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Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

Contexte : L'ossature bois, un choix durable et performant.

En charpente, les pannesPièce de charpente posée horizontalement sur les fermes ou les murs pignons. Elles supportent les chevrons, qui à leur tour supportent la couverture. sont des éléments horizontaux essentiels qui supportent le poids de la toiture (tuiles, isolation, neige...). Leur dimensionnement correct est crucial pour garantir la sécurité et la durabilité de l'ensemble de la structure. Contrairement à l'acier, le bois est un matériau orthotrope dont les propriétés dépendent de la durée des charges et des conditions d'humidité. Cet exercice vous guidera à travers une vérification complète d'une panne en bois selon les principes de l'Eurocode 5.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une démarche de vérification typique en bureau d'études structures bois. Nous partirons d'une section de bois présélectionnée et la vérifierons sous les charges les plus défavorables. Nous aborderons les notions clés de l'Eurocode 5 : les états limites (ELU et ELS), les classes de service, et les coefficients de modification qui ajustent les propriétés du matériau aux conditions réelles d'utilisation.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges permanentes (G) et de neige (S) sur une panne.
  • Appliquer les combinaisons d'actions de l'Eurocode pour trouver la charge de calcul à l'ELU.
  • Vérifier la résistance de la panne à la flexion selon l'Eurocode 5.
  • Vérifier la stabilité de la panne au déversement.
  • Vérifier la flèche de la panne à l'ELS pour assurer le confort et l'intégrité des ouvrages supportés.

Données de l'étude

On étudie les pannes d'une toiture à deux versants située en région parisienne (altitude < 200m). La structure est en bois résineux de classe de résistance C24. Les pannes sont simplement appuyées sur des fermes.

Schéma de la structure de toiture
Portée (L) = 4.0 m Entraxe = 0.6 m Section de panne proposée : 80 x 220 mm
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la panne \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Entraxe des pannes \(e\) 0.60 \(\text{m}\)
Classe de résistance du bois - C24 -
Charges permanentes (couverture, isolation...) \(G_k\) 0.45 \(\text{kN/m}^2\)
Charge de neige (caractéristique) \(S_k\) 0.65 \(\text{kN/m}^2\)
Classe de service / Durée - \(\text{Cl. 2 / Moyenne durée}\) -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges linéiques permanente (\(g_k\)) et de neige (\(s_k\)) sur la panne.
  2. Déterminer la charge de calcul à l'État Limite Ultime (ELU), notée \(p_d\).
  3. Vérifier la résistance à la flexion de la section 80x220 mm.
  4. Vérifier la flèche de la panne à l'État Limite de Service (ELS).

Les bases du calcul bois (Eurocode 5)

Le dimensionnement du bois est régi par des principes spécifiques pour tenir compte de son comportement.

1. Résistance de calcul (\(f_d\)) :
La résistance caractéristique du matériau (\(f_k\)), donnée pour une classe (ex: C24), est ajustée pour obtenir la résistance de calcul (\(f_d\)). On applique un coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) qui dépend de la classe de service (humidité) et de la durée de la charge, ainsi qu'un coefficient de sécurité partiel \(\gamma_M\). \[ f_d = k_{\text{mod}} \frac{f_k}{\gamma_M} \]

2. Combinaisons d'actions à l'ELU :
Pour vérifier la résistance, on utilise la combinaison la plus défavorable. La formule simplifiée pour les bâtiments est : \[ p_d = 1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot S_k \] Où \(G_k\) et \(S_k\) sont les charges caractéristiques (non pondérées).

