Études de cas pratique

EGC

Charge Critique de Flambement

Calcul de la Charge Critique de Flambement (RDM)

Comprendre le Flambement des Poteaux

En Résistance Des Matériaux (RDM), le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité qui peut affecter les éléments élancés (longs et minces) soumis à une charge de compression axiale. Au lieu de simplement se comprimer, l'élément peut brusquement se déformer latéralement et perdre sa capacité portante, même si la contrainte de compression est inférieure à la limite d'élasticité du matériau. La charge à laquelle ce phénomène se produit est appelée "charge critique de flambement". La formule d'Euler est classiquement utilisée pour calculer cette charge critique pour les poteaux élancés avec des conditions d'appui idéalisées. Connaître cette charge est essentiel pour assurer la sécurité et la stabilité des structures.

Données de l'étude

Nous devons déterminer la charge critique de flambement d'un poteau en acier de section circulaire pleine, articulé à ses deux extrémités.

Caractéristiques du poteau et du matériau :

  • Longueur réelle du poteau (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Conditions d'appui : Articulé aux deux extrémités.

Objectif : Calculer la charge critique de flambement d'Euler (\(P_{cr}\)).

Schéma d'un Poteau Articulé-Articulé et Flambement
Flambement d'un Poteau Poteau Initial Pcr Déformée L

Poteau articulé à ses deux extrémités, soumis à une charge de compression axiale, et sa forme déformée par flambement.

Questions à traiter

  1. Déterminer le coefficient de longueur de flambement (\(K\)) pour un poteau articulé à ses deux extrémités.
  2. Calculer la longueur de flambement (\(L_f\)) du poteau.
  3. Calculer le moment d'inertie (\(I\)) de la section circulaire pleine par rapport à un axe passant par son centre.
  4. Calculer la charge critique de flambement d'Euler (\(P_{cr}\)) en Newtons, puis en kiloNewtons (\(\text{kN}\)).

Correction : Calcul de la Charge Critique de Flambement

Question 1 : Coefficient de longueur de flambement (\(K\))

Principe :

Le coefficient de longueur de flambement, noté \(K\), dépend des conditions d'appui aux extrémités du poteau. Il permet d'ajuster la longueur réelle du poteau pour obtenir une "longueur de flambement" (\(L_f = K \times L\)) qui est la longueur d'un poteau équivalent articulé-articulé qui aurait la même charge critique. Pour un poteau articulé à ses deux extrémités (parfois appelé "rotulé-rotulé" ou "bi-articulé"), le mode de flambement est une simple sinusoïde, et la longueur de flambement est égale à la longueur réelle du poteau.

Valeur :

Pour un poteau articulé-articulé :

\[K = 1.0\]
Résultat Question 1 : Le coefficient de longueur de flambement pour un poteau articulé à ses deux extrémités est \(K = 1.0\).

Question 2 : Longueur de flambement (\(L_f\))

Principe :

La longueur de flambement (\(L_f\)) est la longueur effective du poteau qui est utilisée dans la formule d'Euler. Elle est calculée en multipliant la longueur réelle du poteau (\(L\)) par le coefficient de longueur de flambement (\(K\)) déterminé à la question précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_f = K \times L\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de longueur de flambement (\(K\)) : \(1.0\) (de Q1)
  • Longueur réelle du poteau (\(L\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_f &= 1.0 \times 3.0 \, \text{m} \\ &= 3.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur de flambement du poteau est \(L_f = 3.0 \, \text{m}\).

Question 3 : Moment d'inertie (\(I\)) de la section circulaire pleine

Principe :

Le moment d'inertie (ou moment quadratique) d'une section transversale par rapport à un axe est une propriété géométrique qui caractérise la manière dont l'aire de la section est distribuée par rapport à cet axe. Il est crucial pour évaluer la résistance à la flexion et au flambement. Plus le moment d'inertie est grand, plus la section est rigide. Pour une section circulaire pleine de diamètre \(D\), le moment d'inertie par rapport à un axe passant par son centre est donné par une formule standard. Il est important d'utiliser des unités cohérentes (par exemple, des millimètres pour toutes les dimensions si le module d'Young est en \(\text{N/mm}^2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I = \frac{\pi \times D^4}{64}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre de la section (\(D\)) : \(50 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= \frac{\pi \times (50 \, \text{mm})^4}{64} \\ &= \frac{\pi \times 6250000 \, \text{mm}^4}{64} \\ &\approx \frac{19634954.08 \, \text{mm}^4}{64} \\ &\approx 306796.1575 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le moment d'inertie de la section circulaire est \(I \approx 306796 \, \text{mm}^4\).

