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Vérification de la Résistance d’un Mur en Pierre de Taille

Exercice : Résistance d'un Mur en Pierre de Taille

Vérification de la Résistance d'un Mur en Pierre de Taille

Contexte : La résistance de la maçonnerieCapacité d'un mur en maçonnerie à supporter des charges (poids propre, planchers, vent) sans s'effondrer..

Cet exercice porte sur la vérification de la capacité portante d'un mur en maçonnerie de pierre de taille, un élément structurel courant dans les bâtiments anciens mais aussi dans certaines constructions modernes. Nous allons déterminer si un mur donné, avec ses dimensions et les matériaux qui le composent, peut supporter en toute sécurité les charges qui lui sont appliquées. Nous utiliserons une approche simplifiée basée sur les principes de l'Eurocode 6.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la méthode de calcul simplifiée pour vérifier la capacité portante (résistance à la compression) d'un mur en maçonnerie non armée, en tenant compte de la résistance des matériaux et des effets de l'élancement.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la résistance caractéristique à la compression de la maçonnerie (\(f_k\)).
  • Calculer l'élancement (\(\lambda\)) du mur en fonction de sa hauteur et de son épaisseur.
  • Appliquer les facteurs de réduction (\(\Phi\), \(\gamma_M\)) pour trouver l'effort normal résistant de calcul (\(N_{Rd}\)).
  • Comparer la résistance (\(N_{Rd}\)) à la sollicitation (\(N_{Ed}\)) pour conclure sur la sécurité.

Données de l'étude

Nous étudions un mur porteur intérieur en pierre de taille (calcaire dur) d'un bâtiment. Ce mur supporte un plancher et doit être vérifié sous une charge verticale centrée.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de pierre Calcaire dur (appareil régulier)
Type de mortier Mortier de chaux (Classe M5)
Conditions de liaison Mur supposé articulé en tête et en pied
Schéma statique du mur (coupe)
Mur N_Ed Hauteur h Épaisseur t
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur libre du mur \(h\) 3.5 m
Épaisseur du mur \(t\) 0.50 m
Résistance normalisée (pierre) \(f_b\) 20 MPa
Résistance du mortier \(f_m\) 5 MPa
Charge verticale (pondérée) \(N_{Ed}\) 300 kN/m
Coefficient partiel (matériau) \(\gamma_M\) 2.5 -

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance caractéristique à la compression de la maçonnerie, \(f_k\).
  2. Déterminer la hauteur efficace \(h_{ef}\) et l'élancement \(\lambda\) du mur.
  3. Calculer le facteur de réduction dû à l'élancement, \(\Phi\).
  4. Calculer l'effort normal résistant de calcul, \(N_{Rd}\) (par mètre linéaire).
  5. Conclure sur la sécurité du mur vis-à-vis de la charge appliquée \(N_{Ed}\).

Les bases sur la Maçonnerie en Pierre

La vérification d'un mur en maçonnerie consiste à s'assurer que la charge appliquée (\(N_{Ed}\)) est inférieure à la charge que le mur peut structurellement supporter (\(N_{Rd}\)).

1. Résistance à la compression (\(f_k\))
La résistance \(f_k\) de la maçonnerie n'est ni celle de la pierre, ni celle du mortier. Elle dépend des deux. Pour une maçonnerie de pierre de taille à joints minces (Cat. A), l'Eurocode 6 propose une formule empirique : \[ f_k = K \cdot f_b^{\alpha} \cdot f_m^{\beta} \] Où \(K\), \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes. Nous prendrons \(K=0.55\), \(\alpha=0.7\) et \(\beta=0.3\).

2. Effet de l'Élancement (\(\lambda\))
Un mur élancé (haut et fin) a tendance à "flamber" sous la charge. L'élancement \(\lambda\) compare la hauteur de flambement (\(h_{ef}\)) à l'épaisseur (\(t_{ef}\)). Pour en tenir compte, on applique un facteur de réduction \(\Phi\) (inférieur à 1) à la résistance. \[ \lambda = \frac{h_{ef}}{t_{ef}} \quad \text{et} \quad N_{Rd} = \Phi \cdot A \cdot f_d \]

Correction : Vérification de la Résistance d'un Mur en Pierre de Taille

Question 1 : Calculer la résistance caractéristique à la compression, \(f_k\).

