EGC

Calcul de l’Énergie de Déformation

Calcul de l’Énergie de Déformation en Résistance des Matériaux

Calcul de l’Énergie de Déformation dans un Treillis

Contexte : L'énergie cachée dans les structures.

Lorsqu'une structure se déforme sous l'effet d'une charge, elle emmagasine de l'énergie, un peu comme un ressort que l'on comprime. Cette énergie de déformationÉnergie potentielle emmagasinée par un corps élastique lorsqu'il est déformé. Elle est égale au travail effectué par les forces extérieures pour provoquer cette déformation. est un concept fondamental en Résistance des Matériaux. Elle permet non seulement de comprendre la capacité d'une structure à absorber des chocs, mais aussi de développer des méthodes de calcul puissantes pour déterminer les déplacements et les réactions dans des systèmes complexes, là où les méthodes classiques de la statique atteignent leurs limites.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance des méthodes énergétiques. Nous allons d'abord calculer les efforts dans une structure simple par la statique, puis calculer l'énergie qu'elle stocke. Enfin, nous utiliserons cette énergie pour trouver un déplacement, démontrant ainsi un outil d'ingénierie avancé (le théorème de Castigliano) qui est particulièrement efficace pour les structures hyperstatiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la méthode des nœuds pour résoudre un treillis isostatique.
  • Calculer l'énergie de déformation axiale dans une barre.
  • Calculer l'énergie de déformation totale d'une structure en sommant les énergies de ses composants.
  • Appliquer le théorème de Castigliano pour déterminer le déplacement d'un nœud.
  • Comprendre le lien entre les efforts, la géométrie, le matériau et l'énergie stockée.

Données de l'étude

On considère le treillis en acier représenté ci-dessous, constitué de deux barres (1 et 2) articulées en A, B et C. Une force verticale \(P\) est appliquée au nœud C.

Schéma du système de treillis
A B (1) (2) C P 2 m 2,5 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Force appliquée \(P\) 20 \(\text{kN}\)
Module de Young (acier) \(E\) 210 \(\text{GPa}\)
Aire de la section des barres \(A\) 100 \(\text{mm}^2\)

Questions à traiter

  1. Déterminer les efforts normaux \(N_1\) et \(N_2\) dans les barres (1) et (2).
  2. Calculer l'énergie de déformation \(U_1\) et \(U_2\) emmagasinée dans chaque barre.
  3. Calculer l'énergie de déformation totale \(U_{\text{totale}}\) du système.
  4. En utilisant le théorème de Castigliano, déterminer le déplacement vertical du nœud C.

Les bases : Énergie de Déformation et Théorèmes Énergétiques

L'énergie de déformation est une autre façon de décrire le comportement d'une structure. Au lieu de se concentrer sur l'équilibre des forces, on s'intéresse au travail et à l'énergie.

1. Énergie de Déformation Axiale :
Pour une barre de longueur \(L\), de section d'aire \(A\) et de module de Young \(E\), soumise à un effort normal constant \(N\), l'énergie de déformation \(U\) qu'elle emmagasine est : \[ U = \frac{N^2 L}{2AE} \] Cette énergie est égale au travail de l'effort \(N\) sur l'allongement de la barre.

2. Théorème de Castigliano :
C'est un outil très puissant. Le second théorème de Castigliano stipule que le déplacement d'un point d'une structure, dans la direction d'une force ponctuelle \(P\) qui y est appliquée, est égal à la dérivée partielle de l'énergie de déformation totale de la structure par rapport à cette force \(P\). \[ \delta_P = \frac{\partial U_{\text{totale}}}{\partial P} \] Cela permet de calculer des déplacements complexes simplement en dérivant une expression d'énergie.

