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Conception d’un Assemblage Moisé par Boulons

Conception d’un Assemblage Moisé par Boulons

Conception d’un Assemblage Moisé par Boulons

Contexte : Le point critique des structures en bois.

Dans une structure en bois, les assemblages sont souvent les points les plus critiques. Un dimensionnement incorrect peut entraîner une rupture prématurée de l'ensemble de la structure, même si les pièces de bois elles-mêmes sont suffisamment résistantes. L'assemblage moiséType d'assemblage où deux pièces latérales (les moises) enserrent une pièce centrale pour transmettre un effort. bois-acier, utilisant des boulons, est une solution très courante pour reprendre des efforts importants, notamment en traction. Sa conception est rigoureusement encadrée par l'Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) pour la conception et le calcul des structures en bois. Elle définit les règles de sécurité et les méthodes de calcul., qui s'appuie sur la théorie des modes de ruine de JohansenThéorie qui prédit la portance d'un assemblage à tige en analysant les combinaisons possibles d'écrasement du bois et de plastification de la tige métallique. pour garantir une sécurité optimale. Cet exercice vous guidera à travers le dimensionnement complet d'un tel assemblage, de la détermination de la portance d'un boulon au calcul du nombre de fixations nécessaires.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une plongée au cœur du dimensionnement d'un point singulier. Nous allons analyser l'interaction complexe entre le bois (qui s'écrase) et l'acier (qui se plie). L'objectif est de comprendre comment déterminer la capacité d'un seul boulon en identifiant son mode de rupture le plus probable, puis d'utiliser cette information pour concevoir un assemblage complet, y compris la disposition géométrique des fixations (les entraxesDistances minimales entre les axes des fixations, définies par les normes pour éviter une rupture prématurée du bois.).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les différents modes de ruine d'un assemblage bois-acier selon Johansen.
  • Calculer la résistance à l'écrasement du bois (\(f_{\text{h,k}}\)) et le moment de plastification d'un boulon (\(M_{\text{y,Rk}}\)).
  • Déterminer la portance caractéristique d'un boulon pour un assemblage à double cisaillement.
  • Calculer la résistance de calcul d'un boulon en appliquant les coefficients de l'Eurocode 5.
  • Dimensionner le nombre de boulons nécessaires et vérifier leurs règles de positionnement.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner l'assemblage de l'entrait d'une ferme, soumis à un effort de traction de calcul \(N_{\text{Ed}}\). L'assemblage est de type bois-acier-bois, constitué d'une membrure centrale en acier et de deux moises latérales en bois lamellé-colléMatériau structurel obtenu par collage de plusieurs lamelles de bois. Il permet d'obtenir des pièces de grande dimension et de grande résistance. de classe de résistance GL24h. Les pièces sont connectées par des boulons de classe 8.8.

Schéma de l'assemblage moisé
N_Ed N_Ed Moise (t1) Acier (t2) Moise (t1)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Effort de traction de calcul \(N_{\text{Ed}}\) 150 \(\text{kN}\)
Épaisseur des moises en bois \(t_1\) 40 \(\text{mm}\)
Épaisseur du plat central en acier \(t_2\) 10 \(\text{mm}\)
Diamètre des boulons \(d\) 16 \(\text{mm}\)
Classe de service - 1 -
Durée de la charge - Permanente -

Questions à traiter

  1. Déterminer la portance caractéristique \(F_{\text{v,Rk}}\) d'un boulon dans cet assemblage.
  2. Calculer la résistance de calcul \(F_{\text{v,Rd}}\) d'un seul boulon.
  3. Déterminer le nombre de boulons \(n\) nécessaires pour reprendre l'effort de traction.
  4. Proposer une disposition des boulons en vérifiant les pinces et entraxes minimaux selon l'Eurocode 5.

Les bases des Assemblages par Boulons

Avant de commencer, revoyons les concepts clés de la théorie de Johansen pour les assemblages bois.

