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Calcul du moment de résistance à la flexion

Calcul du Moment de Résistance à la Flexion en Béton Armé

Calcul du Moment de Résistance à la Flexion en Béton Armé

Contexte : Quelle est la capacité d'une poutre en béton armé ?

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges, celles-ci génèrent un "moment fléchissant agissant", noté \(M_{Ed}\). La poutre doit être capable de développer un "moment de résistance" interne, noté \(M_{Rd}\), qui soit au moins égal à \(M_{Ed}\) pour garantir la sécurité. Ce moment résistant dépend de la géométrie de la section, de la qualité des matériaux (béton et acier) et de la quantité d'armatures. Le calcul de \(M_{Rd}\) est donc au cœur du dimensionnement des éléments fléchis en béton armé. Il se base sur l'équilibre des forces internes à l'État Limite Ultime (ELU)État qui correspond à la ruine ou à un grand endommagement de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité structurale..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le calcul du moment résistant ultime d'une section rectangulaire simplement armée. Nous déterminerons la position de l'axe neutre à la rupture, puis le bras de levier des forces internes, pour enfin calculer la capacité maximale de la poutre en flexion.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de moment résistant et son importance.
  • Appliquer le diagramme rectangulaire simplifié pour le béton à l'ELU.
  • Calculer la position de l'axe neutre (\(x\)) par l'équilibre des forces.
  • Déterminer le bras de levier interne (\(z\)).
  • Calculer le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)).
  • Vérifier les pourcentages d'armatures minimum et maximum.

Données de l'étude

On souhaite déterminer le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) d'une section de poutre rectangulaire en béton armé, simplement armée en traction.

Section de la poutre en béton armé
b = 25 cm h = 50 cm d = 45 cm Fibre la plus comprimée

Caractéristiques des matériaux et de la section :

  • Poutre : section rectangulaire \(b \times h = 25 \, \text{cm} \times 50 \, \text{cm}\)
  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\))
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Armatures tendues : 3 barres HA 16 (\(A_s\))
  • Hauteur utile : \(d = 45 \, \text{cm}\)
  • Coefficients de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • Coefficient \(\lambda\) pour le diagramme rectangulaire simplifié = 0.8

Questions à traiter

  1. Calculer la position de l'axe neutre à l'ELU, \(x\).
  2. Calculer le bras de levier des forces internes, \(z\).
  3. Calculer le moment résistant ultime de la section, \(M_{Rd}\).
  4. Vérifier les conditions de non-fragilité (pourcentage minimum d'armatures).

Correction : Calcul du Moment de Résistance à la Flexion en Béton Armé

Question 1 : Calculer la position de l'axe neutre à l'ELU, \(x\)

Principe avec image animée (le concept physique)
Fc Fs x Équilibre : Force de compression = Force de traction

À l'État Limite Ultime, on suppose que le béton tendu est fissuré et ne reprend aucun effort. La section est en équilibre sous l'effet de deux forces internes : la résultante de compression dans le béton (\(F_c\)) et la résultante de traction dans les aciers (\(F_s\)). La position de l'axe neutre (\(x\)) est la hauteur de béton comprimé qui assure l'égalité de ces deux forces : \(F_c = F_s\). C'est la condition fondamentale d'équilibre de la section.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour simplifier le calcul de la force de compression dans le béton, l'Eurocode 2 autorise l'utilisation d'un "diagramme rectangulaire simplifié". On considère que la contrainte de compression est uniforme sur une hauteur de \( \lambda x \) et vaut \(f_{cd}\). La force de compression est donc simplement l'aire de ce rectangle de contraintes. La force de traction est l'aire des aciers multipliée par leur contrainte de calcul, \(f_{yd}\), en supposant qu'ils ont atteint leur limite d'élasticité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul du moment résistant est un problème d'équilibre. La première étape est toujours de trouver la position de l'axe neutre qui équilibre les forces de traction et de compression.

