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Calcul les aciers d’un poteau

Calcul des Aciers d’un Poteau en Béton Armé

Calcul des Aciers d’un Poteau en Béton Armé

Contexte : Pourquoi calculer les aciers d'un poteau ?

Dans un projet de construction, les dimensions des poteaux sont souvent contraintes par l'architecture. L'ingénieur doit alors travailler avec une section de béton imposée et déterminer la quantité d'acier nécessaire pour que le poteau puisse supporter les charges en toute sécurité. Le béton arméMatériau composite alliant la résistance à la compression du béton et la résistance à la traction de l'acier. est une collaboration : le béton encaisse la majeure partie de la compression, tandis que l'acier, beaucoup plus résistant, prend le relais pour supporter le reste de l'effort et assurer un comportement ductile à l'élément. Un calcul précis garantit la sécurité sans gaspiller d'acier, un matériau coûteux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans le calcul de la section d'armatures longitudinales pour un poteau de dimensions données, soumis à un effort de compression centré. Nous suivrons la méthode de l'Eurocode 2 pour déterminer la quantité d'acier requise et la traduire en un plan de ferraillage pratique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort de compression ultime (\(N_{\text{Ed}}\)) à partir des charges de service.
  • Déterminer la part de l'effort repris par la section de béton seule.
  • Calculer la section d'acier (\(A_s\)) nécessaire pour reprendre l'effort résiduel.
  • Vérifier que le ferraillage respecte les minimums et maximums réglementaires.
  • Choisir un ferraillage commercial et le représenter sur un schéma.

Données de l'étude

Un poteau de section rectangulaire de 25 cm x 40 cm doit supporter les charges d'un bâtiment. On cherche à déterminer le ferraillage longitudinal nécessaire.

Schéma du poteau et des charges
Gk = 1000 kN Qk = 600 kN Poteau 25x40 cm b=40cm

Caractéristiques des matériaux et des charges :

  • Béton : Classe C30/37
    • Résistance caractéristique à la compression : \(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\).
  • Acier : nuance S500 B
    • Limite d'élasticité caractéristique : \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\).
  • Dimensions du poteau : section rectangulaire de \(25 \, \text{cm} \times 40 \, \text{cm}\).
  • Charges de service (non pondérées) :
    • Charge permanente : \(G_{\text{k}} = 1000 \, \text{kN}\).
    • Charge d'exploitation : \(Q_{\text{k}} = 600 \, \text{kN}\).
  • Coefficients de sécurité (Eurocode) :
    • Pour le béton : \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\).
    • Pour l'acier : \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\).
    • Pour les charges permanentes : \(\gamma_{\text{G}} = 1.35\).
    • Pour les charges d'exploitation : \(\gamma_{\text{Q}} = 1.5\).

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de calcul à l'état limite ultime (\(N_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\)).
  3. Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_s\)) requise pour le poteau.
  4. Vérifier que la section d'acier calculée respecte les pourcentages réglementaires.
  5. Choisir un ferraillage pratique et proposer un schéma de la section.

Correction : Calcul des Aciers d’un Poteau en Béton Armé

Question 1 : Calculer l'effort normal de calcul (\(N_{\text{Ed}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Gk Qk N_Ed Gk Qk + = N_Ed Charge Ultime

Pour dimensionner la structure, on ne travaille pas avec les charges réelles (de service), mais avec des charges "majorées" ou "pondérées". C'est le principe des états limites ultimes (ELU)État qui correspond à la ruine de la structure ou d'un de ses éléments. Les calculs à l'ELU visent à garantir que la structure ne s'effondrera pas sous les charges les plus défavorables.. On multiplie les charges par des coefficients de sécurité pour tenir compte des incertitudes (qualité des matériaux, conditions de chantier, modélisation). La somme de ces charges pondérées donne l'effort de calcul \(N_{\text{Ed}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La philosophie de l'Eurocode repose sur une approche semi-probabiliste. Les coefficients de sécurité sur les charges (\(\gamma_{\text{G}}, \gamma_{\text{Q}}\)) et sur les matériaux (\(\gamma_{\text{c}}, \gamma_{\text{s}}\)) sont calibrés pour garantir une probabilité de défaillance très faible sur la durée de vie de l'ouvrage (généralement 50 ans). La combinaison d'actions la plus courante pour les bâtiments est \(1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne jamais oublier de pondérer les charges ! C'est la première étape de tout calcul de structure et une erreur ici invalide tout le reste du dimensionnement. C'est un principe de sécurité non négociable.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures), et plus spécifiquement par l'équation 6.10 pour les situations de projet durables.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges permanentes et d'exploitation sont les seules charges agissant sur le poteau et que l'effort est appliqué de manière centrée (pas d'excentricité).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions à l'ELU :

