Études de cas pratique

EGC

Conservation de l’Élan lors d’une Collision

Conservation de l’Élan lors d’une Collision en Ingénierie Mécanique

Conservation de l’Élan lors d’une Collision

Comprendre la Conservation de l’Élan lors d’une Collision

Le principe de conservation de l'élan (ou quantité de mouvement) est un concept fondamental en physique et en ingénierie mécanique. Il stipule que, pour un système isolé (sur lequel aucune force extérieure nette n'agit), l'élan total du système reste constant. Ce principe est particulièrement utile pour analyser les collisions entre objets. Lors d'une collision, des forces internes importantes peuvent agir entre les objets, mais si les forces externes sont négligeables pendant la brève durée de la collision, l'élan total du système juste avant la collision est égal à l'élan total juste après. Cet exercice se concentre sur une collision unidimensionnelle parfaitement inélastique, où les objets restent collés après l'impact.

Données de l'étude

Deux chariots, A et B, se déplacent sur un rail horizontal sans frottement. Le chariot A entre en collision avec le chariot B, qui est initialement au repos. Après la collision, les deux chariots restent accrochés et se déplacent ensemble.

Caractéristiques des Chariots :

  • Masse du chariot A (\(m_A\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale du chariot A (\(v_{A,i}\)) : \(+5.0 \, \text{m/s}\) (dirigée vers la droite)
  • Masse du chariot B (\(m_B\)) : \(3.0 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale du chariot B (\(v_{B,i}\)) : \(0 \, \text{m/s}\) (au repos)
Schéma : Collision Inélastique de Deux Chariots
Avant Collision mA vA,i mB vB,i = 0 Après Collision (parfaitement inélastique) mA + mB vf Collision sur un Rail Horizontal Sans Frottement

Schéma illustrant la collision parfaitement inélastique de deux chariots.

Questions à traiter

  1. Calculer l'élan (quantité de mouvement) initial du chariot A (\(p_{A,i}\)).
  2. Calculer l'élan initial du chariot B (\(p_{B,i}\)).
  3. Calculer l'élan total du système avant la collision (\(p_{\text{total, i}}\)).
  4. En appliquant le principe de conservation de l'élan, déterminer la vitesse finale commune (\(v_f\)) des deux chariots après la collision (collision parfaitement inélastique).
  5. Calculer l'énergie cinétique totale du système avant la collision (\(E_{c,i}\)).
  6. Calculer l'énergie cinétique totale du système après la collision (\(E_{c,f}\)).
  7. Calculer la perte d'énergie cinétique (\(\Delta E_c\)) lors de la collision et commenter la nature de la collision (élastique ou inélastique).

Correction : Conservation de l’Élan lors d’une Collision

Question 1 : Élan initial du chariot A (\(p_{A,i}\))

Principe :

L'élan (ou quantité de mouvement) d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse. C'est une grandeur vectorielle, mais ici le mouvement est unidimensionnel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p = m v\]
Données spécifiques :
  • Masse du chariot A (\(m_A\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale du chariot A (\(v_{A,i}\)) : \(+5.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{A,i} &= m_A \times v_{A,i} \\ &= 2.0 \, \text{kg} \times 5.0 \, \text{m/s} \\ &= 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'élan initial du chariot A est \(p_{A,i} = 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Question 2 : Élan initial du chariot B (\(p_{B,i}\))

Principe :

L'élan du chariot B est calculé de la même manière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{B,i} = m_B \times v_{B,i}\]
Données spécifiques :
  • Masse du chariot B (\(m_B\)) : \(3.0 \, \text{kg}\)
  • Vitesse initiale du chariot B (\(v_{B,i}\)) : \(0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{B,i} &= 3.0 \, \text{kg} \times 0 \, \text{m/s} \\ &= 0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'élan initial du chariot B est \(p_{B,i} = 0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Question 3 : Élan total du système avant la collision (\(p_{\text{total, i}}\))

Principe :

L'élan total d'un système de plusieurs objets est la somme vectorielle des élans individuels. Pour un mouvement unidimensionnel, c'est la somme algébrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{\text{total, i}} = p_{A,i} + p_{B,i}\]
Données spécifiques :
  • \(p_{A,i} = 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\)
  • \(p_{B,i} = 0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_{\text{total, i}} &= 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} + 0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \\ &= 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'élan total du système avant la collision est \(p_{\text{total, i}} = 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le chariot B se déplaçait initialement à \(-2.0 \, \text{m/s}\) (vers la gauche), l'élan total initial du système serait :

Question 4 : Vitesse finale commune (\(v_f\)) après la collision

Principe :

Selon le principe de conservation de l'élan, pour un système isolé, l'élan total avant la collision est égal à l'élan total après la collision. Dans une collision parfaitement inélastique, les objets restent collés et se déplacent avec une vitesse finale commune \(v_f\).

