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Système de Pompage pour l’Eau Potable

Exercice : Système de Pompage pour l'Eau Potable

Calcul d'un Système de Pompage pour l'Eau Potable

Contexte : Le système de pompageEnsemble des équipements (pompe, tuyauterie, vannes) servant à déplacer un fluide d'un point à un autre. est au cœur de l'adduction en eau potable.

Une commune doit alimenter un nouveau réservoir d'eau potable situé sur une colline à partir d'un forage. Votre mission est de dimensionner la pompe nécessaire pour assurer le transfert de l'eau. Cela implique de calculer l'énergie que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la différence d'altitude et les frottements dans la conduite. Nous utiliserons les principes de l'hydraulique en charge pour déterminer la Hauteur Manométrique TotaleÉnergie totale que la pompe doit fournir au fluide, exprimée en mètres de colonne d'eau. C'est le critère principal pour choisir une pompe. (HMT).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les équations fondamentales de la mécanique des fluides (Bernoulli, Darcy-Weisbach) à un cas d'ingénierie concret et essentiel pour la vie quotidienne.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement et le nombre de Reynolds.
  • Déterminer les pertes de charge linéaires et singulières dans une conduite.
  • Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise pour une installation.
  • Estimer la puissance hydraulique et électrique d'une pompe.

Données de l'étude

Le système est composé d'un forage, d'une pompe immergée, d'une longue conduite de refoulement et d'un réservoir de stockage en hauteur.

Schéma de l'Installation de Pompage
Sol Forage Niveau d'eau z_puits P Conduite de refoulement (L, D) Réservoir z_réservoir Δz
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit d'exploitation \(Q\) 90 \(\text{m}^3/\text{h}\)
Longueur de la conduite \(L\) 1200 \(\text{m}\)
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 200 \(\text{mm}\)
Matériau de la conduite Fonte, rugosité \(k = 0.26\) \(\text{mm}\) -
Dénivelé géométrique (\(z_{\text{réservoir}} - z_{\text{puits}}\)) \(\Delta z\) 55 \(\text{m}\)
Somme des coefficients de pertes singulières \(\sum K\) 3.35 -
Rendement de la pompe \(\eta\) 75 %

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement.
  3. Calculer le coefficient de perte de charge linéaire \(f\).
  4. Calculer les pertes de charge totales (linéaires + singulières).
  5. Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) de la pompe.
  6. Calculer la puissance électrique absorbée par la pompe.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur deux concepts majeurs de la mécanique des fluides.

1. Hauteur Manométrique Totale (HMT)
La HMT représente l'énergie totale que la pompe doit fournir à chaque unité de poids de fluide pour le transporter. Elle se décompose en trois parties : la hauteur géométrique, la différence de pression (nulle ici car les deux surfaces sont à l'air libre) et les pertes de charge totales. \[ HMT = (z_2 - z_1) + \frac{P_2 - P_1}{\rho g} + \Delta H_{\text{total}} \] Dans notre cas, cela se simplifie en : \[ HMT = \Delta z + \Delta H_{\text{total}} \]

2. Pertes de Charge (Équation de Darcy-Weisbach)
Les pertes de charge représentent l'énergie dissipée par frottement. On distingue les pertes linéaires (frottement sur la longueur de la conduite) et les pertes singulières (obstacles comme les coudes, vannes). \[ \Delta H_{\text{total}} = \Delta H_{\text{linéaire}} + \Delta H_{\text{singulière}} \] \[ \Delta H_{\text{linéaire}} = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \quad \text{et} \quad \Delta H_{\text{singulière}} = \left( \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]

Correction : Calcul d'un Système de Pompage pour l'Eau Potable

Question 1 : Calculer la vitesse de l'eau (\(v\))

Principe

La vitesse d'écoulement est le rapport entre le débit volumique (la quantité d'eau qui passe par seconde) et la section transversale de la conduite. C'est une mesure fondamentale de la rapidité à laquelle l'eau se déplace.

