Études de cas pratique

EGC

Système de Pompage pour l’Eau Potable

Système de Pompage pour l’Eau Potable en Hydraulique

Système de Pompage pour l’Eau Potable

Comprendre les Systèmes de Pompage pour l'Eau Potable

Les systèmes de pompage jouent un rôle essentiel dans l'approvisionnement en eau potable, que ce soit pour alimenter des réseaux de distribution à partir d'une source (nappe phréatique, rivière, lac) ou pour surélever l'eau vers des réservoirs de stockage ou des zones plus élevées. Le dimensionnement correct d'une pompe nécessite de déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) qu'elle doit fournir et le débit requis. La HMT représente l'énergie totale que la pompe doit communiquer à chaque unité de volume d'eau pour vaincre les dénivelés géométriques, les pertes de charge dues aux frottements dans les conduites et les pertes singulières (coudes, vannes), tout en assurant une pression résiduelle suffisante au point d'utilisation. La puissance de la pompe dépendra ensuite de cette HMT, du débit et du rendement de la pompe.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une pompe pour transférer de l'eau d'un réservoir bas vers un réservoir haut afin d'alimenter une petite communauté.

Caractéristiques de l'installation :

  • Débit requis (\(Q\)) : \(10 \, \text{L/s}\)
  • Dénivelé géométrique total (\(H_g\)) entre le niveau d'eau du réservoir bas (aspiration) et le niveau d'eau du réservoir haut (refoulement) : \(25 \, \text{m}\)
  • Conduite d'aspiration : Longueur (\(L_a\)) = \(15 \, \text{m}\), Diamètre (\(D_a\)) = \(150 \, \text{mm}\)
  • Conduite de refoulement : Longueur (\(L_r\)) = \(250 \, \text{m}\), Diamètre (\(D_r\)) = \(125 \, \text{mm}\)
  • Coefficient de frottement de Darcy (\(f\)) : \(0.025\) (supposé constant pour les deux conduites)
  • Pertes de charge singulières totales (\(J_s\)) (coudes, vannes, entrée/sortie réservoir) : estimées à \(2.5 \, \text{m}\) de colonne d'eau.
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Rendement global de la pompe (\(\eta_p\)) : \(0.70\) (70%)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Schéma : Système de Pompage Eau Potable
Système de Pompage {/* */} Réservoir Bas {/* Niveau d'eau */} {/* */} P {/* */} Aspiration {/* */} Refoulement {/* */} Réservoir Haut {/* Niveau d'eau */} {/* */} Hg = 25 m

Schéma simplifié d'un système de pompage entre deux réservoirs.

Questions à traiter

  1. Convertir le débit requis en \(m^3/s\) et les diamètres des conduites en mètres.
  2. Calculer la vitesse de l'eau dans la conduite d'aspiration (\(V_a\)) et dans la conduite de refoulement (\(V_r\)).
  3. Calculer les pertes de charge linéaires (par frottement) dans la conduite d'aspiration (\(J_{la}\)) et dans la conduite de refoulement (\(J_{lr}\)).
  4. Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) de la pompe.
  5. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) fournie par la pompe à l'eau.
  6. Calculer la puissance absorbée (\(P_{abs}\)) par la pompe sur l'arbre moteur.

Correction : Système de Pompage pour l’Eau Potable

Question 1 : Conversion des Unités

Principe :

Il est essentiel de travailler avec des unités cohérentes dans les calculs hydrauliques. Le Système International (SI) est généralement privilégié. On convertit donc les litres par seconde (L/s) en mètres cubes par seconde (\(m^3/s\)) et les millimètres (mm) en mètres (m).

Rappels : \(1 \, m^3 = 1000 \, L\), donc \(1 \, L = 0.001 \, m^3\). \(1 \, m = 1000 \, mm\), donc \(1 \, mm = 0.001 \, m\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 10 \, \text{L/s} = 10 \times 0.001 \, \text{m}^3\text{/s} = 0.01 \, \text{m}^3\text{/s} \\ D_a &= 150 \, \text{mm} = 150 \times 0.001 \, \text{m} = 0.150 \, \text{m} \\ D_r &= 125 \, \text{mm} = 125 \times 0.001 \, \text{m} = 0.125 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Débit (\(Q\)) : \(0.01 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Diamètre d'aspiration (\(D_a\)) : \(0.150 \, \text{m}\)
  • Diamètre de refoulement (\(D_r\)) : \(0.125 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul des Vitesses d'Écoulement (\(V_a\) et \(V_r\))

Principe :

