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Calcul des contraintes thermiques

Calcul des Contraintes Thermiques en RdM

Calcul des Contraintes Thermiques

Contexte : La puissance invisible de la température.

En génie civil, les variations de température sont une charge à part entière, au même titre que le poids des usagers ou la force du vent. Les matériaux se dilatent sous l'effet de la chaleur et se contractent avec le froid. Si ce mouvement naturel est empêché par des appuis ou d'autres éléments de structure, des forces internes et des contraintes thermiquesContraintes internes générées dans un matériau lorsque sa dilatation ou sa contraction due à une variation de température est empêchée (bloquée). considérables peuvent apparaître. Ignorer ces effets peut conduire à des désordres graves, comme le flambement des rails de chemin de fer en été ou la fissuration du béton en hiver. Cet exercice a pour but de quantifier ces contraintes dans un cas simple mais fondamental.

Remarque Pédagogique : Nous allons voir que la contrainte thermique ne dépend pas de la longueur de l'élément, mais uniquement des propriétés du matériau (Module de Young et coefficient de dilatation) et de la variation de température. C'est un résultat contre-intuitif mais essentiel à comprendre pour un ingénieur. Nous allons décortiquer le calcul pour comprendre d'où vient cette indépendance à la longueur.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et utiliser le coefficient de dilatation thermique.
  • Calculer l'allongement théorique d'une barre soumise à une variation de température.
  • Appliquer la loi de Hooke pour déterminer la contrainte induite par un blocage.
  • Calculer l'effort de compression résultant dans la structure.
  • Vérifier que la contrainte thermique ne dépasse pas la limite élastique du matériau.

Données de l'étude

Un rail en acier de section rectangulaire est posé sans jeu entre deux butées fixes en béton. Il est installé par une température de 10°C. On souhaite calculer les contraintes subies par le rail lors d'une chaude journée d'été où sa température atteint 50°C.

Schéma du rail bloqué entre deux butées
Butée fixe Butée fixe L = 10 m T_initiale = 10°C ↗ T_finale = 50°C
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur initiale du rail \(L_0\) 10 \(\text{m}\)
Température initiale \(T_i\) 10 \({^\circ\text{C}}\)
Température finale \(T_f\) 50 \({^\circ\text{C}}\)
Module de Young de l'acier \(E\) 210 \(\text{GPa}\)
Coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) \(12 \times 10^{-6}\) \({^\circ\text{C}^{-1}}\)
Limite élastique de l'acier \(\sigma_e\) 250 \(\text{MPa}\)
Section du rail (b x h) \(A\) 50 x 20 \(\text{mm} \times \text{mm}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température \(\Delta T\).
  2. Calculer l'allongement libre \(\Delta L_{\text{th}}\) que subirait le rail s'il n'était pas bloqué.
  3. Déterminer la contrainte thermique de compression \(\sigma_{\text{th}}\) dans le rail.
  4. Calculer la force de compression \(F_{\text{th}}\) exercée sur les butées et vérifier la sécurité du rail.

Les bases de la Dilatation Thermique

Avant la correction, revoyons les formules essentielles pour comprendre les contraintes d'origine thermique.

1. Dilatation Linéaire Libre :
Lorsqu'un matériau est chauffé, il se dilate. Si cette dilatation est libre (non-contrainte), l'allongement \(\Delta L_{\text{th}}\) est proportionnel à la longueur initiale \(L_0\) et à la variation de température \(\Delta T\). Le facteur de proportionnalité est le coefficient de dilatation thermique \(\alpha\). \[ \Delta L_{\text{th}} = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]

2. Déformation et Contrainte (Loi de Hooke) :
La déformation (\(\epsilon\)) est un allongement relatif. La loi de Hooke stipule que, dans le domaine élastique, la contrainte (\(\sigma\)) est proportionnelle à la déformation. Le facteur de proportionnalité est le module de Young \(E\). \[ \sigma = E \cdot \epsilon \quad \text{avec} \quad \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]

3. Contrainte Thermique (Cas Bloqué) :
Si la dilatation libre \(\Delta L_{\text{th}}\) est complètement empêchée, la structure doit générer un "raccourcissement" interne \(\Delta L = -\Delta L_{\text{th}}\) pour que l'allongement total soit nul. Ce raccourcissement forcé correspond à une déformation de compression \(\epsilon_{\text{th}} = -\alpha \cdot \Delta T\). La contrainte qui en résulte est donc : \[ \sigma_{\text{th}} = E \cdot \epsilon_{\text{th}} = -E \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

Correction : Calcul des Contraintes Thermiques

Question 1 : Calculer la variation de température (\(\Delta T\))

Principe (le concept physique)

La variation de température, notée \(\Delta T\), est le moteur du phénomène de dilatation thermique. C'est la différence entre l'état thermique final (chaud) et l'état initial (froid). Un \(\Delta T\) positif correspond à un échauffement et donc à une tendance à la dilatation, tandis qu'un \(\Delta T\) négatif correspond à un refroidissement et une tendance à la contraction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La température est une mesure de l'agitation thermique des atomes constituant un matériau. Une augmentation de température se traduit par une augmentation de l'amplitude des vibrations des atomes, ce qui augmente la distance interatomique moyenne et donc les dimensions macroscopiques de l'objet.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites toujours attention à l'ordre de la soustraction : c'est "final moins initial". Inverser cet ordre changerait le signe du résultat, ce qui mènerait à conclure à une traction au lieu d'une compression, une erreur d'interprétation majeure.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction comme l'Eurocode 1 définissent les cartes de températures nationales et les gradients thermiques à prendre en compte pour le calcul des structures, en fonction de la localisation géographique et du type d'ouvrage (ponts, bâtiments, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule pour la variation de température est :

\[ \Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les températures initiale et finale sont uniformes dans toute la masse du rail.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Température initiale, \(T_i = 10 \, {^\circ\text{C}}\)
  • Température finale, \(T_f = 50 \, {^\circ\text{C}}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. Assurez-vous simplement que les deux températures sont dans la même unité (Celsius ou Kelvin). Une variation en Celsius est égale à une variation en Kelvin, donc il n'y a pas besoin de conversion pour le \(\Delta T\).

Schéma (Avant les calculs)
Variation de Température
Ti = 10°CTf = 50°CΔT = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 50 \, {^\circ\text{C}} - 10 \, {^\circ\text{C}} \\ &= 40 \, {^\circ\text{C}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Variation
ΔT = +40°C
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est une augmentation de température de 40°C. Le signe positif confirme qu'il s'agit d'un échauffement, ce qui va induire une tendance à la dilatation et donc potentiellement une contrainte de compression si cette dilatation est bloquée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus simple mais la plus critique serait de mal calculer cette valeur de base ou d'en oublier le signe. Toute la suite du calcul dépend de la justesse de ce \(\Delta T\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La variation de température \(\Delta T\) est la cause première des contraintes thermiques.
  • \(\Delta T = T_{\text{finale}} - T_{\text{initiale}}\).
  • Un \(\Delta T > 0\) signifie échauffement (tendance à la dilatation). Un \(\Delta T < 0\) signifie refroidissement (tendance à la contraction).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ponts de grande portée sont équipés de joints de dilatation, des dispositifs qui permettent aux sections du tablier de se dilater et de se contracter librement, évitant ainsi l'apparition de contraintes thermiques gigantesques qui pourraient endommager la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'on utilise la température absolue en Kelvin ?

Pour le calcul d'une variation \(\Delta T\), utiliser les degrés Celsius ou les Kelvin donne exactement le même résultat (\(T_K = T_C + 273.15 \Rightarrow \Delta T_K = \Delta T_C\)). Il n'est donc pas nécessaire de convertir. En revanche, pour des calculs de thermodynamique utilisant la température absolue \(T\) (et non \(\Delta T\)), la conversion en Kelvin est indispensable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation de température est de +40°C.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En hiver, la température du rail descend à -15°C. Quel est le nouveau \(\Delta T\) par rapport à la température de pose (10°C) ?