3. Vérification de la flèche à l'ELS :
On vérifie que la flèche due aux charges de service (non pondérées) ne dépasse pas une limite, souvent L/250 ou L/300, pour éviter des désordres sur les éléments supportés (plafonds, cloisons) et pour le confort visuel. \[ f_{\text{net,fin}} \le \frac{L}{250} \]

Correction : Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

Question 1 : Calculer les charges linéiques

Principe (le concept physique)

Les charges de toiture (neige, poids des tuiles) sont données par unité de surface (en kN/m²). Une panne ne supporte qu'une bande de cette surface, dont la largeur est l'entraxe entre les pannes. Pour obtenir la charge par mètre de panne (charge linéique en kN/m), on multiplie simplement la charge surfacique par cet entraxe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette surface d'influence, aussi appelée largeur tributaire, représente la zone de la toiture dont les charges "descendent" vers la panne étudiée. On suppose que chaque panne reprend les charges à mi-distance de ses voisines. C'est une simplification courante et fiable pour les systèmes de pannes parallèles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous portez plusieurs sacs de courses. Chaque sac a un poids (charge surfacique). Si vous les répartissez sur une planche (la panne), la charge sur la planche dépend du nombre de sacs par mètre (l'entraxe). Notre but est de passer du poids de chaque sac à un poids total par mètre de planche.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de détermination des surfaces d'influence pour la descente de charges est un principe de base de la statique, appliqué dans tous les Eurocodes structuraux (Eurocode 1 pour les actions, puis Eurocode 5 pour l'application au bois).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge linéique = Charge surfacique × Entraxe des pannes

\[ g_k = G_k \cdot e \quad \text{et} \quad s_k = S_k \cdot e \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les pannes sont parallèles et équidistantes, et que les charges surfaciques sont uniformément réparties sur la toiture.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente surfacique, \(G_k = 0.45 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charge de neige surfacique, \(S_k = 0.65 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe des pannes, \(e = 0.60 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez rapidement les unités : \( [\text{kN/m}^2] \times [\text{m}] \) donne bien des \( [\text{kN/m}] \). C'est un bon réflexe pour éviter les erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Surface d'influence d'une panne
Charge surfacique (Gk, Sk)Pannee = 0.6m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge permanente linéique (\(g_k\)) :

\begin{aligned} g_k &= 0.45 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.60 \, \text{m} \\ &= 0.27 \, \text{kN/m} \end{aligned}

2. Calcul de la charge de neige linéique (\(s_k\)) :

\begin{aligned} s_k &= 0.65 \, \text{kN/m}^2 \cdot 0.60 \, \text{m} \\ &= 0.39 \, \text{kN/m} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Charges linéiques sur la panne
gk+sk = 0.66 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé un problème 2D (charge sur une surface) en un problème 1D (charge sur une ligne), ce qui correspond au modèle de calcul d'une poutre. On remarque que la charge de neige est supérieure à la charge permanente, ce qui est courant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de multiplier par l'entraxe et de calculer la poutre avec une charge surfacique, ce qui n'a pas de sens physique. Pensez toujours à ramener les charges à l'élément que vous étudiez : la panne.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les charges surfaciques (kN/m²) doivent être converties en charges linéiques (kN/m) pour le calcul d'une poutre.
  • Cette conversion se fait en multipliant la charge surfacique par la largeur de la zone d'influence (l'entraxe).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En plus des charges permanentes et de la neige, les ingénieurs doivent aussi considérer les charges de vent, qui peuvent créer des pressions (le vent pousse sur le toit) ou des dépressions (le vent "arrache" le toit). La combinaison la plus défavorable est toujours retenue.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on inclure le poids propre de la panne ?

Oui, rigoureusement. Le poids propre fait partie des charges permanentes G. Pour une panne en bois C24 (masse volumique ~420 kg/m³), une section de 80x220mm pèse environ 0.07 kN/m. Ici, il est inclus dans la charge Gk de 0.45 kN/m², qui est une valeur forfaitaire pour l'ensemble de la toiture.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les charges caractéristiques linéiques sont de 0.27 kN/m pour les charges permanentes et 0.39 kN/m pour la neige.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'entraxe était de 0.80 m, quelle serait la nouvelle charge de neige linéique \(s_k\) en kN/m ?

