Études de cas pratique

EGC

Vérification au Flambement d’un Poteau en Bois

Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

Comprendre le Flambement dans les Structures en Bois

Le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité qui peut survenir dans les éléments élancés soumis à une compression axiale. Au lieu de s'écraser, l'élément peut se déformer brusquement de manière latérale, ce qui entraîne une perte de capacité portante. Dans les structures en bois, cette vérification est cruciale pour les poteaux, les membrures comprimées de fermes, etc. L'Eurocode 5 fournit une méthode détaillée pour calculer la résistance au flambement d'un poteau, qui dépend de ses propriétés géométriques, des caractéristiques du matériau, de sa longueur et de ses conditions d'appui.

Données de l'étude

On vérifie la stabilité d'un poteau en bois massif de section rectangulaire dans un bâtiment résidentiel.

Caractéristiques du poteau et conditions de l'étude :

  • Classe de résistance du bois : C24 (\(f_{\text{c},0,\text{k}} = 21 \, \text{MPa}\), \(E_{0.05} = 7400 \, \text{MPa}\))
  • Section du poteau : \(b \times h = 120 \, \text{mm} \times 180 \, \text{mm}\)
  • Longueur du poteau : \(L = 3.5 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Articulé en tête et en pied pour le flambement autour des deux axes (y et z).
  • Classe de service : 1
  • Classe de durée de chargement : Permanente (\(k_{\text{mod}} = 0.6\))

Sollicitations (ELU) :

  • Effort normal de compression de calcul : \(N_{\text{c,d}} = 85 \, \text{kN}\)

Données utiles (Eurocode 5) :

  • Coefficient pour le flambement du bois massif : \(\beta_c = 0.2\).
  • Coefficient partiel de sécurité pour le matériau : \(\gamma_M = 1.3\).
Schéma : Poteau en Bois et Risque de Flambement
Nc,d L = 3.5 m

Un poteau élancé soumis à une compression axiale risque de flamber selon son axe de plus faible inertie.

Questions à traiter

  1. Calculer les élancements mécaniques (\(\lambda_y\) et \(\lambda_z\)) du poteau.
  2. Identifier l'élancement critique et calculer l'élancement relatif correspondant (\(\lambda_{\text{rel}}\)).
  3. Calculer le coefficient de flambement (\(k_c\)).
  4. Calculer la contrainte de compression de calcul (\(\sigma_{\text{c},0,\text{d}}\)) et la contrainte critique de flambement (\(\sigma_{\text{c},c,\text{d}}\)).
  5. Vérifier la stabilité du poteau au flambement.

Correction : Vérification au Flambement d'un Poteau en Bois

Question 1 : Calcul des Élancements Mécaniques (\(\lambda_y\) et \(\lambda_z\))

Principe :

L'élancement mécanique est un rapport sans dimension qui compare la longueur de flambement d'un poteau à sa capacité à résister à la flexion (représentée par le rayon de giration). Il doit être calculé pour chaque axe de flambement potentiel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda = \frac{l_{\text{cr}}}{i} \quad \text{avec} \quad l_{\text{cr}} = k \cdot L \quad \text{et} \quad i = \sqrt{\frac{I}{A}} \]

Pour un poteau articulé-articulé, le coefficient de longueur de flambement \(k=1.0\).

Calcul :

Longueurs de flambement : \( l_{\text{cr},y} = l_{\text{cr},z} = 1.0 \times 3500 \, \text{mm} = 3500 \, \text{mm} \).

Rayons de giration (pour une section rectangulaire \(b \times h\), \(i_y = h/\sqrt{12}\) et \(i_z = b/\sqrt{12}\)) :

\[ i_y = \frac{180}{\sqrt{12}} \approx 51.96 \, \text{mm} \quad ; \quad i_z = \frac{120}{\sqrt{12}} \approx 34.64 \, \text{mm} \]

Élancements :

\[ \lambda_y = \frac{3500}{51.96} \approx 67.36 \quad ; \quad \lambda_z = \frac{3500}{34.64} \approx 101.04 \]
Résultat Question 1 : Les élancements sont \(\lambda_y \approx 67.4\) et \(\lambda_z \approx 101.0\).

Question 2 : Élancement Relatif (\(\lambda_{\text{rel}}\))

Principe :

Le flambement se produit toujours autour de l'axe de plus faible inertie, qui correspond à l'élancement le plus élevé. On utilise cet élancement critique pour calculer l'élancement relatif, qui normalise la valeur en fonction des propriétés du matériau (rigidité et résistance).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi} \sqrt{\frac{f_{\text{c},0,\text{k}}}{E_{0.05}}} \]
Calcul :

L'élancement critique est \(\lambda_{\text{crit}} = \lambda_z = 101.04\).