Principe

La résistance globale du mur \(f_k\) est une valeur normalisée qui combine la résistance de la pierre (\(f_b\)) et celle du mortier (\(f_m\)). Elle est toujours inférieure à la résistance de la pierre seule, car les joints en mortier constituent le point faible.

Mini-Cours

Nous utilisons la formule empirique donnée dans les rappels, qui est une simplification issue de l'Eurocode 6 pour ce type de maçonnerie (appareil régulier, catégorie A).

Remarque Pédagogique

Notez que les exposants (0.7 et 0.3) donnent plus de poids à la résistance de la pierre (\(f_b\)) qu'à celle du mortier (\(f_m\)), ce qui est logique pour une maçonnerie de pierre de taille où la pierre domine.

Normes

L'approche est basée sur l'EN 1996-1-1 (Eurocode 6: Calcul des ouvrages en maçonnerie).

Formule(s)

Formule de calcul de \(f_k\) :

\[ f_k = 0.55 \cdot f_b^{0.7} \cdot f_m^{0.3} \]
Hypothèses

On suppose une maçonnerie de pierre de taille de catégorie A (contrôle de fabrication) et des joints minces, justifiant l'utilisation de cette formule.

Donnée(s)

Données issues de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance pierreRésistance à la compression normalisée de l'unité de maçonnerie (la pierre).\(f_b\)20MPa
Résistance mortierRésistance à la compression du mortier (classe M5).\(f_m\)5MPa
Calcul(s)

On applique la formule étape par étape :

Étape 1 : Calcul des termes de puissance

\[ \begin{aligned} f_b^{0.7} &= 20^{0.7} \approx 7.622 \\ f_m^{0.3} &= 5^{0.3} \approx 1.619 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul final de \(f_k\)

\[ \begin{aligned} f_k &= 0.55 \cdot 7.622 \cdot 1.619 \\ f_k &\approx 6.79 \text{ MPa} \end{aligned} \]
Réflexions

La résistance caractéristique de la maçonnerie (6.79 MPa) est bien inférieure à celle de la pierre (20 MPa), mais supérieure à celle du mortier (5 MPa). C'est un résultat cohérent.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser \(f_b\) directement pour le calcul de la résistance du mur. Toujours calculer la résistance composite \(f_k\). Attention aux unités (tous les calculs en MPa).

Points à retenir
  • La résistance d'une maçonnerie \(f_k\) est une combinaison des résistances de ses composants (pierre et mortier).
Résultat Final
La résistance caractéristique à la compression est \(f_k \approx 6.79 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Que deviendrait \(f_k\) si on utilisait un mortier plus faible (M2.5, \(f_m = 2.5\) MPa) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Résistance composite \(f_k\).
  • Formule Essentielle : \(f_k = K \cdot f_b^{\alpha} \cdot f_m^{\beta}\).
  • Résultat : \(f_k \approx 6.79\) MPa.

Question 2 : Déterminer la hauteur efficace \(h_{ef}\) et l'élancement \(\lambda\) du mur.

Principe

L'élancement \(\lambda\) est un nombre sans dimension qui quantifie la "minceur" d'un mur. Il compare sa hauteur de flambement (\(h_{ef}\)), qui est sa tendance à fléchir, à son épaisseur efficace (\(t_{ef}\)). Plus \(\lambda\) est élevé, plus le risque de flambement (instabilité) est grand, et plus la résistance du mur sera réduite.