Élan total après collision : \(p_{\text{total, f}} = (m_A + m_B) v_f\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_{\text{total, i}} = p_{\text{total, f}}\]
\[m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = (m_A + m_B) v_f\]
\[v_f = \frac{m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i}}{m_A + m_B}\]
Données spécifiques :
  • \(m_A = 2.0 \, \text{kg}\), \(v_{A,i} = +5.0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_B = 3.0 \, \text{kg}\), \(v_{B,i} = 0 \, \text{m/s}\)
  • \(p_{\text{total, i}} = 10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_f &= \frac{10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{2.0 \, \text{kg} + 3.0 \, \text{kg}} \\ &= \frac{10.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{5.0 \, \text{kg}} \\ &= +2.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

La vitesse finale est positive, donc les deux chariots se déplacent ensemble vers la droite.

Résultat Question 4 : La vitesse finale commune des deux chariots est \(v_f = +2.0 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Énergie cinétique totale du système avant la collision (\(E_{c,i}\))

Principe :

L'énergie cinétique d'un objet est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). L'énergie cinétique totale du système est la somme des énergies cinétiques de chaque objet.

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c,i} = E_{c,A,i} + E_{c,B,i} = \frac{1}{2}m_A v_{A,i}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B,i}^2\]
Données spécifiques :
  • \(m_A = 2.0 \, \text{kg}\), \(v_{A,i} = 5.0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_B = 3.0 \, \text{kg}\), \(v_{B,i} = 0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c,A,i} &= \frac{1}{2} \times 2.0 \, \text{kg} \times (5.0 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 25 = 25.0 \, \text{J} \\ E_{c,B,i} &= \frac{1}{2} \times 3.0 \, \text{kg} \times (0 \, \text{m/s})^2 = 0 \, \text{J} \\ E_{c,i} &= 25.0 \, \text{J} + 0 \, \text{J} = 25.0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie cinétique totale du système avant la collision est \(E_{c,i} = 25.0 \, \text{J}\).

Question 6 : Énergie cinétique totale du système après la collision (\(E_{c,f}\))

Principe :

Après la collision parfaitement inélastique, les deux chariots se déplacent ensemble avec la vitesse \(v_f\). Leur masse combinée est \(m_A + m_B\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{c,f} = \frac{1}{2}(m_A + m_B) v_f^2\]
Données spécifiques :
  • \(m_A + m_B = 5.0 \, \text{kg}\)
  • \(v_f = 2.0 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{c,f} &= \frac{1}{2} \times 5.0 \, \text{kg} \times (2.0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 5.0 \, \text{kg} \times 4.0 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 20.0 \, \text{J} \\ &= 10.0 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'énergie cinétique totale du système après la collision est \(E_{c,f} = 10.0 \, \text{J}\).

Question 7 : Perte d'énergie cinétique (\(\Delta E_c\)) et nature de la collision

Principe :

La perte d'énergie cinétique est la différence entre l'énergie cinétique initiale et l'énergie cinétique finale. Si \(\Delta E_c > 0\), il y a perte d'énergie, ce qui est caractéristique des collisions inélastiques. Si \(\Delta E_c = 0\), la collision est élastique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta E_c = E_{c,i} - E_{c,f}\]
Données spécifiques :
  • \(E_{c,i} = 25.0 \, \text{J}\)
  • \(E_{c,f} = 10.0 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta E_c &= 25.0 \, \text{J} - 10.0 \, \text{J} \\ &= 15.0 \, \text{J} \end{aligned} \]

Commentaire : Puisque \(\Delta E_c = 15.0 \, \text{J} > 0\), il y a une perte d'énergie cinétique lors de la collision. Cette énergie est transformée en d'autres formes, comme la chaleur, le son, ou la déformation permanente des chariots. La collision est donc inélastique, ce qui était attendu car les chariots restent collés (collision parfaitement inélastique).

Résultat Question 7 : La perte d'énergie cinétique lors de la collision est \(\Delta E_c = 15.0 \, \text{J}\). La collision est inélastique.

Quiz Intermédiaire 2 : Dans une collision parfaitement élastique entre deux objets :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'élan (quantité de mouvement) d'un objet est :

2. Dans une collision parfaitement inélastique :

3. Si deux objets de masses différentes entrent en collision et restent collés, la vitesse finale du système combiné sera :

Glossaire

Élan (Quantité de Mouvement)
Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (\(p = mv\)). C'est une grandeur vectorielle qui mesure la "quantité de mouvement" d'un objet.
Conservation de l'Élan
Principe selon lequel, en l'absence de forces extérieures nettes agissant sur un système, l'élan total de ce système reste constant. \(\sum p_{\text{initial}} = \sum p_{\text{final}}\).
Collision
Interaction brève entre deux ou plusieurs corps qui entraîne un échange de forces important entre eux.
Collision Parfaitement Inélastique
Type de collision où les objets restent collés ensemble après l'impact et se déplacent avec une vitesse finale commune. L'énergie cinétique n'est généralement pas conservée dans ce type de collision (une partie est transformée en chaleur, son, déformation).
Collision Élastique
Type de collision où l'énergie cinétique totale du système est conservée, en plus de l'élan. Les objets rebondissent l'un sur l'autre sans perte d'énergie cinétique.
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle est calculée par la formule \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
Système Isolé
Système sur lequel aucune force extérieure nette n'agit. Pour de tels systèmes, l'élan total est conservé.
Conservation de l’Élan lors d’une Collision - Exercice d'Application

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