Études de cas pratique

EGC

Vérification de la Flèche pour un Plancher en Bois

Vérification de la Flèche Admissible (ELS) pour un Plancher en Bois

Vérification de la Flèche Admissible (ELS) pour un Plancher en Bois

Comprendre la Vérification de la Flèche

En construction bois, le dimensionnement des éléments porteurs comme les solives de plancher ne se limite pas à la vérification de leur résistance (État Limite Ultime - ELU). Il est crucial de s'assurer que leur déformation sous l'effet des charges reste dans des limites acceptables. C'est l'objet de la vérification à l'État Limite de Service (ELS). Une flèche excessive peut entraîner des problèmes de confort (vibrations, sensation d'insécurité), des désordres sur les ouvrages annexes (fissuration des cloisons, du carrelage) et une mauvaise perception de la qualité de l'ouvrage. Cet exercice a pour but de détailler la méthode de calcul de la flèche d'un plancher bois selon la norme Eurocode 5.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre que le critère de déformation (la flèche) est souvent plus dimensionnant que le critère de résistance pour les éléments en bois élancés comme les solives de plancher. Comprendre l'influence du fluage (déformation différée dans le temps) est essentiel pour garantir la durabilité et le confort de l'ouvrage.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la section d'une solive pour un plancher d'étage dans une maison d'habitation.

Caractéristiques du projet :

  • Portée libre des solives (\(L\)) : \(4.50 \, \text{m}\)
  • Entraxe des solives : \(400 \, \text{mm}\)
  • Section des solives (b x h) : \(45 \times 220 \, \text{mm}\)
  • Classe de bois : C24 (\(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\))
  • Classe de service : 1 (local chauffé, humidité < 12%)
  • Charges permanentes (panneau, isolant, plafond...) \(G_k\) : \(1.20 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation (Habitation, Cat. A) \(Q_k\) : \(2.00 \, \text{kN/m}^2\)
Schéma de Principe du Plancher
Panneau de plancher Entraxe = 400 Portée L = 4.50 m Solive 45x220

Questions à traiter

  1. Calculer les charges linéiques (permanente \(g_k\) et d'exploitation \(q_k\)) s'appliquant sur une solive.
  2. Calculer le moment d'inertie \(I_y\) de la section de la solive.
  3. Calculer la flèche instantanée (\(w_{\text{inst}}\)) sous l'effet de la totalité des charges et la comparer à la limite admissible.
  4. Calculer la flèche nette finale (\(w_{\text{net,fin}}\)) en tenant compte du fluage et la comparer à la limite admissible.
  5. Conclure sur la validité de la section de solive de 45x220 mm vis-à-vis des critères de flèche.

Correction : Vérification de la Flèche Admissible (ELS) pour un Plancher en Bois

Question 1 : Calcul des Charges Linéiques

Principe :

Chaque solive supporte les charges appliquées sur une bande de plancher correspondant à sa zone d'influence, qui est égale à l'entraxe. On convertit donc les charges surfaciques (en kN/m²) en charges linéiques (en kN/m) en les multipliant par l'entraxe.

Remarque Pédagogique : Cette étape est fondamentale. Elle nous permet de passer d'un problème tridimensionnel (un plancher complet) à un problème bidimensionnel beaucoup plus simple à analyser : le comportement d'une seule poutre (la solive). C'est une simplification couramment utilisée en ingénierie des structures.

Calcul :
\[ \begin{aligned} g_k &= G_k \times \text{Entraxe} \\ &= 1.20 \, \text{kN/m}^2 \times 0.40 \, \text{m} \\ &= 0.48 \, \text{kN/m} \\ \\ q_k &= Q_k \times \text{Entraxe} \\ &= 2.00 \, \text{kN/m}^2 \times 0.40 \, \text{m} \\ &= 0.80 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les charges linéiques sont \(g_k = 0.48 \, \text{kN/m}\) et \(q_k = 0.80 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Calcul du Moment d'Inertie

Principe :

Le moment d'inertie (\(I_y\)) caractérise la rigidité géométrique de la section de la solive vis-à-vis de la flexion. Pour une section rectangulaire, il est calculé par la formule \(I_y = \frac{b h^3}{12}\). Les unités doivent être cohérentes (mètres pour le calcul final).