Correction : Calcul de l'Énergie de Déformation

Question 1 : Déterminer les efforts normaux \(N_1\) et \(N_2\)

Principe (le concept physique)

Avant de pouvoir calculer l'énergie, nous devons connaître les efforts internes dans chaque composant de la structure. Comme le système est un treillis (les barres ne sont sollicitées qu'en traction ou compression), nous devons trouver les efforts normaux \(N_1\) et \(N_2\). Pour cela, nous utilisons les principes de la statique en isolant le nœud C et en écrivant que la somme des forces qui s'y appliquent est nulle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La "méthode des nœuds" est une technique de base pour résoudre les treillis isostatiques. Elle consiste à considérer l'équilibre de chaque articulation (nœud) du treillis. En appliquant les équations d'équilibre statique (\(\sum F_x = 0\) et \(\sum F_y = 0\)) à chaque nœud, on peut déterminer les efforts inconnus dans les barres qui y sont connectées, en progressant d'un nœud à l'autre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape en RDM est presque toujours la statique ! Assurez-vous d'être à l'aise avec le calcul des réactions d'appui et des efforts internes. Une erreur ici se propage inévitablement à tous les calculs de déformation, de contrainte ou d'énergie. Prenez le temps de poser un schéma clair de l'équilibre du nœud.

Normes (la référence réglementaire)

Les principes de la statique sont les fondations de toutes les normes de calcul de structures, comme les Eurocodes. La détermination correcte des efforts internes à partir des charges externes est la première étape de toute vérification réglementaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équations d'équilibre du nœud C :

\[ \sum F_x = 0 \quad \text{et} \quad \sum F_y = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les articulations sont parfaites (rotules sans frottement), que les barres ont un poids négligeable devant la charge appliquée, et que les charges sont appliquées uniquement aux nœuds.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force appliquée, \(P = 20 \, \text{kN} = 20000 \, \text{N}\)
  • Géométrie : nous devons d'abord calculer les angles et les longueurs des barres.
Astuces(Pour aller plus vite)

Par symétrie de la géométrie (même si les appuis ne sont pas au même niveau), on peut deviner que l'effort vertical sera réparti. Cependant, il est plus sûr de toujours faire le calcul complet. Le plus important est de définir correctement les angles que font les barres avec l'horizontale ou la verticale.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre du Nœud C
CPN₁N₂α
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la géométrie (angle \(\alpha\) et longueurs \(L_1, L_2\)):

\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{1 \, \text{m}}{2.5 \, \text{m}} = 0.4 \\ \alpha &= \arctan(0.4) \approx 21.8^\circ \\ L_1 = L_2 &= \sqrt{(1 \, \text{m})^2 + (2.5 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{1 + 6.25} \, \text{m} \\ &= \sqrt{7.25} \, \text{m} \approx 2.69 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Équilibre du nœud C (on suppose les barres tendues) :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow -N_1 \sin(\alpha) - N_2 \sin(\alpha) - P = 0 \\ \sum F_x = 0 &\Rightarrow -N_1 \cos(\alpha) + N_2 \cos(\alpha) = 0 \end{aligned} \]

De \(\sum F_x = 0\), on tire \(N_1 = N_2\). En reportant dans \(\sum F_y = 0\):

\[ \begin{aligned} -2 N_1 \sin(\alpha) &= P \\ N_1 &= -\frac{P}{2 \sin(\alpha)} \\ &= -\frac{20000 \, \text{N}}{2 \sin(21.8^\circ)} \\ &\approx -26926 \, \text{N} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que les barres sont en compression.

\[ N_1 = N_2 = -26926 \, \text{N} \, (\text{Compression}) \]
Schéma (Après les calculs)
Efforts dans les barres
C26.9 kNC26.9 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux barres sont en compression, ce qui est logique car elles supportent la charge P qui "pousse" sur le nœud C. L'effort dans les barres est supérieur à la charge appliquée car elles travaillent avec un angle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe dans les projections des forces ou une erreur de trigonométrie. Définissez toujours clairement votre repère (axes x et y) et l'angle que vous utilisez. Un signe incorrect change une traction en compression, ce qui est une erreur majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La méthode des nœuds repose sur l'équilibre statique \(\sum \vec{F} = \vec{0}\).
  • Il faut d'abord résoudre la géométrie (angles, longueurs).
  • Le signe de l'effort est crucial : positif pour la traction, négatif pour la compression.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les structures en treillis sont extrêmement efficaces car leurs membres travaillent idéalement en traction/compression pure, ce qui est le mode de sollicitation le plus efficace pour utiliser la matière. C'est pourquoi on les retrouve partout : ponts, pylônes électriques, grues, charpentes...

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la structure était hyperstatique ?

