Études de cas pratique

EGC

Contrainte ultime pour une charge inclinée

Calcul de la Contrainte Ultime pour une Charge Inclinée (Géotechnique)

Comprendre les Charges Inclinées sur les Fondations

Les fondations ne sont pas toujours soumises à des charges purement verticales. Dans de nombreux cas (murs de soutènement, portiques, structures soumises au vent ou aux séismes), les charges transmises au sol peuvent être inclinées par rapport à la verticale. Une charge inclinée peut être décomposée en une composante verticale et une composante horizontale. La composante verticale contribue à la pression sur le sol et au tassement, tandis que la composante horizontale tend à faire glisser la fondation. L'inclinaison de la charge réduit la capacité portante du sol par rapport à une charge purement verticale. Des facteurs de correction, appelés facteurs d'inclinaison de la charge (\(i_c, i_q, i_\gamma\)), sont introduits dans les formules de capacité portante (comme celle de Terzaghi ou Meyerhof) pour tenir compte de cet effet. Il est crucial de vérifier la stabilité de la fondation à la fois vis-à-vis de la rupture par poinçonnement (capacité portante) et du glissement.

Données de l'étude

Une semelle filante de grande longueur est soumise à une charge inclinée.

Caractéristiques de la fondation, du sol et de la charge :

  • Largeur de la semelle filante (\(B\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
  • Profondeur d'encastrement (\(D_f\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Sol sous la fondation : Sable dense
    • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(19 \, \text{kN/m}^3\)
    • Angle de frottement interne (\(\phi'\)) : \(36^\circ\)
    • Cohésion effective (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • Charge inclinée appliquée (\(P_{\text{inc}}\)) : \(300 \, \text{kN/m}\) (par mètre linéaire de semelle)
  • Angle d'inclinaison de la charge par rapport à la verticale (\(\delta\)) : \(15^\circ\)
  • Facteurs de portance (pour \(\phi' = 36^\circ\)), par exemple selon Meyerhof :
    • \(N_q \approx 37.75\)
    • \(N_\gamma \approx 44.43\) (calculé avec \(N_\gamma = (N_q-1)\tan(1.4\phi')\))
    • \(N_c\) n'est pas nécessaire car \(c'=0\).
  • Facteurs de forme (pour semelle filante, \(s_q=1, s_\gamma=1\)).
  • Facteurs de profondeur (pour \(D_f/B = 1.0/1.5 \approx 0.67\)) :
    • \(d_q = 1 + 2 \tan\phi'(1-\sin\phi')^2 (D_f/B) \approx 1 + 2 \tan(36^\circ)(1-\sin(36^\circ))^2 \times 0.67 \approx 1.16\) (valeur indicative)
    • \(d_\gamma = 1.0\)
  • Facteur de sécurité global requis (\(FS\)) : \(3.0\)

Objectif : Calculer la capacité portante ultime du sol sous la charge inclinée et vérifier si la fondation est sûre.

Schéma d'une Semelle sous Charge Inclinée
Fondation sous Charge Inclinée Niveau Terrain Naturel Semelle (B) Sol (gamma, phi', c') Pinc delta Pv Ph Df B

Schéma d'une semelle filante soumise à une charge inclinée.

Questions à traiter

  1. Calculer les composantes verticale (\(P_v\)) et horizontale (\(P_h\)) de la charge inclinée par mètre linéaire.
  2. Calculer la contrainte effective verticale au niveau de la base de la fondation (\(q'_0 = \gamma D_f\)).
  3. Calculer les facteurs d'inclinaison de la charge \(i_q\) et \(i_\gamma\) (formules de Meyerhof simplifiées pour \(c'=0\)) :
    • \(i_q = \left(1 - \frac{\delta}{90^\circ}\right)^2\)
    • \(i_\gamma = \left(1 - \frac{\delta}{\phi'}\right)^2\)
  4. Calculer la capacité portante ultime brute du sol (\(q_{\text{ult,brute}}\)) sous charge inclinée, en utilisant la formule de Meyerhof pour une semelle filante avec \(c'=0\) : \(q_{\text{ult,brute}} = q'_0 N_q s_q d_q i_q + 0.5 \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma i_\gamma\).
  5. Calculer la capacité portante admissible brute du sol (\(q_{\text{adm,brute}}\)).
  6. Calculer la pression verticale brute exercée par la fondation (\(q_{\text{exerc_brute}}\)).
  7. Vérifier la sécurité de la fondation vis-à-vis de la rupture par poinçonnement.