1. Théorie de Johansen :
Cette théorie, développée dans les années 1940, prédit la capacité d'un assemblage en se basant sur deux mécanismes de ruine principaux : l'écrasement du boisAussi appelé pression diamétrale. C'est la capacité du bois à résister à la pression localisée exercée par une tige métallique (boulon, broche). sous le boulon et la plastification du boulon en flexion. La portance réelle de l'assemblage correspond à la plus faible des valeurs calculées pour les différents modes de ruine possibles, qui sont des combinaisons de ces deux mécanismes.

2. Résistance à l'écrasement (\(f_{\text{h,k}}\)) et Moment de plastification (\(M_{\text{y,Rk}}\)) :
Ce sont les deux paramètres fondamentaux du calcul.

  • \(f_{\text{h,k}}\) est la résistance caractéristique du bois à l'écrasement sous une tige métallique. Elle dépend de la masse volumique du bois et du diamètre du boulon.
  • \(M_{\text{y,Rk}}\) est le moment fléchissant caractéristique qui provoque la plastification complète du boulon. Il dépend de la résistance de l'acier du boulon (\(f_{\text{ub}}\)) et de son diamètre.

3. Assemblage à Double CisaillementConfiguration d'assemblage (ex: bois-acier-bois) où la tige est cisaillée en deux plans distincts, augmentant ainsi sa capacité. :
Dans notre cas (bois-acier-bois), le boulon travaille en "double cisaillement". Il y a deux interfaces de glissement (plans de cisaillement) : une entre la moise supérieure et le plat acier, et une autre entre le plat acier et la moise inférieure. La portance totale du boulon sera donc deux fois la portance du plan de cisaillement le plus faible.

Correction : Conception d’un Assemblage Moisé par Boulons

Question 1 : Déterminer la portance caractéristique (\(F_{\text{v,Rk}}\)) d'un boulon

Principe (le concept physique)

La portance d'un boulon n'est pas une valeur unique, mais le minimum de plusieurs scénarios de rupture possibles. Soit le bois s'écrase avant que le boulon ne plie (mode de ruine par pression diamétrale), soit le boulon se plie et forme une rotule plastiqueZone dans un élément métallique (comme un boulon) où la flexion a atteint la limite d'élasticité, permettant une rotation avec un moment résistant constant. avant que le bois ne soit complètement écrasé (mode de ruine par plastification du boulon). Nous devons calculer la charge correspondant à chaque scénario (mode) et retenir la plus faible, car c'est elle qui gouvernera la résistance de l'assemblage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Johansen est une approche basée sur l'équilibre plastique. On suppose que le bois se comporte comme un matelas de ressorts (modèle de Winkler) et que le boulon se comporte comme une poutre en appui sur ce matelas. Les équations sont dérivées de l'équilibre des forces et des moments à l'état de ruine pour chaque mode cinématiquement admissible. Pour un assemblage bois-acier-bois à double cisaillement, l'Eurocode 5 définit principalement trois modes de ruine à vérifier.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul des modes de ruine peut sembler fastidieux, mais il est très logique. Chaque formule représente un "combat" entre le bois et l'acier. Par exemple, le mode (f) représente l'écrasement du bois dans les deux moises. Le mode (g) représente la plastification du boulon. Le mode (h) est un mélange des deux. En calculant les trois, on identifie simplement le "maillon le plus faible" de la chaîne.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de calcul de \(f_{\text{h,k}}\), \(M_{\text{y,Rk}}\) et des différents modes de ruine sont directement issues du chapitre 8 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1). Les propriétés des matériaux (GL24h, acier 8.8) sont également données par les normes correspondantes (EN 14080, EN ISO 898-1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Résistance à l'écrasement (bois lamellé-collé) :

\[ f_{\text{h,k}} = 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot d) \cdot \rho_k \]

2. Moment de plastification du boulon :

\[ M_{\text{y,Rk}} = 0.3 \cdot f_{\text{ub}} \cdot d^{2.6} \]