Mini-Cours

Ce calcul repose sur le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible comme l'eau. Le débit \(Q\) (volume par temps) est constant tout au long d'une conduite de section constante \(A\). La relation \(Q = v \times A\) est l'une des équations les plus fondamentales en hydraulique.

Remarque Pédagogique

Pensez toujours à la cohérence des unités. C'est l'erreur la plus fréquente. Le débit est souvent donné en m³/h pour des raisons pratiques, mais tous les calculs de mécanique des fluides se font avec les unités du Système International, donc en m³/s.

Normes

Les normes de conception des réseaux d'eau (comme la norme NF EN 805 en Europe) recommandent des vitesses d'écoulement généralement comprises entre 0.5 m/s et 2.0 m/s. En dessous, il y a un risque de sédimentation ; au-dessus, un risque d'érosion et de pertes de charge excessives.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q}{A} \]

Formule de la section circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons deux hypothèses simplificatrices :

  • L'écoulement est permanent : le débit ne varie pas dans le temps.
  • La vitesse est uniforme sur toute la section de la conduite (profil de vitesse "plat"). C'est une approximation acceptable pour les calculs d'ingénierie courants en régime turbulent.
Donnée(s)

Nous extrayons les chiffres de l'énoncé et les convertissons en unités du Système International.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit\(Q\)90 \(\text{m}^3/\text{h}\)\(\rightarrow\) 0.025 \(\text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre\(D\)200 \(\text{mm}\)\(\rightarrow\) 0.2 \(\text{m}\)
Astuces

Pour convertir rapidement des m³/h en m³/s, il suffit de diviser par 3600. C'est une conversion que vous ferez constamment en hydraulique, mémorisez-la !

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite
DSection A
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la section de la conduite (A)

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.2 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.04 \text{ m}^2}{4} \\ &= 0.0314 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la vitesse (v)

\[ \begin{aligned} v &= \frac{0.025 \text{ m}^3/\text{s}}{0.0314 \text{ m}^2} \\ &= 0.796 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de vitesse (simplifié)
vitesse
Réflexions

La vitesse de 0.80 m/s est une valeur très courante et acceptable pour un réseau d'eau potable. Elle se situe bien dans la plage recommandée par les normes, ce qui garantit un bon compromis entre la limitation des pertes de charge et la prévention des dépôts.

Points de vigilance

L'erreur la plus classique est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de la section, ou de ne pas le convertir en mètres. Une section calculée en mm² donnera un résultat de vitesse complètement erroné.

Points à retenir

Pour une conduite donnée, la vitesse est directement proportionnelle au débit. Si vous doublez le débit, vous doublez la vitesse. La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre : un petit changement de diamètre a un impact très important sur la vitesse.

Le saviez-vous ?

Le concept de débit et le principe de continuité ont été formalisés pour la première fois par Léonard de Vinci au XVe siècle. Il avait observé que pour un même débit, une rivière s'accélère dans les passages étroits et ralentit dans les zones larges.

FAQ
Pourquoi est-il important de contrôler la vitesse dans les tuyaux ?

Une vitesse trop faible (< 0.5 m/s) peut entraîner le dépôt de sédiments et le développement de biofilm. Une vitesse trop élevée (> 2.0 m/s) peut causer une érosion des parois, du bruit, des vibrations et des pertes d'énergie importantes (les "pertes de charge").

Résultat Final
La vitesse de l'eau dans la conduite est de 0.80 m/s.
A vous de jouer

Si, pour des raisons d'exploitation, le débit devait être doublé à 180 m³/h, quelle serait la nouvelle vitesse dans la même conduite ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Il compare l'importance des forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons) aux forces visqueuses (qui tendent à amortir les mouvements). Il nous dit si l'écoulement est lisse et ordonné (laminaire) ou chaotique et désordonné (turbulent).

