Études de cas pratique

EGC

Analyse de Déformation d’un Joint Polymère

Analyse de Déformation d’un Joint Polymère en Ingénierie Mécanique

Analyse de Déformation d’un Joint Polymère

Comprendre la Déformation des Joints Polymères

Les joints polymères, tels que les joints toriques (O-rings) ou les joints plats, sont largement utilisés en ingénierie mécanique pour assurer l'étanchéité entre des composants. Leur capacité à se déformer sous charge est essentielle à leur fonction. Comprendre comment un joint polymère se déforme sous une contrainte de compression (écrasement) permet de prédire son comportement en service, d'assurer une étanchéité correcte et d'éviter une défaillance prématurée. Cet exercice se concentre sur le calcul des déformations axiales et transversales d'un joint polymère de section annulaire soumis à une compression axiale, en utilisant les concepts de contrainte, de déformation, de module de Young et de coefficient de Poisson.

Données de l'étude

On étudie un joint d'étanchéité polymère de section annulaire (similaire à une rondelle épaisse) soumis à une force de compression axiale.

Caractéristiques Géométriques du Joint (avant déformation) :

  • Diamètre extérieur initial (\(D_e\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur initial (\(D_i\)) : \(40 \, \text{mm}\)
  • Hauteur (ou épaisseur) initiale (\(H\)) : \(5 \, \text{mm}\)

Propriétés du Matériau Polymère :

  • Module de Young (\(E\)) : \(10 \, \text{MPa} = 10 \, \text{N/mm}^2\)
  • Coefficient de Poisson (\(\nu\)) : \(0.49\) (caractéristique d'un élastomère quasi-incompressible)

Conditions de Chargement :

  • Force de compression axiale appliquée (\(F_{\text{axial}}\)) : \(100 \, \text{N}\)
Schéma : Joint Polymère sous Compression Axiale
Joint F axial F axial H De Di Joint Polymère en Compression

Schéma d'un joint annulaire soumis à une compression axiale.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale annulaire initiale (\(A\)) du joint sur laquelle la force est appliquée.
  2. Calculer la contrainte axiale (\(\sigma_{\text{axial}}\)) subie par le joint.
  3. Calculer la déformation axiale relative (ou écrasement relatif) (\(\epsilon_{\text{axial}}\)) du joint.
  4. Calculer la variation de hauteur (écrasement absolu) (\(\Delta H\)) du joint.
  5. Calculer la déformation transversale relative (\(\epsilon_{\text{transversal}}\)) en utilisant le coefficient de Poisson.
  6. Calculer la variation du diamètre extérieur (\(\Delta D_e\)) et du diamètre intérieur (\(\Delta D_i\)) due à la compression axiale.
  7. Calculer les diamètres extérieur et intérieur finaux (\(D_{e,f}\) et \(D_{i,f}\)) du joint après déformation.

Correction : Analyse de Déformation d’un Joint Polymère

Question 1 : Aire de la section transversale annulaire initiale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section annulaire est la différence entre l'aire du cercle extérieur et celle du cercle intérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi}{4} (D_e^2 - D_i^2)\]
Données spécifiques :
  • Diamètre extérieur initial (\(D_e\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur initial (\(D_i\)) : \(40 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi}{4} ((50 \, \text{mm})^2 - (40 \, \text{mm})^2) \\ &= \frac{\pi}{4} (2500 \, \text{mm}^2 - 1600 \, \text{mm}^2) \\ &= \frac{\pi}{4} (900 \, \text{mm}^2) \\ &\approx 0.7854 \times 900 \, \text{mm}^2 \\ &\approx 706.86 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale initiale est \(A \approx 706.86 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte axiale (\(\sigma_{\text{axial}}\)) subie par le joint

Principe :

La contrainte axiale est la force de compression axiale divisée par l'aire de la section sur laquelle elle s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma_{\text{axial}} = \frac{F_{\text{axial}}}{A}\]
Données spécifiques :
  • Force axiale (\(F_{\text{axial}}\)) : \(100 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(\approx 706.86 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{axial}} &\approx \frac{100 \, \text{N}}{706.86 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 0.14147 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 0.141 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte axiale subie par le joint est \(\sigma_{\text{axial}} \approx 0.141 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation axiale relative (\(\epsilon_{\text{axial}}\))

Principe :

Pour un matériau élastique linéaire, la déformation axiale relative est le rapport entre la contrainte axiale et le module de Young du matériau (Loi de Hooke).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_{\text{axial}} = \frac{\sigma_{\text{axial}}}{E}\]
Données spécifiques :
  • \(\sigma_{\text{axial}} \approx 0.14147 \, \text{MPa}\)
  • Module de Young (\(E\)) : \(10 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{axial}} &\approx \frac{0.14147 \, \text{MPa}}{10 \, \text{MPa}} \\ &\approx 0.014147 \end{aligned} \]

La déformation est sans unité (ou en mm/mm).

Résultat Question 3 : La déformation axiale relative est \(\epsilon_{\text{axial}} \approx 0.01415\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module de Young (\(E\)) du polymère était plus élevé, pour la même contrainte, la déformation axiale relative serait :

Question 4 : Variation de hauteur (écrasement absolu) (\(\Delta H\))

Principe :

L'écrasement absolu est le produit de la déformation axiale relative et de la hauteur initiale du joint.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta H = \epsilon_{\text{axial}} \times H\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon_{\text{axial}} \approx 0.014147\)
  • Hauteur initiale (\(H\)) : \(5 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &\approx 0.014147 \times 5 \, \text{mm} \\ &\approx 0.070735 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'écrasement absolu du joint est \(\Delta H \approx 0.071 \, \text{mm}\).