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{101.04}{\pi} \sqrt{\frac{21 \, \text{MPa}}{7400 \, \text{MPa}}} \\ &= \frac{101.04}{3.1416} \sqrt{0.002838} \\ &= 32.16 \times 0.05327 \\ &\approx 1.71 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'élancement relatif critique est \(\lambda_{\text{rel},z} \approx 1.71\).

Question 3 : Coefficient de Flambement (\(k_c\))

Principe :

Le coefficient de flambement \(k_c\) est un facteur de réduction (inférieur ou égal à 1) qui est appliqué à la résistance en compression du bois pour tenir compte de l'effet de l'instabilité. Il dépend de l'élancement relatif.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ k = 0.5 \left[1 + \beta_c (\lambda_{\text{rel}} - 0.3) + \lambda_{\text{rel}}^2\right] \] \[ k_c = \frac{1}{k + \sqrt{k^2 - \lambda_{\text{rel}}^2}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} k_z &= 0.5 \left[1 + 0.2 (1.71 - 0.3) + 1.71^2\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.2 \times 1.41 + 2.924\right] \\ &= 0.5 \left[1 + 0.282 + 2.924\right] \\ &= 0.5 \times 4.206 = 2.103 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k_{c,z} &= \frac{1}{2.103 + \sqrt{2.103^2 - 1.71^2}} \\ &= \frac{1}{2.103 + \sqrt{4.423 - 2.924}} \\ &= \frac{1}{2.103 + \sqrt{1.499}} \\ &= \frac{1}{2.103 + 1.224} \approx 0.300 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le coefficient de flambement est \(k_{c,z} \approx 0.30\).

Question 4 : Contraintes de Calcul

Principe :

On calcule la contrainte de compression de calcul (\(\sigma_{\text{c},0,\text{d}}\)), qui est la résistance du matériau en compression simple, et on la compare à la contrainte agissante (\(\sigma_{\text{c},c,\text{d}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{\text{c},0,\text{d}} = \frac{f_{\text{c},0,\text{k}} \cdot k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \] \[ \sigma_{\text{c},c,\text{d}} = \frac{N_{\text{c,d}}}{A} \]
Calcul :

Aire de la section : \( A = 120 \, \text{mm} \times 180 \, \text{mm} = 21600 \, \text{mm}^2 \).

\[ \sigma_{\text{c},0,\text{d}} = \frac{21 \, \text{MPa} \times 0.6}{1.3} \approx 9.69 \, \text{MPa} \]
\[ \sigma_{\text{c},c,\text{d}} = \frac{85 \times 1000 \, \text{N}}{21600 \, \text{mm}^2} \approx 3.94 \, \text{MPa} \]
Résultat Question 4 : \(\sigma_{\text{c},0,\text{d}} \approx 9.69 \, \text{MPa}\) et \(\sigma_{\text{c},c,\text{d}} \approx 3.94 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Vérification de la Stabilité

Principe :

La vérification finale consiste à s'assurer que la contrainte de compression agissant sur le poteau est inférieure à sa résistance de calcul au flambement. Cette résistance est obtenue en multipliant la résistance en compression simple par le coefficient de flambement \(k_c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{\sigma_{\text{c},c,\text{d}}}{k_{c,z} \cdot \sigma_{\text{c},0,\text{d}}} \le 1.0 \]
Calcul :
\[ \frac{3.94}{0.300 \times 9.69} = \frac{3.94}{2.907} \approx 1.355 \]
Résultat Question 5 : On obtient \(1.36 > 1.0\). Le poteau ne vérifie pas la condition de stabilité au flambement. Il faudrait soit choisir une section plus grande, soit utiliser un bois de classe de résistance supérieure.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le flambement d'un poteau de section rectangulaire se produit toujours...

2. Un coefficient de flambement \(k_c = 0.5\) signifie que...

3. Si l'on remplace les appuis articulés par des encastrements parfaits, l'élancement du poteau...

Glossaire

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à la compression, se traduisant par une flexion latérale soudaine et une perte de capacité portante.
Élancement Mécanique (\(\lambda\))
Rapport entre la longueur de flambement et le rayon de giration de la section. Il mesure la "svelte" d'un poteau et sa propension à flamber.
Longueur de Flambement (\(l_{\text{cr}}\))
Longueur effective d'un poteau, qui dépend de sa longueur réelle et de la nature de ses appuis (articulé, encastré, libre).
Élancement Relatif (\(\lambda_{\text{rel}}\))
Élancement normalisé par les propriétés mécaniques du matériau (résistance et rigidité), utilisé pour déterminer l'effet du flambement.
Coefficient de Flambement (\(k_c\))
Facteur de réduction (\(\le 1\)) appliqué à la résistance en compression du bois pour tenir compte de la perte de résistance due à l'instabilité de flambement.
Vérification au Flambement - Exercice d'Application

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