Mini-Cours

L'étude des régimes d'écoulement a été menée par Osborne Reynolds en 1883. Il a montré qu'il existe trois régimes :
• Laminaire (Re < 2000) : Les filets de fluide s'écoulent en couches parallèles, sans se mélanger. Très rare dans les conduites d'eau potable.
• Transitoire (2000 < Re < 4000) : Régime instable, intermédiaire entre laminaire et turbulent.
• Turbulent (Re > 4000) : Mouvements chaotiques et tourbillonnaires. C'est le régime le plus courant en ingénierie hydraulique, il engendre des pertes de charge plus importantes.

Remarque Pédagogique

Ne vous laissez pas impressionner par la formule. Retenez simplement que le nombre de Reynolds augmente avec la vitesse et le diamètre, et diminue avec la viscosité. Dans la quasi-totalité des cas pratiques d'adduction d'eau, l'écoulement sera turbulent.

Normes

Il n'y a pas de "norme" pour le nombre de Reynolds, mais sa valeur est cruciale car elle détermine la méthode de calcul des pertes de charge. Les formules utilisées pour un écoulement laminaire ne sont pas du tout les mêmes que pour un écoulement turbulent.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{v D}{\nu} \]

Où \(\rho\) est la masse volumique, \(\mu\) la viscosité dynamique, et \(\nu = \mu/\rho\) la viscosité cinématique.

Hypothèses

Nous supposons que les propriétés du fluide (eau) sont constantes et uniformes. Nous choisissons des valeurs standards pour une température de 10°C, une température moyenne pour de l'eau provenant d'un forage.

Donnée(s)

On utilise la vitesse calculée précédemment et les propriétés physiques de l'eau.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique de l'eau\(\rho\)1000kg/m³
Viscosité dynamique de l'eau\(\mu\)1.30 \(\times\) 10⁻³Pa.s
Vitesse\(v\)0.796m/s
Diamètre\(D\)0.2m
Astuces

Si vous n'avez pas la viscosité dynamique (\(\mu\)) mais la viscosité cinématique (\(\nu\)), la formule est encore plus simple : \(Re = vD/\nu\). Pour l'eau à 10°C, \(\nu \approx 1.30 \times 10^{-6}\) m²/s.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
LaminaireTurbulent
Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1000 \text{ kg/m³} \times 0.796 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ m}}{1.30 \times 10^{-3} \text{ Pa.s}} \\ &= \frac{159.2}{0.0013} \\ &\approx 122462 \end{aligned} \]
Réflexions

La valeur de 122 462 est très supérieure au seuil de 4000. Cela confirme sans aucun doute que l'écoulement est turbulent. Cette information est capitale car elle nous oriente vers les bonnes formules pour la suite des calculs, notamment pour le coefficient de perte de charge.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont bien celles du Système International (kg, m, s). Une erreur sur la viscosité (par exemple, utiliser des Poises ou des Stokes sans convertir) est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir

Le nombre de Reynolds est le "juge de paix" qui décide du régime d'écoulement. Retenez les seuils : < 2000 pour laminaire, > 4000 pour turbulent. Pour l'eau dans des conduites de taille standard, attendez-vous presque toujours à un régime turbulent.

Le saviez-vous ?

Le nombre de Reynolds n'est pas seulement utilisé en hydraulique ! Il est fondamental en aérodynamique pour l'étude des ailes d'avion, en météorologie pour les courants atmosphériques, et même en biologie pour l'étude de la nage des micro-organismes.

FAQ
La température de l'eau a-t-elle un impact important ?

Oui, car elle influence la viscosité. Une eau plus chaude est moins visqueuse, ce qui, à vitesse et diamètre constants, augmente le nombre de Reynolds et favorise la turbulence. Cependant, pour l'eau, cette variation reste limitée dans les plages de température habituelles.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est d'environ 122 500. L'écoulement est turbulent.
A vous de jouer

Si on pompait de l'huile (viscosité \(\mu \approx 0.1\) Pa.s) à la même vitesse, le régime serait-il toujours turbulent ? Calculez le nouveau Re.