\[ N_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{k}} + 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge permanente : \(G_{\text{k}} = 1000 \, \text{kN}\)
  • Charge d'exploitation : \(Q_{\text{k}} = 600 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= (1.35 \times 1000 \, \text{kN}) + (1.5 \times 600 \, \text{kN}) \\ &= 1350 \, \text{kN} + 900 \, \text{kN} \\ &= 2250 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de calcul (2250 kN) est 40.6% plus élevé que la somme des charges de service (1600 kN). Cette marge de sécurité est fondamentale pour la robustesse de la structure. Le poteau doit donc être conçu pour résister à une charge de 225 tonnes.

Point à retenir : L'effort ultime de calcul \(N_{\text{Ed}}\) est la charge maximale pondérée que le poteau doit pouvoir supporter sans défaillance.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est cruciale car elle définit le niveau de sollicitation auquel la structure doit résister. C'est la valeur de référence pour tout le dimensionnement qui va suivre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Inverser les coefficients : Une erreur classique est d'inverser les coefficients \(\gamma_{\text{G}}\) et \(\gamma_{\text{Q}}\). Cela peut conduire à un sous-dimensionnement dangereux si la charge d'exploitation est prépondérante.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certaines situations (par exemple, pour vérifier la stabilité au soulèvement), on utilise des combinaisons d'actions minorées, comme \(0.9 G_{\text{k}}\), pour considérer le cas le plus défavorable où les charges permanentes ont un effet favorable.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il deux coefficients différents pour les charges ?

Parce que l'incertitude sur les charges n'est pas la même. Les charges permanentes (G), comme le poids propre de la structure, sont connues avec une assez bonne précision. Les charges d'exploitation (Q), comme le mobilier ou les personnes, sont beaucoup plus variables et incertaines, d'où un coefficient de sécurité plus élevé (1.5 contre 1.35).

Résultat Final : L'effort normal de calcul est \(N_{\text{Ed}} = 2250 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Calculez \(N_{\text{Ed}}\) (en kN) si la charge d'exploitation était de 800 kN.

Question 2 : Déterminer les résistances de calcul (\(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
f_ck (caract.) 30 MPa f_cd (calcul) 20.00 MPa / γc

De la même manière que l'on majore les charges, on minore la résistance des matériaux. La résistance "caractéristique" (\(f_{\text{ck}}\) ou \(f_{\text{yk}}\)) est une valeur statistique (généralement le fractile 5%, signifiant que 95% des échantillons testés ont une résistance supérieure). On la divise par un coefficient de sécurité (\(\gamma_{\text{c}}\) ou \(\gamma_{\text{s}}\)) pour obtenir la résistance de "calcul" (\(f_{\text{cd}}\) ou \(f_{\text{yd}}\)), qui sera utilisée dans les formules de dimensionnement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance de calcul du béton \(f_{\text{cd}}\) prend en compte les incertitudes sur la mise en œuvre et les effets à long terme (comme le fluage). La formule complète est \(f_{\text{cd}} = \alpha_{\text{cc}} \cdot f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\), où \(\alpha_{\text{cc}}\) est un coefficient (généralement 0.85 ou 1.0) qui tient compte de la différence de résistance entre un essai sur éprouvette et le comportement du béton dans la structure réelle. Pour les calculs simplifiés en compression, on prend souvent \(\alpha_{\text{cc}} = 1.0\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Les résistances de calcul sont les valeurs "garanties" que l'on peut utiliser dans les équations de dimensionnement. C'est le deuxième pilier de la sécurité, après la pondération des charges. Ne jamais utiliser les valeurs caractéristiques directement dans les formules de résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des coefficients de sécurité sur les matériaux \(\gamma_{\text{c}}\) et \(\gamma_{\text{s}}\) sont données dans la norme NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2 : Calcul des structures en béton), Annexe Nationale. Les valeurs de 1.5 pour le béton et 1.15 pour l'acier sont les plus courantes pour les situations durables.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère des conditions d'exécution normales et une situation de projet durable. On prend \(\alpha_{\text{cc}} = 1.0\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de calcul du béton :