Question 2 : Déterminer la charge de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Pour garantir la sécurité, on ne calcule pas la structure avec les charges "normales" (caractéristiques), mais avec des charges majorées. L'État Limite Ultime (ELU) correspond à la ruine de la structure. On applique des coefficients de sécurité (1.35 pour les charges permanentes, 1.5 pour les charges variables comme la neige) pour obtenir la charge de calcul "ultime" que la panne devra pouvoir supporter sans rompre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients de sécurité (ou de pondération) \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\) sont définis sur la base d'approches probabilistes. Ils tiennent compte des incertitudes sur les valeurs des charges (une charge de neige peut être exceptionnellement plus élevée que la valeur caractéristique) et de la gravité des conséquences d'une défaillance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme prévoir un voyage. Vous estimez qu'il vous faut 100€ (charge caractéristique). Par sécurité, vous prenez 150€ (charge de calcul). Les coefficients de sécurité sont la "marge" que l'ingénieur prend pour couvrir les imprévus et garantir que la structure ne s'effondrera jamais.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie par l'Eurocode 0 (EN 1990). La formule \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la combinaison fondamentale la plus couramment utilisée pour les bâtiments.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge de calcul à l'ELU est donnée par :

\[ p_d = 1.35 \cdot g_k + 1.5 \cdot s_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la neige est la seule charge variable d'accompagnement. S'il y avait aussi du vent, d'autres combinaisons devraient être étudiées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente linéique, \(g_k = 0.27 \, \text{kN/m}\)
  • Charge de neige linéique, \(s_k = 0.39 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que la charge variable (neige) est plus lourdement pondérée (1.5) que la charge permanente (1.35). C'est parce qu'elle est plus incertaine. Identifiez toujours la charge dominante pour anticiper le résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Pondération des charges caractéristiques
gk = 0.27sk = 0.39x 1.35x 1.5pd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de combinaison :

\begin{aligned} p_d &= (1.35 \cdot 0.27 \, \text{kN/m}) + (1.5 \cdot 0.39 \, \text{kN/m}) \\ &= 0.3645 \, \text{kN/m} + 0.585 \, \text{kN/m} \\ &= 0.9495 \, \text{kN/m} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul ELU
pd = 0.95 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge totale caractéristique était de 0.27 + 0.39 = 0.66 kN/m. La charge de calcul ELU est de 0.95 kN/m, soit une majoration globale d'environ 44%. C'est avec cette charge amplifiée que nous allons vérifier la résistance de la panne.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais additionner les charges avant de pondérer ! L'erreur \(1.35 \times (g_k + s_k)\) est fausse et non sécuritaire. Chaque charge doit être multipliée par son propre coefficient de sécurité avant d'être sommée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELU (État Limite Ultime) concerne la RÉSISTANCE de la structure.
  • On utilise des charges PONDÉRÉES (majorées) pour les calculs à l'ELU.
  • La combinaison de base est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, des combinaisons d'actions encore plus complexes sont utilisées, incluant la force du tremblement de terre. De plus, on admet que la neige et un séisme maximal n'ont que très peu de chances de se produire simultanément, donc on les combine avec des coefficients réducteurs.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi 1.35 et 1.5 ?

Ces valeurs sont issues de décennies de recherches et de retours d'expérience. Elles représentent un compromis entre la sécurité (éviter la ruine) et l'économie (ne pas surdimensionner excessivement les structures). Elles sont harmonisées au niveau européen.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge de calcul à l'ELU est de 0.95 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge de neige était nulle (\(s_k=0\)), quelle serait la charge de calcul \(p_d\) en kN/m ?

Question 3 : Vérifier la résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

La charge répartie sur la panne crée un moment fléchissant, qui génère des contraintes de traction et de compression dans le bois. Nous devons vérifier que la contrainte maximale (\(\sigma_{m,d}\)) induite par la charge de calcul ELU ne dépasse pas la résistance en flexion du bois (\(f_{m,d}\)), qui a été ajustée pour tenir compte des conditions d'humidité et de la durée de la charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie \(p_d\), le moment fléchissant maximal se situe à mi-portée et vaut \(M_d = p_d L^2 / 8\). La contrainte se calcule avec \(\sigma_{m,d} = M_d / W_y\), où \(W_y = b h^2 / 6\) est le module de flexion de la section rectangulaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un plongeoir. Plus vous êtes lourd (charge) et plus le plongeoir est long (portée), plus il plie (moment). La contrainte est la "douleur" ressentie par le matériau du plongeoir. Notre travail est de s'assurer que cette "douleur" (contrainte) reste bien inférieure au point de rupture du matériau (résistance).