Remarque Pédagogique : Observez l'impact de la hauteur 'h' dans la formule (\(h^3\)). Cela montre que pour augmenter la rigidité d'une solive, il est beaucoup plus efficace d'augmenter sa hauteur que sa largeur. C'est pourquoi les solives sont toujours posées 'de chant' (sur leur côté le plus étroit).

Calcul :
\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{b h^3}{12} \\ &= \frac{(0.045 \, \text{m}) \times (0.220 \, \text{m})^3}{12} \\ &\approx 3.993 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie de la solive est \(I_y \approx 3.993 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Question 3 : Calcul de la Flèche Instantanée (\(w_{\text{inst}}\))

Principe :

La flèche instantanée est la déformation immédiate de la solive sous l'effet de toutes les charges (permanentes + exploitation). On la calcule avec la formule de la déformée d'une poutre sur deux appuis sous une charge uniformément répartie. La limite usuelle pour la flèche due à la totalité des charges est de L/300.

Remarque Pédagogique : La limite L/300 n'est pas choisie au hasard. Elle vise à garantir le confort des utilisateurs et à prévenir les désordres dans les finitions rigides (comme le plâtre ou le carrelage) qui pourraient se fissurer sous une déformation trop importante. C'est souvent ce critère, lié à l'apparence et au confort, qui est le plus difficile à respecter.

Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{\text{total}} &= g_k + q_k \\ &= 0.48 \, \text{kN/m} + 0.80 \, \text{kN/m} \\ &= 1.28 \, \text{kN/m} = 1280 \, \text{N/m} \\ \\ w_{\text{inst}} &= \frac{5 \cdot p_{\text{total}} \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \times 1280 \, \text{N/m} \times (4.5 \, \text{m})^4}{384 \times (11 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \times (3.993 \times 10^{-5} \, \text{m}^4)} \\ &\approx 0.0156 \, \text{m} = 15.6 \, \text{mm} \\ \\ w_{\text{adm,inst}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4500 \, \text{mm}}{300} \\ &= 15.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat : \(w_{\text{inst}} = 15.6 \, \text{mm}\). La condition \(w_{\text{inst}} \le L/300\) (15.6 mm > 15.0 mm) n'est pas respectée.

Question 4 : Calcul de la Flèche Nette Finale (\(w_{\text{net,fin}}\))

Principe :

Cette flèche représente la déformation différée (fluage) qui apparaît au cours du temps. Elle est calculée en appliquant le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) à la part permanente et quasi-permanente des charges. La limite usuelle est de L/250. Pour la classe de service 1, \(k_{\text{def}}=0.6\). Pour la charge d'exploitation de catégorie A, le facteur de part quasi-permanente \(\psi_2 = 0.3\).

Remarque Pédagogique : Le calcul du fluage est essentiel pour le bois. Il modélise le fait que la solive va continuer à "descendre" lentement au fil des années sous le poids constant du plancher lui-même. On ne prend en compte qu'une petite partie des charges d'exploitation (\(\psi_2 Q_k\)) car on considère que ces charges ne sont pas appliquées en permanence et n'ont donc pas le temps de provoquer un fluage significatif.

Calcul :

On calcule d'abord les flèches instantanées pour chaque type de charge :

\[ \begin{aligned} w_{\text{G,inst}} &= w_{\text{inst}} \times \frac{g_k}{p_{\text{total}}} \\ &= 15.6 \, \text{mm} \times \frac{0.48}{1.28} \\ &\approx 5.85 \, \text{mm} \\ \\ w_{\text{Q,inst}} &= w_{\text{inst}} - w_{\text{G,inst}} \\ &\approx 15.6 \, \text{mm} - 5.85 \, \text{mm} \\ &= 9.75 \, \text{mm} \\ \\ w_{\text{net,fin}} &= w_{\text{G,inst}} \cdot k_{\text{def}} + w_{\text{Q,inst}} \cdot \psi_2 \cdot k_{\text{def}} \\ &= (5.85 \, \text{mm} \times 0.6) + (9.75 \, \text{mm} \times 0.3 \times 0.6) \\ &= 3.51 \, \text{mm} + 1.755 \, \text{mm} \\ &\approx 5.27 \, \text{mm} \\ \\ w_{\text{adm,net,fin}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{4500 \, \text{mm}}{250} \\ &= 18.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat : \(w_{\text{net,fin}} = 5.3 \, \text{mm}\). La condition \(w_{\text{net,fin}} \le L/250\) (5.3 mm < 18.0 mm) est respectée.