\[ f_{\text{cd}} = \frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{\text{c}}} \]

Résistance de calcul de l'acier :

\[ f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{\text{s}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\), \(\gamma_{\text{c}} = 1.5\)
  • \(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\), \(\gamma_{\text{s}} = 1.15\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance du béton :

\[ \begin{aligned} f_{\text{cd}} &= \frac{30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= 20.00 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de la résistance de l'acier :

\[ \begin{aligned} f_{\text{yd}} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le béton perd un tiers de sa résistance caractéristique dans le calcul, tandis que l'acier ne perd que 13%. Cela reflète le fait que la fabrication de l'acier en usine est beaucoup plus contrôlée et homogène que la fabrication du béton sur chantier, qui est sujette à plus de variabilité.

Point à retenir : On utilise toujours les résistances de calcul \(f_{\text{cd}}\) et \(f_{\text{yd}}\), obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients de sécurité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est essentielle pour passer des propriétés théoriques des matériaux à des valeurs de conception sûres et utilisables, en intégrant les marges de sécurité requises par la loi.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Confondre les résistances : Utiliser le mauvais coefficient de sécurité (par exemple, pour des situations accidentelles au lieu de durables) ou confondre \(f_{\text{ck}}\) avec \(f_{\text{cm}}\) (résistance moyenne) sont des erreurs courantes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient de sécurité pour le béton (1.5) est plus élevé que celui pour l'acier (1.15) car la production du béton sur chantier introduit plus de variabilité que la fabrication de l'acier en usine, qui est beaucoup plus contrôlée.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients de sécurité sont-ils différents ?

Leur valeur dépend de la variabilité du matériau. Le béton, fabriqué in-situ, est plus hétérogène que l'acier, produit en usine. Le risque d'avoir une résistance locale plus faible est donc plus grand pour le béton, ce qui justifie un coefficient de sécurité plus élevé.

Résultat Final : \(f_{\text{cd}} = 20.00 \, \text{MPa}\) et \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Calculez \(f_{\text{cd}}\) (en MPa) pour un béton C20/25 (\(f_{\text{ck}}=20\) MPa).

Question 3 : Calculer la section d'armatures longitudinales (\(A_s\)) requise

Principe avec image animée (le concept physique)
Section du poteau N_Ed = Force Béton + Force Acier

L'effort de compression ultime \(N_{\text{Ed}}\) doit être repris conjointement par le béton et les armatures en acier. L'équation d'équilibre stipule que la somme de la force reprise par le béton (sa section multipliée par sa contrainte de calcul) et de la force reprise par l'acier (sa section multipliée par sa contrainte de calcul) doit être égale à l'effort appliqué. De cette équation, on peut isoler la seule inconnue : la section d'acier \(A_{\text{s}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule suppose une déformation uniforme de la section, où le béton et l'acier se raccourcissent de la même quantité (comportement composite). Le béton reprend la majorité de l'effort jusqu'à sa limite de résistance (\(f_{\text{cd}}\)), et l'acier fournit la capacité portante additionnelle nécessaire pour atteindre l'équilibre, tout en assurant la ductilité de l'élément.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : L'équation est un simple équilibre de forces : Force_appliquée = Résistance_interne. La force appliquée est \(N_{\text{Ed}}\), et la résistance interne est la somme des contributions du béton et de l'acier.

