Études de cas pratique

EGC

Contrainte de Compression dans un Pilier

Contrainte de Compression dans un Pilier en RDM

Contrainte de Compression dans un Pilier

Comprendre la Contrainte de Compression

En Résistance des Matériaux (RDM), la contrainte de compression (\(\sigma\)) est une mesure de l'intensité des forces internes agissant sur la section transversale d'un matériau lorsqu'il est soumis à des forces qui tendent à le raccourcir. Elle est cruciale pour la conception et la vérification des éléments structuraux comme les piliers, les poteaux ou les fondations, qui doivent supporter des charges de compression sans céder.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la contrainte de compression dans un pilier de section carrée, la vérification par rapport à une contrainte admissible et le calcul de son raccourcissement.

Données de l'étude

Un pilier en béton de section carrée est soumis à une charge de compression axiale centrée \(F\).

Caractéristiques du pilier et du chargement :

  • Section du pilier : Carrée
  • Côté du carré (\(c\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Force de compression axiale (\(F\)) : \(1350 \, \text{kN}\)
  • Hauteur du pilier (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Module d'Young du béton (\(E\)) : \(25 \, \text{GPa}\)
  • Contrainte admissible en compression du béton (\(\sigma_{adm,c}\)) : \(12.5 \, \text{MPa}\)
Schéma du Pilier en Compression
{/* */} {/* */} F {/* */} {/* */} {/* */} L = 3.0 m {/* */} c = 300 mm {/* */} Section A-A c c

Pilier de section carrée soumis à une force de compression axiale F.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale du pilier.
  2. Convertir la force de compression \(F\) en Newtons (N) et le module d'Young \(E\) en MégaPascals (MPa) si ce n'est pas déjà le cas dans les données ou pour les calculs. Calculer la contrainte de compression (\(\sigma\)) dans le pilier en MPa.
  3. Comparer la contrainte calculée (\(\sigma\)) à la contrainte admissible en compression (\(\sigma_{adm,c}\)). Le pilier est-il correctement dimensionné vis-à-vis de ce critère ?
  4. Calculer le raccourcissement axial (\(\Delta L\)) du pilier sous l'effet de la charge \(F\). Exprimer le résultat en millimètres.

Correction : Calcul de la Contrainte de Compression

Question 1 : Aire de la section transversale (\(A\))

Principe :

L'aire d'une section carrée de côté \(c\) est donnée par \(c^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = c^2 \]
Données spécifiques :
  • Côté du carré (\(c\)) : \(300 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (300 \, \text{mm})^2 \\ &= 90000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale du pilier est \(A = 90000 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte de compression (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte de compression (\(\sigma\)) est le rapport de la force de compression axiale (\(F\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle elle s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Force (\(F\)) : \(1350 \, \text{kN} = 1350 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(90000 \, \text{mm}^2\)

L'unité MPa (MégaPascal) équivaut à N/mm².

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{1350 \times 10^3 \, \text{N}}{90000 \, \text{mm}^2} \\ &= \frac{1350000 \, \text{N}}{90000 \, \text{mm}^2} \\ &= 15 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 15 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte de compression dans le pilier est \(\sigma = 15 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Vérification par rapport à la contrainte admissible

Principe :

Pour que le pilier soit correctement dimensionné (du point de vue de la résistance du matériau en compression simple), la contrainte de service (\(\sigma\)) doit être inférieure ou égale à la contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{adm,c}\)).

Critère de vérification :
\[ \sigma \le \sigma_{adm,c} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte calculée (\(\sigma\)) : \(15 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte admissible (\(\sigma_{adm,c}\)) : \(12.5 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 15 \, \text{MPa} > 12.5 \, \text{MPa} \]

La contrainte calculée est supérieure à la contrainte admissible.

Résultat Question 3 : Le pilier n'est pas correctement dimensionné car \(\sigma = 15 \, \text{MPa}\) est supérieur à \(\sigma_{adm,c} = 12.5 \, \text{MPa}\).

Question 4 : Raccourcissement axial (\(\Delta L\))

Principe :

Le raccourcissement axial (\(\Delta L\)) d'un élément soumis à une compression axiale est donné par la loi de Hooke, en supposant un comportement élastique linéaire du matériau. Il dépend de la force appliquée (\(F\)), de la longueur initiale (\(L\)), de l'aire de la section (\(A\)) et du module d'Young (\(E\)) du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot E} \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{\sigma \cdot L}{E} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Contrainte (\(\sigma\)) : \(15 \, \text{MPa} = 15 \, \text{N/mm}^2\)
  • Longueur initiale (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m} = 3000 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(25 \, \text{GPa} = 25 \times 10^3 \, \text{MPa} = 25000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{15 \, \text{N/mm}^2 \times 3000 \, \text{mm}}{25000 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{45000 \, \text{N} \cdot \text{mm/mm}^2}{25000 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{45000}{25000} \, \text{mm} \\ &= 1.8 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le raccourcissement axial du pilier est \(\Delta L = 1.8 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la force de compression double et que l'aire de la section reste la même, comment évolue la contrainte ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'unité standard de la contrainte dans le Système International (SI) est :

2. Un matériau avec un Module d'Young élevé est :

3. La contrainte admissible est :

Glossaire

Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire à l'intérieur d'un solide déformable. En compression, \(\sigma = F/A\). Unité : Pascal (Pa) ou N/m², souvent exprimée en MPa (N/mm²).
Compression
État de contrainte où le matériau est soumis à des forces qui tendent à réduire son volume ou sa longueur dans la direction des forces.
Aire de la section transversale (\(A\))
Surface de la coupe perpendiculaire à l'axe longitudinal de l'élément. Unité : m² ou mm².
Force axiale (\(F\))
Force agissant le long de l'axe longitudinal d'un élément. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
Module d'Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale, il mesure la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation (relative) dans le domaine élastique. Unité : Pascal (Pa) ou ses multiples (GPa, MPa).
Loi de Hooke
Principe de physique qui stipule que, pour des déformations élastiques relativement petites, la déformation est proportionnelle à la contrainte qui la produit. Pour une contrainte uniaxiale : \(\sigma = E \cdot \varepsilon\), où \(\varepsilon = \Delta L / L\) est la déformation relative.
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte qu'un matériau ou un élément structural est autorisé à supporter en service, définie par les normes de conception et incluant des coefficients de sécurité.
Raccourcissement Axial (\(\Delta L\))
Diminution de la longueur d'un élément sous l'effet d'une charge de compression. Unité : m ou mm.
Contrainte de Compression dans un Pilier en RDM - Exercice d'Application

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