Question 5 : Conclusion

Analyse des Résultats

La vérification de la flèche nette finale (fluage) est satisfaite avec une marge confortable. Cependant, la vérification de la flèche instantanée sous la totalité des charges est défaillante, bien que de très peu (15.6 mm calculé pour 15.0 mm admissible).

En pratique, un léger dépassement comme celui-ci pourrait être acceptable selon le contexte (par exemple, si les finitions sont souples), mais strictement parlant, la norme n'est pas respectée. Le critère de la flèche instantanée est donc le plus défavorable et dimensionne le projet.

Pour que le projet soit conforme, il faudrait envisager l'une des solutions suivantes :

  • Augmenter la hauteur de la solive (par ex. 45x240 mm).
  • Réduire l'entraxe des solives (par ex. 350 mm).
  • Réduire la portée (si possible architecturalement).

Simulation Interactive de la Flèche

Utilisez les curseurs pour modifier la portée et la hauteur de la solive, et observez l'impact direct sur les flèches et la validation du critère.

Paramètres de la Solive
Résultats de la Vérification
Flèche instantanée (\(w_{\text{inst}}\))
Limite pour \(w_{\text{inst}}\) (L/300)
Flèche nette finale (\(w_{\text{net,fin}}\))
Limite pour \(w_{\text{net,fin}}\) (L/250)
Résultat de la vérification

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la flèche due au fluage (\(w_{\text{net,fin}}\)) est-elle importante ?

Le fluage est une déformation qui augmente avec le temps sous une charge constante. Pour le bois, cela signifie que le plancher continuera à se déformer lentement au fil des ans. Si cette déformation différée est trop importante, elle peut causer des dommages progressifs aux éléments non-porteurs comme les cloisons et les revêtements de sol, même si la flèche initiale était acceptable.

Que se passe-t-il si j'utilise du bois de classe C18 au lieu de C24 ?

Le bois C18 a un module d'élasticité plus faible (\(E_{0,\text{mean}} = 9000 \, \text{MPa}\)) que le C24. Comme la flèche est inversement proportionnelle à E, utiliser du C18 avec la même section et la même portée entraînerait une flèche plus importante. Il faudrait donc probablement utiliser une section de bois plus grande pour respecter les limites de déformation.

Qu'est-ce qu'une "classe de service" ?

La classe de service définit l'environnement d'humidité dans lequel le bois sera utilisé. Elle a un impact direct sur le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\).
• Classe 1 : Intérieur chauffé (humidité < 12%), \(k_{\text{def}}=0.6\).
• Classe 2 : Extérieur abrité (humidité < 20%), \(k_{\text{def}}=0.8\).
• Classe 3 : Extérieur exposé aux intempéries, \(k_{\text{def}}=2.0\).
Une classe de service plus élevée implique un fluage plus important et donc une structure qui se déformera plus dans le temps.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si on double la portée (L) d'une solive, sa flèche est multipliée par :

2. Le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) dépend principalement de :

3. La vérification de la flèche (déformation) relève de :

Glossaire

État Limite de Service (ELS)
État pour lequel les critères de fonctionnement normal d'une structure ne sont plus respectés. Pour un plancher, cela concerne principalement les déformations (flèche) et les vibrations.
État Limite Ultime (ELU)
État correspondant à la ruine ou à un effondrement de la structure ou d'un de ses éléments. Il concerne la résistance des matériaux.
Fluage
Déformation différée d'un matériau soumis à une charge constante au cours du temps. Pour le bois, cette déformation supplémentaire est prise en compte par le coefficient \(k_{\text{def}}\).
Coefficient \(k_{\text{def}}\)
Coefficient qui quantifie l'amplitude de la déformation de fluage. Il dépend de la classe de service (humidité) du matériau.
Coefficients \(\psi\) (Psi)
Facteurs de réduction appliqués aux charges d'exploitation pour définir leur part fréquente (\(\psi_1\)) ou quasi-permanente (\(\psi_2\)), utilisées dans les combinaisons de charges ELS.
Vérification de la Flèche d'un Plancher Bois - Exercice d'Application (Eurocode 5)

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