Mini-Cours

La hauteur efficace \(h_{ef}\) dépend des conditions de liaison du mur. Un mur "articulé" en tête et en pied (liaison simple, type plancher simplement posé) flambe sur toute sa hauteur libre \(h\). Un mur "encastré" (liaison rigide) flambe sur une hauteur plus faible. Le coefficient de réduction est noté \(\rho\). L'épaisseur efficace \(t_{ef}\) est simplement l'épaisseur réelle \(t\) pour un mur plein.

Remarque Pédagogique

L'hypothèse des liaisons est cruciale. "Articulé-articulé" (\(\rho = 1.0\)) est l'hypothèse la plus courante et la plus sécurisante pour un plancher simplement posé sur un mur. Si le mur était encastré en pied et libre en tête (cas d'un muret), \(\rho\) vaudrait 2.0, doublant la hauteur de flambement !

Normes

Eurocode 6 (EN 1996-1-1), section 6.1.2.2 pour la hauteur efficace \(h_{ef}\).

Formule(s)

Hauteur efficace (mur articulé-articulé)

\[ h_{ef} = \rho \cdot h \quad \text{avec } \rho = 1.0 \]

Épaisseur efficace (mur plein)

\[ t_{ef} = t \]

Élancement

\[ \lambda = \frac{h_{ef}}{t_{ef}} = \frac{h}{t} \]
Hypothèses

Nous suivons les données de l'énoncé :

  • Le mur est articulé en tête et en pied, donc \(\rho = 1.0\).
  • Le mur est plein, donc \(t_{ef} = t\).
Donnée(s)

Données de l'énoncé :

  • Hauteur libre \(h = 3.5\) m
  • Épaisseur \(t = 0.50\) m
Astuces

Vérifiez toujours que \(h\) et \(t\) sont dans la même unité (ex: en mètres) avant de faire la division. L'élancement \(\lambda\) est un nombre pur, il n'a pas d'unité.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien les deux dimensions \(h\) et \(t\) qui vont être utilisées pour ce calcul.

Dimensions pour l'élancement
h = 3.5 m t = 0.50 m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(h_{ef}\) et \(t_{ef}\)

\[ \begin{aligned} h_{ef} &= 1.0 \cdot 3.5 = 3.5 \text{ m} \\ t_{ef} &= t = 0.50 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de l'élancement \(\lambda\)

\[ \lambda = \frac{3.5}{0.50} = 7.0 \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\lambda = 7\) est un simple ratio, il n'a pas de représentation graphique directe autre que de situer le mur dans la catégorie des murs "massifs" (faible élancement).

Réflexions

Un élancement de 7.0 est très faible. En général, les problèmes de flambement deviennent significatifs pour \(\lambda > 12\) ou 15. On s'attend donc à ce que le facteur de réduction \(\Phi\) (calculé à la prochaine question) soit proche de 1.

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur libre \(h\) et la hauteur efficace \(h_{ef}\). Dans ce cas simple elles sont égales, mais pour un mur encastré-articulé, on aurait \(h_{ef} = 0.75 h\).

Points à retenir
  • L'élancement \(\lambda = h_{ef} / t_{ef}\) est le paramètre clé qui gouverne le flambement.
  • Les conditions de liaison (articulé, encastré) déterminent \(h_{ef}\) via le coefficient \(\rho\).
Le saviez-vous ?

La théorie du flambement des éléments comprimés a été initialement développée par Leonhard Euler au 18ème siècle pour des poteaux métalliques. Son application aux murs en maçonnerie est plus complexe car le matériau n'est pas homogène et peut se fissurer.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Que se passe-t-il si le mur est encastré en pied et articulé en tête ?

Dans ce cas (fréquent pour un mur de rez-de-chaussée sur fondation), l'Eurocode 6 suggère \(\rho = 0.75\). La hauteur efficace serait \(h_{ef} = 0.75 \times 3.5 = 2.625\) m, et l'élancement \(\lambda = 2.625 / 0.5 = 5.25\), ce qui est encore plus faible.