Correction : Calcul de la Contrainte Ultime pour une Charge Inclinée

Question 1 : Composantes de la charge inclinée (\(P_v, P_h\))

Principe :

Une force inclinée \(P_{\text{inc}}\) faisant un angle \(\delta\) avec la verticale peut être décomposée en une composante verticale \(P_v = P_{\text{inc}} \cos(\delta)\) et une composante horizontale \(P_h = P_{\text{inc}} \sin(\delta)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_v = P_{\text{inc}} \cos(\delta)\]
\[P_h = P_{\text{inc}} \sin(\delta)\]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{inc}} = 300 \, \text{kN/m}\)
  • \(\delta = 15^\circ\)
Calcul :

\(\cos(15^\circ) \approx 0.9659\), \(\sin(15^\circ) \approx 0.2588\)

\[ \begin{aligned} P_v &= 300 \, \text{kN/m} \times \cos(15^\circ) \approx 300 \times 0.9659 \approx 289.77 \, \text{kN/m} \\ P_h &= 300 \, \text{kN/m} \times \sin(15^\circ) \approx 300 \times 0.2588 \approx 77.64 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Composantes de la charge : \(P_v \approx 289.77 \, \text{kN/m}\), \(P_h \approx 77.64 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Contrainte effective verticale initiale (\(q'_0\))

Principe :

C'est la pression exercée par le poids des terres au niveau de la base de la fondation avant construction : \(q'_0 = \gamma D_f\).

Formule(s) :
\[q'_0 = \gamma D_f\]
Données :
  • \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(D_f = 1.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q'_0 &= 19 \, \text{kN/m}^3 \times 1.0 \, \text{m} \\ &= 19 \, \text{kN/m}^2 = 19 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Contrainte effective initiale : \(q'_0 = 19 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Facteurs d'inclinaison de la charge (\(i_q, i_\gamma\))

Principe :

Ces facteurs réduisent les termes de la capacité portante pour tenir compte de l'effet défavorable d'une charge inclinée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_q = \left(1 - \frac{\delta}{90^\circ}\right)^2\]
\[i_\gamma = \left(1 - \frac{\delta}{\phi'}\right)^2\]
Données :
  • \(\delta = 15^\circ\)
  • \(\phi' = 36^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} i_q &= \left(1 - \frac{15}{90}\right)^2 = \left(1 - 0.1667\right)^2 = (0.8333)^2 \approx 0.6944 \\ i_\gamma &= \left(1 - \frac{15}{36}\right)^2 = \left(1 - 0.4167\right)^2 = (0.5833)^2 \approx 0.3402 \end{aligned} \]
Facteurs d'inclinaison : \(i_q \approx 0.694\), \(i_\gamma \approx 0.340\).

Question 4 : Capacité portante ultime brute (\(q_{\text{ult,brute}}\))

Principe :

Utilisation de la formule de Meyerhof pour une semelle filante (\(s_q=1, s_\gamma=1\)) avec \(c'=0\), en incluant les facteurs de profondeur et d'inclinaison.

Formule(s) :
\[q_{\text{ult,brute}} = q'_0 N_q d_q i_q + 0.5 \gamma B N_\gamma d_\gamma i_\gamma\]
Données :
  • \(q'_0 = 19 \, \text{kPa}\)
  • \(N_q \approx 37.75\)
  • \(d_q \approx 1.16\)
  • \(i_q \approx 0.694\)
  • \(\gamma = 19 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(B = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(N_\gamma \approx 44.43\)
  • \(d_\gamma = 1.0\)
  • \(i_\gamma \approx 0.340\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Terme 1} &= 19 \times 37.75 \times 1.16 \times 0.694 \\ &\approx 717.25 \times 1.16 \times 0.694 \\ &\approx 832.01 \times 0.694 \approx 577.43 \, \text{kPa} \\ \text{Terme 2} &= 0.5 \times 19 \times 1.5 \times 44.43 \times 1.0 \times 0.340 \\ &= 9.5 \times 1.5 \times 44.43 \times 0.340 \\ &= 14.25 \times 44.43 \times 0.340 \\ &\approx 633.0775 \times 0.340 \approx 215.246 \, \text{kPa} \\ q_{\text{ult,brute}} &= 577.43 + 215.246 \\ &\approx 792.676 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Capacité portante ultime brute : \(q_{\text{ult,brute}} \approx 792.68 \, \text{kPa}\).

Question 5 : Capacité portante admissible brute (\(q_{\text{adm,brute}}\))

Principe :

Diviser la capacité portante ultime brute par le facteur de sécurité global.