Question 2 : Calculer l'allongement libre \(\Delta L_{\text{th}}\)

Principe (le concept physique)

L'allongement libre, ou dilatation thermique non-contrainte, est l'augmentation de longueur que subirait le rail si rien ne l'en empêchait. C'est un calcul théorique qui représente le "besoin d'expansion" du matériau. C'est ce mouvement empêché qui sera la source des contraintes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient de dilatation \(\alpha\) est une propriété intrinsèque du matériau. Il représente la fraction de sa longueur dont un matériau se dilate pour une augmentation de température d'un degré. Les métaux ont un \(\alpha\) relativement élevé, tandis que les céramiques ou certains composites ont des coefficients beaucoup plus faibles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce calcul est crucial pour comprendre la suite. Il matérialise le déplacement qui est "annulé" par les butées. La contrainte naîtra de la force nécessaire pour "re-comprimer" le rail de cette exacte quantité \(\Delta L_{\text{th}}\).

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs du coefficient de dilatation thermique \(\alpha\) pour les matériaux de construction courants (acier, béton, aluminium, bois) sont données dans les annexes des normes de calcul (Eurocodes).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule de la dilatation linéaire libre est :

\[ \Delta L_{\text{th}} = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le coefficient de dilatation \(\alpha\) est constant sur la plage de température considérée, ce qui est une excellente approximation pour les applications courantes du génie civil.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coefficient de dilatation, \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}\)
  • Longueur initiale, \(L_0 = 10 \, \text{m}\)
  • Variation de température, \(\Delta T = 40 \, {^\circ\text{C}}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Il est souvent plus simple de convertir toutes les longueurs en millimètres au début pour éviter les erreurs. \(L_0 = 10 \, \text{m} = 10\ 000 \, \text{mm}\). Le résultat sera ainsi directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Dilatation Théorique du Rail
Position initiale (L₀)Position finale libreΔL_th = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{th}} &= (12 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}) \cdot (10 \, \text{m}) \cdot (40 \, {^\circ\text{C}}) \\ &= 0.0048 \, \text{m} \\ &= 4.8 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allongement Libre Calculé
ΔL_th = 4.8 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rail de 10 mètres de long s'allongerait de près d'un demi-centimètre pour une variation de température de 40°C. Cet allongement, qui peut paraître faible, est la source de contraintes et de forces potentiellement très importantes s'il est empêché.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les puissances de 10, notamment avec le coefficient \(\alpha\) (\(10^{-6}\)). Une autre erreur est d'oublier de convertir la longueur initiale dans une unité cohérente (mètres ou millimètres) avant le calcul.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'allongement libre \(\Delta L_{\text{th}}\) est le déplacement théorique dû à la température.
  • Il est proportionnel à la longueur initiale, à \(\Delta T\) et à \(\alpha\).
  • C'est le "mouvement empêché" qui crée la contrainte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'avion supersonique Concorde s'allongeait d'environ 15 à 20 cm en vol à cause de l'échauffement par friction avec l'air à Mach 2. Sa structure était conçue pour permettre cette dilatation sans générer de contraintes excessives.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que l'allongement est instantané ?

Non, le processus dépend de l'inertie thermique du matériau. Une pièce massive mettra un certain temps à atteindre une température uniforme. Le calcul suppose que l'équilibre thermique est atteint et que le rail est à une température homogène de 50°C.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement libre théorique du rail serait de 4.8 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le rail était en aluminium (\(\alpha \approx 23 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}\)), quel serait son allongement libre en mm ?