Question 4 : Charge critique de flambement d'Euler (\(P_{cr}\))

Principe :

La charge critique de flambement d'Euler est la charge axiale maximale qu'un poteau élancé peut supporter avant de flamber. Elle dépend du module d'Young du matériau (\(E\)), du moment d'inertie minimal de la section transversale (\(I\)), et de la longueur de flambement (\(L_f\)). La formule d'Euler est applicable pour les poteaux suffisamment élancés où la rupture se produit par instabilité élastique avant que la limite d'élasticité du matériau ne soit atteinte. Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes : si \(E\) est en \(\text{N/mm}^2\), \(I\) en \(\text{mm}^4\), et \(L_f\) en \(\text{mm}\), alors \(P_{cr}\) sera en Newtons (N).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_f^2}\]
Données spécifiques :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment d'inertie (\(I\)) : \(\approx 306796.1575 \, \text{mm}^4\) (de Q3)
  • Longueur de flambement (\(L_f\)) : \(3.0 \, \text{m} = 3000 \, \text{mm}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{cr} &= \frac{\pi^2 \times (210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \times (306796.1575 \, \text{mm}^4)}{(3000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{\pi^2 \times 210000 \times 306796.1575}{9000000} \\ &\approx \frac{9.8696 \times 210000 \times 306796.1575}{9000000} \\ &\approx \frac{635551140183}{9000000} \\ &\approx 70616.79 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kiloNewtons (\(\text{kN}\)) :

\[P_{cr} (\text{kN}) = \frac{70616.79 \, \text{N}}{1000} \approx 70.62 \, \text{kN}\]
Résultat Question 4 : La charge critique de flambement d'Euler est \(P_{cr} \approx 70617 \, \text{N}\), soit environ \(70.62 \, \text{kN}\). C'est la charge maximale que le poteau peut théoriquement supporter en compression avant de devenir instable et de flamber.

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si la longueur de flambement d'un poteau double, sa charge critique de flambement (selon Euler) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le flambement est un phénomène d'instabilité qui concerne les éléments :

2. Pour un poteau encastré à une extrémité et libre à l'autre, le coefficient de longueur de flambement \(K\) est :

3. La charge critique de flambement d'Euler est proportionnelle à :

Glossaire

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité élastique d'un élément structural élancé soumis à une compression axiale, caractérisé par une déformation latérale soudaine et importante.
Charge Critique de Flambement (\(P_{cr}\))
Charge axiale maximale qu'un poteau peut supporter avant de flamber. Au-delà de cette charge, la structure devient instable.
Formule d'Euler
Équation mathématique permettant de calculer la charge critique de flambement pour un poteau idéal (matériau homogène, élastique, charge parfaitement centrée, section constante, etc.).
Poteau Élancé
Poteau dont la longueur est grande par rapport aux dimensions de sa section transversale. Ces poteaux sont plus susceptibles au flambement.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique. C'est le rapport entre la contrainte et la déformation dans le domaine élastique. Unité : Pascals (Pa) ou N/m², souvent GPa ou N/mm².
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section transversale qui caractérise sa résistance à la flexion ou au flambement. Il dépend de la forme et des dimensions de la section. Unité : longueur à la puissance quatre (ex: \(\text{mm}^4\), \(\text{m}^4\)). On utilise le plus petit moment d'inertie de la section pour le calcul de flambement.
Longueur de Flambement (\(L_f\))
Longueur effective d'un poteau utilisée dans la formule d'Euler, qui dépend de sa longueur réelle et des conditions d'appui à ses extrémités. \(L_f = K \times L\).
Coefficient de Longueur de Flambement (\(K\))
Facteur sans dimension qui dépend des conditions de liaison aux extrémités du poteau (articulé, encastré, libre).
Conditions d'Appui
Manière dont les extrémités d'un poteau (ou d'une poutre) sont reliées à leurs supports (ex: articulé, encastré, libre, guidé).
Calcul de la Charge Critique de Flambement - Exercice d'Application

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