Études de cas pratique

EGC

Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux en Thermodynamique

Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Comprendre les Mélanges de Gaz Idéaux

De nombreux systèmes en ingénierie et en sciences impliquent des mélanges de gaz. Lorsque ces gaz peuvent être considérés comme idéaux (c'est-à-dire que les interactions intermoléculaires sont négligeables et le volume propre des molécules est petit par rapport au volume total), leur comportement peut être décrit par des lois simples. La loi de Dalton des pressions partielles stipule que la pression totale exercée par un mélange de gaz idéaux est égale à la somme des pressions partielles que chaque gaz exercerait s'il occupait seul le volume total à la même température. La pression partielle d'un gaz dans un mélange est proportionnelle à sa fraction molaire. Ces concepts sont essentiels pour analyser la composition et les propriétés des mélanges gazeux.

Données de l'étude

Deux récipients séparés contiennent respectivement du diazote (\(\text{N}_2\)) et du dioxygène (\(\text{O}_2\)), considérés comme des gaz parfaits.

Conditions initiales (avant mélange) :

  • Gaz A (Diazote, \(\text{N}_2\)) :
    • Nombre de moles (\(n_A\)) : \(2.0 \, \text{mol}\)
    • Volume (\(V_A\)) : \(0.05 \, \text{m}^3\)
    • Température (\(T_A\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Gaz B (Dioxygène, \(\text{O}_2\)) :
    • Nombre de moles (\(n_B\)) : \(3.0 \, \text{mol}\)
    • Volume (\(V_B\)) : \(0.08 \, \text{m}^3\)
    • Température (\(T_B\)) : \(300 \, \text{K}\)

Les deux gaz sont ensuite mélangés dans un troisième récipient de volume total \(V_{\text{total}} = 0.10 \, \text{m}^3\). La température du mélange est maintenue à \(T_{\text{mélange}} = 300 \, \text{K}\).

Constante :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Schéma : Mélange de Gaz Idéaux
Gaz A (N2) nA, VA, TA

État Initial A

Gaz B (O2) nB, VB, TB

État Initial B

Mélange (N2 + O2) ntotal, Vtotal, Tmélange

État Final (Mélange)

Illustration du mélange de deux gaz initialement séparés.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression initiale du gaz A (\(P_A\)) et du gaz B (\(P_B\)) dans leurs récipients respectifs avant le mélange.
  2. Calculer le nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\)) dans le mélange.
  3. Calculer la fraction molaire de chaque gaz (\(x_A\) et \(x_B\)) dans le mélange. Vérifier que la somme des fractions molaires est égale à 1.
  4. Calculer la pression partielle de chaque gaz (\(p_A\) et \(p_B\)) dans le mélange final.
  5. Calculer la pression totale (\(P_{\text{total}}\)) du mélange gazeux.
  6. Vérifier la loi de Dalton : la pression totale est-elle égale à la somme des pressions partielles ?

Correction : Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux

Question 1 : Pressions Initiales (\(P_A, P_B\))

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits \(PV = nRT\) pour chaque gaz initialement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = \frac{nRT}{V}\]
Données spécifiques :
  • Gaz A : \(n_A = 2.0 \, \text{mol}\), \(V_A = 0.05 \, \text{m}^3\), \(T_A = 300 \, \text{K}\)
  • Gaz B : \(n_B = 3.0 \, \text{mol}\), \(V_B = 0.08 \, \text{m}^3\), \(T_B = 300 \, \text{K}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calculs :

Pour le Gaz A :

\[ \begin{aligned} P_A &= \frac{2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= 99768 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pour le Gaz B :

\[ \begin{aligned} P_B &= \frac{3.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.08 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{7482.6 \, \text{J}}{0.08 \, \text{m}^3} \\ &= 93532.5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Pression initiale du Gaz A : \(P_A \approx 99768 \, \text{Pa}\) (ou \(99.77 \, \text{kPa}\))
  • Pression initiale du Gaz B : \(P_B \approx 93533 \, \text{Pa}\) (ou \(93.53 \, \text{kPa}\))

Question 2 : Nombre Total de Moles (\(n_{\text{total}}\))

Principe :

Le nombre total de moles dans le mélange est la somme du nombre de moles de chaque gaz.

Formule(s) utilisée(s) :
\[n_{\text{total}} = n_A + n_B\]
Données spécifiques :
  • \(n_A = 2.0 \, \text{mol}\)
  • \(n_B = 3.0 \, \text{mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n_{\text{total}} &= 2.0 \, \text{mol} + 3.0 \, \text{mol} \\ &= 5.0 \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le nombre total de moles dans le mélange est \(n_{\text{total}} = 5.0 \, \text{mol}\).

Question 3 : Fractions Molaires (\(x_A, x_B\))

Principe :

La fraction molaire d'un constituant dans un mélange est le rapport du nombre de moles de ce constituant au nombre total de moles du mélange.

Formule(s) utilisée(s) :
\[x_i = \frac{n_i}{n_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(n_A = 2.0 \, \text{mol}\)
  • \(n_B = 3.0 \, \text{mol}\)
  • \(n_{\text{total}} = 5.0 \, \text{mol}\)
Calculs :

Fraction molaire du Gaz A :

\[ \begin{aligned} x_A &= \frac{n_A}{n_{\text{total}}} \\ &= \frac{2.0 \, \text{mol}}{5.0 \, \text{mol}} \\ &= 0.4 \end{aligned} \]

Fraction molaire du Gaz B :

\[ \begin{aligned} x_B &= \frac{n_B}{n_{\text{total}}} \\ &= \frac{3.0 \, \text{mol}}{5.0 \, \text{mol}} \\ &= 0.6 \end{aligned} \]

Vérification : \(x_A + x_B = 0.4 + 0.6 = 1.0\). La somme est bien égale à 1.