Question 3 : Déterminer la contrainte thermique de compression (\(\sigma_{\text{th}}\))

Principe (le concept physique)

Puisque le rail ne peut pas s'allonger de 4.8 mm, les butées exercent une force de réaction pour le "re-comprimer" à sa longueur initiale. Cette compression forcée génère une contrainte interne dans le matériau. La contrainte est directement proportionnelle à la déformation empêchée et à la rigidité du matériau (son module de Young E).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La déformation totale d'un élément soumis à la fois à un effet thermique et à une charge mécanique est \(\epsilon_{\text{total}} = \epsilon_{\text{th}} + \epsilon_{\text{méc}}\). Dans notre cas, les butées rigides imposent une déformation totale nulle (\(\epsilon_{\text{total}}=0\)). Donc, la déformation mécanique doit compenser la déformation thermique : \(\epsilon_{\text{méc}} = -\epsilon_{\text{th}} = -\alpha \cdot \Delta T\). La contrainte est alors issue de cette seule déformation mécanique : \(\sigma = E \cdot \epsilon_{\text{méc}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici qu'apparaît le résultat "magique" : la longueur \(L_0\) disparaît des équations. La contrainte ne dépend que de \(E\), \(\alpha\) et \(\Delta T\). Un rail court subira la même contrainte qu'un rail long pour la même variation de température, car bien que le rail long veuille s'allonger davantage, sa plus grande longueur lui permet aussi de s'écraser plus facilement pour une contrainte donnée. Les deux effets se compensent parfaitement.

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(\sigma_{\text{th}} = E \cdot \alpha \cdot \Delta T\) est une relation fondamentale de la thermo-élasticité, utilisée comme base dans tous les codes de calcul pour évaluer les effets de la température sur les structures hyperstatiques (structures dont les mouvements sont bloqués).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte thermique pour une dilatation complètement bloquée est :

\[ \sigma_{\text{th}} = -E \cdot \alpha \cdot \Delta T \]

Le signe négatif indique une compression pour un \(\Delta T\) positif (échauffement).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les butées sont infiniment rigides et ne se déforment pas. On suppose également que le matériau reste dans son domaine élastique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Module de Young, \(E = 210 \, \text{GPa} = 210\ 000 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de dilatation, \(\alpha = 12 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}\)
  • Variation de température, \(\Delta T = 40 \, {^\circ\text{C}}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour obtenir un résultat directement en MégaPascals (MPa), qui est l'unité standard pour les contraintes, il faut exprimer le module de Young E en MPa. \(1 \, \text{GPa} = 1000 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Contrainte Née du Blocage
Le rail veut se dilater de ΔL_th......mais les butées le forcent à rester à L₀.σ_th = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{th}} &= -(210\ 000 \, \text{MPa}) \cdot (12 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}) \cdot (40 \, {^\circ\text{C}}) \\ &= -100.8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Compression
σ_th = -100.8 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une contrainte de compression de 100.8 MPa est générée dans le rail. C'est une valeur très significative, qui représente plus de 40% de la limite élastique de l'acier. Cela montre à quel point les effets thermiques peuvent être importants et potentiellement dangereux pour une structure s'ils ne sont pas anticipés lors de la conception.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à la cohérence des unités. Si E est en GPa, le résultat sera en GPa. Si E est en MPa, le résultat sera en MPa. Le plus sûr est de tout convertir en unités de base (Pa, m, °C) ou d'utiliser un système cohérent (MPa, mm, N).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte thermique dans un élément bloqué ne dépend pas de sa longueur.
  • La formule clé est \(\sigma_{\text{th}} = -E \cdot \alpha \cdot \Delta T\).
  • La contrainte est proportionnelle à la rigidité du matériau (E), sa capacité à se dilater (\(\alpha\)), et à la variation de température (\(\Delta T\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les bilames, utilisés dans les thermostats mécaniques (vieux fers à repasser, grille-pains), sont constitués de deux métaux avec des coefficients \(\alpha\) différents, soudés l'un à l'autre. En chauffant, le bilame se courbe car un côté se dilate plus que l'autre, ce qui permet d'ouvrir ou de fermer un contact électrique.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si les appuis n'étaient pas parfaitement rigides ?

Si les butées pouvaient reculer d'une petite distance \(d\), l'allongement empêché serait de \((\Delta L_{\text{th}} - d)\). La déformation de compression serait donc plus faible, et la contrainte également. Le calcul devient plus complexe et relève de la résolution de systèmes hyperstatiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte thermique générée dans le rail est une compression de 100.8 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le rail était en béton (\(E \approx 30 \, \text{GPa}\), \(\alpha \approx 10 \times 10^{-6} \, {^\circ\text{C}^{-1}}\)), quelle serait la contrainte de compression en MPa ?

Question 4 : Calculer la force de compression (\(F_{\text{th}}\)) et vérifier la sécurité

Principe (le concept physique)

La contrainte est une force répartie sur une surface. Pour trouver la force totale exercée par le rail sur les butées (et inversement), il suffit de multiplier la contrainte, que l'on suppose uniforme sur la section, par l'aire de cette section. La vérification de sécurité consiste ensuite à comparer la contrainte calculée à la résistance du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette étape est une application directe de la définition de la contrainte : \(\sigma = F/A\). En connaissant la contrainte et la géométrie (l'aire A), on peut remonter à l'effort interne global. C'est cet effort que les butées et leurs fondations doivent être capables de supporter sans rupture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce calcul permet de se rendre compte de l'ampleur des forces en jeu. Une contrainte de 100 MPa peut sembler abstraite, mais la force correspondante en tonnes est souvent très parlante et souligne l'importance de bien prendre en compte les effets thermiques.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification finale de la sécurité est l'aboutissement de tout calcul de structure selon les normes. On doit toujours vérifier que la contrainte de calcul (issue des charges) est inférieure ou égale à la résistance de calcul du matériau : \(\sigma_{\text{calcul}} \le \sigma_{\text{résistance}}\). La résistance de calcul inclut des coefficients de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La force est le produit de la contrainte par l'aire :

\[ F_{\text{th}} = |\sigma_{\text{th}}| \cdot A \]

La vérification de sécurité s'écrit :

\[ |\sigma_{\text{th}}| \le \sigma_e \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte de compression est uniformément répartie sur toute la section transversale du rail.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte thermique, \(\sigma_{\text{th}} = -100.8 \, \text{MPa}\)
  • Section, \(b=50 \, \text{mm}\), \(h=20 \, \text{mm}\)
  • Limite élastique, \(\sigma_e = 250 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

En travaillant avec des contraintes en MPa (qui est \(N/mm^2\)) et des dimensions en mm, l'aire sera en \(mm^2\). Le produit des deux donnera directement une force en Newtons (N), ce qui est très pratique. Pour convertir en KiloNewtons (kN), divisez par 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Force exercée sur les butées
F_th?F_th?Contrainte σ_th = -100.8 MPa
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer l'aire de la section :

\[ \begin{aligned} A &= b \cdot h \\ &= 50 \, \text{mm} \cdot 20 \, \text{mm} \\ &= 1000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calculer la force de compression :

\[ \begin{aligned} F_{\text{th}} &= |\sigma_{\text{th}}| \cdot A \\ &= (100.8 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1000 \, \text{mm}^2) \\ &= 100\ 800 \, \text{N} \\ &= 100.8 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérifier la sécurité :

\[ |\sigma_{\text{th}}| = 100.8 \, \text{MPa} \le \sigma_e = 250 \, \text{MPa} \Rightarrow \text{Vérifié} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité
|σ_th|=100.8Limite Élastique σ_e=250 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force générée par la dilatation thermique est de 100.8 kN, soit l'équivalent du poids d'une masse de plus de 10 tonnes ! C'est une force énorme qui justifie la nécessité de prévoir des joints de dilatation dans les grandes structures. La contrainte reste cependant inférieure à la limite élastique, donc le rail ne subira pas de déformation permanente. Il est en sécurité vis-à-vis de la résistance du matériau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de vérifier la sécurité. Calculer une contrainte n'est qu'une moitié du travail de l'ingénieur ; l'autre moitié est de la comparer à un critère de résistance admissible pour conclure sur la viabilité de la structure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force est le produit de la contrainte et de l'aire : \(F = \sigma \cdot A\).
  • Les forces thermiques peuvent atteindre des valeurs très élevées.
  • La vérification de la sécurité consiste à comparer la contrainte à la limite élastique : \(|\sigma_{\text{th}}| \le \sigma_e\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le béton précontraint utilise ce principe à l'envers. On tend des câbles d'acier à l'intérieur du béton. En se relâchant, les câbles se contractent et mettent le béton en compression. Cette pré-compression permet de compenser les futures contraintes de traction (auxquelles le béton résiste mal) qui apparaîtront sous l'effet des charges.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la contrainte dépassait la limite élastique ?

Si \(\sigma_{\text{th}}\) dépassait \(\sigma_e\), le rail commencerait à se déformer plastiquement. Il "s'écraserait" de manière permanente. Au refroidissement suivant, il serait alors plus court qu'à l'origine et pourrait même se rompre en traction si la température descendait très bas. C'est un scénario à éviter absolument.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La force de compression est de 100.8 kN. La contrainte de 100.8 MPa est inférieure à la limite élastique de 250 MPa, la structure est donc sûre.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'aire de la section (en mm²) minimale requise pour que la force de compression ne dépasse pas 80 kN ?

Outil Interactif : Paramètres des Contraintes Thermiques

Modifiez les paramètres pour visualiser leur influence sur la contrainte thermique.

Paramètres d'Entrée
50 °C
12 x10⁻⁶ /°C
210 GPa
Résultats Clés
Variation de Température \(\Delta T\) (°C) -
Contrainte Thermique \(\sigma_{th}\) (MPa) -
Statut de Sécurité (vs 250 MPa) -

Le Saviez-Vous ?

L'Invar, un alliage de fer et de nickel, a un coefficient de dilatation thermique extrêmement faible. Il a été découvert par le physicien suisse Charles-Édouard Guillaume, ce qui lui a valu le prix Nobel de physique en 1920. L'Invar est utilisé pour fabriquer des instruments de mesure de précision (géomètres, horlogerie) qui ne doivent pas être affectés par les variations de température.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le flambement des rails est-il un problème en été ?

Lorsque la contrainte de compression dans un élément long et mince atteint une valeur critique, celui-ci peut perdre sa stabilité de forme et flamber (se déformer brutalement latéralement). La forte contrainte de compression thermique calculée ici, si elle atteint la charge critique d'Euler pour le rail, peut provoquer ce phénomène de flambement, ce qui est extrêmement dangereux pour la circulation ferroviaire.

Comment gère-t-on ce problème pour les "longs rails soudés" ?

Les voies modernes sont souvent constituées de longs rails soudés (LRS) sans joints de dilatation. Pour éviter le flambement, ils sont posés et fixés à une "température de neutralisation" moyenne. En été, ils sont en compression et en hiver en traction, mais le ballast et les fixations sont conçus pour reprendre ces efforts et empêcher le déplacement latéral.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un élément bloqué se refroidit. Quelle type de contrainte apparaît ?

2. Pour une même variation de température, quelle barre subira la plus grande contrainte thermique ?

Contrainte Thermique
Contrainte mécanique interne à un matériau, générée par une variation de température lorsque la dilatation ou la contraction est empêchée.
Coefficient de Dilatation Thermique (\(\alpha\))
Propriété d'un matériau qui décrit sa variation de taille relative par degré de changement de température. Unité : K⁻¹ ou °C⁻¹.
Loi de Hooke
Principe de la physique qui stipule que, pour des déformations élastiques, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation.
Calcul des Contraintes Thermiques

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