Études de cas pratique

EGC

Calcul du moment induit par la force sismique

Calcul du Moment Induit par la Force Sismique en Ingénierie Sismique

Calcul du Moment Induit par la Force Sismique

Comprendre le Moment Induit par la Force Sismique

Lorsqu'une structure est soumise à des forces sismiques latérales, ces forces créent des moments de flexion et de renversement qui doivent être pris en compte dans la conception. Le moment de renversement à la base de la structure est particulièrement critique pour la conception des fondations et pour vérifier la stabilité globale de la structure contre le basculement. Cet exercice se concentre sur le calcul du moment de renversement à la base induit par les forces sismiques latérales distribuées sur la hauteur d'un bâtiment.

Données de l'étude

On considère le même bâtiment à portiques en béton armé de 3 étages que dans l'exercice précédent sur le calcul de l'accélération sismique.

Caractéristiques de la Structure et Forces Sismiques (résultats de l'exercice précédent ou données) :

  • Nombre d'étages (\(N\)) : 3
  • Hauteur de chaque étage (\(h_{\text{étage}}\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Hauteurs des niveaux par rapport à la base :
    • Niveau 1 : \(h_1 = 3.0 \, \text{m}\)
    • Niveau 2 : \(h_2 = 6.0 \, \text{m}\)
    • Niveau 3 (Toit) : \(h_3 = 9.0 \, \text{m}\)
  • Forces sismiques latérales appliquées à chaque niveau :
    • Niveau 1 : \(F_1 = 120 \, \text{kN}\)
    • Niveau 2 : \(F_2 = 240 \, \text{kN}\)
    • Niveau 3 (Toit) : \(F_3 = 240 \, \text{kN}\)
  • Masse totale de la structure (\(M\)) : \(400 \, \text{tonnes} = 400000 \, \text{kg}\) (Masse totale \(M = m_1+m_2+m_3 = 150+150+100 = 400\) tonnes)
  • Largeur de la base de la structure dans la direction de l'action sismique (\(B\)) : \(12 \, \text{m}\) (pour discussion)
Schéma : Moment de Renversement à la Base
Sol / Base m1 m2 m3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 M base Moment de Renversement à la Base

Illustration des forces sismiques et du moment de renversement à la base d'un bâtiment.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment de renversement (\(M_{i, \text{base}}\)) induit par la force sismique de chaque niveau \(i\) par rapport à la base de la structure.
  2. Calculer le moment de renversement total (\(M_{\text{total, base}}\)) à la base de la structure.
  3. Calculer le poids total de la structure (\(P\)).
  4. Calculer le moment stabilisateur (\(M_{\text{stab}}\)) si l'on considère que le poids total de la structure agit au centre de sa base de largeur \(B\). (Simplification : on considère que le poids agit au centre de la base pour le calcul du moment résistant au renversement).
  5. Comparer le moment de renversement total au moment stabilisateur. Quel serait un facteur de sécurité simple contre le renversement ? (FS = \(M_{\text{stab}} / M_{\text{total, base}}\)). Discuter de la signification.

Correction : Calcul du Moment Induit par la Force Sismique

Question 1 : Moment de renversement (\(M_{i, \text{base}}\)) par niveau par rapport à la base

Principe :

Le moment induit par la force sismique de chaque niveau par rapport à la base est le produit de cette force par son bras de levier, qui est la hauteur du niveau par rapport à la base (\(h_i\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{i, \text{base}} = F_i \times h_i\]
Données spécifiques :
  • \(F_1 = 120 \, \text{kN}\), \(h_1 = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(F_2 = 240 \, \text{kN}\), \(h_2 = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(F_3 = 240 \, \text{kN}\), \(h_3 = 9.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{1, \text{base}} &= 120 \, \text{kN} \times 3.0 \, \text{m} = 360 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ M_{2, \text{base}} &= 240 \, \text{kN} \times 6.0 \, \text{m} = 1440 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ M_{3, \text{base}} &= 240 \, \text{kN} \times 9.0 \, \text{m} = 2160 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les moments de renversement par niveau par rapport à la base sont :
  • \(M_{1, \text{base}} = 360 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{2, \text{base}} = 1440 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{3, \text{base}} = 2160 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Question 2 : Moment de renversement total (\(M_{\text{total, base}}\)) à la base

Principe :

Le moment de renversement total à la base est la somme des moments induits par les forces sismiques de chaque niveau par rapport à la base.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{total, base}} = \sum_{i=1}^{N} M_{i, \text{base}} = M_{1, \text{base}} + M_{2, \text{base}} + M_{3, \text{base}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{total, base}} &= 360 \, \text{kN} \cdot \text{m} + 1440 \, \text{kN} \cdot \text{m} + 2160 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 3960 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment de renversement total à la base est \(M_{\text{total, base}} = 3960 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur du bâtiment augmente (avec les mêmes forces aux mêmes positions relatives), le moment de renversement total à la base :

Question 3 : Poids total de la structure (\(P\))

Principe :

Le poids total de la structure est le produit de sa masse totale par l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = M \times g\]
Données spécifiques :
  • Masse totale (\(M\)) : \(400000 \, \text{kg}\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 400000 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 3924000 \, \text{N} \\ &= 3924 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le poids total de la structure est \(P = 3924 \, \text{kN}\).