Normes (la référence réglementaire)

Pour le bois C24, la résistance caractéristique en flexion est \(f_{m,k} = 24\) MPa. Pour une Classe de Service 2 (charpente sous abri non chauffé) et une charge de neige (moyenne durée), le \(k_{\text{mod}}\) est de 0.8. Le \(\gamma_M\) pour le bois massif est 1.3.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul de la résistance de calcul :

\[ f_{m,d} = k_{\text{mod}} \frac{f_{m,k}}{\gamma_M} \]

2. Calcul de la contrainte de calcul :

\[ \sigma_{m,d} = \frac{M_d}{W_y} = \frac{p_d L^2 / 8}{b h^2 / 6} \]

3. Condition de vérification :

\[ \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la panne est maintenue contre le déversement par la couverture, ce qui permet de ne vérifier que la résistance en flexion simple. On néglige l'effet des efforts tranchants, qui sont faibles pour une poutre élancée en bois.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_d = 0.95 \, \text{kN/m} = 0.95 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm}\)
  • Section, \(b=80\) mm, \(h=220\) mm
  • Propriétés : \(f_{m,k}=24\) MPa, \(k_{\text{mod}}=0.8\), \(\gamma_M=1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour travailler avec des unités cohérentes, convertissez tout en N et mm. 1 kN/m = 1 N/mm. 1 MPa = 1 N/mm². 1 kNm = 10^6 Nmm. Cela évite de nombreuses erreurs de conversion.

Schéma (Avant les calculs)
Contrainte vs Résistance
σ_d = ?f_d = ?Échelle de contrainte
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Résistance de calcul du bois :

\begin{aligned} f_{m,d} &= k_{\text{mod}} \frac{f_{m,k}}{\gamma_M} \\ &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned}

2. Moment de calcul maximal :

\begin{aligned} M_d &= \frac{p_d L^2}{8} \\ &= \frac{0.95 \, \text{N/mm} \cdot (4000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= 1.9 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned}

3. Module de flexion de la section :

\begin{aligned} W_y &= \frac{b h^2}{6} \\ &= \frac{80 \cdot 220^2}{6} \\ &\approx 645333 \, \text{mm}^3 \end{aligned}

4. Contrainte de flexion de calcul :

\begin{aligned} \sigma_{m,d} &= \frac{M_d}{W_y} \\ &= \frac{1.9 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{645333 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 2.94 \, \text{MPa} \end{aligned}

5. Vérification :

\begin{aligned} \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} &= \frac{2.94 \, \text{MPa}}{14.77 \, \text{MPa}} \\ &= 0.20 \le 1.0 \quad (\text{OK !}) \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la contrainte
σ_d=2.94f_d=14.77Échelle de contrainte (MPa)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans la panne (2.94 MPa) est très inférieure à sa résistance de calcul (14.77 MPa). Le taux de travail est de 2.94 / 14.77 = 20%, ce qui est très faible. La section est donc largement surdimensionnée pour la résistance en flexion. En pratique, on pourrait choisir une section plus petite, mais il faudra aussi vérifier la flèche.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le coefficient \(k_{\text{mod}}\) ! Utiliser la résistance caractéristique \(f_{m,k}\) directement est une erreur grave qui surestime la capacité de la poutre. De même, ne pas oublier le \(\gamma_M\). Ces deux coefficients sont au cœur de la philosophie de sécurité des Eurocodes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance du bois dépend de l'humidité et de la durée de la charge (\(k_{\text{mod}}\)).
  • Le moment maximal pour une charge répartie est \(p_d L^2 / 8\).
  • La vérification finale consiste à s'assurer que la contrainte de calcul est inférieure à la résistance de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les anciennes charpentes de cathédrales, comme celle de Notre-Dame de Paris, ont été construites bien avant les normes modernes. Les charpentiers utilisaient des règles empiriques basées sur des siècles d'expérience, comme "une poutre doit avoir une hauteur d'un dixième de sa portée". Ces règles conduisaient souvent à des structures très robustes et surdimensionnées.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la contrainte est supérieure à la résistance ?