Normes (la référence réglementaire)

Le diagramme rectangulaire simplifié est défini dans l'Eurocode 2, section 3.1.7. L'équilibre des forces est un principe de base de la statique appliqué à la section, comme décrit en section 6.1 de la norme.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les aciers tendus ont atteint leur limite d'élasticité (\(f_{yd}\)), ce qui correspond à une rupture ductile (Pivot B). On néglige la contribution des aciers comprimés (s'il y en avait).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Contraintes de calcul des matériaux :

\[ f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \quad ; \quad f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \]

Équation d'équilibre des forces (\(F_c = F_s\)) :

\[ b \cdot (\lambda x) \cdot f_{cd} = A_s \cdot f_{yd} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = 250 \, \text{mm}\)
  • \(A_s\) pour 3 HA 16 = \(3 \times 201 = 603 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_s = 1.15\)
  • \(\lambda = 0.8\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul des contraintes de calcul :

\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{25}{1.5} = 16.67 \, \text{MPa} \\ f_{yd} &= \frac{500}{1.15} = 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Résolution de l'équation d'équilibre pour trouver \(x\) :

\[ \begin{aligned} 250 \cdot (0.8 \cdot x) \cdot 16.67 &= 603 \cdot 434.78 \\ 3334 \cdot x &= 262172 \\ x &= \frac{262172}{3334} \\ x &= 78.6 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La hauteur de béton comprimé nécessaire pour équilibrer la traction dans les aciers est de 78.6 mm. C'est une petite fraction de la hauteur totale de la poutre (500 mm), ce qui est typique pour une section en flexion simple. Cette valeur est la clé pour la suite des calculs.

Point à retenir : La position de l'axe neutre \(x\) est trouvée en égalant la force de compression du béton à la force de traction de l'acier.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination de \(x\) est une étape obligatoire car elle permet de calculer le bras de levier interne, qui est la distance entre les deux forces \(F_c\) et \(F_s\). Sans ce bras de levier, il est impossible de calculer le moment résistant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le coefficient \(\lambda\) : Une erreur fréquente est d'oublier le facteur 0.8 (\(\lambda\)) dans la hauteur du bloc de béton comprimé. Cela conduit à sous-estimer la position de l'axe neutre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme rectangulaire simplifié est une approximation très efficace. Le diagramme réel des contraintes dans le béton est parabolique. Cependant, le diagramme rectangulaire donne le même résultat pour la force totale de compression et la position de son centre de gravité, ce qui est suffisant pour le calcul du moment résistant.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la section est très fortement armée ?

Si la section contient beaucoup d'acier, l'axe neutre \(x\) remonte. Si \(x\) devient trop grand, l'acier risque de ne pas atteindre sa limite d'élasticité avant que le béton ne s'écrase. C'est une rupture fragile, non ductile, que l'on cherche à éviter en limitant le pourcentage d'armatures.

Résultat Final : La position de l'axe neutre est \(x = 78.6 \, \text{mm}\).

À vous de jouer : Quelle serait la position de l'axe neutre \(x\) (en mm) si on utilisait 3 HA 20 (\(A_s = 942 \, \text{mm}^2\)) ?

Question 2 : Calculer le bras de levier des forces internes, \(z\)

Principe avec image animée (le concept physique)
Fc Fs z

Le moment résistant est créé par un couple de forces internes (\(F_c\) et \(F_s\)). Le moment d'un couple est égal à l'une des forces multipliée par la distance qui les sépare. Cette distance est appelée le "bras de levier", noté \(z\). Elle est égale à la distance entre le centre de gravité des aciers tendus et le centre d'application de la force de compression du béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans le diagramme rectangulaire simplifié, la force de compression \(F_c\) est appliquée au centre du rectangle de contraintes, c'est-à-dire à une distance de \((\lambda x)/2\) de la fibre la plus comprimée. Les aciers sont à une distance \(d\) de cette même fibre. Le bras de levier est donc simplement la différence entre ces deux positions : \(z = d - (\lambda x)/2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le bras de levier est toujours un peu inférieur à la hauteur utile \(d\). Une approximation rapide souvent utilisée en pré-dimensionnement est \(z \approx 0.9d\). Nous allons vérifier si cette approximation est valable dans notre cas.

Normes (la référence réglementaire)

La définition du bras de levier \(z\) est une application directe de la géométrie du diagramme rectangulaire simplifié de l'Eurocode 2, section 3.1.7.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue d'utiliser le diagramme rectangulaire simplifié pour la distribution des contraintes dans le béton comprimé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Bras de levier interne :

\[ z = d - \frac{\lambda x}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Hauteur utile \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • Position de l'axe neutre \(x = 78.6 \, \text{mm}\)
  • Coefficient \(\lambda = 0.8\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du bras de levier :

\[ \begin{aligned} z &= 450 - \frac{0.8 \times 78.6}{2} \\ &= 450 - 31.44 \\ &= 418.56 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le bras de levier est de 418.6 mm. Si on compare à l'approximation \(0.9d = 0.9 \times 450 = 405 \, \text{mm}\), on voit que la valeur réelle est légèrement supérieure. L'approximation de 0.9d est donc une estimation raisonnable et souvent sécuritaire.