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(N_{\text{Rd}} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\) est une version simplifiée de l'Eurocode 2 pour la compression centrée. Pour des cas avec flexion, des diagrammes d'interaction plus complexes sont nécessaires.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est parfaitement centrée (pas de moment de flexion) et que l'on peut utiliser l'aire brute du béton (\(A_{\text{c}}\)) pour simplifier, ce qui est une hypothèse courante et sécuritaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de résistance en compression centrée (simplifiée) :

\[ N_{\text{Ed}} \le N_{\text{Rd}} = A_{\text{c}} \cdot f_{\text{cd}} + A_{\text{s}} \cdot f_{\text{yd}} \]

Formule de la section d'acier :

\[ A_{\text{s}} \ge \frac{N_{\text{Ed}} - A_{\text{c}} \cdot f_{\text{cd}}}{f_{\text{yd}}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{Ed}} = 2250 \, \text{kN} = 2.25 \, \text{MN}\)
  • Section du poteau : \(b=250 \, \text{mm}, h=400 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{cd}} = 20.00 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{\text{yd}} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de la section de béton (\(A_c\)) :

\[ \begin{aligned} A_c &= 250 \, \text{mm} \times 400 \, \text{mm} \\ &= 100000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la force reprise par le béton seul :

\[ \begin{aligned} F_{\text{béton}} &= A_c \cdot f_{cd} \\ &= 100000 \, \text{mm}^2 \times 20 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 2000000 \, \text{N} = 2000 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de la section d'acier requise :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s}} &\ge \frac{2250000 \, \text{N} - 2000000 \, \text{N}}{434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge \frac{250000}{434.78} \, \text{mm}^2 \\ &\ge 575.0 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

La section d'acier requise est de 5.75 cm².

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le béton reprend 2000 kN sur les 2250 kN totaux. L'acier doit donc reprendre les 250 kN restants. Le calcul nous donne la surface d'acier exacte nécessaire pour fournir cette résistance complémentaire.

Point à retenir : La section d'acier requise est calculée pour combler le déficit de portance que la section de béton seule ne peut assurer.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape centrale du dimensionnement. Elle répond directement à la question "quelle quantité d'acier faut-il mettre ?" pour garantir la sécurité du poteau sous la charge de calcul la plus défavorable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cohérence des unités : L'erreur la plus fréquente est de mélanger les unités (kN, N, MPa, mm, cm). Il est plus sûr de tout convertir en unités de base (N et mm) avant d'appliquer la formule.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers bétons armés, comme le système breveté par François Hennebique en 1892, plaçaient l'acier de manière empirique là où la tension était attendue. Les codes modernes sont basés sur une compréhension beaucoup plus fine du comportement des matériaux composites.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la section d'acier calculée est négative ?

Cela signifie que la section de béton seule est plus que suffisante pour reprendre la charge. Dans ce cas, le calcul donne une valeur négative ou nulle, mais on doit quand même mettre en place la section d'armatures minimale requise par la réglementation (voir question suivante).

Résultat Final : La section d'armatures requise est \(A_{\text{s}} = 5.75 \, \text{cm}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier \(A_{\text{s}}\) (en cm²) requise si le poteau faisait 20x40 cm ?

Question 4 : Vérifier que la section d'acier respecte les pourcentages réglementaires

Principe avec image animée (le concept physique)
Zone Min Zone Max Zone Autorisée % Acier = 0.58% MIN MAX

La réglementation impose des limites à la quantité d'acier dans un poteau. Un minimum est requis pour éviter une rupture fragile et contrôler la fissuration (condition de non-fragilité). Un maximum est imposé pour garantir un bon enrobage des aciers par le béton et éviter des difficultés de bétonnage (congestion). On doit donc vérifier que notre section d'acier calculée se situe bien entre ces deux bornes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le ferraillage minimum garantit que la résistance de l'élément armé est supérieure à celle de l'élément en béton non armé au moment de sa fissuration. Cela assure une transition ductile des efforts vers l'acier. Le ferraillage maximum assure que l'espacement entre les barres est suffisant pour que les plus gros granulats du béton puissent passer et enrober correctement l'acier, garantissant une adhérence parfaite.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Toujours vérifier ces limites. Un calcul peut donner un résultat mathématiquement correct, mais si ce dernier se situe en dehors de la plage prescrite par le code, le dimensionnement n'est pas conforme et doit être revu (par exemple, en modifiant les dimensions du poteau).