Résultat Question 3 :
  • Fraction molaire du Gaz A : \(x_A = 0.4\)
  • Fraction molaire du Gaz B : \(x_B = 0.6\)

Question 4 : Pressions Partielles (\(p_A, p_B\))

Principe :

La pression partielle d'un gaz idéal dans un mélange est la pression qu'il exercerait s'il occupait seul le volume total du mélange à la même température. On peut la calculer en utilisant la loi des gaz parfaits pour chaque constituant dans le volume total, ou via la loi de Dalton si la pression totale est connue (\(p_i = x_i P_{\text{total}}\)). Ici, nous utiliserons la première approche.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p_i = \frac{n_i R T_{\text{mélange}}}{V_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(n_A = 2.0 \, \text{mol}\), \(n_B = 3.0 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_{\text{mélange}} = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_{\text{total}} = 0.10 \, \text{m}^3\)
Calculs :

Pression partielle du Gaz A :

\[ \begin{aligned} p_A &= \frac{2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= 49884 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Pression partielle du Gaz B :

\[ \begin{aligned} p_B &= \frac{3.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{7482.6 \, \text{J}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= 74826 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Pression partielle du Gaz A : \(p_A \approx 49884 \, \text{Pa}\) (ou \(49.88 \, \text{kPa}\))
  • Pression partielle du Gaz B : \(p_B \approx 74826 \, \text{Pa}\) (ou \(74.83 \, \text{kPa}\))

Quiz Intermédiaire 1 : La pression partielle d'un gaz dans un mélange idéal dépend de :

Question 5 : Pression Totale (\(P_{\text{total}}\)) du Mélange

Principe :

La pression totale du mélange peut être calculée en utilisant la loi des gaz parfaits avec le nombre total de moles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{total}} = \frac{n_{\text{total}} R T_{\text{mélange}}}{V_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(n_{\text{total}} = 5.0 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_{\text{mélange}} = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_{\text{total}} = 0.10 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{total}} &= \frac{5.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{12471 \, \text{J}}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= 124710 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{total}} = 124.71 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 5 : La pression totale du mélange gazeux est \(P_{\text{total}} \approx 124710 \, \text{Pa}\) (ou \(124.71 \, \text{kPa}\)).

Question 6 : Vérification de la Loi de Dalton

Principe :

La loi de Dalton stipule que la pression totale d'un mélange de gaz idéaux est la somme des pressions partielles de chaque constituant : \(P_{\text{total}} = \sum p_i\). On vérifie également si \(p_i = x_i P_{\text{total}}\).

Données spécifiques (résultats précédents) :
  • \(p_A \approx 49884 \, \text{Pa}\)
  • \(p_B \approx 74826 \, \text{Pa}\)
  • \(P_{\text{total}} \approx 124710 \, \text{Pa}\)
  • \(x_A = 0.4\), \(x_B = 0.6\)
Vérification :

Somme des pressions partielles :

\[ \begin{aligned} p_A + p_B &= 49884 \, \text{Pa} + 74826 \, \text{Pa} \\ &= 124710 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Cette somme est égale à la \(P_{\text{total}}\) calculée précédemment. La loi de Dalton est vérifiée.

Vérification \(p_i = x_i P_{\text{total}}\) :

\[ \begin{aligned} x_A \cdot P_{\text{total}} &= 0.4 \times 124710 \, \text{Pa} \\ &= 49884 \, \text{Pa} \quad (= p_A) \\ x_B \cdot P_{\text{total}} &= 0.6 \times 124710 \, \text{Pa} \\ &= 74826 \, \text{Pa} \quad (= p_B) \end{aligned} \]

Les relations sont également vérifiées.

Résultat Question 6 : La loi de Dalton est vérifiée : la somme des pressions partielles (\(49884 \, \text{Pa} + 74826 \, \text{Pa} = 124710 \, \text{Pa}\)) est égale à la pression totale calculée (\(124710 \, \text{Pa}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si on ajoute un troisième gaz C à un mélange binaire (A+B) de gaz idéaux, à volume et température constants, la pression partielle du gaz A :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Dalton stipule que la pression totale d'un mélange de gaz idéaux est :

2. La fraction molaire d'un gaz dans un mélange est :

3. Si la température d'un mélange de gaz idéaux à volume constant augmente, la pression totale du mélange :

Glossaire

Gaz Parfait (ou Idéal)
Gaz théorique dont les molécules sont supposées ponctuelles et sans interactions mutuelles, sauf lors de collisions élastiques. Son comportement est décrit par l'équation d'état \(PV = nRT\).
Pression Partielle (\(p_i\))
Pression qu'exercerait un constituant gazeux d'un mélange s'il occupait seul le volume total du mélange, à la même température.
Loi de Dalton des Pressions Partielles
La pression totale exercée par un mélange de gaz idéaux est égale à la somme des pressions partielles de chaque gaz constituant le mélange (\(P_{\text{total}} = \sum p_i\)).
Fraction Molaire (\(x_i\))
Rapport entre le nombre de moles d'un constituant (\(n_i\)) et le nombre total de moles (\(n_{\text{total}}\)) dans le mélange : \(x_i = n_i / n_{\text{total}}\). La somme des fractions molaires de tous les constituants d'un mélange est égale à 1.
Constante des Gaz Parfaits (\(R\))
Constante universelle apparaissant dans l'équation d'état des gaz parfaits. Sa valeur est approximativement \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\).
Calcul d’un Mélange de Gaz Idéaux - Exercice d'Application

D’autres exercices de Thermodynamique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *