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Sélection de Profilés en Acier

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Contexte : Le plancher d'un bâtiment de bureaux.

Le dimensionnement des poutres de plancher (solives) est une tâche fondamentale pour tout ingénieur en structure. Ces éléments, répétés un grand nombre de fois, doivent être optimisés pour garantir la sécurité tout en maîtrisant les coûts. Cet exercice vous propose de dimensionner une solive en acier supportant une dalle en béton armé. Vous apprendrez à convertir des charges surfaciques en charges linéiques, à calculer les sollicitations, et à choisir le profilé commercial le plus adapté en vérifiant sa résistance et sa déformation (flèche) selon l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un cas d'étude complet qui illustre le processus de conception d'un élément de structure simple. L'enjeu est de trouver le profilé le plus léger (et donc le plus économique) qui satisfait à la fois aux critères de résistance (ne pas casser sous les charges majorées à l'ELU) et aux critères de service (ne pas trop se déformer sous les charges réelles à l'ELS).

Objectifs Pédagogiques

  • Transformer des charges surfaciques en charges linéiques sur une poutre.
  • Appliquer les combinaisons d'actions à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer le moment fléchissant et l'effort tranchant de calcul.
  • Sélectionner un profilé en I (IPE) en vérifiant sa résistance à la flexion et au cisaillement.
  • Vérifier la condition de flèche à l'ELS, souvent dimensionnante pour les planchers.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher d'un bâtiment de bureaux. La solive est modélisée comme une poutre sur deux appuis simples et supporte une bande de plancher.

Schéma du plancher et de la solive étudiée
Zone de chargement de la solive Entraxe = 3.0 m Portée, L = 8 m
Vue 3D interactive du plancher
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 8.0 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(E\) 3.0 \(\text{m}\)
Charges permanentes surfaciques (hors poids propre) \(g_k\) 4.0 \(\text{kN/m}^2\)
Charges d'exploitation surfaciques (bureaux) \(q_k\) 2.5 \(\text{kN/m}^2\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible (charges variables) \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges linéiques de calcul sur la solive à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) et à l'ELS (\(p_{\text{ser}}\)).
  2. Déterminer le moment fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) maximaux.
  3. Sélectionner le profilé IPE le plus léger qui vérifie la résistance à la flexion.
  4. Vérifier la résistance au cisaillement du profilé choisi.
  5. Vérifier la flèche due aux charges d'exploitation. Conclure sur le choix du profilé.

Les bases du calcul de sélection de profilés

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de l'Eurocode 3 pour la sélection de profilés.

1. Des charges surfaciques aux charges linéiques :
Les charges de plancher (en \(\text{kN/m}^2\)) sont réparties sur les poutres. Chaque poutre reprend une bande de plancher dont la largeur est l'entraxe (\(E\)). Pour obtenir la charge linéique sur la poutre (en \(\text{kN/m}\)), on multiplie la charge surfacique par l'entraxe : \[ p_{\text{linéique}} = p_{\text{surfacique}} \times E \]

2. Vérification de la résistance au cisaillement (\(V_{\text{Rd}}\)) :
On doit s'assurer que l'effort tranchant appliqué \(V_{\text{Ed}}\) est inférieur à la résistance au cisaillement du profilé \(V_{\text{pl,Rd}}\). \[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}} \ge V_{\text{Ed}} \] Où \(A_v\) est l'aire de cisaillement (approximativement l'aire de l'âme) et \(\gamma_{M0}=1.0\).

3. Vérification de la flèche (\(f\)) :
La flèche maximale pour une poutre sur deux appuis avec une charge répartie \(p\) est donnée par : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot p \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] Où \(E\) est le module de Young de l'acier (\(210000 \, \text{MPa}\)) et \(I\) est le moment d'inertie du profilé. Pour l'ELS, on utilise les charges non pondérées.

