avec 52 torons, nous fournissons 9.36 MN, ce qui est supérieur aux 9.18 MN requis. Le dimensionnement est validé.
Cette solution est techniquement réalisable et économiquement optimisée.
Le ratio d'acier géométrique est \(\rho_p = A_p / A_c = 7800 \cdot 10^{-6} / 0.95 \approx 0.8\%\). Pour du béton précontraint, ce ratio est usuellement compris entre 0.6% et 1.2%. Nous sommes pile dans la plage standard.
Le choix de 4 câbles implique une forte concentration de force aux abouts. Il faudra être particulièrement vigilant sur le ferraillage de diffusion (frettage) dans les zones d'ancrage pour éviter l'éclatement du béton lors de la mise en tension.
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
POUR EXE
14 Avenue du Pont, 75012 Paris
NOTE DE DIMENSIONNEMENT - PRÉCONTRAINTE LONGITUDINALE
| Désignation | Valeur / Description |
|---|---|
| 1. HYPOTHÈSES STRUCTURANTES | |
| Règlements | Eurocode 2 / Classe d'exposition XD1 |
| Matériaux | Béton C45/55 - Acier Y1860 S7 |
| Sollicitations (ELS QP) | \(M_{\text{max}} = 12.38 \text{ MN.m}\) |
| 2. RÉSULTATS DE CALCUL | |
| Excentricité maximale disponible (\(e_0\)) | 0.60 m |
| Contrainte de traction à compenser | 17.42 MPa |
| Force de Précontrainte Requise (\(P_{\infty}\)) | 9.18 MN |
| 3. SOLUTION TECHNIQUE RETENUE | |
| Câblage | 4 UNITÉS DE 13 TORONS T15S |
| Section d'acier réelle (\(A_p\)) | \(7\,800 \text{ mm}^2\) |
| Force utile fournie (\(P_{\text{prov}}\)) | \(9.36 \text{ MN} > 9.18 \text{ MN}\) [CONFORME] |
| Taux de travail de l'acier | 65% de \(f_{pk}\) (Hypothèse Conservatrice) |
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