Résultat Final
La hauteur efficace est \(h_{ef} = 3.5 \text{ m}\) et l'élancement est \(\lambda = 7.0\).
A vous de jouer

Que deviendrait \(\lambda\) si le mur faisait seulement 30 cm d'épaisseur (\(t=0.30\) m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Élancement \(\lambda\).
  • Formule Essentielle : \(\lambda = h_{ef} / t_{ef}\).
  • Résultat : \(\lambda = 7.0\).

Question 3 : Calculer le facteur de réduction dû à l'élancement, \(\Phi\).

Principe

Ce facteur \(\Phi\) (toujours inférieur ou égal à 1) réduit la résistance à la compression pour tenir compte du risque de flambement. Plus le mur est élancé (grand \(\lambda\)), plus il fléchit, et plus \(\Phi\) sera petit, réduisant d'autant la résistance admissible.

Mini-Cours

Le calcul de \(\Phi\) dépend de l'élancement \(\lambda\) et de l'excentricité de la charge \(e\). Pour des charges centrées (ou quasi-centrées) et un élancement faible, la réduction est minime. L'Eurocode 6 (Annexe G) fournit des formules ou des abaques, mais pour un cas simple comme le nôtre, une valeur simplifiée peut être adoptée.

Remarque Pédagogique

L'excentricité de la charge (si le plancher ne s'appuie pas au centre du mur) a un effet majeur. Une charge excentrée crée un moment de flexion qui, combiné à l'élancement, réduit \(\Phi\) beaucoup plus rapidement. Ici, nous supposons la charge centrée.

Normes

Eurocode 6 (EN 1996-1-1), Annexe G (Méthode de calcul simplifiée pour les murs).

Formule(s)

Facteur de réduction (valeur adoptée)

\[ \Phi = 0.9 \]
Hypothèses

Nous supposons la charge parfaitement centrée (\(e = 0\)). L'élancement \(\lambda = 7.0\) est faible (inférieur à la limite de 10-12 souvent utilisée pour les calculs simplifiés). Par simplification et sécurité, nous adoptons une valeur forfaitaire \(\Phi = 0.9\). (Note : un calcul précis selon l'EC6 pourrait donner \(\Phi \approx 1.0\), mais 0.9 est une valeur prudente et courante).

Donnée(s)

Seule donnée requise :

  • Élancement \(\lambda = 7.0\)
Astuces

Pour \(\lambda < 6\), \(\Phi\) est souvent pris égal à 1.0. Pour \(6 < \lambda < 27\) (limite max), \(\Phi\) diminue. Adopter 0.9 pour un faible élancement est une pratique courante et rapide qui va dans le sens de la sécurité.

Schéma (Avant les calculs)

Conceptuellement, \(\Phi\) suit une courbe décroissante lorsque \(\lambda\) augmente.

Concept : \(\Phi\) en fonction de \(\lambda\)
λ Φ 0 1.0 7.0 27 (max) Φ ≈ 0.9
Calcul(s)

Aucun calcul n'est requis pour cette étape, car nous adoptons une valeur forfaitaire basée sur l'hypothèse d'un faible élancement et d'une charge centrée.

Valeur adoptée

\[ \Phi = 0.9 \]
Schéma (Après les calculs)

N/A. Le résultat est la valeur \(\Phi = 0.9\).

Réflexions

La valeur de \(\Phi = 0.9\) est élevée (proche de 1), ce qui confirme notre intuition de la Q2 : l'effet du flambement est mineur pour ce mur très massif.

Points de vigilance

Ne jamais oublier le facteur \(\Phi\) dans le calcul de la résistance finale. Omettre \(\Phi\) (c'est-à-dire prendre \(\Phi=1.0\)) n'est valable que pour des murs très massifs (\(\lambda < 6\)) et sans excentricité.

Points à retenir
  • \(\Phi\) est le facteur de réduction pour l'élancement et l'excentricité.
  • Pour \(\lambda=7\) et \(e=0\), une valeur de \(\Phi=0.9\) est une simplification prudente.
Le saviez-vous ?