Correction : Sélection de Profilés en Acier

Question 1 : Calculer les charges linéiques de calcul

Principe (le concept physique)

Les charges sur un plancher sont données en force par unité de surface (par exemple, en \(\text{kN/m}^2\)). Pour dimensionner une poutre, nous devons savoir quelle charge elle supporte par mètre de longueur (en \(\text{kN/m}\)). Chaque poutre supporte une "bande de chargement" dont la largeur est égale à son entraxe. Nous allons donc transformer les charges surfaciques en charges linéiques, puis appliquer les coefficients de sécurité de l'ELU et de l'ELS.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion de "surface d'influence" ou "bande de chargement" est fondamentale. C'est le principe qui permet de distribuer les charges d'une surface (dalle) vers des éléments porteurs linéaires (poutres), puis de ces poutres vers des éléments ponctuels (poteaux). C'est la base de la "descente de charges" en ingénierie des structures.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est une étape cruciale. Une erreur dans l'évaluation des charges se répercutera sur tout le dimensionnement. Il est important de bien distinguer les charges permanentes \(G\) (qui sont toujours là) des charges d'exploitation \(Q\) (qui peuvent être présentes ou non).

Normes (la référence réglementaire)

Les combinaisons d'actions sont définies dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990). Pour le bâtiment, la combinaison fondamentale à l'ELU est \(1.35 G + 1.5 Q\). Pour l'ELS (combinaison caractéristique), on utilise \(G + Q\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charges linéiques (avant pondération) :

\[ g_{k, \text{lin}} = g_k \times E \]
\[ q_{k, \text{lin}} = q_k \times E \]

Charges linéiques de calcul :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot g_{k, \text{lin}} + 1.5 \cdot q_{k, \text{lin}} \quad (\text{ELU}) \]
\[ p_{\text{ser}} = g_{k, \text{lin}} + q_{k, \text{lin}} \quad (\text{ELS}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On néglige le poids propre de la solive dans un premier temps. Il devra être vérifié après le choix du profilé. On suppose que la dalle porte dans une seule direction, perpendiculairement aux solives.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(g_k = 4.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Charges d'exploitation, \(q_k = 2.5 \, \text{kN/m}^2\)
  • Entraxe, \(E = 3.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours les unités : \([\text{kN/m}^2] \times [\text{m}] = [\text{kN/m}]\). C'est une vérification simple qui évite beaucoup d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Transformation des charges surfaciques en charge linéique
Charge surfacique px E
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charges linéiques caractéristiques :

\[ \begin{aligned} g_{k, \text{lin}} &= 4.0 \, \text{kN/m}^2 \times 3.0 \, \text{m} \\ &= 12.0 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_{k, \text{lin}} &= 2.5 \, \text{kN/m}^2 \times 3.0 \, \text{m} \\ &= 7.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Charge de calcul à l'ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \times 12.0 \, \text{kN/m} + 1.5 \times 7.5 \, \text{kN/m} \\ &= 16.2 \, \text{kN/m} + 11.25 \, \text{kN/m} \\ &= 27.45 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Charge de calcul à l'ELS :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= 12.0 \, \text{kN/m} + 7.5 \, \text{kN/m} \\ &= 19.5 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges linéiques sur la solive
p_Ed = 27.45 kN/mp_ser = 19.5 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les deux valeurs de charge linéique qui vont nous servir pour toutes les vérifications ultérieures : \(p_{\text{Ed}}\) pour les calculs de résistance (flexion, cisaillement) et \(p_{\text{ser}}\) pour le calcul de déformation (flèche).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier de multiplier par l'entraxe, ou d'utiliser la mauvaise combinaison de charges pour une vérification donnée (par exemple, utiliser \(p_{\text{Ed}}\) pour calculer la flèche, ce qui mènerait à un surdimensionnement).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On transforme les charges surfaciques en charges linéiques en multipliant par l'entraxe.
  • On utilise \(p_{\text{Ed}} = 1.35 G + 1.5 Q\) pour la résistance (ELU).
  • On utilise \(p_{\text{ser}} = G + Q\) pour la déformation (ELS).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les dalles en béton portant dans deux directions, la répartition des charges sur les poutres n'est plus uniforme. Elle prend une forme triangulaire pour les poutres courtes et trapézoïdale pour les poutres longues. Le calcul est alors plus complexe.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids propre de la poutre est-il important ?