Question 3 : Calculer le coefficient de perte de charge linéaire (\(f\))

Principe

Le coefficient \(f\) (parfois noté \(\lambda\)) est un facteur de friction qui quantifie la résistance à l'écoulement due à la rugosité des parois de la conduite. Il n'est pas constant : il dépend de l'état de la surface interne du tuyau et du régime d'écoulement (le nombre de Reynolds).

Mini-Cours

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, le coefficient \(f\) est une fonction de deux nombres sans dimension : le nombre de Reynolds (\(Re\)) et la rugosité relative (\(k/D\)). Cette relation complexe est représentée graphiquement par le Diagramme de Moody. Mathématiquement, elle est décrite par l'équation de Colebrook-White, une formule implicite qui est la référence dans le domaine.

Remarque Pédagogique

L'équation de Colebrook-White est fastidieuse à résoudre car \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation. Pour un examen ou un calcul rapide, il est tout à fait acceptable et courant d'utiliser une approximation explicite comme celle de Haaland ou de Swamee-Jain. Le résultat sera très proche de la valeur exacte.

Normes

Les valeurs de rugosité absolue (\(k\)) pour différents matériaux sont tabulées dans les manuels de mécanique des fluides et les normes d'ingénierie. La valeur de 0.26 mm pour la fonte est une valeur standard pour une conduite ayant déjà servi. Une fonte neuve aurait une rugosité plus faible.

Formule(s)

Formule de Haaland (approximation)

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1.8 \log_{10}\left[ \left(\frac{k/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re} \right] \]
Hypothèses

Nous supposons que la rugosité \(k\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs de l'énoncé et les résultats des questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité absolue\(k\)0.26mm
Diamètre\(D\)200mm
Nombre de Reynolds\(Re\)122462-
Astuces

Sur le diagramme de Moody, on voit que pour des nombres de Reynolds très élevés, les courbes deviennent horizontales. Cela signifie que \(f\) ne dépend plus que de la rugosité relative. C'est le régime "pleinement turbulent rugueux".

Schéma (Avant les calculs)
Rugosité relative
CentreDk
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.26 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 0.0013 \end{aligned} \]

Étape 2 : Application de la formule de Haaland

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[ \left(\frac{0.0013}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{122462} \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[ (0.000351)^{1.11} + 0.000056 \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}\left[ 0.000106 + 0.000056 \right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}(0.000162) \\ &\approx 6.82 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de f

\[ \begin{aligned} \sqrt{f} &\approx \frac{1}{6.82} \\ &\approx 0.1466 \\ f &\approx (0.1466)^2 \\ &\approx 0.0215 \end{aligned} \]
Réflexions

Une valeur de \(f\) de 0.0215 est typique pour ce type de conduite et ce régime d'écoulement. C'est un petit nombre, mais son impact est amplifié par le rapport L/D qui est grand (1200 / 0.2 = 6000), ce qui rendra les pertes de charge linéaires significatives.

Points de vigilance

La rugosité relative \(k/D\) doit être calculée avec \(k\) et \(D\) dans la même unité (ici, les millimètres). Une erreur de conversion à ce stade faussera tout le calcul de \(f\).

Points à retenir

Le coefficient de perte de charge \(f\) n'est pas une constante du matériau. Il dépend du régime d'écoulement (Re) et de la rugosité relative (k/D). Sa détermination est une étape clé du calcul des pertes de charge.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a révolutionné l'hydraulique en permettant de trouver graphiquement le coefficient \(f\) sans calculs complexes. Même à l'ère des ordinateurs, il reste un outil pédagogique et de vérification inestimable.

FAQ
Pourquoi la rugosité d'une conduite en fonte augmente-t-elle avec le temps ?

Avec le temps, des phénomènes de corrosion et d'entartrage peuvent se produire à l'intérieur des conduites en fonte non revêtues. Des tubercules et des dépôts se forment, augmentant la rugosité de la paroi et donc les pertes de charge. C'est pourquoi on utilise souvent des valeurs de \(k\) "en service" plutôt que "neuves".

