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Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

Contexte : Le confort et la durabilité des structures bois.

Dans la construction en bois, la vérification de la déformation (la "flèche") d'un plancher est aussi importante que sa résistance à la rupture. Un plancher trop souple, même s'il est sûr, peut provoquer une sensation d'inconfort pour les usagers (vibrations, effet "trampoline") et endommager les finitions fragiles comme le carrelage ou les cloisons. Ce calcul, réalisé à l'État Limite de Service (ELS)L'État Limite de Service (ELS) correspond aux conditions au-delà desquelles les critères d'utilisation spécifiés pour une structure ne sont plus satisfaits. Il s'agit de confort, d'apparence et de bon fonctionnement (ex: flèche excessive, vibrations)., garantit la performance et la durabilité de l'ouvrage. Cet exercice vous guidera dans la vérification de la flèche d'une solive de plancher selon les principes de l'Eurocode 5.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une étape cruciale du dimensionnement des structures bois. Contrairement au calcul à la rupture (ELU), on s'intéresse ici au comportement de la structure en conditions normales d'utilisation. Nous allons combiner des charges, déterminer la déformation et la comparer à une limite réglementaire. C'est le quotidien de l'ingénieur structure bois.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer une combinaison de charges à l'État Limite de Service (ELS).
  • Calculer une charge linéique sur une solive à partir d'une charge surfacique.
  • Calculer le moment quadratique d'une section bois rectangulaire.
  • Utiliser la formule de la flèche pour une charge uniformément répartie.
  • Vérifier un critère de flèche admissible selon l'Eurocode 5.

Données de l'étude

On étudie le plancher d'un local d'habitation. Il est constitué de solives en bois massif de classe de résistance C24, simplement appuyées à leurs extrémités. On souhaite vérifier que la flèche de ces solives reste dans les limites acceptables.

Schéma du plancher et de la solive étudiée
q L = 4.50 m f_max Vue en coupe : entraxe
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 4.5 \(\text{m}\)
Largeur de la section (base) \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 225 \(\text{mm}\)
Entraxe des solives \(e\) 45 \(\text{cm}\)
Charges permanentes (hors poids propre) \(G_k\) 1.2 \(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation (habitation) \(Q_k\) 2.0 \(\text{kN/m}^2\)
Classe du bois C24
Module d'élasticité moyen (C24) \(E_{0,\text{mean}}\) 11 000 \(\text{MPa}\)
Coefficient de fluage (classe de service 1) \(k_{\text{def}}\) 0.6 -
Coefficient de combinaison (habitation) \(\psi_2\) 0.3 -
Critère de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge linéique \(q_{\text{els}}\) (en kN/m) s'appliquant sur une solive, sous la combinaison quasi-permanente de l'ELS.
  2. Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) de la section de la solive.
  3. Calculer la flèche finale maximale \(f_{\text{max,fin}}\) en tenant compte de l'effet du fluage.
  4. Vérifier si la flèche de la solive est conforme à la limite réglementaire.

Les bases du calcul de flèche en structure bois

Avant de commencer, rappelons les concepts spécifiques au calcul de flèche pour le bois.

1. Combinaison de charges à l'ELS :
Pour vérifier le confort, on n'utilise pas les charges maximales, mais une combinaison "quasi-permanente" qui représente ce que la structure subit la plupart du temps. Selon l'Eurocode, elle est : \[ q_{\text{qp}} = G_k + \psi_2 \cdot Q_k \] Où \(\psi_2\) est un facteur qui réduit la charge d'exploitation (on considère qu'un plancher n'est que partiellement et rarement chargé à son maximum).

