Études de cas pratique

EGC

Viscosité et Tension Superficielle

Viscosité et Tension Superficielle en Hydraulique

Viscosité et Tension Superficielle en Hydraulique

Comprendre la Viscosité et la Tension Superficielle

La viscosité et la tension superficielle sont deux propriétés fondamentales des fluides qui jouent un rôle crucial dans de nombreux phénomènes hydrauliques. La viscosité caractérise la résistance interne d'un fluide à l'écoulement ; elle est souvent perçue comme l' "épaisseur" du fluide. Elle est responsable des pertes d'énergie par frottement dans les écoulements. La tension superficielle est une force qui existe à l'interface entre un liquide et un autre milieu (généralement un gaz, comme l'air). Elle est due aux forces de cohésion entre les molécules du liquide et tend à minimiser l'aire de la surface libre. Ce phénomène explique la formation des gouttes, des bulles, et des effets de capillarité.

Données de l'étude

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes : une sur la viscosité et une sur la tension superficielle.

Partie 1 : Viscosité

On considère de l'huile lubrifiante contenue entre deux plaques parallèles horizontales. La plaque inférieure est fixe, tandis que la plaque supérieure, d'une aire de \(0.5 \, \text{m}^2\), se déplace à une vitesse constante de \(0.2 \, \text{m/s}\). L'épaisseur du film d'huile entre les plaques est de \(2 \, \text{mm}\).

  • Fluide : Huile lubrifiante
  • Aire de la plaque supérieure en contact avec l'huile (\(A\)) : \(0.5 \, \text{m}^2\)
  • Vitesse de la plaque supérieure (\(V\)) : \(0.2 \, \text{m/s}\)
  • Épaisseur du film d'huile (\(e\)) : \(2 \, \text{mm}\)
  • Viscosité dynamique de l'huile (\(\mu\)) : \(0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • On suppose un profil de vitesse linéaire dans l'huile.

Partie 2 : Tension Superficielle

Un tube capillaire en verre propre, d'un diamètre intérieur de \(1 \, \text{mm}\), est plongé verticalement dans un récipient contenant de l'eau à \(20^\circ\text{C}\).

  • Fluide : Eau à \(20^\circ\text{C}\)
  • Diamètre intérieur du tube capillaire (\(d\)) : \(1 \, \text{mm}\)
  • Tension superficielle de l'eau à \(20^\circ\text{C}\) (\(\sigma\)) : \(0.0728 \, \text{N/m}\)
  • Angle de contact entre l'eau et le verre propre (\(\theta\)) : \(0^\circ\) (mouillage parfait)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Viscosité (Plaques parallèles) et Tension Superficielle (Tube Capillaire)
Plaque fixe (V=0) Plaque mobile V Huile (µ) e Viscosité Eau h d Tension Superficielle

Illustrations des concepts de viscosité et de tension superficielle (capillarité).

Questions à traiter

  1. Partie Viscosité :
    1. Calculer le gradient de vitesse (taux de cisaillement) \(\frac{dV}{dy}\) dans l'huile.
    2. Calculer la contrainte de cisaillement (\(\tau\)) dans l'huile.
    3. Calculer la force (\(F\)) nécessaire pour déplacer la plaque supérieure à la vitesse donnée.
    4. Si la masse volumique de cette huile est de \(850 \, \text{kg/m}^3\), quelle est sa viscosité cinématique (\(\nu\)) ?
  2. Partie Tension Superficielle :
    1. Calculer la hauteur d'ascension capillaire (\(h\)) de l'eau dans le tube.
    2. Expliquer qualitativement ce qui se passerait si le tube était en paraffine (angle de contact \(\theta \approx 107^\circ\)) au lieu d'être en verre propre.
    3. Comment la tension superficielle permet-elle à certains insectes de marcher sur l'eau ?

Correction : Viscosité et Tension Superficielle

Partie 1 : Viscosité

Question 1.a : Gradient de vitesse (\(\frac{dV}{dy}\))
Principe :

Pour un profil de vitesse linéaire entre deux plaques, le gradient de vitesse (ou taux de cisaillement) est la variation de vitesse divisée par la distance perpendiculaire entre les plaques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{dV}{dy} = \frac{V}{e} \]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la plaque supérieure (\(V\)) : \(0.2 \, \text{m/s}\)
  • Épaisseur du film d'huile (\(e\)) : \(2 \, \text{mm} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{dV}{dy} &= \frac{0.2 \, \text{m/s}}{2 \times 10^{-3} \, \text{m}} \\ &= 100 \, \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 1.a : Le gradient de vitesse est \(\frac{dV}{dy} = 100 \, \text{s}^{-1}\).
Question 1.b : Contrainte de cisaillement (\(\tau\))
Principe :