Pour une première approche, on peut le négliger ou l'estimer (ex: 0.5 kN/m). Une fois un profilé présélectionné, on doit ajouter son poids propre réel aux charges permanentes \(g_{k, \text{lin}}\) et refaire les calculs pour vérifier que le profilé est toujours adéquat. Pour les grandes portées, le poids propre peut représenter une part non négligeable des charges.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge linéique de calcul est de \(p_{\text{Ed}} = 27.45 \, \text{kN/m}\) à l'ELU et de \(p_{\text{ser}} = 19.5 \, \text{kN/m}\) à l'ELS.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(q_k\) était de \(3.0 \, \text{kN/m}^2\), quelle serait la nouvelle charge \(p_{\text{Ed}}\) en kN/m ?

Question 2 : Déterminer les efforts maximaux (\(M_{\text{Ed}}\) et \(V_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)

Une fois la charge linéique de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\)) connue, nous utilisons les formules de la Résistance des Matériaux (RdM) pour trouver les efforts internes maximaux dans la poutre. Pour une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniforme, le moment fléchissant est maximal au centre de la travée, et l'effort tranchant est maximal aux appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces formules (\(pL^2/8\) et \(pL/2\)) découlent de l'intégration des équations d'équilibre de la statique. Le diagramme de l'effort tranchant est la primitive (à un signe près) de la charge répartie, et le diagramme du moment fléchissant est la primitive de l'effort tranchant. C'est pourquoi un chargement constant donne un effort tranchant linéaire et un moment fléchissant parabolique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ces deux formules sont les plus fondamentales de la construction. Elles doivent être connues par cœur. Elles représentent le cas de charge le plus courant pour les poutres et les planchers. La maîtrise de ces formules est un prérequis pour aborder des cas plus complexes.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes à partir des actions est une application directe de la statique du solide et de la théorie des poutres, qui sont les fondements de la RdM et des Eurocodes. Les normes ne donnent pas ces formules, car elles sont considérées comme des connaissances de base de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples de portée L avec une charge uniforme \(p_{\text{Ed}}\) :

\[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]
\[ V_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les appuis sont de type "rotule" parfaite, ce qui signifie qu'ils ne reprennent aucun moment. C'est une hypothèse courante et sécuritaire pour les solives simplement posées sur leurs supports.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(p_{\text{Ed}} = 27.45 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • Portée de la solive, \(L = 8.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est en kN/m et la portée en m. Le moment sera donc en kN·m et l'effort tranchant en kN. C'est le système d'unités standard pour les calculs de structure. Pour les calculs de résistance, il faudra souvent convertir les kN·m en N·mm (\(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Forme attendue)
Effort Tranchant (V)+V_max?-V_max?Moment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{27.45 \, \text{kN/m} \cdot (8.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{27.45 \cdot 64}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 219.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed,max}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L}{2} \\ &= \frac{27.45 \, \text{kN/m} \cdot 8.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{219.6}{2} \, \text{kN} \\ &= 109.8 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Valeurs calculées)
Effort Tranchant (V)109.8 kNMoment Fléchissant (M)219.6 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié les sollicitations maximales que la poutre devra supporter. Le moment de 219.6 kN·m est l'effort principal qui va dicter le choix du profilé. L'effort tranchant de 109.8 kN est également significatif et devra être vérifié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier le carré sur la portée L dans la formule du moment. Cela conduit à une sous-estimation dramatique de l'effort principal. Pensez aux unités : \((\text{kN/m}) \cdot \text{m}^2 = \text{kN} \cdot \text{m}\), l'unité d'un moment. C'est un bon moyen de vérifier la formule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les efforts internes dépendent de la charge ET de la géométrie (portée L).
  • Pour une charge répartie, \(M_{\text{max}} = pL^2/8\) (au centre).
  • Pour une charge répartie, \(V_{\text{max}} = pL/2\) (aux appuis).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la poutre était continue sur plusieurs travées, les moments aux appuis deviendraient négatifs (traction en fibre supérieure) et les moments en travée seraient réduits. Une poutre continue est plus efficace qu'une succession de poutres indépendantes.

FAQ (pour lever les doutes)
Ces formules sont-elles toujours valables ?