2. Le Fluage du Bois :
Le bois est un matériau qui continue de se déformer lentement dans le temps sous une charge constante. C'est le fluageLe fluage est la déformation différée d'un matériau soumis à une charge constante. Pour le bois, cela signifie que la flèche initiale augmente avec le temps.. Pour en tenir compte, on majore la déformation due aux charges permanentes avec un coefficient \(k_{\text{def}}\). La flèche finale est : \[ f_{\text{fin}} = f_{\text{inst, G}} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + f_{\text{inst, Q}} \]

3. Formule de la flèche (charge répartie) :
Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniformément répartie \(q\), la flèche maximale au centre est bien plus sensible à la portée (\(L^4\)) que pour une charge ponctuelle : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \]

Correction : Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

Question 1 : Calculer la charge linéique quasi-permanente (q_els)

Principe (le concept physique)

Chaque solive ne supporte pas la totalité du plancher, mais seulement une bande de largeur égale à son entraxe. Pour trouver la charge qui s'applique le long de la solive (charge linéique en kN/m), on doit donc multiplier la charge surfacique du plancher (en kN/m²) par cette largeur de chargement (l'entraxe).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison quasi-permanente est utilisée pour les calculs de déformations à long terme. Elle représente la part des charges qui est présente de manière quasi-continue. Pour un logement, l'Eurocode considère que seulement 30% (\(\psi_2=0.3\)) de la charge d'exploitation (meubles, personnes) est présente en moyenne sur le long terme, en plus de 100% des charges permanentes (poids des matériaux).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la pluie tombe uniformément sur un toit. Chaque chevron ne récupère que l'eau qui tombe sur une petite bande de toiture autour de lui. C'est exactement le même principe ici : la solive "récupère" les charges du plancher sur une bande de largeur égale à l'entraxe.

Normes (la référence réglementaire)

La définition des combinaisons d'actions (charges) est un pilier des normes de calcul structurel, comme l'Eurocode 0 (EN 1990). Les valeurs des coefficients \(\psi\) sont données dans cette norme et dépendent de l'usage du bâtiment (habitation, bureaux, stockage...).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charge surfacique quasi-permanente \(g_{\text{qp}}\) :

\[ g_{\text{qp}} = G_k + \psi_2 \cdot Q_k \]

2. Charge linéique sur une solive \(q_{\text{qp}}\) :

\[ q_{\text{qp}} = g_{\text{qp}} \cdot e \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont uniformément réparties sur le plancher et que les solives sont parfaitement parallèles, assurant une distribution égale des charges entre elles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_k = 1.2 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Coefficient de combinaison, \(\psi_2 = 0.3\)
  • Entraxe des solives, \(e = 45 \, \text{cm} = 0.45 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Il est plus simple de tout convertir en kN et en mètres au début pour le calcul des charges, puis de passer en N et mm pour les calculs de flèche. Une erreur d'unité sur l'entraxe (cm vs m) est très fréquente.

Schéma (Avant les calculs)
Transformation de la charge surfacique en charge linéique
Charge surfacique (g_qp)g_qp = ?Charge linéique (q_qp) = g_qp × entraxe
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge surfacique quasi-permanente :

\[ \begin{aligned} g_{\text{qp}} &= 1.2 \, \text{kN/m}^2 + 0.3 \cdot 2.0 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 1.2 \, \text{kN/m}^2 + 0.6 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 1.8 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge linéique sur une solive :

\[ \begin{aligned} q_{\text{qp}} &= 1.8 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.45 \, \text{m} \\ &= 0.81 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge linéique calculée
Charge surfacique (g_qp = 1.8 kN/m²)× entraxe (0.45m)q_qp = 0.81 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de 0.81 kN/m (soit 81 kg par mètre) est la charge que nous allons utiliser pour calculer la déformation à long terme de notre solive. Elle représente le poids des revêtements de sol, des plafonds et d'une partie des meubles et occupants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'inclure le poids propre de la solive dans les charges permanentes Gk si l'énoncé le demande (ici, il est implicitement inclus dans la valeur de 1.2 kN/m² ou négligé pour simplifier). Dans un cas réel, il faudrait le calculer et l'ajouter.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge sur une solive est le produit de la charge surfacique et de l'entraxe.
  • L'ELS utilise des combinaisons de charges réduites (quasi-permanentes) pour évaluer le comportement à long terme.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les planchers collaborants bois-béton, la dalle en béton travaille avec les solives en bois pour reprendre les charges, ce qui permet d'augmenter considérablement la portée et la rigidité du plancher, tout en améliorant l'acoustique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas 100% de la charge d'exploitation ?

Parce qu'il est statistiquement très improbable qu'un plancher d'habitation soit chargé à son maximum sur toute sa surface et pendant toute sa durée de vie. La vérification à l'ELS vise le confort en conditions d'usage normal, et non un cas extrême.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge linéique quasi-permanente sur une solive est de 0.81 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe était de 60 cm, quelle serait la nouvelle charge linéique quasi-permanente en kN/m ?

Question 2 : Calculer le moment quadratique (I_Gz)

Principe (le concept physique)

Comme pour l'acier, le moment quadratique \(I\) est la propriété géométrique qui définit la rigidité de la section de la solive face à la flexion. Plus il est élevé, moins la solive se déformera. Il est crucial de le calculer correctement car la flèche est inversement proportionnelle à cette valeur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(I = bh^3/12\) découle de l'intégration de \(y^2\) sur la surface de la section. Elle montre que la rigidité augmente avec le cube de la hauteur. C'est pourquoi doubler la hauteur d'une solive la rend 8 fois plus rigide, alors que doubler sa largeur ne fait que doubler sa rigidité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est pour cette raison que les solives sont toujours posées "sur leur chant" (hauteur verticale) et jamais "à plat". Une solive de 75x225 mm est environ \((225/75)^2 = 9\) fois plus rigide en flexion posée sur son chant que posée à plat.

Normes (la référence réglementaire)

Les caractéristiques géométriques des sections bois standards sont tabulées dans les normes produits (ex: NF EN 336 pour le bois massif). Pour les sections non standards, le calcul direct est toujours appliqué.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) :

\[ I_{\text{Gz}} = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La section est considérée comme parfaitement rectangulaire, sans défauts majeurs (nœuds importants, fentes) qui pourraient localement réduire l'inertie efficace. Les dimensions sont celles à l'état sec.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 225 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs manuels, gardez les valeurs en \(10^6\) ou \(10^7\) mm⁴ pour éviter de manipuler de trop grands nombres sur votre calculatrice et de faire des erreurs de saisie.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la solive
b = 75 mmh = 225 mmGz
Calcul(s) (l'application numérique)

Application directe de la formule avec les dimensions en mm :

\[ \begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= \frac{75 \, \text{mm} \cdot (225 \, \text{mm})^3}{12} \\ &= \frac{75 \cdot 11390625}{12} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 71191406 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Moment Quadratique Calculé
I_Gz ≈ 7.12 x 10⁷ mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(7.12 \times 10^7 \, \text{mm}^4\) est un ordre de grandeur typique pour une solive de plancher standard. Cette grande valeur, due au \(h^3\), est ce qui donne sa rigidité au plancher.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Pour les calculs de flèche, il est impératif d'être cohérent. Si les charges sont en N et les longueurs en mm, le module d'élasticité doit être en MPa (N/mm²) et le moment quadratique en mm⁴. Convertissez toutes vos dimensions en mm avant le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du moment quadratique pour une section rectangulaire est \(I = bh^3/12\).
  • La rigidité en flexion est extrêmement sensible à la hauteur de la section.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres en I en bois (composées d'une âme mince en panneau de bois et de membrures en bois massif) sont une optimisation du moment quadratique. Elles utilisent moins de matière qu'une section rectangulaire équivalente pour une rigidité similaire.

FAQ (pour lever les doutes)
L'humidité influence-t-elle le moment quadratique ?

Directement non, car c'est une propriété géométrique. Indirectement oui, car les variations d'humidité provoquent des variations dimensionnelles (retrait, gonflement) du bois, qui modifient légèrement b et h. Cependant, cet effet est généralement négligé dans les calculs standards.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment quadratique de la section est d'environ 71 191 406 mm⁴.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle hauteur (en mm, arrondie) serait nécessaire pour doubler le moment quadratique (en gardant b=75mm) ?