La contrainte de cisaillement dans un fluide newtonien est proportionnelle au gradient de vitesse, la constante de proportionnalité étant la viscosité dynamique (Loi de Newton pour la viscosité).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = \mu \frac{dV}{dy} \]
Données spécifiques :
  • Viscosité dynamique de l'huile (\(\mu\)) : \(0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Gradient de vitesse (\(\frac{dV}{dy}\)) : \(100 \, \text{s}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau &= 0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s} \times 100 \, \text{s}^{-1} \\ &= 8 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1.b : La contrainte de cisaillement dans l'huile est \(\tau = 8 \, \text{Pa}\).
Question 1.c : Force (\(F\)) nécessaire
Principe :

La force de cisaillement est le produit de la contrainte de cisaillement par l'aire sur laquelle elle s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F = \tau \times A \]
Données spécifiques :
  • Contrainte de cisaillement (\(\tau\)) : \(8 \, \text{Pa}\)
  • Aire de la plaque (\(A\)) : \(0.5 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= 8 \, \text{Pa} \times 0.5 \, \text{m}^2 \\ &= 4 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 1.c : La force nécessaire pour déplacer la plaque supérieure est \(F = 4 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur du film d'huile \(e\) est doublée, comment la force \(F\) change-t-elle (autres paramètres constants) ?

Question 1.d : Viscosité cinématique (\(\nu\))
Principe :

La viscosité cinématique (\(\nu\)) est le rapport de la viscosité dynamique (\(\mu\)) à la masse volumique (\(\rho\)) du fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \nu = \frac{\mu}{\rho} \]
Données spécifiques :
  • Viscosité dynamique (\(\mu\)) : \(0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Masse volumique de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \nu &= \frac{0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s}}{850 \, \text{kg/m}^3} \\ &\approx 0.000094117 \, \text{m}^2\text{/s} \\ &\approx 9.41 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\text{/s} \end{aligned} \]

La viscosité cinématique est souvent exprimée en Stokes (St) ou centiStokes (cSt), où \(1 \, \text{St} = 10^{-4} \, \text{m}^2\text{/s}\). Donc, \(\nu \approx 0.941 \, \text{St}\) ou \(94.1 \, \text{cSt}\).

Résultat Question 1.d : La viscosité cinématique de l'huile est \(\nu \approx 9.41 \times 10^{-5} \, \text{m}^2\text{/s}\) (ou \(94.1 \, \text{cSt}\)).

Partie 2 : Tension Superficielle

Question 2.a : Hauteur d'ascension capillaire (\(h\))
Principe :

L'ascension (ou la dépression) capillaire est due à l'équilibre entre les forces de tension superficielle et le poids de la colonne de liquide dans le tube. La loi de Jurin décrit ce phénomène pour un tube cylindrique.

Formule(s) utilisée(s) (Loi de Jurin) :
\[ h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r} = \frac{4 \sigma \cos\theta}{\rho g d} \]

Où \(r\) est le rayon du tube (\(d/2\)).

Données spécifiques :
  • Tension superficielle (\(\sigma\)) : \(0.0728 \, \text{N/m}\)
  • Angle de contact (\(\theta\)) : \(0^\circ \Rightarrow \cos(0^\circ) = 1\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Diamètre du tube (\(d\)) : \(1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h &= \frac{4 \times 0.0728 \, \text{N/m} \times \cos(0^\circ)}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times (1 \times 10^{-3} \, \text{m})} \\ &= \frac{4 \times 0.0728 \times 1}{1000 \times 9.81 \times 0.001} \\ &= \frac{0.2912}{9.81} \, \text{m} \\ &\approx 0.02968 \, \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(h \approx 29.68 \, \text{mm}\).

Résultat Question 2.a : La hauteur d'ascension capillaire de l'eau est \(h \approx 0.0297 \, \text{m}\) (ou \(29.7 \, \text{mm}\)).
Question 2.b : Effet d'un tube en paraffine
Principe :

L'angle de contact (\(\theta\)) influence le signe de \(\cos\theta\) et donc la direction de la force de tension superficielle effective verticalement. Si \(\theta > 90^\circ\), \(\cos\theta\) est négatif.