3. Modes de ruine pour un assemblage bois-acier-bois (par plan de cisaillement) :

\[ F_{\text{v,Rk}} = \min \begin{cases} f_{\text{h,k}} \cdot t_1 \cdot d & \text{(mode f)} \\ 1.15 \sqrt{2 \cdot M_{\text{y,Rk}} \cdot f_{\text{h,k}} \cdot d} & \text{(mode h)} \end{cases} \]

Note : Le mode (g), correspondant à la ruine du plat central en acier, n'est généralement pas dimensionnant et est souvent omis en première approche.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les boulons sont de classe 8.8, donc \(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\). Pour le bois lamellé-collé GL24h, la masse volumique caractéristique est \(\rho_k = 380 \, \text{kg/m}^3\). On considère un assemblage sans effet de corde (pas de traction dans le boulon).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Épaisseur des moises, \(t_1 = 40 \, \text{mm}\)
  • Diamètre du boulon, \(d = 16 \, \text{mm}\)
  • Masse volumique du bois, \(\rho_k = 380 \, \text{kg/m}^3\)
  • Résistance à la rupture de l'acier, \(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les calculs doivent être menés avec des unités cohérentes. Le couple N et mm est idéal. Assurez-vous que les résistances sont en MPa (N/mm²), les dimensions en mm, et les forces en N. Le moment de plastification sera alors en N·mm.

Schéma (Avant les calculs)
Modes de Ruine Potentiels
Mode (f) : Écrasement BoisDéformation du boisMode (h) : Plastification BoulonFlexion du boulon
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(f_{\text{h,k}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{h,k}} &= 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot d) \cdot \rho_k \\ &= 0.082 \cdot (1 - 0.01 \cdot 16) \cdot 380 \\ &= 0.082 \cdot 0.84 \cdot 380 \\ &\approx 26.15 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(M_{\text{y,Rk}}\) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{y,Rk}} &= 0.3 \cdot f_{\text{ub}} \cdot d^{2.6} \\ &= 0.3 \cdot 800 \cdot 16^{2.6} \\ &= 240 \cdot 2785.5 \\ &\approx 668525 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la portance pour chaque mode (par plan de cisaillement) :

\[ \begin{aligned} \text{Mode (f): } F_{\text{v,Rk,f}} &= f_{\text{h,k}} \cdot t_1 \cdot d \\ &= 26.15 \cdot 40 \cdot 16 \\ &= 16736 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Mode (h): } F_{\text{v,Rk,h}} &= 1.15 \sqrt{2 \cdot M_{\text{y,Rk}} \cdot f_{\text{h,k}} \cdot d} \\ &= 1.15 \sqrt{2 \cdot 668525 \cdot 26.15 \cdot 16} \\ &= 1.15 \sqrt{558958680} \\ &\approx 1.15 \cdot 23642 \\ &\approx 27189 \, \text{N} \end{aligned} \]

4. Déterminer la portance caractéristique par plan de cisaillement :

\[ F_{\text{v,Rk, 1 shear}} = \min(16736 \, \text{N}; 27189 \, \text{N}) = 16736 \, \text{N} \]

5. Calculer la portance totale pour l'assemblage à double cisaillement :

\[ \begin{aligned} F_{\text{v,Rk}} &= 2 \cdot F_{\text{v,Rk, 1 shear}} \\ &= 2 \cdot 16736 \, \text{N} \\ &= 33472 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Mode de Ruine Déterminant
Mode (f) est critiqueF_v,Rk = 33.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre que le mode (f), correspondant à l'écrasement du bois dans les moises, est le mode de ruine le plus faible (16.7 kN par plan de cisaillement). Cela signifie que l'assemblage est gouverné par la résistance du bois et non par celle de l'acier. Le boulon est suffisamment résistant pour ne pas se plastifier avant que le bois ne s'écrase. La portance caractéristique totale du boulon est donc de 33.5 kN.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier de multiplier la portance par plan de cisaillement par 2 pour un assemblage à double cisaillement. Il est également crucial de bien identifier toutes les formules de modes de ruine applicables (ici, f et h) et de prendre la valeur minimale. Omettre un mode pourrait conduire à surestimer la résistance.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La portance d'un boulon est le minimum des portances de tous les modes de ruine possibles.
  • Les deux paramètres clés sont la résistance à l'écrasement du bois (\(f_{\text{h,k}}\)) et le moment de plastification du boulon (\(M_{\text{y,Rk}}\)).
  • Pour un assemblage à double cisaillement, la portance totale est 2 fois la portance du plan de cisaillement le plus faible.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les assemblages modernes en bois utilisent souvent des broches auto-perceuses ou des connecteurs collés, qui permettent d'obtenir des assemblages plus rigides et plus discrets que les assemblages traditionnels par boulons. Cependant, la théorie de Johansen reste la base de la compréhension du comportement de tous les assemblages à tige.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il autant de modes de ruine différents ?