Non, elles ne sont valables que pour une poutre sur deux appuis simples avec une charge uniformément répartie. Pour d'autres conditions d'appui (encastrement, console) ou d'autres types de charges (ponctuelles, triangulaires), les formules et les diagrammes sont différents.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment maximal est \(M_{\text{Ed}} = 219.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et l'effort tranchant maximal est \(V_{\text{Ed}} = 109.8 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 10 m au lieu de 8 m, quel serait le nouveau moment maximal en kN·m ?

Question 3 : Sélectionner le profilé IPE le plus léger

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le moment que la poutre doit supporter (\(M_{\text{Ed}}\)), nous devons choisir dans un catalogue de profilés en acier un modèle dont la capacité de résistance (\(M_{\text{Rd}}\)) est supérieure. La capacité d'un profilé dépend de sa forme (caractérisée par le module de section plastique \(W_{\text{pl}}\)) et de la nuance de l'acier (caractérisée par la limite élastique \(f_y\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de section plastique (\(W_{\text{pl}}\)) représente la capacité maximale d'une section à reprendre un moment fléchissant avant de former une "rotule plastique" (plastification complète de la section). Il est supérieur au module élastique (\(W_{\text{el}}\)) utilisé dans les calculs élastiques. L'utilisation de \(W_{\text{pl}}\) permet un dimensionnement plus économique en tirant parti des réserves de résistance du matériau au-delà de sa limite purement élastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur du métier de l'ingénieur structure : traduire un effort de calcul en un élément physique concret. On calcule d'abord un "module de section requis", puis on cherche dans le catalogue le profilé le plus léger (donc le plus économique) qui fournit au minimum ce module.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion des sections est détaillée dans le chapitre 6.2.5 de l'Eurocode 3 (NF EN 1991-1-1). La norme classe les sections en 4 classes. Pour les profilés IPE usuels, la section est de Classe 1, ce qui autorise l'utilisation du module de section plastique pour le calcul de la résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du module de section plastique requis :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]

2. Vérification du profilé choisi :

\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad M_{c,\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le phénomène de déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché par la dalle béton, ce qui est le cas pour les planchers. Sinon, un calcul plus complexe serait nécessaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 219.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour la cohérence des unités, il faut convertir le moment en N·mm. \(219.6 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 219.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\). Comme \(f_y\) est en N/mm², le \(W_{\text{pl,req}}\) sera obtenu en mm³. Les catalogues donnent souvent les valeurs en cm³, donc n'oubliez pas de convertir (\(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\)).

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection du Profilé
M_EdCalculer W_pl,reqChercher dans cataloguele 1er IPE avec W_pl > W_pl,req
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \\ &\ge \frac{219.6 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 1.0}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 934468 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 934.5 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue de profilés :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (\(\text{cm}^3\))Choix
IPE 300628.4❌
IPE 330903.6❌
IPE 3601140✔️
IPE 4001307✔️ (surdimensionné)

On choisit donc le profilé IPE 360, qui est le plus léger satisfaisant à la condition.

3. Vérification finale du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} M_{c,\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{1140 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \cdot 235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 267.9 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 267.9 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \\ &= \frac{219.6 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{267.9 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 0.82 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance en Flexion
Sollicitation M_Ed=219.6Résistance M_Rd (IPE 360)=267.9OK ✔️ (Ratio = 82%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de l'IPE 360 est validé pour la résistance à la flexion. Le profilé travaille à 82% de sa capacité, ce qui est un dimensionnement correct. On aurait pu espérer un ratio plus proche de 95% pour une optimisation parfaite, mais il n'existe pas de profilé commercial entre l'IPE 330 (insuffisant) et l'IPE 360.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la confusion entre module plastique \(W_{\text{pl}}\) et module élastique \(W_{\text{el}}\). Pour les calculs de résistance en Classe 1 ou 2, on utilise le module plastique. Pour les calculs de contraintes en service (ELS), on utilise le module élastique. De plus, ne jamais oublier la conversion des unités entre kN·m et N·mm.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On dimensionne en calculant le module de section requis : \(W_{\text{pl,req}}\).
  • On choisit le profilé le plus léger dont le \(W_{\text{pl}}\) est supérieur au \(W_{\text{pl,req}}\).
  • La vérification finale se fait en s'assurant que le ratio \(M_{\text{Ed}} / M_{\text{Rd}}\) est inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés en acier sont laminés à chaud. Un lingot d'acier chauffé à plus de 1200°C passe dans une série de cylindres (laminoir) qui lui donnent progressivement sa forme en "I". C'est un processus industriel impressionnant qui permet de produire des kilomètres de poutres chaque jour.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser un profilé HEB ?