Question 3 : Calculer la flèche finale maximale (f_max,fin)

Principe (le concept physique)

Nous allons calculer la déformation totale de la solive en fin de vie de l'ouvrage. Pour cela, nous devons additionner deux composantes : la déformation instantanée due à l'ensemble des charges quasi-permanentes, et la déformation supplémentaire due au fluage, qui n'est causée que par la partie permanente de ces charges.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de l'Eurocode 5 consiste à calculer la flèche instantanée pour chaque type de charge (G et Q) puis à les combiner. La flèche finale \(f_{\text{fin}}\) est la somme de la flèche nette finale \(f_{\text{net,fin}}\) (celle qui affecte les cloisons posées après la construction) et de la flèche initiale due au poids propre. Pour simplifier, nous calculons ici directement la flèche finale totale due à la charge quasi-permanente, ce qui est une approche courante et légèrement conservative.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du fluage est essentiel pour le bois. Imaginez une étagère en bois dans une bibliothèque. Chargée de livres, elle va fléchir un peu le premier jour. Mais si vous revenez un an plus tard, vous constaterez qu'elle a fléchi davantage, même si le poids des livres n'a pas changé. C'est le fluage.

Normes (la référence réglementaire)

Le coefficient \(k_{\text{def}}\) est donné par l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). Sa valeur dépend de la classe de service (1 pour intérieur sec, 2 pour sous abri, 3 pour extérieur) et du type de bois. Le choix de la bonne classe de service est une responsabilité clé de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Flèche instantanée due à une charge \(q\) :

\[ f_{\text{inst}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \]

2. Flèche finale en tenant compte du fluage :

\[ f_{\text{fin}} = f_{\text{inst, Gk}} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + f_{\text{inst, } \psi_2 Qk} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le module d'élasticité moyen \(E_{0,\text{mean}}\) est pertinent pour un calcul de déformation. On suppose aussi que la classe de service 1 est bien respectée durant toute la vie de l'ouvrage (pas d'humidité excessive).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Portée, \(L = 4.5 \, \text{m} = 4500 \, \text{mm}\)
  • Charge permanente linéique, \(q_G = (1.2 \, \text{kN/m}^2) \cdot 0.45 \, \text{m} = 0.54 \, \text{kN/m} = 0.54 \, \text{N/mm}\)
  • Charge d'exploitation linéique (part quasi-perm.), \(q_{\psi_2 Q} = (0.3 \cdot 2.0 \, \text{kN/m}^2) \cdot 0.45 \, \text{m} = 0.27 \, \text{kN/m} = 0.27 \, \text{N/mm}\)
  • Module d'élasticité, \(E = 11000 \, \text{MPa}\)
  • Moment quadratique, \(I = 71191406 \, \text{mm}^4\)
  • Coefficient de fluage, \(k_{\text{def}} = 0.6\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Séparez bien le calcul de la flèche due à G et celle due à Q. C'est plus clair et cela évite les erreurs en appliquant le coefficient de fluage uniquement sur la bonne partie de la charge.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la flèche finale
f_inst (G+Q)f_fluage (G)f_finale = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche instantanée due aux charges permanentes (\(G_k\)) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{inst, G}} &= \frac{5 \cdot (0.54 \, \text{N/mm}) \cdot (4500 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{MPa}) \cdot (71191406 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx \frac{1.107 \times 10^{15}}{3.00 \times 10^{14}} \, \text{mm} \\ &\approx 3.69 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche instantanée due à la part quasi-permanente de l'exploitation (\(\psi_2 Q_k\)) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{inst, } \psi_2 Q} &= \frac{5 \cdot (0.27 \, \text{N/mm}) \cdot (4500 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{MPa}) \cdot (71191406 \, \text{mm}^4)} \\ &\approx \frac{5.535 \times 10^{14}}{3.00 \times 10^{14}} \, \text{mm} \\ &\approx 1.84 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche finale totale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max,fin}} &= f_{\text{inst, G}} \cdot (1 + k_{\text{def}}) + f_{\text{inst, } \psi_2 Q} \\ &= 3.69 \, \text{mm} \cdot (1 + 0.6) + 1.84 \, \text{mm} \\ &= 3.69 \, \text{mm} \cdot 1.6 + 1.84 \, \text{mm} \\ &= 5.90 \, \text{mm} + 1.84 \, \text{mm} \\ &= 7.74 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flèche finale calculée
f_finale = 7.74 mm5.90mm (G+fluage) + 1.84mm (Q)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche finale attendue de 7.74 mm est la valeur à comparer à la limite réglementaire. On remarque que la flèche instantanée totale est de 3.69 + 1.84 = 5.53 mm. L'effet du fluage ajoute 2.21 mm, soit une augmentation de 40% de la flèche instantanée. On ne peut donc absolument pas le négliger dans les structures bois.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'appliquer le coefficient de fluage sur la totalité de la charge (G+Q). Le fluage est un phénomène à long terme, il ne s'applique donc qu'à la partie permanente de la charge, qui est \(G_k\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flèche finale = flèche instantanée + flèche de fluage.
  • Le fluage ne s'applique qu'aux charges permanentes (ou de longue durée).
  • La formule de la flèche pour une charge répartie contient L à la puissance 4, la rendant très sensible à la portée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains bois, comme le bois Accoya (un bois modifié par acétylation), ont un fluage très réduit par rapport au bois non traité, ce qui les rend très stables dimensionnellement pour des usages extérieurs ou en milieu humide.