Chaque formule correspond à une géométrie d'assemblage (simple ou double cisaillement) et à un type de pièce (bois-bois ou bois-acier). La combinaison des épaisseurs des pièces ("plaques minces" vs "plaques épaisses") détermine si le boulon aura tendance à se plier en un ou deux points, créant ainsi différents scénarios (modes) de plastification à vérifier.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La portance caractéristique d'un boulon, \(F_{\text{v,Rk}}\), est de 33 472 N (soit environ 33.5 kN).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre du boulon était de 20 mm au lieu de 16 mm, quel serait le nouveau \(F_{\text{v,Rk}}\) en kN ? (Recalculez \(f_{h,k}\) et \(M_{y,Rk}\) d'abord).

Question 2 : Calculer la résistance de calcul (\(F_{\text{v,Rd}}\)) d'un seul boulon

Principe (le concept physique)

La résistance caractéristique \(F_{\text{v,Rk}}\) est une valeur statistique basée sur des essais en laboratoire. Pour l'utiliser dans un calcul de conception sécuritaire, on doit la transformer en résistance de calcul \(F_{\text{v,Rd}}\). Cela se fait en appliquant deux coefficients : \(k_{\text{mod}}\) qui ajuste la résistance en fonction des conditions d'humidité et de la durée de la charge, et \(\gamma_{\text{M}}\) qui est un coefficient de sécurité partiel sur le matériau pour couvrir les incertitudes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient \(k_{\text{mod}}\) tient compte du phénomène de fluage du bois. Sous une charge constante, le bois se déforme et sa résistance diminue avec le temps. Une charge permanente aura donc un \(k_{\text{mod}}\) plus faible (ex: 0.6) qu'une charge de courte durée comme le vent ou la neige (ex: 0.9 ou 1.15). L'humidité (classe de service) affecte également la rigidité des fibres de bois, ce qui est aussi intégré dans \(k_{\text{mod}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à \(F_{\text{v,Rk}}\) comme la résistance "brute" du boulon. Pour obtenir la résistance "nette" que l'on peut utiliser en toute sécurité dans un projet, on la "pénalise" en la divisant par \(\gamma_{\text{M}}\) (notre marge de sécurité) et en la multipliant par \(k_{\text{mod}}\) (qui est presque toujours inférieur à 1, donc une autre pénalité pour les conditions réelles).

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(F_{\text{v,Rd}} = k_{\text{mod}} \cdot F_{\text{v,Rk}} / \gamma_{\text{M}}\) est la formule de base de l'Eurocode 5 pour passer d'une résistance caractéristique à une résistance de calcul pour les assemblages. Les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) (Tableau 3.1) et \(\gamma_{\text{M}}\) (Tableau 2.3) sont données dans la norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ F_{\text{v,Rd}} = k_{\text{mod}} \cdot \frac{F_{\text{v,Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les valeurs normatives pour les coefficients en fonction des données de l'énoncé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Portance caractéristique, \(F_{\text{v,Rk}} = 33472 \, \text{N}\)
  • Pour une charge permanente en classe de service 1, \(k_{\text{mod}} = 0.6\).
  • Pour les assemblages, le coefficient partiel de sécurité est \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\).
Astuces(Pour aller plus vite)