Question 4 : Moment stabilisateur (\(M_{\text{stab}}\))

Principe :

Le moment stabilisateur est le moment qui s'oppose au renversement. Il est principalement dû au poids de la structure agissant avec un bras de levier par rapport au point de rotation potentiel (bord de la fondation). Pour une estimation simple, on considère que le poids total agit au centre de la base, et le bras de levier est la moitié de la largeur de la base (\(B/2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{\text{stab}} = P \times \frac{B}{2}\]
Données spécifiques :
  • Poids total (\(P\)) : \(3924 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la base (\(B\)) : \(12 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{\text{stab}} &= 3924 \, \text{kN} \times \frac{12 \, \text{m}}{2} \\ &= 3924 \, \text{kN} \times 6 \, \text{m} \\ &= 23544 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment stabilisateur est \(M_{\text{stab}} = 23544 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Facteur de sécurité contre le renversement et discussion

Principe :

Le facteur de sécurité contre le renversement est le rapport du moment stabilisateur au moment de renversement total. Un FS > 1.0 est requis pour la stabilité, et les codes de conception spécifient souvent des valeurs minimales (par exemple, FS \(\ge\) 1.5 ou 2.0).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{FS}_{\text{renversement}} = \frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{total, base}}}\]
Données spécifiques :
  • \(M_{\text{stab}} = 23544 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M_{\text{total, base}} = 3960 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{FS}_{\text{renversement}} &= \frac{23544 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{3960 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &\approx 5.945 \end{aligned} \]

On arrondit à \(\text{FS}_{\text{renversement}} \approx 5.95\).

Discussion : Un facteur de sécurité de 5.95 est généralement considéré comme très élevé et indique une excellente stabilité contre le renversement pour les forces sismiques calculées. Les codes de conception exigent souvent un FS minimum (par exemple, 1.5 à 2.0). Un FS élevé signifie que le moment résistant (dû au poids de la structure) est bien supérieur au moment tendant à la faire basculer. Cela est souvent le cas pour les bâtiments massifs et relativement peu élancés. Si le FS était proche de 1.0 ou inférieur, la structure serait instable ou à la limite de l'instabilité au renversement, nécessitant des modifications de conception (élargissement de la base, augmentation du poids, ancrages spécifiques des fondations, etc.). Il est important de noter que cette analyse est simplifiée. Une analyse complète prendrait en compte les effets P-Delta, la contribution des forces verticales sismiques, la capacité réelle des fondations, et la non-linéarité du comportement du sol et de la structure.

Résultat Question 5 : Le facteur de sécurité contre le renversement est \(\text{FS}_{\text{renversement}} \approx 5.95\). La structure est très stable contre le renversement sous ces efforts.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour augmenter le moment stabilisateur d'une structure, on peut principalement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le moment de renversement à la base d'une structure est calculé comme :

2. Un facteur de sécurité contre le renversement inférieur à 1.0 indique que :

3. Le moment stabilisateur d'une structure dépend principalement de :

Glossaire

Moment d'une Force
Tendance d'une force à faire tourner un objet autour d'un axe ou d'un point. Calculé comme le produit de la force par le bras de levier (distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action de la force).
Moment de Renversement (Overturning Moment)
Moment, généralement calculé à la base d'une structure, qui tend à la faire basculer sous l'effet de charges latérales (comme les forces sismiques ou le vent).
Moment Stabilisateur (Stabilizing Moment)
Moment qui s'oppose au renversement, principalement dû au poids propre de la structure agissant avec un bras de levier par rapport au point de rotation potentiel.
Force Sismique Latérale (\(F_i\))
Force horizontale appliquée à un niveau \(i\) d'une structure, représentant l'effet de l'action sismique à ce niveau.
Bras de Levier (Lever Arm)
Distance perpendiculaire entre l'axe de rotation (ou le point par rapport auquel le moment est calculé) et la ligne d'action de la force.
Facteur de Sécurité contre le Renversement
Rapport entre le moment stabilisateur et le moment de renversement. Une valeur supérieure à 1.0 est nécessaire pour la stabilité ; les codes de conception spécifient des valeurs minimales.
Effets P-Delta
Effets du second ordre où les charges axiales (P) agissant sur une structure déplacée latéralement (Delta) induisent des moments supplémentaires qui peuvent augmenter les déformations et les moments initiaux.
Calcul du Moment Induit par la Force Sismique - Exercice d'Application

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