Formule(s) :
\[q_{\text{adm,brute}} = \frac{q_{\text{ult,brute}}}{FS}\]
Données :
  • \(q_{\text{ult,brute}} \approx 792.68 \, \text{kPa}\)
  • \(FS = 3.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm,brute}} &= \frac{792.68 \, \text{kPa}}{3.0} \\ &\approx 264.227 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Capacité portante admissible brute : \(q_{\text{adm,brute}} \approx 264.23 \, \text{kPa}\).

Question 6 : Pression verticale brute exercée (\(q_{\text{exerc_brute}}\))

Principe :

C'est la composante verticale de la charge inclinée (\(P_v\)) divisée par la largeur de la semelle (\(B\)), car on raisonne par mètre linéaire.

Formule(s) :
\[q_{\text{exerc_brute}} = \frac{P_v}{B}\]
Données :
  • \(P_v \approx 289.77 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
  • \(B = 1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} q_{\text{exerc_brute}} &= \frac{289.77 \, \text{kN/m}}{1.5 \, \text{m}} \\ &\approx 193.18 \, \text{kN/m}^2 = 193.18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Pression verticale brute exercée : \(q_{\text{exerc_brute}} \approx 193.18 \, \text{kPa}\).

Question 7 : Vérification de la sécurité au poinçonnement

Principe :

Comparer la pression verticale brute exercée par la fondation à la capacité portante admissible brute du sol. La fondation est sûre si \(q_{\text{exerc_brute}} \le q_{\text{adm,brute}}\).

Données :
  • \(q_{\text{exerc_brute}} \approx 193.18 \, \text{kPa}\) (de Q6)
  • \(q_{\text{adm,brute}} \approx 264.23 \, \text{kPa}\) (de Q5)
Comparaison :

\(193.18 \, \text{kPa} \le 264.23 \, \text{kPa}\). La pression exercée est inférieure à la pression admissible.

Résultat Question 7 : La fondation est sûre vis-à-vis de la rupture du sol par poinçonnement sous la charge inclinée (\(193.18 \, \text{kPa} \le 264.23 \, \text{kPa}\)). (Note : une vérification au glissement serait également nécessaire en pratique).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Une charge inclinée par rapport à une charge verticale de même module :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La composante verticale d'une force \(P_{\text{inc}}\) inclinée d'un angle \(\delta\) par rapport à la verticale est :

2. Les facteurs d'inclinaison de la charge (\(i_c, i_q, i_\gamma\)) dans les formules de capacité portante sont généralement :

3. Pour une semelle filante sur un sol purement pulvérulent (\(c'=0\)), le terme \(c'N_c s_c d_c i_c\) dans la formule de capacité portante est :

Glossaire

Charge Inclinée
Force appliquée à une structure ou une fondation qui n'est ni purement verticale ni purement horizontale, mais qui possède des composantes dans les deux directions.
Capacité Portante
Pression maximale que le sol peut supporter sous une fondation sans risque de rupture.
Facteurs de Portance (\(N_c, N_q, N_\gamma\))
Coefficients adimensionnels dépendant de l'angle de frottement interne du sol, utilisés dans les formules de capacité portante (ex: Terzaghi, Meyerhof, Hansen).
Facteurs de Forme (\(s_c, s_q, s_\gamma\))
Coefficients correcteurs appliqués aux termes de la formule de capacité portante pour tenir compte de la forme de la fondation (carrée, circulaire, rectangulaire, filante).
Facteurs de Profondeur (\(d_c, d_q, d_\gamma\))
Coefficients correcteurs appliqués pour tenir compte de l'effet bénéfique de la profondeur d'encastrement de la fondation.
Facteurs d'Inclinaison de la Charge (\(i_c, i_q, i_\gamma\))
Coefficients correcteurs (généralement \(\le 1\)) appliqués pour tenir compte de la réduction de la capacité portante due à l'inclinaison de la charge résultante appliquée à la fondation.
Sol Pulvérulent
Sol dont la résistance au cisaillement est principalement due au frottement entre les grains (ex: sable, gravier), avec une cohésion négligeable (\(c' \approx 0\)).
Contrainte Effective (\(q'_0\))
Pression dans le sol transmise par le contact entre les grains solides, égale à la contrainte totale moins la pression de l'eau interstitielle.
Poinçonnement (du sol)
Mode de rupture du sol sous une fondation lorsque la capacité portante est dépassée, caractérisé par un enfoncement de la fondation avec refoulement latéral du sol.
Glissement (d'une fondation)
Mode de rupture où la fondation se déplace horizontalement sous l'effet d'une composante de charge horizontale excessive par rapport à la résistance au cisaillement mobilisable à l'interface sol-fondation.
Contrainte Ultime pour une Charge Inclinée - Exercice d'Application

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