Le choix du \(k_{\text{mod}}\) est une étape cruciale. Il faut croiser deux informations : la classe de service (1, 2 ou 3, liée à l'humidité) et la classe de durée de la charge (permanente, longue, moyenne, courte, instantanée). Une erreur ici peut modifier significativement la résistance de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
De la Résistance Caractéristique à la Résistance de Calcul
F_v,Rk"Brut"/ γ_M, * k_modF_v,Rd"Net"
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} F_{\text{v,Rd}} &= k_{\text{mod}} \cdot \frac{F_{\text{v,Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \\ &= 0.6 \cdot \frac{33472 \, \text{N}}{1.3} \\ &\approx 0.6 \cdot 25748 \, \text{N} \\ &\approx 15449 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de la Résistance de Calcul
F_v,Rd ≈ 15.4 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance de calcul d'un boulon est de 15.4 kN. On constate une réduction significative par rapport à la valeur caractéristique de 33.5 kN (une réduction de plus de 50%). Cette différence est principalement due au coefficient \(k_{\text{mod}}\) de 0.6 pour les charges permanentes, qui a un impact majeur. C'est cette valeur de 15.4 kN que nous pouvons utiliser en toute sécurité pour le dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser la valeur caractéristique \(F_{\text{v,Rk}}\) pour vérifier un effort de calcul \(N_{\text{Ed}}\). La comparaison doit toujours se faire entre grandeurs de même nature : soit des valeurs de calcul (\(N_{\text{Ed}} \le n \cdot F_{\text{v,Rd}}\)), soit des valeurs caractéristiques (\(N_{\text{Ek}} \le n \cdot F_{\text{v,Rk}}\)), mais jamais un mélange des deux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de calcul \(F_{\text{v,Rd}}\) est la valeur sécuritaire à utiliser pour le dimensionnement.
  • Elle est obtenue en minorant la résistance caractéristique \(F_{\text{v,Rk}}\).
  • Les coefficients \(k_{\text{mod}}\) (conditions de service) et \(\gamma_{\text{M}}\) (sécurité matériau) sont obligatoires.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les calculs sismiques, les coefficients de sécurité sur les matériaux sont souvent modifiés. Pour les assemblages, on peut chercher à garantir un comportement ductile, c'est-à-dire s'assurer que c'est bien le boulon en acier qui se plastifie (mode ductile) avant que le bois ne s'écrase (mode fragile). On parle alors de "capacity design".

FAQ (pour lever les doutes)
La classe de service 1 correspond à quel environnement ?

La classe de service 1 correspond à un environnement intérieur chauffé, où l'humidité du bois reste inférieure à 12%. C'est le cas typique d'une charpente dans une maison d'habitation. La classe 2 correspond à un environnement sous abri mais non chauffé (hangar, préau), et la classe 3 à un environnement extérieur exposé aux intempéries.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul d'un seul boulon est \(F_{\text{v,Rd}} \approx 15449 \, \text{N}\) (soit 15.45 kN).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était de courte durée (\(k_{\text{mod}}=0.9\)), quelle serait la nouvelle résistance \(F_{\text{v,Rd}}\) en kN ?

Question 3 : Déterminer le nombre de boulons (\(n\)) nécessaires

Principe (le concept physique)

Le principe de base du dimensionnement est simple : la résistance totale de l'assemblage doit être supérieure ou égale à l'effort appliqué. La résistance totale est la somme des résistances de chaque boulon. On calcule donc le nombre de boulons nécessaires en divisant l'effort total à reprendre par la résistance d'un seul boulon.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche suppose que tous les boulons travaillent de manière égale, ce qui n'est vrai que si l'assemblage est suffisamment rigide. Pour les longs assemblages avec de nombreux boulons en file, l'Eurocode 5 introduit un coefficient de réduction \(n_{\text{ef}}\) (nombre efficace de boulons) pour tenir compte d'une répartition non uniforme des efforts. Pour cet exercice, nous supposerons \(n_{\text{ef}} = n\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape où la conception prend forme. Après avoir analysé en détail la physique d'un seul boulon, on passe à l'échelle de l'assemblage complet. Le résultat de ce calcul est un nombre théorique, qu'il faudra toujours arrondir à l'entier supérieur. On ne peut pas mettre "9.7 boulons" !