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) est de 0.0215.
A vous de jouer

Si la conduite était en PVC (rugosité \(k \approx 0.0015\) mm), quelle serait la nouvelle valeur de \(f\) (toutes choses égales par ailleurs) ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge totales (\(\Delta H_{\text{total}}\))

Principe

L'énergie totale perdue par le fluide à cause des frottements est la somme de deux composantes : l'énergie perdue sur toute la longueur de la conduite (pertes de charge linéaires) et celle perdue à cause des obstacles comme les coudes, les vannes ou les changements de section (pertes de charge singulières).

Mini-Cours

Les pertes de charge, qu'elles soient linéaires ou singulières, sont proportionnelles à l'énergie cinétique du fluide, représentée par le terme de hauteur dynamique \(v^2/2g\). L'équation de Darcy-Weisbach est la méthode universelle pour calculer les pertes linéaires, tandis que la méthode des coefficients K est utilisée pour les pertes singulières. On peut les regrouper en une seule formule pratique.

Remarque Pédagogique

Calculez toujours la hauteur dynamique \(v^2/2g\) en premier. C'est un terme qui reviendra dans le calcul des deux types de pertes de charge, le calculer une seule fois vous fera gagner du temps et réduira les risques d'erreur.

Normes

Les catalogues des fabricants de matériel hydraulique (vannes, coudes, tés, etc.) fournissent les coefficients de perte de charge singulière (K) pour chaque accessoire. La somme \(\sum K\) est obtenue en additionnant les coefficients de tous les éléments présents sur le tracé de la conduite.

Formule(s)

Formule des pertes de charge totales

\[ \Delta H_{\text{total}} = \Delta H_{\text{linéaire}} + \Delta H_{\text{singulière}} = \left( f \frac{L}{D} + \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

Nous considérons que la valeur de \(\sum K = 3.35\) fournie dans l'énoncé est une estimation fiable qui représente l'ensemble des singularités du réseau (clapet de pied, coudes, vanne, sortie de réservoir).

Donnée(s)

Nous rassemblons toutes les données nécessaires, calculées ou fournies.

ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de friction\(f\)0.0215-
Longueur\(L\)1200m
Diamètre\(D\)0.2m
Coefficients singuliers\(\sum K\)3.35-
Vitesse\(v\)0.796m/s
Accélération de la gravité\(g\)9.81m/s²
Astuces

Pour les très longues conduites comme celle-ci (L/D = 6000), les pertes de charge linéaires sont presque toujours prépondérantes. Les pertes singulières deviennent négligeables. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes des Pertes de Charge
Pertes Linéaires (f, L, D)Pertes Singulières (K)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la hauteur dynamique (\(v^2/2g\))

\[ \begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(0.796 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &= \frac{0.634}{19.62} \\ &\approx 0.0323 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul des pertes de charge linéaires

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{linéaire}} &= f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \\ &= 0.0215 \times \frac{1200}{0.2} \times 0.0323 \\ &= 129 \times 0.0323 \\ &\approx 4.17 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul des pertes de charge singulières

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{singulière}} &= \left(\sum K\right) \frac{v^2}{2g} \\ &= 3.35 \times 0.0323 \\ &\approx 0.11 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul des pertes de charge totales

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{total}} &= \Delta H_{\text{linéaire}} + \Delta H_{\text{singulière}} \\ &= 4.17 \text{ m} + 0.11 \text{ m} \\ &= 4.28 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Pertes de Charge
Ligne d'énergie idéale (sans pertes)Ligne d'énergie réelleΔH total
Réflexions

Comme prévu, les pertes de charge linéaires (4.17 m) représentent la quasi-totalité (environ 97%) des pertes totales. Les pertes singulières (0.11 m) sont très faibles en comparaison. Cela justifie l'astuce mentionnée plus haut pour les conduites longues.

Points de vigilance

N'oubliez aucune des deux composantes. Même si les pertes singulières sont faibles ici, dans des circuits courts et complexes (comme une chaufferie), elles peuvent devenir prédominantes par rapport aux pertes linéaires.

