Études de cas pratique

EGC

Calcul du coefficient de sécurité d’anti-glissement

Calcul du Coefficient de Sécurité à l'Anti-glissement

Calcul du Coefficient de Sécurité à l'Anti-glissement

Comprendre la Stabilité au Glissement

La stabilité au glissement est une considération fondamentale dans la conception des structures hydrauliques soumises à des poussées d'eau, telles que les barrages-poids, les murs de soutènement ou les butées de pont. Elle consiste à s'assurer que la structure ne glissera pas sur sa fondation sous l'effet des forces horizontales (principalement la poussée hydrostatique). Le coefficient de sécurité au glissement (\(FS_g\)) est le rapport entre les forces résistantes (principalement le frottement à la base) et les forces motrices (poussée de l'eau). Une valeur adéquate de ce coefficient (typiquement \(\geq 1.5\)) est requise pour garantir la sécurité de l'ouvrage.

Données de l'étude

On étudie la stabilité au glissement d'un bloc poids rectangulaire en béton, reposant sur une fondation horizontale et retenant de l'eau sur une de ses faces verticales. On effectue les calculs par mètre linéaire de largeur du bloc.

Caractéristiques du bloc, du fluide et de la fondation :

  • Hauteur du bloc en béton (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la base du bloc en béton (\(B\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Masse volumique du béton (\(\rho_c\)) : \(2400 \, \text{kg/m}^3\)
  • Hauteur d'eau en amont du bloc (\(h_w\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Coefficient de frottement entre la base du bloc et la fondation (\(\mu\)) : \(0.6\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
  • Hypothèse : On néglige les sous-pressions (poussée d'Archimède sous la base) pour simplifier cet exercice. La face amont du bloc est verticale.
Schéma : Bloc Poids Soumis à la Poussée de l'Eau
Fondation Eau H=5m B=3m hw=4m W FH Ff Stabilité au Glissement d'un Bloc Poids

Schéma des forces agissant sur un bloc poids retenant de l'eau.

Questions à traiter

  1. Calculer le poids du bloc en béton (\(W\)) par mètre linéaire de largeur.
  2. Calculer la force de poussée hydrostatique horizontale (\(F_H\)) exercée par l'eau sur la face amont du bloc, par mètre linéaire de largeur.
  3. Déterminer la force de frottement résistante maximale (\(F_f\)) qui peut être mobilisée à la base du bloc, par mètre linéaire de largeur (en supposant que la force normale est égale au poids du bloc).
  4. Calculer le coefficient de sécurité à l'anti-glissement (\(FS_g\)).
  5. Interpréter la valeur du coefficient de sécurité obtenue. Le bloc est-il stable au glissement selon les critères usuels (un \(FS_g \ge 1.5\) est généralement requis) ?

Correction : Calcul du Coefficient de Sécurité à l'Anti-glissement

Question 1 : Poids du Bloc en Béton (\(W\))

Principe :

Le poids (\(W\)) du bloc est le produit de son volume (\(V_c\)) par le poids spécifique du béton (\(\gamma_c = \rho_c \cdot g\)). Pour un calcul par mètre linéaire, le volume est \(V_c = B \times H \times 1 \, \text{m}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W = \rho_c \cdot g \cdot B \cdot H \cdot (1 \, \text{m})\]
Données spécifiques :
  • \(\rho_c = 2400 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(B = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(H = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W &= 2400 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 3.0 \, \text{m} \times 5.0 \, \text{m} \times 1 \, \text{m} \\ &= 23544 \, \frac{\text{N}}{\text{m}^3} \times 15 \, \text{m}^3 \\ &= 353160 \, \text{N/m (linéaire)} \end{aligned} \]

Soit \(W \approx 353.16 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 1 : Le poids du bloc par mètre linéaire est \(W \approx 353160 \, \text{N/m}\) (ou \(353.16 \, \text{kN/m}\)).

Question 2 : Force de Poussée Hydrostatique Horizontale (\(F_H\))

Principe :

La force de poussée hydrostatique horizontale sur une surface verticale est donnée par \(F_H = \frac{1}{2} \gamma_w h_w^2 \cdot L\), où \(\gamma_w = \rho_w \cdot g\) est le poids spécifique de l'eau, \(h_w\) est la hauteur d'eau, et \(L\) est la largeur considérée (ici, \(1 \, \text{m}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_H = \frac{1}{2} \rho_w \cdot g \cdot h_w^2 \cdot (1 \, \text{m})\]
Données spécifiques :
  • \(\rho_w = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h_w = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_H &= \frac{1}{2} \times 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times (4.0 \, \text{m})^2 \times 1 \, \text{m} \\ &= \frac{1}{2} \times 9810 \, \frac{\text{N}}{\text{m}^3} \times 16.0 \, \text{m}^2 \times 1 \, \text{m} \\ &= 4905 \, \frac{\text{N}}{\text{m}^3} \times 16.0 \, \text{m}^3 \\ &= 78480 \, \text{N/m (linéaire)} \end{aligned} \]