Normes (la référence réglementaire)

La condition de base \(N_{\text{Ed}} \le n \cdot F_{\text{v,Rd}}\) est le fondement de la vérification des assemblages à l'État Limite Ultime (ELU) selon l'Eurocode 5.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ n \ge \frac{N_{\text{Ed}}}{F_{\text{v,Rd}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les boulons sont identiques et qu'ils se partagent l'effort de manière égale. On néglige l'effet du nombre de boulons en file (\(n_{\text{ef}}=n\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de traction de calcul, \(N_{\text{Ed}} = 150 \, \text{kN} = 150000 \, \text{N}\)
  • Résistance de calcul d'un boulon, \(F_{\text{v,Rd}} = 15449 \, \text{N}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Faites attention aux unités lors de la division. Le plus simple est de tout mettre en Newtons. Si vous divisez des kN par des N, ou inversement, le résultat sera erroné d'un facteur 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre : Effort Appliqué vs Résistance de l'Assemblage
Effort N_EdDOIT ÊTRE ≤n x F_v,Rd
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{150000 \, \text{N}}{15449 \, \text{N}} \\ &\ge 9.71 \end{aligned} \]

On doit toujours arrondir au nombre entier supérieur.

\[ n = 10 \, \text{boulons} \]
Schéma (Après les calculs)
Nombre de Boulons Requis
n = 10 boulons
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul nous impose d'utiliser au minimum 10 boulons pour reprendre l'effort de 150 kN en toute sécurité. Ce nombre est directement lié à la résistance individuelle de chaque boulon. Si nous avions utilisé des boulons plus gros ou une classe de bois plus résistante, ce nombre aurait été plus faible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais arrondir le nombre de boulons à l'inférieur. Même un résultat de 9.1 nécessiterait 10 boulons. La sécurité prime. De plus, il faut s'assurer que la pièce de bois est assez grande pour pouvoir placer physiquement ce nombre de boulons en respectant les espacements minimaux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le nombre de fixations est le rapport entre l'effort total et la résistance d'une fixation.
  • Le résultat doit toujours être arrondi à l'entier supérieur.
  • Ce calcul suppose une répartition égale des charges entre les fixations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les assemblages de grande capacité, on utilise parfois des "groupes de boulons". La résistance du groupe n'est pas simplement la somme des résistances individuelles. L'Eurocode 5 tient compte de la géométrie du groupe pour évaluer le risque d'une rupture en bloc du bois autour des fixations ("block shear").

FAQ (pour lever les doutes)
Et si l'effort était en compression ?

Les formules de Johansen s'appliquent de la même manière pour un effort de compression. La portance d'un boulon est la même, que l'assemblage soit tendu ou comprimé. Cependant, pour les pièces comprimées, il faut en plus vérifier les problèmes d'instabilité comme le flambement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Il est nécessaire d'utiliser un minimum de 10 boulons pour cet assemblage.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort \(N_{\text{Ed}}\) n'était que de 100 kN, combien de boulons seraient nécessaires ?

Question 4 : Proposer une disposition des boulons (entraxesDistances minimales entre les axes des fixations, définies par les normes pour éviter une rupture prématurée du bois. et pinces)

Principe (le concept physique)

Placer les boulons trop près les uns des autres ou trop près des bords du bois affaiblit l'assemblage. Cela peut provoquer une rupture prématurée du bois par fendage ou cisaillement en bloc, avant même que les boulons n'atteignent leur pleine capacité. L'Eurocode 5 impose donc des distances minimales (entraxes et pinces) pour garantir que la rupture se produise bien selon les modes de Johansen et non par une défaillance fragile du bois.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les espacements sont définis en fonction du diamètre du boulon (\(d\)). On distingue :