Si nous avions une troisième barre, par exemple, la méthode des nœuds seule ne suffirait plus car il y aurait plus d'inconnues que d'équations. C'est précisément dans ce cas que les méthodes énergétiques, comme celle que nous allons utiliser à la question 4, deviennent indispensables.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les efforts normaux sont \(N_1 = N_2 \approx -26.9 \, \text{kN}\) (Compression).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P était de 10 kN, quel serait l'effort normal \(N_1\) en kN (garder le signe) ?

Question 2 : Calculer l'énergie de déformation \(U_1\) et \(U_2\)

Principe (le concept physique)

Chaque barre, en se comprimant sous l'effet de l'effort normal, stocke de l'énergie potentielle élastique. Cette énergie est proportionnelle au carré de l'effort et à la longueur de la barre, et inversement proportionnelle à sa rigidité axiale (le produit \(AE\)). Nous allons appliquer la formule pour chaque barre en utilisant les efforts calculés précédemment.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie de déformation peut être vue comme l'aire sous la courbe Force-Déplacement. Pour un matériau élastique linéaire, cette courbe est une droite. L'aire du triangle est donc \(\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} N \cdot \Delta L\). En remplaçant \(\Delta L\) par son expression \(\frac{NL}{AE}\), on retrouve la formule \(U = \frac{N^2 L}{2AE}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un arc que l'on bande : on fournit un travail pour le déformer, et il stocke cette énergie. Quand on lâche la corde, l'énergie est libérée. C'est la même chose pour une structure : la charge P fournit du travail, et les barres stockent cette énergie. L'énergie est toujours une quantité positive, d'où la présence du carré sur l'effort N, qui annule le signe de la compression.

Normes (la référence réglementaire)

La capacité d'absorption d'énergie est une propriété cruciale définie dans les normes pour les applications liées aux chocs (sécurité automobile, structures parasismiques). Les matériaux et les structures sont conçus pour dissiper ou emmagasiner un maximum d'énergie avant la rupture.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Énergie de déformation pour une barre sous effort normal \(N\):

\[ U = \frac{N^2 L}{2AE} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau reste dans son domaine élastique linéaire (loi de Hooke). On suppose également que l'effort N est constant sur toute la longueur de la barre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Efforts normaux, \(N_1 = N_2 = -26926 \, \text{N}\)
  • Longueur des barres, \(L_1 = L_2 \approx 2.69 \, \text{m} = 2690 \, \text{mm}\)
  • Aire de la section, \(A = 100 \, \text{mm}^2\)
  • Module de Young, \(E = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Comme les deux barres ont les mêmes caractéristiques (L, A, E) et subissent le même effort (N), leur énergie de déformation sera identique. Il suffit de faire le calcul pour une barre, \(U_1 = U_2\).

Schéma (Avant les calculs)
Énergie stockée dans un ressort
→ FU = ½ kx²
Calcul(s) (l'application numérique)

Calculons \(U_1\). Il est essentiel d'utiliser des unités cohérentes (N, mm, MPa).

\[ \begin{aligned} U_1 &= \frac{N_1^2 L_1}{2AE} \\ &= \frac{(-26926 \, \text{N})^2 \cdot (2690 \, \text{mm})}{2 \cdot (100 \, \text{mm}^2) \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{(7.25 \times 10^8) \cdot 2690}{4.2 \times 10^7} \, \frac{\text{N}^2 \cdot \text{mm}}{\text{mm}^2 \cdot \text{N/mm}^2} \\ &\approx 46428 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 46.43 \, \text{J} \end{aligned} \]

Puisque \(N_1=N_2\) et \(L_1=L_2\), alors :

\[ U_2 = U_1 \approx 46.43 \, \text{J} \]
Schéma (Après les calculs)
Énergie stockée dans le treillis
U₁ = 46.4JU₂ = 46.4J
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque barre stocke environ 46.4 Joules d'énergie. Cette valeur représente le travail que la force extérieure a fourni pour déformer la barre. Si la charge était retirée brusquement, cette énergie serait restituée sous forme d'oscillations.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Vérifiez scrupuleusement les unités. L'erreur la plus fréquente est de mélanger des GPa avec des N et des mm. Convertissez tout dans un système cohérent. De plus, n'oubliez pas le carré sur l'effort \(N\). L'énergie n'est pas linéaire avec la charge.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'énergie de déformation axiale est donnée par \(U = N^2L / (2AE)\).
  • Elle est toujours positive, que la barre soit en traction ou en compression.
  • Elle dépend quadratiquement de l'effort N.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de "résilience" d'un matériau est directement liée à l'énergie. C'est la capacité d'un matériau à absorber de l'énergie en se déformant élastiquement et à la restituer. Elle est mesurée par l'aire sous la partie élastique de la courbe contrainte-déformation.