L'excentricité de la charge (si le plancher s'appuie sur le bord intérieur du mur) a un effet beaucoup plus important sur \(\Phi\) que l'élancement lui-même dans la plupart des cas courants. Le calcul devient alors \(\Phi \cdot f_d\) pour tenir compte des deux effets.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Comment calculer \(\Phi\) précisément ?

L'Eurocode 6 (Annexe G) donne une formule : \(\Phi = 1 - 2 \cdot \frac{e_k}{t}\) (pour l'excentricité \(e_k\)) ou utilise des abaques complexes. Pour notre cas (\(\lambda=7, e=0\)), les abaques donneraient \(\Phi \approx 0.95\) ou plus. Notre 0.9 est donc bien sécuritaire.

Résultat Final
Le facteur de réduction pour l'élancement est pris égal à \(\Phi = 0.9\).
A vous de jouer

Si l'élancement était \(\lambda = 20\), \(\Phi\) serait-il plus grand ou plus petit que 0.9 ? (Réponse qualitative)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Facteur de réduction \(\Phi\) (flambement).
  • Valeur : \(\Phi = 0.9\) (adopté pour \(\lambda = 7.0\)).

Question 4 : Calculer l'effort normal résistant de calcul, \(N_{Rd}\) (par mètre linéaire).

Principe

C'est le calcul de la résistance ultime du mur, c'est-à-dire la charge maximale qu'il peut supporter en toute sécurité. On combine tous les éléments précédents : la résistance du matériau (\(f_k\)), les coefficients de sécurité (\(\gamma_M\)), la géométrie (section \(A\)) et les effets d'instabilité (flambement via \(\Phi\)).

Mini-Cours

La résistance de calcul \(N_{Rd}\) est le produit de la section transversale du mur (\(A\)) par la contrainte admissible de calcul. Cette contrainte admissible, c'est la résistance de calcul du matériau \(f_d = f_k / \gamma_M\), à laquelle on applique le facteur de réduction \(\Phi\) pour tenir compte du flambement. On calcule \(N_{Rd}\) par mètre linéaire de mur.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est le cœur de la vérification. Il est essentiel de comprendre que \(N_{Rd}\) est une RÉSISTANCE (ce que le mur peut "offrir"). Elle sera ensuite comparée à la SOLLICITATION \(N_{Ed}\) (ce que le mur "subit"). Notez que nous calculons la résistance pour "1 mètre linéaire" de mur, car la charge \(N_{Ed}\) est aussi donnée en kN/m.

Normes

EN 1996-1-1 (Eurocode 6), section 6.1.2.1, formule (6.1).

Formule(s)

Résistance de calcul (matériau)

\[ f_d = \frac{f_k}{\gamma_M} \]

Section (par mètre linéaire)

\[ A = 1.0 \text{ m} \times t \]

Effort Normal Résistant

\[ N_{Rd} = \Phi \cdot A \cdot f_d = \Phi \cdot (1.0 \times t) \cdot \left( \frac{f_k}{\gamma_M} \right) \]
Hypothèses

On suppose que la contrainte de compression se répartit sur toute la section efficace du mur, et que le facteur \(\Phi\) englobe correctement les effets de l'élancement et de l'excentricité (supposée nulle ici).

Donnée(s)

Données calculées et issues de l'énoncé :

  • Facteur de réduction (Q3) : \(\Phi = 0.9\)
  • Épaisseur du mur : \(t = 0.50\) m
  • Résistance caractéristique (Q1) : \(f_k = 6.79\) MPa
  • Coefficient de sécurité (énoncé) : \(\gamma_M = 2.5\)
Astuces

Attention aux unités ! C'est le piège principal. Puisque \(f_k\) est en MPa (MégaPascals), il est plus simple de tout convertir en Newtons (N) et mètres (m).
Rappel : \(1 \text{ MPa} = 10^6 \text{ N/m}^2\).
Ainsi, \(f_k = 6.79 \times 10^6 \text{ N/m}^2\). Le résultat final sera en N/m, qu'on convertira en kN/m en divisant par 1000.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche la force résultante \(N_{Rd}\) que peut encaisser la section du mur (de longueur 1m et d'épaisseur \(t\)) avant de céder.