La vitesse moyenne (\(V\)) de l'écoulement dans une conduite est obtenue en divisant le débit (\(Q\)) par l'aire de la section transversale de la conduite (\(A\)). Pour une conduite circulaire, l'aire est \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \] \[ V = \frac{Q}{A} \]
Calcul pour la conduite d'aspiration :
\[ \begin{aligned} A_a &= \frac{\pi D_a^2}{4} = \frac{\pi (0.150 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0225 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.01767 \, \text{m}^2 \\ V_a &= \frac{Q}{A_a} = \frac{0.01 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.01767 \, \text{m}^2} \approx 0.5659 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Calcul pour la conduite de refoulement :
\[ \begin{aligned} A_r &= \frac{\pi D_r^2}{4} = \frac{\pi (0.125 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.015625 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.01227 \, \text{m}^2 \\ V_r &= \frac{Q}{A_r} = \frac{0.01 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.01227 \, \text{m}^2} \approx 0.8149 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Vitesse dans la conduite d'aspiration (\(V_a\)) : \(\approx 0.566 \, \text{m/s}\)
  • Vitesse dans la conduite de refoulement (\(V_r\)) : \(\approx 0.815 \, \text{m/s}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre d'une conduite diminue et que le débit reste constant, la vitesse de l'eau dans cette conduite :

Question 3 : Calcul des Pertes de Charge Linéaires (\(J_{la}\) et \(J_{lr}\))

Principe :

Les pertes de charge linéaires (ou régulières) sont dues au frottement du fluide contre les parois de la conduite. Elles sont calculées à l'aide de l'équation de Darcy-Weisbach : \(J_l = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\), où \(f\) est le coefficient de frottement de Darcy, \(L\) la longueur de la conduite, \(D\) son diamètre, \(V\) la vitesse moyenne et \(g\) l'accélération due à la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J_l = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Données spécifiques :
  • Coefficient de frottement (\(f\)) : \(0.025\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Aspiration : \(L_a = 15 \, \text{m}\), \(D_a = 0.150 \, \text{m}\), \(V_a \approx 0.5659 \, \text{m/s}\)
  • Refoulement : \(L_r = 250 \, \text{m}\), \(D_r = 0.125 \, \text{m}\), \(V_r \approx 0.8149 \, \text{m/s}\)
Calcul pour la conduite d'aspiration (\(J_{la}\)) :
\[ \begin{aligned} J_{la} &= 0.025 \times \frac{15 \, \text{m}}{0.150 \, \text{m}} \times \frac{(0.5659 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.025 \times 100 \times \frac{0.32024 \, \text{m}^2\text{/s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &= 2.5 \times 0.016322 \\ &\approx 0.0408 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul pour la conduite de refoulement (\(J_{lr}\)) :
\[ \begin{aligned} J_{lr} &= 0.025 \times \frac{250 \, \text{m}}{0.125 \, \text{m}} \times \frac{(0.8149 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.025 \times 2000 \times \frac{0.66406 \, \text{m}^2\text{/s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &= 50 \times 0.033846 \\ &\approx 1.6923 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • Pertes de charge linéaires (aspiration) \(J_{la} \approx 0.041 \, \text{m}\)
  • Pertes de charge linéaires (refoulement) \(J_{lr} \approx 1.692 \, \text{m}\)

Question 4 : Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe :

La Hauteur Manométrique Totale (HMT) est l'énergie totale que la pompe doit fournir au fluide par unité de poids. Elle est la somme du dénivelé géométrique (\(H_g\)), des pertes de charge linéaires totales (\(J_{la} + J_{lr}\)), et des pertes de charge singulières totales (\(J_s\)).

\(HMT = H_g + J_{la} + J_{lr} + J_s\). Si la pression est requise au refoulement, elle s'ajoute aussi (exprimée en mètres de colonne d'eau). Dans ce cas, on refoule dans un réservoir à pression atmosphérique, donc ce terme est nul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ HMT = H_g + J_{la} + J_{lr} + J_s \]
Données spécifiques :
  • Dénivelé géométrique (\(H_g\)) : \(25 \, \text{m}\)
  • \(J_{la} \approx 0.0408 \, \text{m}\)
  • \(J_{lr} \approx 1.6923 \, \text{m}\)
  • Pertes de charge singulières (\(J_s\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} HMT &= 25 \, \text{m} + 0.0408 \, \text{m} + 1.6923 \, \text{m} + 2.5 \, \text{m} \\ &\approx 29.2331 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(HMT \approx 29.23 \, \text{m}\)

Résultat Question 4 : La Hauteur Manométrique Totale de la pompe est \(HMT \approx 29.23 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la longueur de la conduite de refoulement était plus courte, la HMT serait :

Question 5 : Calcul de la Puissance Hydraulique (\(P_h\))

Principe :

La puissance hydraulique (\(P_h\)), aussi appelée puissance utile ou puissance fournie au fluide, est la puissance que la pompe transfère effectivement à l'eau pour vaincre la HMT au débit \(Q\). Elle est donnée par la formule \(P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Débit (\(Q\)) : \(0.01 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • HMT : \(\approx 29.2331 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.01 \, \text{m}^3\text{/s} \cdot 29.2331 \, \text{m} \\ &= 98.1 \cdot 29.2331 \, \text{W} \\ &\approx 2867.767 \, \text{W} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(P_h \approx 2868 \, \text{W}\) ou \(2.87 \, \text{kW}\).