  • \(a_1\) : Entraxe parallèle au fil du bois.
  • \(a_2\) : Entraxe perpendiculaire au fil du bois.
  • \(a_{3,t}\) : Pince (distance à l'extrémité chargée) dans le sens du fil.
  • \(a_{4,c}\) : Pince (distance au bord non chargé) perpendiculairement au fil.
Chacune de ces distances a une valeur minimale à respecter pour éviter les ruptures prématurées.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est purement géométrique mais absolument fondamentale. C'est le lien entre le calcul théorique et le plan d'exécution pratique. Un bon ingénieur ne se contente pas de dire "il faut 10 boulons", il doit aussi montrer comment les placer de manière réglementaire et réalisable sur le chantier.

Normes (la référence réglementaire)

Toutes les règles de disposition sont données dans le chapitre 8.3 de l'Eurocode 5 (EN 1995-1-1), principalement dans le Tableau 8.2 pour les boulons.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Selon le Tableau 8.2 de l'EC5 pour les assemblages bois-acier avec \(d > 6\text{mm}\) :

\[ \begin{aligned} a_1 & \text{ (parallèle au fil)} \ge 7d \\ a_2 & \text{ (perpendiculaire au fil)} \ge 4d \\ a_{3,t} & \text{ (pince chargée, traction)} \ge 7d \\ a_{4,c} & \text{ (pince non chargée, comprimée)} \ge 4d \end{aligned} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On cherche une disposition compacte et symétrique, par exemple en 2 files de 5 boulons. On suppose que la largeur de la pièce de bois est suffisante pour accueillir les 2 files.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre du boulon, \(d = 16 \, \text{mm}\)
  • Nombre de boulons requis, \(n = 10\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord toutes les distances minimales en mm. Ensuite, lors de la conception de la disposition, choisissez des valeurs pratiques et arrondies (par ex. tous les 5 ou 10 mm) qui sont supérieures ou égales aux minimums requis. Par exemple, si le minimum est 112 mm, choisissez 115 mm ou 120 mm.

Schéma (Avant les calculs)
Définition des Entraxes et Pinces
N_Eda_3,ta_4,ca_1a_2
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des distances minimales :

\[ \begin{aligned} a_{1,\text{min}} &= 7 \cdot d = 7 \cdot 16 = 112 \, \text{mm} \\ a_{2,\text{min}} &= 4 \cdot d = 4 \cdot 16 = 64 \, \text{mm} \\ a_{3,t,\text{min}} &= 7 \cdot d = 7 \cdot 16 = 112 \, \text{mm} \\ a_{4,c,\text{min}} &= 4 \cdot d = 4 \cdot 16 = 64 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Proposition de disposition (2 files de 5 boulons) :

  • Entraxe parallèle au fil : On choisit \(a_1 = 120 \, \text{mm}\) (\(\ge 112\))
  • Entraxe perpendiculaire au fil : On choisit \(a_2 = 70 \, \text{mm}\) (\(\ge 64\))
  • Pince chargée : On choisit \(a_{3,t} = 120 \, \text{mm}\) (\(\ge 112\))
  • Pince non chargée : On choisit \(a_{4,c} = 70 \, \text{mm}\) (\(\ge 64\))
Schéma (Après les calculs)
Proposition de Disposition des 10 Boulons
a1=120a2=70a3,t=120a4,c=70
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette disposition est conforme à l'Eurocode 5. La longueur totale de la zone d'assemblage sera de \(a_{3,t} + 4 \cdot a_1 = 120 + 4 \cdot 120 = 600 \, \text{mm}\). La largeur minimale de la pièce de bois devra être de \(2 \cdot a_{4,c} + a_2 = 2 \cdot 70 + 70 = 210 \, \text{mm}\). Il faut donc vérifier que la pièce de bois utilisée a bien une largeur d'au moins 210 mm.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien identifier la direction du fil du bois. L'entraxe \(a_1\) est toujours parallèle à l'effort (et au fil), et les règles sont plus sévères dans cette direction. Inverser \(a_1\) et \(a_2\) est une erreur de conception majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les espacements minimaux des boulons sont cruciaux pour éviter une rupture fragile du bois.
  • Ces distances sont des multiples du diamètre du boulon (\(d\)).
  • Il faut distinguer les entraxes (entre boulons) et les pinces (entre un boulon et un bord).
  • La disposition finale doit être pratique et respecter toutes les contraintes minimales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones sismiques, les règles de disposition des assemblages sont encore plus strictes. On augmente les pinces et les entraxes pour garantir que l'assemblage puisse se déformer de manière ductile (en pliant les boulons) sans provoquer de rupture fragile du bois par fendage, ce qui permet de dissiper l'énergie du séisme.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si on ne peut pas respecter ces distances ?