Section résistante (par mètre linéaire)
Section A 1.0 m t = 0.50 m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la résistance de calcul du matériau \(f_d\)

\[ f_d = \frac{f_k}{\gamma_M} = \frac{6.79 \text{ MPa}}{2.5} = 2.716 \text{ MPa} \]

Étape 2 : Conversion de \(f_d\) en N/m²

\[ f_d = 2.716 \text{ MPa} = 2.716 \times 10^6 \text{ N/m}^2 \]

Étape 3 : Calcul de la section \(A\) (pour 1m de long)

\[ A = 1.0 \text{ m} \times t = 1.0 \text{ m} \times 0.50 \text{ m} = 0.50 \text{ m}^2 \]

Étape 4 : Calcul de l'effort normal résistant \(N_{Rd}\)

\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= \Phi \cdot A \cdot f_d \\ N_{Rd} &= 0.9 \cdot (0.50 \text{ m}^2) \cdot (2.716 \times 10^6 \text{ N/m}^2) \\ N_{Rd} &= 1,222,200 \text{ N/m} \end{aligned} \]

Étape 5 : Conversion de \(N_{Rd}\) en kN/m

\[ N_{Rd} = \frac{1,222,200}{1000} = 1222.2 \text{ kN/m} \approx 1222 \text{ kN/m} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul donne la contrainte de calcul \(f_d\), que l'on suppose uniformément répartie sur la section grâce au facteur \(\Phi\) qui tient compte des non-linéarités.

Diagramme des Contraintes de Calcul
Distribution des Contraintes Section du mur Axe f_d = 2.716 MPa t = 0.50 m
Réflexions

Le mur peut résister à \(1222 \text{ kN/m}\). Cela signifie que pour chaque mètre de longueur, il peut supporter une charge de 1222 KiloNewtons, soit environ 122 tonnes ! C'est une capacité portante très élevée, typique des murs massifs en pierre.

Points de vigilance

La conversion d'unités MPa \(\rightarrow\) kN/m² est la source d'erreur n°1. Prenez l'habitude de poser : \(f_d \text{ (MPa)} \times 1000 = f_d \text{ (kN/m}^2)\). Ainsi, \(2.716 \text{ MPa} \times 1000 = 2716 \text{ kN/m}^2\).
Le calcul devient : \(N_{Rd} = 0.9 \cdot (1.0 \times 0.50) \cdot 2716 = 1222.2 \text{ kN/m}\). C'est plus direct.

Points à retenir
  • La résistance finale \(N_{Rd}\) dépend des 4 termes : \(\Phi\), \(A\), \(f_k\), et \(\gamma_M\).
  • Le calcul se fait par mètre linéaire de mur (section \(A = 1.0 \times t\)).
Le saviez-vous ?

Le coefficient de sécurité \(\gamma_M = 2.5\) pour la maçonnerie peut sembler élevé par rapport à l'acier (\(\gamma_M = 1.0\)) ou au béton (\(\gamma_M = 1.5\)). Cela est dû à la plus grande variabilité de la maçonnerie, qui est un matériau composite (pierre + mortier) souvent assemblé sur site, et à son comportement "fragile" (casse sans prévenir).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

D'où vient la charge \(N_{Ed}\) ?

\(N_{Ed}\) (la sollicitation) n'est pas calculée dans cet exercice, elle est donnée. Dans un cas réel, l'ingénieur la calculerait en additionnant le poids des planchers, des poutres, des charges d'exploitation (personnes, mobilier), de la neige, etc. qui s'appuient sur ce mur, puis en pondérant le tout par des coefficients de sécurité (\(1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q\)).