Un profilé HEB est plus "carré" et plus lourd qu'un IPE à hauteur égale. Il est plus efficace pour les poteaux (en compression) ou pour résister à la flexion autour de son axe faible. Pour une poutre de plancher travaillant principalement en flexion autour de son axe fort, l'IPE est généralement plus optimisé et économique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 360 est le plus léger qui convient pour la résistance à la flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel \(W_{\text{pl,y,req}}\) (en \(\text{cm}^3\)) serait nécessaire si on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355 \, \text{MPa}\)) ?

Question 4 : Vérifier la résistance au cisaillement

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons choisi un profilé (IPE 360) sur la base de la flexion, nous devons nous assurer qu'il est également capable de résister à l'autre sollicitation majeure : l'effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)). Pour un profilé en I, c'est principalement l'âme (la partie verticale) qui travaille pour reprendre cet effort.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement d'un acier est liée à sa résistance en traction. Selon le critère de von Mises, la limite d'élasticité en cisaillement pur est égale à la limite d'élasticité en traction divisée par \(\sqrt{3}\). C'est l'origine du terme \(f_y / \sqrt{3}\) dans la formule de résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour les profilés laminés à chaud comme les IPE, la vérification au cisaillement est rarement le critère qui dimensionne la poutre, sauf pour des portées très courtes avec des charges très lourdes près des appuis. C'est néanmoins une vérification obligatoire.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification est détaillée au paragraphe 6.2.6 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1). La norme stipule que si \(V_{\text{Ed}} \le 0.5 V_{\text{pl,Rd}}\), l'effet du cisaillement sur la résistance en flexion peut être négligé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au cisaillement plastique :

\[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'âme du profilé ne risque pas de "voiler" (se déformer localement comme une feuille de papier froissée) sous l'effet du cisaillement. Pour les profilés IPE standards, cette condition est généralement satisfaite.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 109.8 \, \text{kN}\)
  • Profilé : IPE 360, avec une aire de cisaillement \(A_v = 35.66 \, \text{cm}^2\) (valeur tabulée)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul rapide, l'aire de cisaillement \(A_v\) d'un profilé en I peut être approximée par la hauteur de l'âme multipliée par son épaisseur. Cependant, les catalogues de profilés donnent des valeurs plus précises qui tiennent compte des congés de raccordement.

Schéma (Avant les calculs)
Aire de cisaillement d'un profilé IPE
Aire A_v
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ \begin{aligned} A_v &= 35.66 \, \text{cm}^2 \\ &= 3566 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance au cisaillement :

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{3566 \, \text{mm}^2 \cdot (235 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &= \frac{3566 \cdot 135.68}{1.0} \, \text{N} \\ &= 483828 \, \text{N} \\ &= 483.8 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \\ &= \frac{109.8 \, \text{kN}}{483.8 \, \text{kN}} \\ &= 0.23 \le 1.0 \quad \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance au Cisaillement
V_Ed=109.8Résistance V_Rd (IPE 360)=483.8OK ✔️ (Ratio = 23%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, la résistance au cisaillement est largement suffisante. La poutre ne travaille qu'à 23% de sa capacité au cisaillement. Cela confirme que c'est bien la flexion (ou la flèche) qui est le critère dimensionnant pour cette poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur \(\sqrt{3}\) dans la formule. Omettre ce terme conduirait à une surestimation de la résistance au cisaillement de plus de 70%.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement est principalement assurée par l'âme du profilé.
  • La vérification au cisaillement est obligatoire mais rarement dimensionnante pour les poutres IPE.
  • Le ratio de travail est \(V_{\text{Ed}} / V_{\text{pl,Rd}} \le 1.0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en béton armé, le cisaillement est un problème beaucoup plus complexe car le béton est fragile. On doit ajouter des armatures spécifiques (cadres, étriers, épingles) pour "coudre" les fissures de cisaillement et assurer une rupture ductile.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si \(V_{\text{Ed}}\) est très élevé (supérieur à \(0.5 V_{\text{pl,Rd}}\)) ?