Question 5 : Déformation transversale relative (\(\epsilon_{\text{transversal}}\))

Principe :

La déformation transversale (ou radiale dans ce cas) est liée à la déformation axiale par le coefficient de Poisson (\(\nu\)). Pour une compression axiale (déformation négative par convention si on considère un allongement positif), une déformation transversale positive (expansion) est attendue.

Convention : \(\epsilon_{\text{axial}}\) est négative en compression. Si on a calculé \(\epsilon_{\text{axial}}\) comme une valeur positive représentant l'amplitude de la compression, alors \(\epsilon_{\text{transversal}} = \nu \times |\epsilon_{\text{axial}}|\) pour une expansion, ou plus formellement \(\epsilon_{\text{transversal}} = -\nu \epsilon_{\text{axial}}\) où \(\epsilon_{\text{axial}}\) est négative.

Ici, \(\epsilon_{\text{axial}}\) calculé est l'amplitude de la compression (valeur positive). La déformation transversale sera une expansion.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon_{\text{transversal}} = \nu \times \epsilon_{\text{axial}}\]

(En considérant que \(\epsilon_{\text{axial}}\) calculé est l'amplitude de la compression, et \(\epsilon_{\text{transversal}}\) sera une expansion)

Données spécifiques :
  • Coefficient de Poisson (\(\nu\)) : \(0.49\)
  • \(\epsilon_{\text{axial}} \approx 0.014147\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{transversal}} &\approx 0.49 \times 0.014147 \\ &\approx 0.006932 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La déformation transversale relative est \(\epsilon_{\text{transversal}} \approx 0.00693\).

Question 6 : Variation du diamètre extérieur (\(\Delta D_e\)) et intérieur (\(\Delta D_i\))

Principe :

La variation d'une dimension transversale (comme un diamètre) est le produit de la déformation transversale relative et de la dimension initiale correspondante. Puisque \(\epsilon_{\text{transversal}}\) est positive, les diamètres augmenteront.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta D_e = \epsilon_{\text{transversal}} \times D_e\]
\[\Delta D_i = \epsilon_{\text{transversal}} \times D_i\]
Données spécifiques :
  • \(\epsilon_{\text{transversal}} \approx 0.006932\)
  • \(D_e = 50 \, \text{mm}\)
  • \(D_i = 40 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta D_e &\approx 0.006932 \times 50 \, \text{mm} \\ &\approx 0.3466 \, \text{mm} \\ \\ \Delta D_i &\approx 0.006932 \times 40 \, \text{mm} \\ &\approx 0.27728 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
  • Variation du diamètre extérieur : \(\Delta D_e \approx 0.347 \, \text{mm}\)
  • Variation du diamètre intérieur : \(\Delta D_i \approx 0.277 \, \text{mm}\)

Question 7 : Diamètres extérieur et intérieur finaux (\(D_{e,f}\) et \(D_{i,f}\))

Principe :

Les diamètres finaux sont les diamètres initiaux plus leurs variations respectives.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{e,f} = D_e + \Delta D_e\]
\[D_{i,f} = D_i + \Delta D_i\]
Données spécifiques :
  • \(D_e = 50 \, \text{mm}\), \(\Delta D_e \approx 0.3466 \, \text{mm}\)
  • \(D_i = 40 \, \text{mm}\), \(\Delta D_i \approx 0.27728 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D_{e,f} &\approx 50 \, \text{mm} + 0.3466 \, \text{mm} \\ &\approx 50.3466 \, \text{mm} \\ \\ D_{i,f} &\approx 40 \, \text{mm} + 0.27728 \, \text{mm} \\ &\approx 40.27728 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 :
  • Diamètre extérieur final : \(D_{e,f} \approx 50.35 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur final : \(D_{i,f} \approx 40.28 \, \text{mm}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Un coefficient de Poisson proche de 0.5 pour un polymère signifie qu'il est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte est définie comme :

2. Le module de Young (\(E\)) est une mesure de :

3. Un coefficient de Poisson élevé (proche de 0.5) pour un joint polymère comprimé axialement implique :

Glossaire

Joint Polymère
Pièce en matériau polymère (élastomère, plastique) utilisée pour créer une étanchéité entre deux ou plusieurs surfaces, empêchant les fuites de fluides ou l'entrée de contaminants.
Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau soumis à des charges externes. Exprimée en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
Contrainte Axiale
Contrainte agissant perpendiculairement à la section transversale d'un objet, due à une force axiale (traction ou compression).
Déformation Relative (\(\epsilon\))
Mesure du changement de dimension d'un objet par rapport à sa dimension initiale, due à une contrainte. C'est une grandeur sans dimension (ex: mm/mm).
Déformation Axiale
Déformation relative dans la direction de la force appliquée.
Déformation Transversale
Déformation relative dans une direction perpendiculaire à la force appliquée.
Module de Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte axiale et la déformation axiale relative dans le domaine élastique. Exprimé en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
Coefficient de Poisson (\(\nu\))
Rapport (changé de signe) de la déformation transversale relative à la déformation axiale relative. Il caractérise la tendance d'un matériau à se contracter (ou s'expandre) dans les directions perpendiculaires à la direction de l'étirement (ou de la compression).
Écrasement
Réduction de la hauteur ou de l'épaisseur d'un objet sous l'effet d'une charge de compression.
Élastomère
Polymère ayant la propriété d'élasticité, c'est-à-dire capable de subir de grandes déformations sous contrainte et de retrouver sa forme initiale une fois la contrainte supprimée. Les caoutchoucs sont des exemples d'élastomères.
Analyse de Déformation d’un Joint Polymère - Exercice d'Application

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