Point à retenir : Le bras de levier \(z\) est la distance entre la force de traction de l'acier et la force de compression du béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul du bras de levier est l'étape intermédiaire cruciale entre la détermination de l'équilibre des forces et le calcul du moment résistant, qui est le produit d'une force par ce bras de levier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur dans la formule de z : Une erreur fréquente est de calculer \(z = d - x/2\) en oubliant le facteur \(\lambda\). Cela conduit à une surestimation du bras de levier et donc du moment résistant.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres très hautes, comme les poutres de pont, le bras de levier interne peut atteindre plusieurs mètres. C'est cette grande distance qui leur permet de développer des moments résistants gigantesques pour franchir de longues portées.

FAQ (pour lever les doutes)
Le bras de levier peut-il être plus grand que \(d\) ?

Non, c'est physiquement impossible en flexion simple. La force de compression du béton est toujours située au-dessus de l'axe neutre, et les aciers tendus sont par définition en dessous. La distance \(z\) est donc toujours inférieure à \(d\).

Résultat Final : Le bras de levier des forces internes est \(z = 418.6 \, \text{mm}\).

À vous de jouer : Quel serait le bras de levier \(z\) (en mm) pour un axe neutre \(x = 122.7 \, \text{mm}\) ?

Question 3 : Calculer le moment résistant ultime de la section, \(M_{Rd}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
M_Ed z M_Rd = Fs * z

Le moment résistant ultime (\(M_{Rd}\)) est le moment maximal que la section peut supporter avant la rupture. Il est égal au couple formé par les forces internes de compression et de traction. On peut le calculer de deux manières équivalentes : en multipliant la force de traction des aciers par le bras de levier (\(M_{Rd} = F_s \cdot z\)), ou en multipliant la force de compression du béton par le même bras de levier (\(M_{Rd} = F_c \cdot z\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul du moment résistant est la finalité du dimensionnement en flexion simple à l'ELU. La condition de sécurité fondamentale est que pour toute section de la poutre, le moment résistant doit être supérieur ou égal au moment agissant : \(M_{Rd} \ge M_{Ed}\). Si cette condition n'est pas respectée, il faut augmenter la capacité de la section, soit en augmentant ses dimensions, soit en ajoutant des armatures, soit en utilisant des matériaux plus performants.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Il est toujours bon de calculer le moment résistant à la fois à partir de l'acier et à partir du béton. Si les deux calculs ne donnent pas le même résultat (aux arrondis près), cela signifie qu'il y a une erreur dans le calcul de l'équilibre des forces à la première étape.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de calcul du moment résistant ultime est détaillée dans l'Eurocode 2, section 6.1, pour les éléments soumis à la flexion.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place à l'État Limite Ultime, en utilisant les contraintes de calcul des matériaux (\(f_{cd}\) et \(f_{yd}\)) et en supposant que l'équilibre des forces internes est atteint.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Moment résistant (calculé à partir de l'acier) :

\[ M_{Rd} = A_s \cdot f_{yd} \cdot z \]

Moment résistant (calculé à partir du béton) :

\[ M_{Rd} = b \cdot (\lambda x) \cdot f_{cd} \cdot z \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_s = 603 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa}\)
  • \(z = 418.6 \, \text{mm}\)
  • \(F_c = 262111.8 \, \text{N}\) (calculée précédemment)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du moment résistant à partir de l'acier :

\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= A_s \cdot f_{yd} \cdot z \\ &= 603 \, \text{mm}^2 \times 434.78 \, \text{N/mm}^2 \times 418.6 \, \text{mm} \\ &= 109.7 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 109.7 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Calcul du moment résistant à partir du béton (pour vérification) :

\[ \begin{aligned} M_{Rd} &= F_c \cdot z \\ &= 262111.8 \, \text{N} \times 418.6 \, \text{mm} \\ &= 109.7 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 109.7 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section de poutre étudiée est capable de résister à un moment fléchissant ultime de 109.7 kNm. On note que le calcul à partir de la force de compression du béton donne exactement le même résultat, ce qui confirme que notre calcul d'équilibre de la section est correct. Lors du dimensionnement, il faudra s'assurer que le moment agissant ultime, \(M_{Ed}\), reste inférieur à cette valeur de résistance.