Résultat Question 5 : La puissance hydraulique fournie par la pompe est \(P_h \approx 2868 \, \text{W}\) (soit \(2.87 \, \text{kW}\)).

Question 6 : Calcul de la Puissance Absorbée (\(P_{\text{abs}}\)) par la Pompe

Principe :

La puissance absorbée (\(P_{\text{abs}}\)) est la puissance que le moteur doit fournir à la pompe (puissance sur l'arbre). Elle est supérieure à la puissance hydraulique (\(P_h\)) en raison des pertes internes à la pompe (frottements mécaniques, pertes hydrauliques dans la pompe elle-même). Le rendement global de la pompe (\(\eta_p\)) exprime le rapport entre la puissance hydraulique et la puissance absorbée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \eta_p = \frac{P_h}{P_{\text{abs}}} \quad \Rightarrow \quad P_{\text{abs}} = \frac{P_h}{\eta_p} \]
Données spécifiques :
  • Puissance hydraulique (\(P_h\)) : \(\approx 2867.767 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q5)
  • Rendement de la pompe (\(\eta_p\)) : \(0.70\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs}} &= \frac{2867.767 \, \text{W}}{0.70} \\ &\approx 4096.81 \, \text{W} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(P_{\text{abs}} \approx 4097 \, \text{W}\) ou \(4.10 \, \text{kW}\).

Résultat Question 6 : La puissance absorbée par la pompe sur l'arbre moteur est \(P_{\text{abs}} \approx 4097 \, \text{W}\) (soit \(4.10 \, \text{kW}\)). C'est cette puissance (ou une légèrement supérieure pour tenir compte du rendement du moteur électrique) qui sera utilisée pour choisir le moteur de la pompe.

Quiz Intermédiaire 3 : Si le rendement de la pompe était plus élevé (par exemple 0.80 au lieu de 0.70), la puissance absorbée par la pompe pour le même débit et la même HMT serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) d'une pompe représente :

2. Les pertes de charge linéaires dans une conduite dépendent :

3. La puissance absorbée par une pompe est toujours :

Glossaire

Débit (\(Q\))
Volume de fluide s'écoulant par unité de temps. Unité SI : \(\text{m}^3\text{/s}\).
Dénivelé Géométrique (\(H_g\))
Différence d'altitude verticale entre le niveau d'eau à l'aspiration et le niveau d'eau au refoulement (ou le point le plus haut du refoulement). Unité : \(\text{m}\).
Pertes de Charge Linéaires (\(J_l\))
Pertes d'énergie dues au frottement du fluide contre les parois des conduites sur leur longueur. Exprimées en mètres de colonne de fluide. Unité : \(\text{m}\).
Pertes de Charge Singulières (\(J_s\))
Pertes d'énergie localisées dues aux accidents de parcours (coudes, vannes, élargissements, rétrécissements, etc.). Unité : \(\text{m}\).
Coefficient de Frottement de Darcy (\(f\))
Nombre sans dimension caractérisant la rugosité relative et le régime d'écoulement, utilisé dans l'équation de Darcy-Weisbach pour calculer les pertes de charge linéaires.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale par unité de poids que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre le dénivelé géométrique et toutes les pertes de charge (linéaires et singulières), et assurer une pression résiduelle si nécessaire. Unité : \(\text{m}\) (de colonne de fluide).
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance réellement transmise par la pompe au fluide. \(P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT\). Unité : \(\text{Watt (W)}\).
Rendement de la Pompe (\(\eta_p\))
Rapport entre la puissance hydraulique fournie au fluide et la puissance absorbée par la pompe sur son arbre moteur. C'est un nombre sans dimension, inférieur à 1.
Puissance Absorbée (\(P_{\text{abs}}\))
Puissance mécanique que le moteur doit fournir à l'arbre de la pompe. \(P_{\text{abs}} = P_h / \eta_p\). Unité : \(\text{Watt (W)}\).
Système de Pompage pour l’Eau Potable - Exercice d'Application

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