Explication :

Si le tube était en paraffine, l'angle de contact serait d'environ \(107^\circ\). Dans ce cas :

  • \(\cos(107^\circ) \approx -0.292\)

Puisque \(\cos\theta\) est négatif, la hauteur \(h\) calculée par la loi de Jurin deviendrait négative :

\[ h = \frac{4 \sigma \cos(107^\circ)}{\rho g d} < 0 \]

Une hauteur négative signifie qu'au lieu d'une ascension capillaire, on observerait une dépression capillaire. Le niveau du liquide à l'intérieur du tube serait plus bas que le niveau du liquide dans le récipient. Cela se produit lorsque les forces d'adhésion entre le liquide et la paroi du tube sont plus faibles que les forces de cohésion au sein du liquide (le liquide "ne mouille pas" la surface).

Résultat Question 2.b : Avec un tube en paraffine (\(\theta \approx 107^\circ\)), on observerait une dépression capillaire : le niveau de l'eau dans le tube serait plus bas que le niveau dans le récipient.
Question 2.c : Insectes marchant sur l'eau
Principe :

La tension superficielle crée une sorte de "peau" ou de "film élastique" à la surface de l'eau.

Explication :

Certains insectes légers, comme les gerris (souvent appelés "araignées d'eau"), peuvent marcher sur l'eau grâce à la tension superficielle. Voici comment :

  • Distribution du poids : Les insectes ont des pattes longues et fines qui répartissent leur faible poids sur une plus grande surface.
  • Propriétés hydrophobes : Leurs pattes sont souvent recouvertes de cires ou de poils minuscules qui repoussent l'eau (propriétés hydrophobes). Cela empêche l'eau de mouiller leurs pattes et de les "casser" à travers la surface.
  • Déformation de la surface : Le poids de l'insecte déforme légèrement la surface de l'eau, créant une petite dépression. La tension superficielle agit pour résister à cette déformation et à l'augmentation de l'aire de la surface. La composante verticale de cette force de tension superficielle, agissant le long du périmètre de contact des pattes avec l'eau, contrebalance le poids de l'insecte.

Tant que la force exercée par le poids de l'insecte est inférieure à la force maximale que la tension superficielle peut supporter sans rompre la surface, l'insecte reste à flot.

Résultat Question 2.c : Les insectes marchent sur l'eau en répartissant leur poids et en utilisant la force de la tension superficielle qui résiste à la déformation de la surface de l'eau sous leurs pattes hydrophobes.

Quiz Intermédiaire 2 : Si le diamètre d'un tube capillaire est doublé, comment la hauteur d'ascension capillaire \(h\) change-t-elle (autres paramètres constants, mouillage parfait) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La viscosité dynamique d'un fluide représente :

2. La tension superficielle est causée principalement par :

3. Dans la loi de Newton pour la viscosité (\(\tau = \mu \frac{dV}{dy}\)), \(\frac{dV}{dy}\) représente :

Glossaire

Viscosité Dynamique (\(\mu\))
Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement sous l'effet d'une contrainte de cisaillement. Unité SI : Pascal-seconde (\(\text{Pa} \cdot \text{s}\)).
Viscosité Cinématique (\(\nu\))
Rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du fluide (\(\nu = \mu / \rho\)). Unité SI : mètre carré par seconde (\(\text{m}^2\text{/s}\)).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Force de cisaillement par unité d'aire agissant parallèlement à la surface. Unité SI : Pascal (Pa).
Gradient de Vitesse (ou Taux de Cisaillement)
Taux auquel la vitesse du fluide change perpendiculairement à la direction de l'écoulement (\(dV/dy\)). Unité SI : par seconde (\(\text{s}^{-1}\)).
Fluide Newtonien
Fluide pour lequel la contrainte de cisaillement est directement proportionnelle au taux de cisaillement (la viscosité est constante).
Tension Superficielle (\(\sigma\))
Force par unité de longueur agissant à la surface d'un liquide, tendant à minimiser l'aire de cette surface. Unité SI : Newton par mètre (N/m).
Capillarité
Phénomène d'ascension ou de dépression d'un liquide dans un tube de faible diamètre (capillaire) dû aux effets combinés de la tension superficielle et des forces d'adhésion entre le liquide et la paroi du tube.
Angle de Contact (\(\theta\))
Angle formé à l'interface entre un liquide, un solide et un gaz. Il caractérise la mouillabilité d'une surface par un liquide.
Ménisque
Surface courbe d'un liquide dans un tube, formée par la tension superficielle. Il peut être concave (ex: eau dans du verre) ou convexe (ex: mercure dans du verre).
Viscosité et Tension Superficielle - Exercice d'Application

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