FAQ (pour lever les doutes)
Une barre comprimée stocke-t-elle la même énergie qu'une barre tendue avec le même effort ?

Oui. Pour un même effort en valeur absolue \(|N|\) et les mêmes caractéristiques (L, A, E), l'énergie stockée est identique. La formule contient \(N^2\), donc le signe de l'effort n'a pas d'importance pour le calcul de l'énergie.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'énergie de déformation dans chaque barre est \(U_1 = U_2 \approx 46.43 \, \text{J}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les barres étaient en aluminium (E ≈ 70 GPa), quelle serait l'énergie stockée dans une barre (en J) ?

Question 3 : Calculer l'énergie de déformation totale \(U_{\text{totale}}\)

Principe (le concept physique)

L'énergie de déformation totale d'une structure est simplement la somme des énergies de déformation de tous ses composants. Pour les structures élastiques, le principe de superposition s'applique à l'énergie. Il suffit d'additionner les énergies stockées par la barre (1) et la barre (2).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce principe de sommation est valable pour n'importe quelle structure composée de multiples éléments (poutres, barres, câbles...). L'énergie totale est la somme des énergies de déformation de chaque type de sollicitation : \(U_{\text{totale}} = \sum U_{\text{traction}} + \sum U_{\text{flexion}} + \sum U_{\text{torsion}} + \dots\). Dans le cas d'un treillis, seule la traction/compression est présente.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est souvent simple d'un point de vue calculatoire, mais elle est conceptuellement importante. Elle montre comment une propriété globale (l'énergie de la structure) est construite à partir des propriétés de ses parties. C'est un concept clé en ingénierie des systèmes.

Normes (la référence réglementaire)

Bien que ce soit un calcul de base, le concept d'énergie totale est fondamental pour les analyses dynamiques (vibrations, séismes) et les analyses non-linéaires avancées qui sont régies par les normes de calcul modernes.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ U_{\text{totale}} = \sum_{i} U_i = U_1 + U_2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'il n'y a pas d'interaction énergétique entre les barres autre que par les efforts transmis aux nœuds. C'est une conséquence de l'hypothèse des articulations parfaites.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(U_1 \approx 46.43 \, \text{J}\)
  • \(U_2 \approx 46.43 \, \text{J}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque \(U_1 = U_2\), le calcul est immédiat : \(U_{\text{totale}} = 2 \times U_1\). Toujours repérer les symétries pour simplifier les calculs !

Schéma (Avant les calculs)
Sommation des Énergies
U₁U₂+=?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} U_{\text{totale}} &= U_1 + U_2 \\ &= 46.43 \, \text{J} + 46.43 \, \text{J} \\ &= 92.86 \, \text{J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Énergie Totale du Système
U_totale = 92.86 J
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'ensemble du treillis stocke 92.86 Joules. Cette valeur globale caractérise la réponse énergétique de la structure à la charge P. C'est cette énergie totale que nous allons utiliser pour calculer le déplacement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de barre dans la sommation. Pour un treillis complexe, il est utile de créer un tableau récapitulatif des efforts, longueurs et énergies de chaque barre pour s'assurer que toutes ont été prises en compte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'énergie totale est la somme des énergies de chaque élément.
  • Ce principe de superposition est fondamental pour les méthodes énergétiques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La conservation de l'énergie stipule que le travail externe des forces appliquées est égal à l'énergie de déformation interne emmagasinée (dans le cas élastique et sans dissipation). C'est le premier théorème de Clapeyron, qui est à la base de toute la théorie énergétique des structures.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette énergie est-elle perdue ?

Dans un système parfaitement élastique, non. L'énergie est stockée et peut être entièrement restituée. Dans un système réel, une petite partie est toujours "perdue" ou dissipée sous forme de chaleur en raison de micro-frottements internes au matériau (ce qu'on appelle l'hystérésis).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'énergie de déformation totale du système est d'environ 92.86 J.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la structure avait 3 barres identiques subissant le même effort, quelle serait l'énergie totale (en J) ?