Points à retenir

L'énergie perdue dans un système de tuyauterie est la somme des pertes par frottement sur la longueur et des pertes dues aux obstacles. Ces pertes sont proportionnelles au carré de la vitesse : si la vitesse double, les pertes de charge sont multipliées par quatre !

Le saviez-vous ?

Les ingénieurs romains ne maîtrisaient pas le calcul des pertes de charge. Pour amener l'eau sur de longues distances, ils construisaient leurs aqueducs avec une pente très faible mais constante, se fiant à l'expérience pour que l'eau arrive à destination sans "perdre sa force".

FAQ
Qu'est-ce qui est inclus dans \(\sum K\)?

Typiquement, cela inclut le clapet de pied-crépine à l'aspiration, les coudes le long du tracé, la vanne de réglage et la sortie de la conduite dans le réservoir. Chaque élément a un coefficient K qui lui est propre.

Résultat Final
Les pertes de charge totales sont de 4.28 m.
A vous de jouer

Si la conduite était deux fois plus longue (2400 m), quelles seraient les nouvelles pertes de charge totales ? (Supposez que \(f\) et \(v\) ne changent pas).

Question 5 : Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe

La HMT est la "tâche" totale de la pompe. Elle doit d'abord vaincre la gravité, c'est-à-dire soulever l'eau sur toute la hauteur du dénivelé (\(\Delta z\)). Ensuite, elle doit fournir une énergie supplémentaire pour compenser toute l'énergie perdue par frottement (\(\Delta H_{\text{total}}\)).

Mini-Cours

La HMT est issue de l'application du théorème de Bernoulli généralisé entre la surface libre de l'eau dans le puits (point 1) et la surface libre dans le réservoir (point 2). L'équation complète est : \( \frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + HMT = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \Delta H_{\text{total}} \). Comme les pressions sont atmosphériques (\(P_1=P_2\)) et les vitesses aux surfaces libres sont nulles (\(v_1 \approx v_2 \approx 0\)), l'équation se simplifie magnifiquement.

Remarque Pédagogique

Visualisez la HMT comme la hauteur totale que vous devriez grimper si vous portiez l'eau dans un seau. Vous devez monter la colline (hauteur géométrique), mais aussi fournir un effort supplémentaire pour vaincre la fatigue et les obstacles (les pertes de charge).

Normes

La HMT calculée, associée au débit Q, forme le "point de fonctionnement" du système. Le choix de la pompe se fait en trouvant un modèle dont la courbe caractéristique (fournie par le fabricant) passe par ce point de fonctionnement, idéalement dans sa zone de meilleur rendement.

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

\[ HMT = \Delta z + \Delta H_{\text{total}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les niveaux d'eau dans le puits (niveau dynamique en pompage) et dans le réservoir sont stables et correspondent bien aux cotes utilisées pour calculer \(\Delta z\).

Donnée(s)

Nous utilisons le dénivelé de l'énoncé et le résultat de la question 4.

ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé géométrique\(\Delta z\)55m
Pertes de charge totales\(\Delta H_{\text{total}}\)4.28m
Astuces

Pour une première estimation très grossière, les ingénieurs ajoutent parfois 10% à la hauteur géométrique pour estimer la HMT. Ici, \(55 \times 1.10 = 60.5\) m, ce qui est très proche de notre résultat de 59.3 m. C'est un bon moyen de vérifier rapidement un calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la HMT
Niveau PuitsNiveau RéservoirΔzΔHHMT = Δz + ΔH
Calcul(s)

Calcul de la HMT

\[ \begin{aligned} HMT &= 55 \text{ m} + 4.28 \text{ m} \\ &= 59.28 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne d'énergie
z_puitsz_réservoirLigne de charge (sans pompe)HMTLigne d'énergie réelle
Réflexions

La pompe choisie devra avoir une HMT nominale d'au moins 59.3 m pour le débit de 90 m³/h. Si on choisit une pompe avec une HMT plus faible, elle n'arrivera pas à fournir le débit demandé. Si on en choisit une beaucoup plus puissante, elle consommera de l'énergie inutilement.