Si la pièce de bois est trop petite pour placer les boulons correctement, l'assemblage n'est pas conforme. Il faut soit augmenter la taille de la pièce de bois, soit utiliser des boulons de plus petit diamètre (ce qui augmentera leur nombre mais réduira les entraxes requis), soit changer complètement de type d'assemblage (par ex. utiliser des connecteurs métalliques spécifiques).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Une disposition conforme consiste à placer les 10 boulons en 2 files de 5, avec un entraxe parallèle au fil de 120 mm, un entraxe perpendiculaire de 70 mm, une pince chargée de 120 mm et une pince non chargée de 70 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour des boulons de 12 mm (\(d=12\)), quel serait l'entraxe minimal parallèle au fil \(a_{1,min}\) en mm ?

Outil Interactif : Paramètres de l'Assemblage

Explorez l'influence des différents paramètres sur le dimensionnement de l'assemblage.

Paramètres d'Entrée
150 kN
Résultats du Dimensionnement
Portance par boulon \(F_{\text{v,Rd}}\) (kN) -
Nombre de boulons requis (n) -
Entraxe parallèle min. \(a_{1,min}\) (mm) -

Le Saviez-Vous ?

La théorie de Johansen, bien que développée pour le bois, a servi de base à l'élaboration de modèles de calcul pour d'autres types d'assemblages, y compris certains assemblages acier-acier et même pour l'analyse du comportement des pieux dans le sol, où le pieu est la "tige" et le sol le "matériau qui s'écrase".

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utilise-t-on un plat en acier au milieu et non une troisième pièce de bois ?

Utiliser un plat en acier (plus fin mais beaucoup plus résistant) permet de réduire l'encombrement de l'assemblage. De plus, cela garantit que la rupture se produira bien par écrasement du bois ou plastification du boulon, car la résistance de l'acier en traction est très élevée. Un assemblage tout en bois (bois-bois-bois) aurait des modes de ruine supplémentaires liés à la rupture de la membrure centrale.

Doit-on toujours vérifier tous les modes de ruine ?

En théorie, oui. En pratique, avec l'expérience, un ingénieur sait souvent quel mode sera dimensionnant. Par exemple, avec des boulons de petit diamètre et du bois épais, c'est souvent la plastification du boulon qui gouverne. Avec des boulons de gros diamètre et du bois fin, c'est l'écrasement du bois. Cependant, pour un calcul de justification complet, tous les modes applicables doivent être vérifiés.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la résistance d'un assemblage est gouvernée par la plastification du boulon (mode h), pour l'augmenter efficacement, il faut...

2. Augmenter l'entraxe \(a_1\) bien au-delà du minimum réglementaire...

Assemblage Moisé
Assemblage où des pièces latérales (les moises) enserrent une pièce centrale (la membrure) pour transmettre un effort, généralement par l'intermédiaire de boulons ou de broches.
Théorie de Johansen
Modèle de calcul utilisé pour déterminer la portance des assemblages à tige (boulons, broches, clous) en se basant sur l'équilibre plastique entre l'écrasement du bois et la flexion de la tige.
Entraxes et Pinces
Distances réglementaires entre les fixations (entraxes) et entre une fixation et le bord d'une pièce de bois (pinces), nécessaires pour éviter les ruptures prématurées du bois.
Conception d’un Assemblage Moisé par Boulons

D’autres exercices de Structure en bois:

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