Normes (la référence réglementaire)

Ces limites sont spécifiées dans l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), section 9.5.2. Les valeurs peuvent varier légèrement en fonction des Annexes Nationales de chaque pays.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul suppose une zone non sismique. En zone sismique, les exigences de ferraillage minimum et maximum sont souvent plus strictes pour garantir une meilleure ductilité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Section minimale d'armatures (Eurocode 2) :

\[ A_{\text{s,min}} = \max\left( \frac{0.10 \cdot N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}}, \, 0.002 \cdot A_c \right) \]

Section maximale d'armatures :

\[ A_{\text{s,max}} = 0.04 \cdot A_c \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_s \text{ (calculé)} = 575 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_c = 100000 \, \text{mm}^2\)
  • \(N_{Ed} = 2250000 \, \text{N}\)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du premier terme du minimum :

\[ \begin{aligned} \frac{0.10 \cdot N_{\text{Ed}}}{f_{\text{yd}}} &= \frac{0.10 \times 2250000 \, \text{N}}{434.78 \, \text{N/mm}^2} \\ &= 517.5 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du second terme du minimum :

\[ \begin{aligned} 0.002 \cdot A_c &= 0.002 \times 100000 \, \text{mm}^2 \\ &= 200 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Détermination de la section minimale :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s,min}} &= \max(517.5, \, 200) \\ &= 517.5 \, \text{mm}^2 = 5.18 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la section maximale :

\[ \begin{aligned} A_{\text{s,max}} &= 0.04 \times 100000 \, \text{mm}^2 \\ &= 4000 \, \text{mm}^2 = 40 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Comparaison :

\[ A_{\text{s,min}} = 5.18 \, \text{cm}^2 \le A_s = 5.75 \, \text{cm}^2 \le A_{\text{s,max}} = 40 \, \text{cm}^2 \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La section d'acier calculée (5.75 cm²) est bien dans l'intervalle autorisé [5.18 cm² ; 40.00 cm²]. Le dimensionnement est donc conforme à la réglementation. Le pourcentage d'acier est de \(5.75 / (25 \times 40) \approx 0.58\%\), ce qui est une valeur faible et très économique.

Point à retenir : Le ferraillage doit être suffisant mais pas excessif. Le code fournit des limites inférieures et supérieures qui doivent toujours être respectées.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est une vérification de conformité réglementaire. Elle garantit que le dimensionnement est non seulement assez résistant, mais aussi robuste, ductile et constructible, conformément aux bonnes pratiques codifiées dans les normes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le "max" : Pour le calcul du minimum, il faut bien prendre la plus grande des deux valeurs. Pour les poteaux fortement chargés, c'est souvent la formule basée sur \(N_{\text{Ed}}\) qui est dimensionnante.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poteaux de grande hauteur ou dans les zones sismiques, le pourcentage maximum d'acier peut être porté à 8% dans les zones de recouvrement des barres, mais cela demande des dispositions constructives très particulières.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il un pourcentage maximum ?

Trop d'acier rend difficile le passage des granulats du béton entre les barres lors du coulage. Cela peut créer des vides, appelés "nids de gravier", qui sont des points de faiblesse majeurs dans la structure. Cela rend aussi l'élément plus coûteux et moins ductile.

Conclusion : Le dimensionnement est conforme car la section d'acier calculée (5.75 cm²) est dans la plage réglementaire [5.18 cm² ; 40.00 cm²].

À vous de jouer : Quelle est la section d'acier maximale \(A_{\text{s,max}}\) (en cm²) pour un poteau de 20x50 cm ?