Résultat Final
L'effort normal résistant de calcul est \(N_{Rd} \approx 1222 \text{ kN/m}\).
A vous de jouer

Quelle serait la résistance \(N_{Rd}\) si le mur faisait 0.40m d'épaisseur (\(t=0.40\) m, \(\lambda = 8.75\), \(\Phi \approx 0.9\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Résistance de calcul \(N_{Rd}\).
  • Formule : \(N_{Rd} = \Phi \cdot A \cdot (f_k / \gamma_M)\).
  • Résultat : \(N_{Rd} \approx 1222\) kN/m.

Question 5 : Conclure sur la sécurité du mur vis-à-vis de la charge appliquée \(N_{Ed}\).

Principe

C'est la vérification ultime à l'État Limite Ultime (ELU). On compare ce que le mur *peut* supporter (sa résistance de calcul, \(N_{Rd}\)) à ce qu'il *doit* supporter (la charge de calcul, \(N_{Ed}\)). Pour que le mur soit considéré comme sûr, la résistance doit être supérieure ou égale à la charge.

Mini-Cours

En ingénierie structurelle, la sécurité est assurée par l'inégalité : $Sollicitation \le Résistance$. Les sollicitations (\(N_{Ed}\)) sont les charges (majorées par des coefficients \(\gamma_F\)). Les résistances (\(N_{Rd}\)) sont calculées à partir des propriétés du matériau (minorées par des coefficients \(\gamma_M\)) et de la géométrie (\(\Phi\)).

Remarque Pédagogique

On compare toujours des valeurs de "calcul" (indice 'd' pour design) : \(N_{Ed}\) (Design Effort) et \(N_{Rd}\) (Design Resistance). On ne compare jamais de valeurs caractéristiques (indice 'k') entre elles.

Normes

EN 1990 (Eurocode 0 - Bases de calcul des structures) et EN 1996-1-1 (Eurocode 6).

Formule(s)

Critère de vérification à l'ELU

\[ N_{Ed} \le N_{Rd} \]
Hypothèses

Les calculs de \(N_{Ed}\) (donné) et \(N_{Rd}\) (calculé en Q4) sont supposés corrects et représentent la situation la plus défavorable pour ce mur.

Donnée(s)

Charges et résistances :

  • Charge appliquée (sollicitation) : \(N_{Ed} = 300\) kN/m
  • Résistance du mur (calculée) : \(N_{Rd} = 1222\) kN/m
Astuces

Il est utile de calculer le "taux de travail" (ou ratio d'utilisation) : \(\text{Taux} = N_{Ed} / N_{Rd}\). Ce taux doit être inférieur à 1.0 (ou 100%). Plus il est bas, plus la marge de sécurité est grande.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la vérification comme une balance : la résistance \(N_{Rd}\) doit "peser" plus lourd que la charge \(N_{Ed}\).

Balance de Sécurité
N_Ed 300 N_Rd 1222
Calcul(s)

Comparaison

\[ 300 \text{ kN/m} \le 1222 \text{ kN/m} \]

Vérification

L'inégalité est VRAIE.

Calcul du taux de travail (optionnel)

\[ \text{Taux} = \frac{N_{Ed}}{N_{Rd}} = \frac{300}{1222} \approx 0.245 = 24.5\% \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme le schéma : la balance penche nettement du côté de la résistance. Le taux de travail de 24.5% montre que le mur est "utilisé" à moins d'un quart de sa capacité.

Réflexions

La condition \(N_{Ed} \le N_{Rd}\) est largement vérifiée. La charge appliquée ne représente que 24.5% de la capacité maximale du mur. Le mur dispose d'une marge de sécurité très confortable. Ce surdimensionnement est typique des constructions anciennes en pierre de taille, où l'épaisseur était souvent dictée par des impératifs de stabilité générale ou d'isolation plutôt que par la seule résistance à la compression.

Points de vigilance

Ne jamais inverser l'inégalité. Si \(N_{Ed} > N_{Rd}\), le mur est instable et un renforcement est obligatoire. Assurez-vous que \(N_{Ed}\) et \(N_{Rd}\) sont dans les mêmes unités (ici, kN/m) avant de les comparer.