Si \(\sigma_{m,d} > f_{m,d}\), la section n'est pas conforme aux normes de sécurité. L'ingénieur doit alors la redimensionner : soit en augmentant la hauteur ou la largeur de la panne, soit en choisissant une classe de bois plus résistante (par exemple, C30 au lieu de C24), soit en réduisant la portée en ajoutant une ferme intermédiaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion de 2.94 MPa est inférieure à la résistance de 14.77 MPa. La panne est validée en résistance.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait du bois C18 (\(f_{m,k}=18\) MPa), quelle serait la nouvelle résistance de calcul \(f_{m,d}\) en MPa ?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

Même si une poutre est assez solide pour ne pas casser, elle peut se déformer excessivement, ce qui peut endommager les finitions (fissures dans les plafonds) ou être visuellement inesthétique. L'État Limite de Service (ELS) vise à garantir le confort et la fonctionnalité. On calcule la flèche maximale avec les charges réelles (non pondérées) et on la compare à une limite admissible, généralement une fraction de la portée (ex: L/250).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche \(f = \frac{5 q L^4}{384 E I}\) est une solution classique de la théorie des poutres pour une charge uniformément répartie. Elle montre une dépendance très forte à la portée (en \(L^4\)). Doubler la portée d'une poutre multiplie sa flèche par 16 ! C'est pourquoi la flèche devient rapidement le critère le plus difficile à respecter pour les longues portées.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une étagère de bibliothèque. Si vous la chargez trop, elle ne va pas forcément casser (ELU), mais elle va plier au milieu (flèche). Les livres au centre vont s'affaisser, ce qui n'est pas fonctionnel (ELS). Le calcul de flèche garantit que l'étagère restera suffisamment droite pour bien remplir sa fonction.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la flèche est une exigence de l'Eurocode 5. Le calcul utilise le module d'élasticité moyen du bois (\(E_{0,\text{mean}}\)). Pour du C24, \(E_{0,\text{mean}} = 11000\) MPa. La limite de flèche nette finale est souvent fixée à L/250.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Flèche instantanée due à la charge totale (\(g_k+s_k\)) :

\[ f_{\text{inst}} = \frac{5 \cdot (g_k + s_k) \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \]

2. Condition de vérification (simplifiée) :

\[ f_{\text{inst}} \le \frac{L}{250} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue un calcul de flèche instantanée. Pour un calcul complet, l'Eurocode 5 demande de calculer la flèche finale en tenant compte du fluage du bois (déformation différée dans le temps), ce qui est plus complexe.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges caractéristiques, \(g_k+s_k = 0.66 \, \text{kN/m} = 0.66 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
  • Module d'élasticité, \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\)
  • Moment quadratique, \(I_y = \frac{bh^3}{12} = \frac{80 \cdot 220^3}{12} \approx 7.08 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule de la flèche est sensible aux erreurs. Avant de tout taper, calculez séparément le numérateur et le dénominateur. Ils devraient être des nombres très grands (puissances de 10 élevées). Si ce n'est pas le cas, vérifiez vos conversions d'unités, notamment le \(L^4\).

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la panne
f_inst = ?Limite = L/250 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la flèche :

\begin{aligned} f_{\text{inst}} &= \frac{5 \cdot (0.66 \, \text{N/mm}) \cdot (4000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (11000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (7.08 \times 10^7 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{8.448 \times 10^{14}}{2.99 \times 10^{14}} \, \text{mm} \\ &\approx 2.82 \, \text{mm} \end{aligned}

2. Calcul de la limite admissible :

\begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 16 \, \text{mm} \end{aligned}