FAQ (pour lever les doutes)
Le calcul est-il le même pour une terrasse extérieure ?

Non. Pour une terrasse (classe de service 3), le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) serait beaucoup plus élevé (environ 2.0), car l'humidité augmente considérablement le fluage. La flèche finale serait donc bien plus importante pour la même solive et les mêmes charges.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale maximale attendue est de 7.74 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la solive était en classe de service 2 (\(k_{\text{def}}\) = 0.8), quelle serait la nouvelle flèche finale en mm ?

Question 4 : Vérifier la conformité de la flèche

Principe (le concept physique)

La dernière étape consiste à comparer la déformation calculée de notre structure à la limite fixée par la réglementation. Cette limite n'est pas une valeur absolue mais dépend de la portée de l'élément. C'est une règle simple qui garantit un niveau de rigidité homogène et un bon comportement, quelle que soit la dimension de l'ouvrage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vérification aux ELS est une approche philosophique différente de l'ELU. À l'ELU, on s'assure que la structure ne s'effondre pas sous des charges extrêmes (majorées par des coefficients de sécurité). À l'ELS, on s'assure qu'elle se comporte bien sous des charges de service réalistes (non majorées ou même réduites) pour garantir le confort et la fonctionnalité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette vérification est un simple "Passe / Ne passe pas". C'est la conclusion du travail de l'ingénieur. Si ça ne passe pas, il faut reprendre la conception. Si ça passe avec une grande marge (comme ici), la conception est sûre, mais peut-être pas optimisée économiquement.

Normes (la référence réglementaire)

La limite de L/300 est une valeur courante donnée par l'Eurocode 5 pour les planchers. Des limites plus strictes (ex: L/400 ou L/500) peuvent être exigées pour des cas spécifiques, comme des planchers supportant des cloisons fragiles ou pour obtenir un confort vibratoire supérieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de la flèche admissible :

\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]