Dans ce cas, l'effort tranchant est si important qu'il réduit la capacité de la poutre à résister à la flexion. L'Eurocode 3 impose alors de vérifier la flexion avec un moment résistant réduit pour tenir compte de cette interaction entre le cisaillement et la flexion.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 360 est adéquat pour reprendre l'effort tranchant de calcul.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\) (en kN) d'un IPE 300 (\(A_v = 28.48 \, \text{cm}^2\)) ?

Question 5 : Vérifier la flèche et conclure

Principe (le concept physique)

La dernière étape, et souvent la plus critique, est de vérifier que la poutre ne se déforme pas excessivement sous les charges de service. Une flèche trop importante peut causer des fissures dans les cloisons, des problèmes d'étanchéité, ou un sentiment d'inconfort pour les usagers. On calcule donc la flèche réelle avec les charges non pondérées et on la compare à la limite fixée par la norme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche \(f = \frac{5 p L^4}{384 E I}\) montre une dépendance très forte à la portée (puissance 4). Doubler la portée multiplie la flèche par 16 ! Elle dépend aussi de la rigidité de la poutre, \(E \cdot I\), qui combine la rigidité du matériau (\(E\)) et la rigidité de la forme (\(I\), le moment quadratique). C'est pourquoi le moment d'inertie \(I\) est la caractéristique clé pour maîtriser les déformations.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent la vérification de la flèche qui est dimensionnante pour les poutres de grande portée, et non la résistance. On peut avoir une poutre qui résiste largement à l'ELU mais qui est une vraie "passerelle de singe" à l'ELS. Il est donc crucial de toujours effectuer les deux vérifications.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont données dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. Pour un plancher de bureau, une limite courante est L/300 pour la flèche due aux seules charges d'exploitation (\(q_k\)), afin de limiter les vibrations et l'inconfort.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche maximale due à \(q_k\) :

\[ f_{\text{max}, q_k} = \frac{5 \cdot q_{k, \text{lin}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

Vérification :

\[ f_{\text{max}, q_k} \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module de Young de l'acier \(E = 210000\) MPa et le moment quadratique \(I_y\) de l'IPE 360 choisi, qui est donné par les catalogues.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge d'exploitation linéique, \(q_{k, \text{lin}} = 7.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 8.0 \, \text{m}\)
  • Profilé : IPE 360, avec \(I_y = 16270 \, \text{cm}^4\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est ici le point le plus délicat ! La formule contient \(L^4\). Il est plus simple de tout convertir dans un système cohérent, par exemple N et mm.

  • \(q_{k, \text{lin}}\) en N/mm
  • \(L\) en mm
  • \(E\) en N/mm² (MPa)
  • \(I_y\) en mm⁴ (\(1 \, \text{cm}^4 = 10^4 \, \text{mm}^4\))
Le résultat de la flèche sera alors directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche
f_max = ?Limite adm. = L/300
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ \begin{aligned} q_{k, \text{lin}} &= 7.5 \, \text{kN/m} \\ &= 7.5 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} L &= 8.0 \, \text{m} \\ &= 8000 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_y &= 16270 \, \text{cm}^4 \\ &= 16270 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \\ &= 1.627 \times 10^8 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}, q_k} &= \frac{5 \cdot (7.5 \, \text{N/mm}) \cdot (8000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1.627 \times 10^8 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{1.536 \times 10^{17}}{1.312 \times 10^{19}} \, \text{mm} \\ &\approx 11.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{8000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 26.7 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 11.7 \, \text{mm} \le 26.7 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 11.7/26.7 \approx 0.44 \le 1.0) \Rightarrow \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_max=11.7 mmFlèche adm. f_adm=26.7 mmOK ✔️ (Ratio = 44%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de la flèche est largement satisfaite. Le profilé IPE 360 est donc validé pour tous les critères. Cependant, le ratio de flèche (44%) est assez faible, tout comme le ratio de résistance (82%). Cela suggère que le choix est correct, mais qu'il n'est pas parfaitement optimisé. Un profilé sur mesure (Profilé Reconstitué Soudé) pourrait être plus léger et plus économique pour un grand projet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier la vérification à l'ELS ! C'est une erreur grave de s'arrêter après la vérification de résistance. De plus, il faut bien utiliser les charges de service (non pondérées) pour le calcul de flèche. Utiliser les charges ELU conduirait à une flèche surestimée et à un surdimensionnement inutile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges de service (non majorées), et souvent uniquement les charges variables pour les planchers.
  • La flèche doit être inférieure à une limite normative (ex: L/300).
  • La flèche est souvent le critère qui dimensionne les poutres de grande portée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers de salles de danse ou de sport, le critère le plus important n'est ni la résistance ni la flèche statique, mais la vibration. L'ingénieur doit calculer la fréquence propre du plancher pour s'assurer qu'elle est suffisamment éloignée des fréquences d'excitation humaines (marche, course, sauts) afin d'éviter tout phénomène de résonance inconfortable.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/300 ?