Question 4 : Déterminer le déplacement vertical du nœud C

Principe (le concept physique)

Le théorème de Castigliano établit un lien direct entre l'énergie de déformation et les déplacements. Il énonce que le déplacement d'un point dans la direction d'une force est la "sensibilité" de l'énergie totale par rapport à cette force. En calculant comment l'énergie \(U_{\text{totale}}\) change lorsqu'on fait varier un tout petit peu la force \(P\), on trouve directement le déplacement du point C sous l'effet de \(P\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour appliquer le théorème, il faut exprimer l'énergie totale en fonction de la force \(P\) (et non de sa valeur numérique). On dérive ensuite cette expression par rapport à \(P\). La formule à dériver est : \( \frac{\partial}{\partial P} \left( \sum \frac{N_i(P)^2 L_i}{2A_iE_i} \right) = \sum \frac{N_i(P) L_i}{A_iE_i} \frac{\partial N_i}{\partial P} \). Le terme \(\frac{\partial N_i}{\partial P}\) représente comment l'effort dans la barre \(i\) change quand \(P\) change.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que la magie des méthodes énergétiques opère ! Au lieu de jongler avec la géométrie des déformations (allongements des barres et rotations), on effectue une simple dérivation mathématique sur une fonction d'énergie. Pour les structures complexes, cette méthode est souvent beaucoup plus rapide et moins sujette à erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes énergétiques sont à la base des méthodes de calcul par éléments finis, utilisées par tous les logiciels de calcul de structure modernes. Les algorithmes de ces logiciels résolvent les problèmes en minimisant une fonctionnelle d'énergie, une approche directement issue de ces théorèmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \delta_{\text{C,v}} = \frac{\partial U_{\text{totale}}}{\partial P} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la structure a un comportement élastique linéaire et que les déplacements sont suffisamment faibles pour ne pas modifier significativement la géométrie (théorie du premier ordre).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • L'expression de l'énergie totale en fonction de P : \(U_{\text{totale}}(P) = \frac{P^2 L}{4AE \sin^2(\alpha)}\)
  • Toutes les valeurs numériques (P, L, A, E, \(\alpha\))
Astuces(Pour aller plus vite)

Le travail externe de la force P est \(W_{\text{ext}} = \frac{1}{2} P \delta\). Par conservation de l'énergie, \(W_{\text{ext}} = U_{\text{int}}\). Donc \(\frac{1}{2} P \delta = U_{\text{totale}}\). On peut isoler \(\delta = \frac{2 U_{\text{totale}}}{P}\). C'est un moyen rapide de vérifier le résultat sans faire la dérivation (cela ne fonctionne que pour une seule force appliquée à partir de zéro).

Schéma (Avant les calculs)
Relation Énergie-Déplacement
U(P)Pente = δ
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Exprimer les efforts \(N_i\) en fonction de \(P\):

\[ N_1(P) = N_2(P) = -\frac{P}{2 \sin(\alpha)} \]

2. L'énergie totale est :

\[ \begin{aligned} U_{\text{totale}}(P) &= \frac{N_1^2 L_1}{2AE} + \frac{N_2^2 L_2}{2AE} \\ &= 2 \cdot \frac{\left(-\frac{P}{2 \sin(\alpha)}\right)^2 L}{2AE} \\ &= \frac{P^2 L}{4AE \sin^2(\alpha)} \end{aligned} \]

3. Dériver par rapport à \(P\):

\[ \begin{aligned} \delta_{\text{C,v}} &= \frac{\partial U_{\text{totale}}}{\partial P} \\ &= \frac{2P \cdot L}{4AE \sin^2(\alpha)} \\ &= \frac{P L}{2AE \sin^2(\alpha)} \end{aligned} \]