3. Vérification :

\[ 2.82 \, \text{mm} \le 16 \, \text{mm} \quad (\text{OK !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la flèche
f=2.8f_lim=16Échelle de flèche (mm)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée (2.8 mm) est très largement inférieure à la flèche maximale autorisée (16 mm). Cela confirme que la section 80x220 mm est très confortable pour cette portée et ce chargement. Le critère de flèche est souvent plus dimensionnant que le critère de résistance pour les poutres en bois de grande portée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser les charges pondérées (ELU) pour le calcul de flèche est une erreur. La flèche se vérifie avec les charges de service (ELS), car elle concerne le comportement "normal" de la structure, pas sa ruine. De plus, ne pas confondre le module d'élasticité moyen \(E_{0,\text{mean}}\) avec le module au 5ème percentile \(E_{0.05}\) utilisé pour d'autres vérifications.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELS (État Limite de Service) concerne la DÉFORMATION et le confort.
  • On utilise des charges CARACTÉRISTIQUES (non pondérées) pour les calculs à l'ELS.
  • La flèche est très sensible à la portée (\(L^4\)) et inversement proportionnelle à la rigidité (\(EI\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers, on vérifie aussi un critère de vibration. Une poutre peut être assez solide et avoir une flèche acceptable, mais si elle est trop souple, elle peut entrer en vibration lorsque l'on marche dessus, créant une sensation d'inconfort. Le calcul vibratoire est une spécialité complexe de l'ingénierie des structures.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite est-elle toujours L/250 ?

Non, cela dépend de la fragilité des éléments supportés. Pour un plafond en plâtre fragile, on peut prendre L/350 voire L/500. Pour une toiture de hangar sans plafond, une limite plus souple comme L/200 peut être acceptable. La limite est définie par les normes et les documents techniques d'application.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche de 2.82 mm est inférieure à la limite de 16 mm. La panne est validée vis-à-vis de la déformation.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une portée de 5m (5000 mm), quelle serait la nouvelle flèche instantanée en mm ?

Outil Interactif : Influence de la Section

Choisissez une section de bois commerciale et observez comment la résistance et la flèche sont affectées.

Paramètres d'Entrée
4.00 m
Résultats Clés (pour C24)
Taux de travail en flexion (%) -
Flèche calculée (mm) -
Flèche limite (L/250) (mm) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé permet de fabriquer des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. Le record de portée pour une poutre en bois est détenu par le "Richmond Olympic Oval" au Canada, avec des arches en bois lamellé-collé qui franchissent plus de 100 mètres sans appui intermédiaire !

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le déversement et pourquoi ne l'a-t-on pas calculé en détail ?

Le déversement est un phénomène d'instabilité où une poutre élancée, fléchie selon son axe fort, a tendance à se "tordre" et à fléchir latéralement. Dans le cas des pannes de toiture, les chevrons ou les panneaux de couverture cloués sur leur face supérieure les empêchent de déverser. On considère donc qu'elles sont maintenues latéralement, ce qui simplifie la vérification.

Pourquoi le coefficient \(k_{\text{mod}}\) est-il si important ?

Le bois est un matériau "vivant" dont la résistance diminue avec l'humidité et la durée d'application de la charge. Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) traduit cette réalité. Une charge permanente sur du bois extérieur et humide (\(k_{\text{mod}} \approx 0.5\)) réduira sa résistance de moitié par rapport à une charge de courte durée (rafale de vent) sur du bois intérieur sec (\(k_{\text{mod}} \approx 1.1\)). L'oublier peut conduire à des accidents graves.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la panne était utilisée en extérieur (Classe de Service 3), sa résistance de calcul \(f_{m,d}\) serait...

2. Pour une même charge, si on double la portée (L) de la panne, la contrainte de flexion est...

Eurocode 5
Norme européenne qui régit la conception et le calcul des structures en bois.
Classe de Service
Catégorise les conditions d'humidité dans lesquelles le bois sera utilisé (Cl. 1 : sec, Cl. 2 : intermédiaire, Cl. 3 : humide), influençant sa résistance et son fluage.
\(k_{\text{mod}}\)
Coefficient de modification qui ajuste la résistance caractéristique du bois en fonction de la classe de service et de la durée de la charge.
Dimensionnement d’une Panne de Toiture en Bois

D’autres exercices de structure en bois:

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