Soit \(F_H \approx 78.48 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 2 : La force de poussée hydrostatique horizontale par mètre linéaire est \(F_H \approx 78480 \, \text{N/m}\) (ou \(78.48 \, \text{kN/m}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la hauteur d'eau \(h_w\) double, la force hydrostatique horizontale \(F_H\) sur une surface verticale :

Question 3 : Force de Frottement Résistante Maximale (\(F_f\))

Principe :

La force de frottement maximale (\(F_f\)) qui peut être mobilisée à la base du bloc est le produit du coefficient de frottement (\(\mu\)) et de la force normale (\(N\)) à la surface de contact. En l'absence de sous-pression et sur une fondation horizontale, la force normale est égale au poids du bloc (\(N=W\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_f = \mu \cdot N = \mu \cdot W\]
Données spécifiques :
  • \(\mu = 0.6\)
  • \(W \approx 353160 \, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_f &= 0.6 \times 353160 \, \text{N/m} \\ &= 211896 \, \text{N/m (linéaire)} \end{aligned} \]

Soit \(F_f \approx 211.90 \, \text{kN/m}\).

Résultat Question 3 : La force de frottement résistante maximale par mètre linéaire est \(F_f \approx 211896 \, \text{N/m}\) (ou \(211.90 \, \text{kN/m}\)).

Question 4 : Coefficient de Sécurité à l'Anti-glissement (\(FS_g\))

Principe :

Le coefficient de sécurité au glissement (\(FS_g\)) est le rapport entre la somme des forces résistantes au glissement (ici, uniquement \(F_f\)) et la somme des forces motrices provoquant le glissement (ici, uniquement \(F_H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[FS_g = \frac{\sum F_{\text{résistantes}}}{\sum F_{\text{motrices}}} = \frac{F_f}{F_H}\]
Données spécifiques :
  • \(F_f \approx 211896 \, \text{N/m}\)
  • \(F_H \approx 78480 \, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} FS_g &= \frac{211896 \, \text{N/m}}{78480 \, \text{N/m}} \\ &\approx 2.70 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient de sécurité à l'anti-glissement est \(FS_g \approx 2.70\).

Question 5 : Interprétation du Coefficient de Sécurité (\(FS_g\))

Principe :

Un coefficient de sécurité au glissement doit être supérieur à une valeur minimale admissible pour garantir la stabilité de l'ouvrage. Cette valeur minimale dépend des normes et du niveau de risque acceptable, mais est souvent fixée à 1.5 pour des conditions normales.

Analyse :

Le coefficient de sécurité calculé est \(FS_g \approx 2.70\).

Critère usuel : \(FS_g \ge 1.5\).

Comparaison : \(2.70 \ge 1.5\).

Conclusion : Le bloc est considéré comme stable au glissement selon ce critère usuel, car le coefficient de sécurité calculé est supérieur à la valeur minimale requise.

Résultat Question 5 : Le bloc est stable au glissement (\(FS_g \approx 2.70 > 1.5\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Un coefficient de sécurité au glissement inférieur à 1.0 signifie que :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le coefficient de sécurité à l'anti-glissement compare :

2. Quel facteur principal augmente la force de poussée hydrostatique sur un barrage ?

3. Pour améliorer la stabilité au glissement d'un barrage poids, on peut :

Glossaire

Coefficient de Sécurité au Glissement (\(FS_g\))
Rapport entre les forces qui s'opposent au glissement d'une structure sur sa fondation et les forces qui tendent à la faire glisser. Une valeur supérieure à 1.5 est généralement considérée comme sûre.
Force Hydrostatique (\(F_H\))
Force exercée par un fluide au repos sur une surface. Elle est due à la pression du fluide et s'applique perpendiculairement à la surface.
Poids Propre (\(W\))
Force gravitationnelle exercée sur la masse de la structure elle-même.
Force de Frottement (\(F_f\))
Force qui s'oppose au mouvement relatif (ou à la tendance au mouvement) entre deux surfaces en contact. À la base d'une structure, elle dépend du coefficient de frottement et de la force normale.
Coefficient de Frottement (\(\mu\))
Nombre sans dimension qui caractérise la rugosité et l'interaction entre deux surfaces en contact, déterminant la force de frottement maximale possible.
Force Normale (\(N\))
Composante de la force de contact qui est perpendiculaire à la surface de contact. Pour une structure sur une fondation horizontale sans sous-pression, elle est égale au poids de la structure.
Sous-pression (Uplift Pressure)
Pression de l'eau s'infiltrant sous la base d'une structure hydraulique, exerçant une force verticale ascendante qui réduit la force normale effective et donc la résistance au frottement.
Calcul du Coefficient de Sécurité à l'Anti-glissement - Exercice d'Application

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