Non, cela dépend de l'usage du bâtiment et de la nature des éléments supportés. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, on peut exiger L/500. Pour une toiture non accessible, L/200 peut suffire. Ces limites sont spécifiées dans les annexes nationales des Eurocodes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche est vérifiée. Le profilé IPE 360 est validé pour l'ensemble des critères.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la flèche maximale \(f_{\text{max}, q_k}\) (en mm) si l'on avait choisi un IPE 400 (\(I_y = 23130 \, \text{cm}^4\)) ?

Outil Interactif : Paramètres de la Solive

Modifiez les paramètres du plancher pour voir leur influence sur le dimensionnement de la solive.

Paramètres d'Entrée
8.0 m
2.5 kN/m²
Ratios de Vérification
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion (ELU) -
Ratio Flèche (ELS) -

Le Saviez-Vous ?

Le Home Insurance Building, construit à Chicago en 1885, est considéré comme le premier gratte-ciel du monde. Sa grande innovation fut d'utiliser une ossature en acier pour supporter le poids du bâtiment, au lieu de murs porteurs en maçonnerie. Cette technique a permis de construire beaucoup plus haut et avec de plus grandes fenêtres, révolutionnant l'architecture urbaine.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite de flèche ne concerne-t-elle que les charges d'exploitation ?

C'est une convention courante pour le confort. La flèche due aux charges permanentes (poids propre) se produit une fois pour toutes pendant la construction. On peut la compenser (par une contre-flèche) ou s'en accommoder. La flèche qui est gênante est celle qui varie, celle que l'on ressent lorsque des personnes marchent ou que du mobilier est déplacé. C'est pourquoi on limite la flèche due à la partie variable des charges.

Et si aucun profilé du catalogue ne convient ?

Si même le plus gros profilé IPE n'est pas suffisant (soit en résistance, soit en flèche), l'ingénieur doit changer de stratégie. Il peut utiliser un profilé plus performant (comme un HEB ou un HEM), réduire la portée en ajoutant une poutre intermédiaire, réduire l'entraxe des solives, ou concevoir une poutre sur-mesure, comme un Profilé Reconstitué Soudé (PRS) ou une poutre en treillis.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la portée L d'une poutre de 10%, sa flèche maximale va augmenter d'environ...

2. Pour une poutre de plancher de grande portée, quel critère est le plus souvent décisif pour le choix du profilé ?

Profilé IPE
Poutrelle en I à Profil Européen. Famille de profilés en acier laminés à chaud, normalisés, caractérisés par une grande inertie pour un poids optimisé, ce qui les rend idéaux pour la flexion.
Module de Section Plastique (\(W_{\text{pl}}\))
Caractéristique géométrique d'une section qui représente sa capacité ultime en flexion. Elle est utilisée pour les vérifications de résistance à l'ELU.
Moment d'Inertie (\(I\))
Aussi appelé moment quadratique, c'est une caractéristique géométrique d'une section qui représente sa rigidité en flexion. Elle est utilisée pour les calculs de déformation (flèche) à l'ELS.
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