Question 5 : Choisir un ferraillage pratique et proposer un schéma

Principe (la traduction du calcul en plan)

Le calcul nous a donné une section d'acier théorique. L'étape finale est de la traduire en un arrangement pratique de barres d'acier commerciales. On choisit un nombre de barres et un diamètre qui fournissent une section d'acier réelle (\(A_{\text{s,eff}}\)) légèrement supérieure à la section requise (\(A_{\text{s}}\)). On y ajoute les armatures transversalesAussi appelés cadres, étriers ou épingles. Ce sont des aciers qui entourent les barres longitudinales pour les maintenir en place et empêcher le poteau de "gonfler" et d'éclater sous la compression. (cadres et étriers) qui sont essentielles pour maintenir les barres longitudinales et confiner le béton.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du diamètre des barres est un compromis. Moins de barres de plus gros diamètre est plus simple à mettre en place, mais plus de barres de petit diamètre permet une meilleure répartition de l'acier et un meilleur contrôle de la fissuration. Pour un poteau rectangulaire, on place au minimum une barre à chaque angle, et on peut ajouter des barres intermédiaires sur les grands côtés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Lors du choix des barres, il faut toujours arrondir la section d'acier à la valeur supérieure. On ne peut jamais mettre moins d'acier que ce que le calcul exige. Il est utile d'avoir un tableau des sections d'acier par diamètre à portée de main.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (section 9.5) spécifie les dispositions constructives : nombre minimal de barres (4 pour un poteau rectangulaire), diamètre minimal (généralement 12 mm pour les barres longitudinales), et règles d'espacement des cadres transversaux.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On cherche une solution simple et symétrique, avec un nombre pair de barres pour faciliter la mise en œuvre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de choix des barres :

\[ A_{\text{s,effectif}} = n \times A_{\text{barre}} \ge A_{\text{s,calculé}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Section d'acier requise : \(A_{\text{s,req}} = 5.75 \, \text{cm}^2\)
  • Tableau d'aires d'acier : \(A_{\text{HA12}} = 1.13 \, \text{cm}^2\), \(A_{\text{HA14}} = 1.54 \, \text{cm}^2\), \(A_{\text{HA16}} = 2.01 \, \text{cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Essai avec 4 barres :

\[ \begin{aligned} A_{\text{par barre}} &= \frac{5.75 \, \text{cm}^2}{4} = 1.4375 \, \text{cm}^2 \\ \text{Choix} &\Rightarrow \text{Barre HA 14} \, (A_{\text{barre}} = 1.54 \, \text{cm}^2) \\ A_{\text{s,effectif}} &= 4 \times 1.54 \, \text{cm}^2 = 6.16 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Essai avec 6 barres :

\[ \begin{aligned} A_{\text{par barre}} &= \frac{5.75 \, \text{cm}^2}{6} = 0.958 \, \text{cm}^2 \\ \text{Choix} &\Rightarrow \text{Barre HA 12} \, (A_{\text{barre}} = 1.13 \, \text{cm}^2) \\ A_{\text{s,effectif}} &= 6 \times 1.13 \, \text{cm}^2 = 6.78 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

On choisit la solution avec 6 barres HA 12, qui est économique et assure une bonne répartition de l'acier.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 6 barres HA 12 (\(A_{\text{s,eff}} = 6.78 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6.
Schéma de ferraillage - Vue en coupe
Enrobage c=3cm Cadre HA6 6 HA 12 (As,eff = 6.78 cm²) 250 mm 400 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La solution avec 6 barres HA 12 est une option de ferraillage valide et bien répartie. Elle fournit une section d'acier de 6.78 cm², ce qui est supérieur aux 5.75 cm² requis, offrant une marge de sécurité. Le schéma traduit cette décision en un plan constructible.

Point à retenir : Le ferraillage final est un choix pratique de barres standards qui doit satisfaire ou dépasser la section d'acier théorique calculée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape finale rend le dimensionnement constructible. Le travail d'un ingénieur structure n'est pas seulement de calculer une valeur, mais de produire un plan clair et réalisable pour le chantier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les cadres : Ne pas dessiner ou spécifier les armatures transversales est une omission grave. Sans elles, les barres longitudinales peuvent flamber et le poteau éclater prématurément.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les nervures sur les barres d'armature (qui leur donnent l'appellation "Haute Adhérence") sont cruciales. Elles créent un ancrage mécanique avec le béton, assurant que les deux matériaux travaillent parfaitement ensemble comme un seul élément composite.

FAQ (pour lever les doutes)
Aurais-je pu utiliser 4 barres plus grosses ?