Points à retenir
  • La vérification finale de la sécurité structurale est toujours $Sollicitation \le Résistance$.
  • Un taux de travail (\(N_{Ed}/N_{Rd}\)) très inférieur à 100% indique une grande marge de sécurité.
Le saviez-vous ?

Dans les bâtiments historiques, ces murs porteurs massifs ne reprenaient pas seulement des charges verticales. Ils assuraient aussi la stabilité horizontale (contreventement) et reprenaient parfois les poussées horizontales des voûtes ou des charpentes, des efforts qui ne sont pas pris en compte dans ce calcul simple.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Que faire si \(N_{Ed} > N_{Rd}\) ?

Si le mur n'est pas vérifié, plusieurs solutions existent : 1. Augmenter la résistance (ex: changer le mortier, refaire les joints). 2. Augmenter l'épaisseur du mur (souvent impossible). 3. Réduire les charges appliquées (ex: changer la destination des locaux). 4. Utiliser une méthode de calcul plus fine (ex: calcul par éléments finis) qui pourrait montrer des réserves de capacité.

Résultat Final
Le mur est vérifié. Sa résistance (\(N_{Rd} = 1222\) kN/m) est largement supérieure à la charge appliquée (\(N_{Ed} = 300\) kN/m).
A vous de jouer

Si la charge appliquée était \(N_{Ed} = 1300\) kN/m, le mur serait-il vérifié ? (Oui/Non)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Vérification de sécurité.
  • Critère : \(N_{Ed} \le N_{Rd}\).
  • Conclusion : \(300 \le 1222 \Rightarrow\) Mur OK.

Outil Interactif : Simulateur de Résistance

Utilisez ce simulateur pour voir comment l'épaisseur et la hauteur du mur influencent son élancement et sa résistance \(N_{Rd}\). (Base de calcul : \(f_k = 6.79\) MPa, \(\gamma_M = 2.5\), \(\Phi\) simplifié).

Paramètres d'Entrée
0.5 m
3.5 m
Résultats Clés
Élancement \(\lambda\) -
Résistance \(N_{Rd}\) (kN/m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que l'élancement \(\lambda\) d'un mur ?

2. De quoi dépend principalement la résistance caractéristique \(f_k\) ?

3. Si on augmente l'épaisseur \(t\) d'un mur (pour une hauteur \(h\) constante)...

4. Le coefficient \(\gamma_M\) (ex: 2.5) est un coefficient...

5. Le critère de sécurité à l'ELU (État Limite Ultime) est vérifié si...

3. Si on augmente l'épaisseur \(t\) d'un mur (pour une hauteur \(h\) constante)...

4. Le coefficient \(\gamma_M\) (ex: 2.5) est un coefficient...

5. Le critère de sécurité à l'ELU (État Limite Ultime) est vérifié si...

Glossaire

Élancement (\(\lambda\))
Rapport entre la hauteur efficace (\(h_{ef}\)) et l'épaisseur efficace (\(t_{ef}\)) d'un mur. Il mesure sa 'minceur' et son risque de flambement.
Résistance caractéristique (\(f_k\))
Résistance à la compression de la maçonnerie dans son ensemble (pierres + mortier), valeur statistique utilisée dans les calculs.
Résistance de la pierre (\(f_b\))
Résistance à la compression normalisée de l'unité de maçonnerie (la pierre elle-même).
Effort Normal Résistant (\(N_{Rd}\))
Charge de calcul (pondérée) que le mur peut supporter en toute sécurité, en tenant compte des coefficients de sécurité.
Effort Normal Agissant (\(N_{Ed}\))
Charge de calcul (pondérée) appliquée sur le mur (poids propre, planchers, neige...). C'est la sollicitation.
Coefficient de sécurité (\(\gamma_M\))
Coefficient partiel appliqué au matériau (\(\gamma_M\)) pour réduire sa résistance caractéristique \(f_k\) en une résistance de calcul \(f_d\).
Exercice : Résistance d'un Mur en Pierre de Taille

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