Points de vigilance

Ne confondez pas la hauteur géométrique \(\Delta z\) avec la HMT. La HMT est TOUJOURS supérieure à \(\Delta z\) (sauf dans le cas théorique d'un fluide parfait sans frottement).

Points à retenir

La HMT est la somme de l'effort contre la gravité et de l'effort contre les frottements. C'est la caractéristique la plus importante pour le dimensionnement d'une pompe. Sa formule est simple : HMT = Hauteur statique + Pertes de charge.

Le saviez-vous ?

Le concept de "charge" ou "hauteur" en hydraulique a été développé par Daniel Bernoulli au 18ème siècle. Il a démontré que la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide sont des formes interchangeables d'énergie, dont la somme reste constante (en l'absence de frottements et de pompe).

FAQ
La HMT change-t-elle si le débit change ?

Absolument. Comme les pertes de charge dépendent du carré de la vitesse (et donc du débit), la HMT augmente fortement lorsque le débit augmente. La relation HMT(Q) est la "courbe du réseau", que l'on voit dans le simulateur.

Résultat Final
La Hauteur Manométrique Totale (HMT) requise est de 59.3 m.
A vous de jouer

Si le niveau d'eau dans le forage baisse de 5 mètres (\(\Delta z\) passe à 60 m), quelle devient la nouvelle HMT ?

Question 6 : Calculer la puissance électrique absorbée (\(P_{\text{elec}}\))

Principe

La puissance électrique est la puissance que la pompe consomme sur le réseau électrique pour effectuer son travail. Elle est supérieure à la puissance réellement transmise à l'eau (puissance hydraulique) car aucune machine n'est parfaite : une partie de l'énergie est perdue en chaleur et en frottements internes à la pompe et au moteur.

Mini-Cours

La puissance hydraulique (\(P_{\text{hyd}}\)) est l'énergie par unité de temps fournie au fluide. Elle se calcule à partir des grandeurs fondamentales du système. Le rendement (\(\eta\)) est le rapport entre la puissance utile (hydraulique) et la puissance absorbée (électrique). C'est une mesure de l'efficacité de la conversion d'énergie électrique en énergie hydraulique. \(\eta = P_{\text{hyd}} / P_{\text{elec}}\).

Remarque Pédagogique

Le rendement est toujours un nombre inférieur à 1 (ou 100%). Pour trouver la puissance absorbée, on divise donc la puissance utile par le rendement. Si vous multipliez, vous obtiendrez une puissance absorbée plus faible que la puissance utile, ce qui est physiquement impossible (cela violerait les lois de la thermodynamique !).

Normes

Les moteurs électriques sont fabriqués selon des puissances normalisées (par ex. 11 kW, 15 kW, 18.5 kW, 22 kW...). Après avoir calculé la puissance électrique requise (ici 19.4 kW), un ingénieur doit choisir le moteur de la gamme standard immédiatement supérieure, soit un moteur de 22 kW dans ce cas, pour garantir une marge de sécurité.

Formule(s)

Formule de la puissance hydraulique

\[ P_{\text{hyd}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT \]

Formule de la puissance électrique

\[ P_{\text{elec}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta} \]
Hypothèses

Nous supposons que le rendement de 75% est le rendement global du groupe motopompe (il inclut à la fois les pertes de la pompe et celles du moteur électrique).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats précédents et les données de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Gravité\(g\)9.81m/s²
Débit\(Q\)0.025m³/s
HMT\(HMT\)59.28m
Rendement\(\eta\)75%\(\rightarrow\) 0.75
Astuces

Pour obtenir directement la puissance hydraulique en kilowatts (kW) à partir d'un débit en m³/h, on peut utiliser la formule approchée : \(P_{\text{hyd}} [\text{kW}] \approx \frac{Q [\text{m³/h}] \times HMT [\text{m}]}{367}\). Vérifions : \(\frac{90 \times 59.28}{367} \approx 14.55\) kW. Cela correspond bien à notre calcul détaillé.