Oui. Il aurait fallu 4 barres HA 14 (section totale 6.16 cm²), ce qui est aussi une solution valide. Le choix entre 4 HA14 et 6 HA12 peut dépendre de la disponibilité des aciers ou des préférences du chantier.

Résultat Final : On adopte une solution de ferraillage avec 6 barres HA 12 (\(A_{\text{s,eff}} = 6.78 \, \text{cm}^2\)) et des cadres HA 6.

À vous de jouer : Quelle serait la section d'acier effective (\(A_{s,eff}\)) si on choisissait 8 barres HA 12 ?

Mini Fiche Mémo : Calcul des Aciers d'un Poteau

Étape Formule Clé & Objectif
1. Effort Ultime \( N_{\text{Ed}} = 1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}} \)
Déterminer la charge de calcul en appliquant les coefficients de sécurité.
2. Résistances de Calcul \( f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}} \) et \( f_{\text{yd}} = f_{\text{yk}} / \gamma_{\text{s}} \)
Déterminer la résistance des matériaux en appliquant les coefficients de sécurité.
3. Section d'Acier \( A_{\text{s}} \ge (N_{\text{Ed}} - A_{\text{c}} f_{\text{cd}}) / f_{\text{yd}} \)
Calculer l'acier nécessaire pour que le béton et l'acier ensemble reprennent l'effort.
4. Vérification Réglementaire \( A_{\text{s,min}} \le A_{\text{s}} \le A_{\text{s,max}} \)
S'assurer que la quantité d'acier respecte les limites minimales et maximales de la norme.

Outil Interactif : Calculateur d'Armatures

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la section d'acier requise.

Paramètres du Poteau
2250 kN
Résultats
Section d'acier requise (As) -
-

Le Saviez-Vous ?

Le Panthéon de Rome, construit il y a près de 2000 ans, possède la plus grande coupole en béton non armé du monde. Son dôme de 43,3 mètres de diamètre a tenu si longtemps grâce à l'utilisation d'un béton romain exceptionnel, dont la composition exacte (notamment l'utilisation de cendre volcanique) continue de fasciner les ingénieurs modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le poteau est très élancé ?

Si un poteau est très haut par rapport à sa largeur (fort élancement), il y a un risque de "flambement". C'est un phénomène d'instabilité où le poteau se déforme latéralement sous l'effet de la compression, bien avant que le matériau lui-même ne s'écrase. Le calcul devient alors plus complexe et il faut prendre en compte ces "effets du second ordre" qui réduisent la capacité portante du poteau.

Pourquoi l'acier est-il si important dans un poteau en compression ?

Bien que le béton soit excellent en compression, l'acier joue plusieurs rôles cruciaux : 1) Il augmente la capacité portante globale, permettant des poteaux plus petits. 2) Il assure un comportement ductile, c'est-à-dire qu'en cas de surcharge extrême, le poteau se déformera de manière visible avant de rompre, laissant un avertissement. 3) Il aide à résister aux efforts imprévus (flexion, cisaillement) et aux effets du retrait et du fluage du béton.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on utilise un béton de classe supérieure (par exemple C35/45 au lieu de C25/30), la section d'acier requise pour la même charge va :

2. La principale raison d'imposer une section d'acier minimale (\(A_{\text{s,min}}\)) est de :

Béton Armé
Matériau composite associant le béton, qui a une bonne résistance à la compression, et l'acier (armatures), qui a une excellente résistance à la traction.
État Limite Ultime (ELU)
État correspondant à la ruine ou à un dommage majeur de la structure. Les calculs à l'ELU visent à garantir la sécurité des personnes en évitant l'effondrement.
\(f_{\text{ck}}\) (Résistance caractéristique)
Résistance à la compression du béton mesurée sur des éprouvettes cylindriques à 28 jours, avec une probabilité de 95% d'être dépassée.
\(f_{\text{cd}}\) (Résistance de calcul)
Résistance du béton utilisée dans les calculs de dimensionnement, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient de sécurité (\(f_{\text{cd}} = f_{\text{ck}} / \gamma_{\text{c}}\)).
Fondamentaux du Génie Civil : Calcul des Aciers d'un Poteau en Béton Armé

D’autres exercices de béton armé :

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