2. Condition de vérification :

\[ f_{\text{max,fin}} \le f_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la limite L/300 est le critère pertinent pour ce projet. Le cahier des charges du projet (CCTP) pourrait imposer une limite plus sévère, qui prévaudrait alors sur la norme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Portée, \(L = 4500 \, \text{mm}\)
  • Flèche calculée, \(f_{\text{max,fin}} = 7.74 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez toujours le ratio \(f_{\text{calculée}} / f_{\text{adm}}\). Si ce ratio est inférieur à 1, c'est bon. Il donne aussi une idée de la marge de sécurité (ex: un ratio de 0.5 signifie qu'on est à 50% de la limite).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison à la limite
f_max= ?Limite Admissible f_adm = ?OK ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche admissible :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{4500 \, \text{mm}}{300} \\ &= 15 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Comparaison :

\[ 7.74 \, \text{mm} \le 15 \, \text{mm} \quad (\text{Vérifié !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Flèche Calculée vs. Flèche Admissible
f_max=7.74Limite Admissible f_adm=15 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée (7.74 mm) est nettement inférieure à la flèche maximale autorisée (15 mm). La solive est donc suffisamment rigide. Le plancher ne devrait présenter ni déformations excessives ni vibrations inconfortables. Le dimensionnement est validé du point de vue de l'État Limite de Service de déformation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la même unité (mm) pour la flèche calculée et la flèche admissible. Une erreur de conversion de la portée (m en mm) lors du calcul de la limite est une source d'erreur classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche est un critère de confort et de durabilité (ELS).
  • Elle doit inclure les effets à long terme comme le fluage.
  • La condition est simple : la flèche calculée doit être inférieure à la flèche admissible.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très grandes poutres en bois lamellé-collé, on leur donne parfois une "contre-flèche" lors de la fabrication. C'est une courbure vers le haut, opposée à la flèche attendue. Une fois mise en place et chargée, la poutre devient presque parfaitement horizontale.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce la seule vérification à faire à l'ELS ?

Non. Pour les planchers, il faut aussi faire une vérification vibratoire, qui est souvent plus dimensionnante que la simple vérification de flèche statique, surtout pour les planchers légers et de grande portée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche finale de 7.74 mm est inférieure à la limite de 15 mm. La conception de la solive est conforme.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la portée maximale (en m) que cette solive pourrait avoir pour respecter tout juste le critère L/300 ?

Outil Interactif : Paramètres du Plancher Bois

Modifiez les paramètres du plancher pour voir leur influence sur la flèche et la conformité.

Paramètres d'Entrée
4.5 m
225 mm
45 cm
Résultats Clés
Flèche Finale (mm) -
Flèche Admissible (mm) -
Ratio (Flèche / Limite) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé, inventé au début du 20ème siècle, permet de fabriquer des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. En collant de petites lamelles de bois, on peut non seulement atteindre des portées de plus de 100 mètres, mais aussi optimiser la résistance en plaçant les meilleures lamelles dans les zones les plus sollicitées.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite de flèche est-elle L/300 et pas une valeur fixe ?

Une flèche de 10 mm est imperceptible sur une portée de 10 mètres, mais très visible et gênante sur une portée de 2 mètres. Le critère relatif (proportionnel à la portée) garantit un niveau de confort visuel et vibratoire constant, quelle que soit la taille de la structure. D'autres limites (L/400, L/500) peuvent être utilisées pour des structures plus sensibles.

Que se passe-t-il si la vérification de la flèche n'est pas satisfaite ?

L'ingénieur doit modifier la conception. Les solutions les plus courantes sont : augmenter la hauteur de la solive (très efficace car la rigidité dépend de h³), réduire l'entraxe entre les solives (ce qui diminue la charge sur chacune), ou choisir une classe de bois plus rigide (avec un module E plus élevé).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel paramètre a le plus d'influence sur la flèche d'une solive ?

2. Si on augmente l'entraxe entre les solives, la flèche de chaque solive va...

État Limite de Service (ELS)
Critères de dimensionnement liés au confort des usagers et à l'apparence de l'ouvrage (ex: déformation, vibration), par opposition à l'État Limite Ultime (ELU) qui concerne la ruine de la structure.
Fluage
Déformation différée d'un matériau sous l'effet d'une charge constante. Pour le bois, la flèche due aux charges permanentes augmente avec le temps.
Solive
Pièce de charpente, généralement en bois ou en métal, placée horizontalement en appui sur les murs ou les poutres pour constituer le support d'un plancher.
Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

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