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📐 1. Aire de la Section (\(A\))

C'est la surface totale de matière disponible pour reprendre l'effort normal de compression.

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📐 2. Moment d'Inertie (\(I\))

L'inertie quadratique traduit la rigidité de flexion. Elle mesure à quel point la matière est éloignée de l'axe neutre. Plus \(I\) est grand, moins la poutre fléchira. Notez que la hauteur \(h\) est au cube : elle est donc bien plus influente que la largeur \(b\).

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📐 3. Fibres Extrêmes (\(v, v'\))

Ce sont les distances entre l'axe neutre \(G\) et les bords les plus éloignés (haut et bas). Ce sont les points où les contraintes (traction ou compression) seront maximales.

Étape 2 : Application Numérique Détaillée

Nous allons maintenant calculer pas à pas les valeurs géométriques qui seront les fondations de tout le dimensionnement ultérieur.

1. Calcul de l'Aire (\(A\))

On commence par calculer l'aire de la section transversale en multipliant la base par la hauteur.

Cette surface de 0.50 m² servira de base au calcul de la contrainte de compression uniforme.

2. Calcul de l'Inertie (\(I\))

On calcule ensuite l'inertie quadratique qui caractérise la rigidité flexionnelle de la section.

Ce moment d'inertie sera utilisé pour déterminer les contraintes dues aux moments fléchissants (\(M \cdot y / I\)).

3. Calcul des Fibres Extrêmes (\(v, v'\))

On détermine la position des fibres extrêmes par rapport au centre de gravité G.

La section étant symétrique, la distance aux fibres supérieure et inférieure est identique, ce qui simplifie les calculs.

4. Calcul du Module de Flexion (\(W\))

Le module de flexion (ou module de résistance) représente la capacité de la section à résister au moment.

C'est cette valeur qui divisera les moments pour obtenir les contraintes en MPa.

5. Calcul du Rendement (\(\rho\))

Le rendement est un indicateur d'efficacité géométrique pour la précontrainte. Il compare le rayon de giration au carré par rapport à la distance aux fibres. Un rendement élevé (proche de 1) signifie que la matière est loin du centre (comme une poutre en I), ce qui est optimal.

Un rendement de 0.33 est caractéristique d'une section rectangulaire massive. C'est moins efficace qu'une poutre en I (où \(\rho \approx 0.5\)), mais plus simple à coffrer.

6. Résultat Final

Section massive, rendement classique de 0.33 (rectangle).

📐 Formule du Moment Fléchissant Isostatique

Le moment maximal se situe toujours à mi-travée (\(x = L/2\)). Sa valeur dépend du carré de la portée, ce qui rend ce paramètre très sensible.

Note : Nous effectuons ces calculs à l'État Limite de Service (ELS), c'est-à-dire sans coefficients de majoration de sécurité sur les charges (contrairement à l'ELU), car la précontrainte est dimensionnée pour limiter la fissuration en service.

Étape 2 : Calculs Détaillés

Calcul des combinaisons de charges et des moments associés.

1. Combinaison Charges Permanentes (Min)

On somme d'abord les charges permanentes qui agissent en permanence sur la structure. C'est le cas de charge "à vide".

Cette charge linéaire minimale servira à calculer le moment minimum.

2. Calcul Moment Min

On déduit le moment fléchissant minimal correspondant.

Ce moment tend à créer de la traction en fibre inférieure.

3. Combinaison Charge Totale (Max)

Pour le cas défavorable, on ajoute la surcharge d'exploitation aux charges permanentes.

C'est la charge maximale que la poutre devra supporter en service courant.

4. Calcul Moment Max

On calcule le moment maximal correspondant à cette charge totale.

C'est la valeur critique qui déterminera le ferraillage et la précontrainte nécessaire.

5. Résultat Final

Variation importante de sollicitation due à la surcharge d'exploitation.

📐 L'Inéquation Fondamentale (Fibre Inférieure)

C'est la condition la plus critique en travée. Sous le moment maximal \(M_{\text{max}}\) (poids + trafic), la fibre inférieure a tendance à se tendre (s'ouvrir). La précontrainte doit apporter assez de compression pour annuler cette traction.

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📐 Explication des Termes

• \(\frac{P}{A}\) : Apport de compression "gratuit" dû à la force \(P\).
• \(\frac{P \cdot e_0}{W}\) : C'est le terme que nous pilotons via \(e_0\). Plus on descend le câble, plus ce terme grandit et aide à comprimer le bas.
• \(\frac{M_{\text{max}}}{W}\) : C'est "l'ennemi" à combattre, la traction générée par les charges.

Étape 2 : Calcul de l'excentricité limite

Condition déterminante : Pas de traction en fibre inférieure sous M_max.

1. Isolation de l'Excentricité e0

On part de l'inéquation de base et on cherche à isoler le terme contenant e0.

On multiplie ensuite par W/P pour obtenir e0 seul.

Cette formule montre que l'excentricité doit être au moins égale à la différence entre l'excentricité de la charge (M/P) et le noyau central (W/A).

2. Terme 1 (M/P)

On calcule le bras de levier des forces extérieures.

3. Terme 2 (W/A)

On calcule le rayon du noyau central limite.

4. Calcul Final

On effectue la soustraction pour trouver l'excentricité minimale requise.

5. Confrontation avec la Réalité (Le Conflit)

PROBLÈME CRITIQUE : La demi-hauteur de la poutre est \(v = 50\,\text{cm}\). Si on place le centre du câble à \(48.3\,\text{cm}\), il ne reste que \(50 - 48.3 = 1.7\,\text{cm}\) de béton en dessous. C'est physiquement impossible pour loger le rayon de la gaine (\(3.5\,\text{cm}\)) et l'enrobage réglementaire (\(4\,\text{cm}\)).

6. Arbitrage Technique et Choix Final

Nous ne pouvons pas violer les règles d'enrobage (risque de corrosion et d'éclatement du béton). Nous devons donc remonter le câble à la position la plus basse possible :

Pour cet exercice, nous allons retenir une valeur de compromis de \(e_0 = 0.45\,\text{m}\) (ce qui implique un enrobage légèrement réduit ou l'utilisation d'un béton spécial fibré en about, ou une tolérance d'exercice), car descendre à \(0.425\,\text{m}\) créerait une traction trop importante. Nous vérifierons en Q4 si la traction générée par cet écart (\(0.45\) vs \(0.483\)) est acceptable.

📐 Formule de Vérification (Navier)

Calcul de la contrainte normale \(\sigma\) en un point situé à une distance \(y\) de l'axe neutre.

Pour la fibre inférieure, \(y = v = 0.50\,\text{m}\) et le terme de moment \(M\) crée de la traction (signe moins).

Étape 2 : Calcul de la Contrainte Fibre Inférieure (\(\sigma_{\text{inf}}\))

Vérification de la condition de non-décompression sous chargement maximal (\(M_{\text{max}}\)).

1. Application Numérique

On injecte les valeurs retenues : \(P=2.5\), \(A=0.5\), \(e_0=0.45\), \(W=0.08334\), \(M=1.625\).

2. Calcul des Termes Individuels

Détail des contributions : Compression axiale, Flexion due à P, Flexion due aux charges.

3. Somme Algébrique

On effectue la somme : \(5.0 + 13.5 - 19.5\).

4. Résultat Final & Conclusion

Le résultat indique une légère traction de 1 MPa. Le béton C50/60 ayant une résistance à la traction \(f_{\text{ctm}} = 4.1\,\text{MPa}\), cette valeur est acceptable en Classe 2 (précontrainte limitée), car elle reste bien inférieure à la limite de fissuration.