Schéma (Avant les calculs)
Flux d'Énergie et Pertes
Réseau ÉlectriqueP elecPompeP hydEauPertes (1-η)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance hydraulique en Watts

\[ \begin{aligned} P_{\text{hyd}} &= 1000 \times 9.81 \times 0.025 \times 59.28 \\ &= 14538 \text{ W} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion en kilowatts

\[ \begin{aligned} P_{\text{hyd}} &= \frac{14538}{1000} \\ &\approx 14.54 \text{ kW} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de la puissance électrique

\[ \begin{aligned} P_{\text{elec}} &= \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta} \\ &= \frac{14.54 \text{ kW}}{0.75} \\ &\approx 19.39 \text{ kW} \end{aligned} \]
Réflexions

Le résultat montre que pour fournir 14.5 kW de puissance à l'eau, le moteur de la pompe doit en consommer 19.4 kW sur le réseau. Les 4.9 kW de différence (19.4 - 14.5) sont dissipés sous forme de chaleur et de bruit. C'est cette puissance de 19.4 kW qui sera utilisée pour dimensionner le câble d'alimentation et qui servira de base au calcul de la facture d'électricité.

Points de vigilance

Le rendement n'est pas une constante. Il varie avec le débit. Le rendement de 75% n'est valable qu'au point de fonctionnement nominal. Si la pompe fonctionne à un débit très différent, le rendement peut chuter drastiquement, augmentant la consommation électrique.

Points à retenir

La puissance électrique absorbée est toujours supérieure à la puissance hydraulique utile. La relation clé est \(P_{\text{elec}} = P_{\text{hyd}} / \eta\). Un bon rendement est essentiel pour minimiser les coûts d'exploitation sur la durée de vie de l'installation.

Le saviez-vous ?

L'amélioration du rendement des systèmes de pompage est un enjeu énergétique mondial majeur. On estime que les pompes représentent environ 20% de la consommation mondiale d'électricité. Gagner quelques points de rendement sur des millions de pompes représente une économie d'énergie colossale.

FAQ
Comment est mesuré le rendement d'une pompe ?

Les fabricants testent leurs pompes sur un banc d'essai spécialisé. Ils mesurent la puissance électrique absorbée et les caractéristiques hydrauliques (débit, pression) pour différents points de fonctionnement, ce qui leur permet de tracer la courbe de rendement de la pompe.

Résultat Final
La pompe devra absorber une puissance électrique d'environ 19.4 kW.
A vous de jouer

Calculez la puissance électrique nécessaire si une pompe moins chère avec un rendement de seulement 60% était choisie.

Outil Interactif : Simulateur de HMT

Utilisez cet outil pour voir comment la Hauteur Manométrique Totale (HMT) et les pertes de charge évoluent en fonction du débit et du diamètre de la conduite. Le graphique montre la courbe caractéristique du réseau.

Paramètres d'Entrée
90 m³/h
200 mm
Résultats Clés
Pertes de Charge Totales - m
HMT Requise - m

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le débit augmente dans une conduite existante, comment évoluent les pertes de charge ?

2. Quelle est l'unité de la Hauteur Manométrique Totale (HMT) ?

3. Un écoulement avec un nombre de Reynolds de 1500 est considéré comme...

4. À débit égal, si on augmente le diamètre de la conduite, la vitesse de l'eau...

5. Laquelle de ces puissances est la plus grande ?

Glossaire

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Représente l'énergie totale (pression) que la pompe doit fournir au fluide pour le déplacer d'un point A à un point B. Elle s'exprime en mètres de colonne de fluide (mCE).
Pertes de Charge
Énergie dissipée par le fluide sous forme de chaleur à cause des frottements contre les parois de la conduite (pertes linéaires) et des obstacles (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il permet de prédire le passage d'un régime laminaire à un régime turbulent.
Régime Turbulent
Régime d'écoulement chaotique et désordonné, avec des tourbillons et des fluctuations de vitesse. Il est associé à des pertes de charge plus élevées que le régime laminaire.
Exercice : Système de Pompage pour l'Eau Potable

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