4. Application numérique (avec les unités N, mm) :

\[ \begin{aligned} \delta_{\text{C,v}} &= \frac{(20000 \, \text{N}) \cdot (2690 \, \text{mm})}{2 \cdot (100 \, \text{mm}^2) \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot \sin^2(21.8^\circ)} \\ &= \frac{5.38 \times 10^7}{4.2 \times 10^7 \cdot (0.137)} \, \text{mm} \\ &\approx 9.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Déplacement du Nœud C
δ = 9.33 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nœud C se déplace vers le bas de 9.33 mm. Ce résultat est cohérent : la structure s'affaisse sous la charge. Le calcul énergétique nous a permis d'obtenir ce déplacement sans avoir à calculer l'allongement de chaque barre puis de faire une composition géométrique compliquée (épure de Williot).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de remplacer \(P\) par sa valeur numérique *avant* de dériver. Il est impératif de garder \(P\) comme une variable littérale tout au long du calcul de l'énergie et de la dérivation. On ne remplace par les valeurs numériques qu'à la toute dernière étape.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le théorème de Castigliano relie l'énergie au déplacement par une simple dérivation.
  • Il faut exprimer l'énergie totale en fonction de la charge \(P\) avant de dériver.
  • C'est une méthode extrêmement puissante pour les calculs de déplacement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe un autre théorème énergétique, le théorème de Ménabréa, très similaire. Tandis que Castigliano dérive l'énergie par rapport à une force pour trouver un déplacement, Ménabréa dérive l'énergie par rapport à une réaction hyperstatique pour trouver une équation de compatibilité (souvent un déplacement nul), ce qui permet de résoudre les systèmes hyperstatiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Peut-on calculer un déplacement horizontal avec cette méthode ?

Oui. Pour trouver le déplacement horizontal du nœud C, on ajouterait une force horizontale fictive \(Q\) au nœud C. On calculerait l'énergie totale \(U(P, Q)\), on la dériverait par rapport à \(Q\), puis on ferait \(Q=0\) dans le résultat final. Dans notre cas, par symétrie, ce déplacement serait nul.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le déplacement vertical du nœud C est d'environ 9.33 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Le travail de la force extérieure est \(W = \frac{1}{2} P \delta\). Vérifiez que ce travail est bien égal à l'énergie totale stockée \(U_{\text{totale}}\) (calculer W en Joules).

Outil Interactif : Énergie et Rigidité

Modifiez la section des barres et observez comment l'énergie stockée et le déplacement du nœud C évoluent.

Paramètres d'Entrée
100 mm²
Résultats Clés
Énergie Totale (J) -
Déplacement de C (mm) -

Le Saviez-Vous ?

L'ingénieur italien Alberto Castigliano (1847-1884) a formulé ses célèbres théorèmes sur l'énergie de déformation dans sa thèse de fin d'études en 1873. Ses travaux ont fourni une méthode alternative et incroyablement élégante à la résolution de structures complexes, en particulier les systèmes hyperstatiques. Il est mort prématurément de pneumonie à seulement 36 ans.

Le théorème de Castigliano fonctionne-t-il pour la flexion ou la torsion ?

Oui, absolument. Le principe est général. Il suffit de remplacer l'expression de l'énergie de déformation. Pour la flexion, on utilise \(U = \int \frac{M(x)^2}{2EI} dx\), et pour la torsion \(U = \int \frac{T(x)^2}{2GJ} dx\). On peut même sommer ces énergies pour des structures soumises à des sollicitations multiples.

Que se passe-t-il si on veut le déplacement en un point où il n'y a pas de force ?

C'est une astuce classique : on ajoute une force "fictive" \(Q\) (une variable) au point et dans la direction souhaitée. On mène tout le calcul de l'énergie en fonction de \(P\) et de \(Q\). On dérive par rapport à \(Q\), et *après* la dérivation, on fait \(Q=0\) dans l'expression finale. Cela donne le déplacement au point désiré.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la force P appliquée au treillis, l'énergie de déformation totale est...

2. Pour rendre la structure plus rigide (c'est-à-dire diminuer le déplacement de C), il est plus efficace de...

Énergie de déformation
Énergie potentielle emmagasinée par un corps élastique lorsqu'il est déformé. Elle est égale au travail effectué par les forces extérieures pour provoquer cette déformation.
Théorème de Castigliano
Théorème de la mécanique des structures qui établit que le déplacement d'un point est la dérivée partielle de l'énergie de déformation par rapport à la force appliquée en ce point.
Treillis (ou Système Réticulé)
Structure composée de barres droites connectées à leurs extrémités par des articulations, formant un ou plusieurs triangles. Les barres sont supposées ne travailler qu'en traction ou en compression.
Calcul de l’Énergie de Déformation dans un Treillis

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