Point à retenir : Le moment résistant est le produit de la force de traction de l'acier par le bras de levier interne (\(M_{Rd} = A_s f_{yd} z\)).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'objectif final du calcul : quantifier la capacité portante de la section. Cette valeur est la référence pour la vérification de la sécurité de l'élément structural.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Gestion des unités : Pour obtenir un résultat final en kNm, il est plus simple de faire le calcul en N et mm, puis de diviser le résultat final par \(10^6\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premières structures en béton armé, à la fin du 19ème siècle, ont été conçues par des pionniers comme François Hennebique de manière très empirique. Les méthodes de calcul rationnelles basées sur l'équilibre des sections n'ont été développées et standardisées que plus tard, au début du 20ème siècle.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la section a aussi des aciers en compression ?

Si des aciers sont présents dans la zone comprimée, ils participent à la reprise de l'effort de compression. L'équation d'équilibre devient \(F_{c,béton} + F_{s,comprimé} = F_{s,tendu}\). Cela augmente légèrement le moment résistant de la section.

Résultat Final : Le moment résistant ultime de la section est \(M_{Rd} = 109.7 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer : Quel serait le moment résistant \(M_{Rd}\) (en kNm) si on utilisait 3 HA 20 (\(A_s = 942 \, \text{mm}^2\)) ?

Question 4 : Vérifier les conditions de non-fragilité

Principe avec image animée (le concept physique)
Rupture fragile (As < As,min) Rupture fragile (As > As,max)

Un bon dimensionnement ne vise pas seulement la résistance, mais aussi un mode de rupture sûr. On veut une rupture "ductile", où les aciers s'allongent beaucoup avant de rompre, prévenant ainsi de l'imminence de la ruine par de grandes déformations et fissures. Pour cela, il faut un pourcentage minimum d'armatures (\(A_{s,min}\)) pour éviter une rupture fragile du béton dès la première fissure, et un pourcentage maximum (\(A_{s,max}\)) pour s'assurer que l'acier cède avant que le béton ne s'écrase brutalement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pourcentage minimum d'armatures :

\[ A_{s,min} = \max(0.26 \frac{f_{ctm}}{f_{yk}} b_t d, 0.0013 b_t d) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{ctm} = 0.30 \cdot f_{ck}^{2/3} = 0.30 \cdot 25^{2/3} = 2.56 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b_t = b = 250 \, \text{mm}\)
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(A_s = 603 \, \text{mm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du pourcentage minimum :

\[ \begin{aligned} A_{s,min} &= \max(0.26 \frac{2.56}{500} \cdot 250 \cdot 450, 0.0013 \cdot 250 \cdot 450) \\ &= \max(149.76, 146.25) \\ &= 149.76 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Vérification :

\[ A_s = 603 \, \text{mm}^2 \ge A_{s,min} = 149.76 \, \text{mm}^2 \Rightarrow \text{OK} \]
Résultat Final : La section respecte la condition d'armatures minimales, garantissant une rupture non fragile.

Mini Fiche Mémo : Calcul du Moment Résistant

Étape Formule Clé & Objectif
1. Axe Neutre (x) \( b \lambda x f_{cd} = A_s f_{yd} \)
Trouver la hauteur de béton comprimé par équilibre des forces.
2. Bras de Levier (z) \( z = d - \lambda x / 2 \)
Calculer la distance entre les forces de compression et de traction.
3. Moment Résistant \( M_{Rd} = A_s f_{yd} z \)
Calculer la capacité ultime de la section en flexion.
4. Non-Fragilité \( A_s \ge A_{s,min} \)
Assurer un comportement ductile de la section.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la quantité d'acier (\(A_s\)), le moment résistant (\(M_{Rd}\)) va :

2. Le calcul du moment résistant se fait à :

Moment Résistant (\(M_{Rd}\))
Le moment fléchissant maximal qu'une section de structure peut supporter avant d'atteindre un état limite ultime.
Axe Neutre
Dans une section fléchie, ligne où la déformation (et la contrainte en domaine élastique) est nulle. Il sépare la zone comprimée de la zone tendue.
Bras de Levier (z)
Distance perpendiculaire entre les lignes d'action des deux forces d'un couple. En béton armé, c'est la distance entre la résultante de compression du béton et la résultante de traction de l'acier.
Ductilité
Capacité d'un matériau à subir de grandes déformations plastiques avant de se rompre. Une rupture ductile est progressive et prévisible, contrairement à une rupture fragile.
Fondamentaux du Génie Civil : Calcul du Moment de Résistance à la Flexion

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