Réseau de distribution d’eau pour un village

1. Calcul du débit nécessaire

Le débit quotidien total nécessaire correspond au volume d’eau consommé par tous les habitants en une journée. Chaque personne consomme 150 L/jour, et la population du village est de 500 personnes. Une fois le volume total exprimé en litres, nous le convertissons en m³ (1 m³ = 1000 L) puis en débit en m³/s, sachant qu’une journée comporte 86400 secondes.

Formule

- Volume total (m³/jour) :
\[ V_{total} = \frac{N_{personnes} \times V_{ind}}{1000} \]
- Débit (m³/s) :
\[ Q = \frac{V_{total}}{86400} \]

Données

- \( N_{personnes} = 500 \)
- \( V_{ind} = 150 \text{ L/jour} \)

Calcul

1. Calcul du volume quotidien total :
\[ V_{total} = \frac{500 \times 150}{1000} \] \[ V_{total} = \frac{75000}{1000} \] \[ V_{total} = 75 \text{ m}^3/\text{jour} \]
2. Conversion en débit :
\[ Q = \frac{75}{86400} \] \[ Q \approx 0,000868 \text{ m}^3/\text{s} \]

2. Choix du diamètre du tuyau

On doit choisir un diamètre qui permet de faire circuler le débit calculé en respectant une vitesse d’eau maximale de 2 m/s (pour éviter l’érosion excessive du tuyau). Ici, trois diamètres disponibles sont proposés : 150 mm, 200 mm et 250 mm. La vérification la plus simple est de calculer la vitesse de l’eau pour chaque diamètre en utilisant la relation entre débit, section et vitesse, puis de vérifier que \[ V \le 2 \, \text{m/s} \].

Formule

La vitesse s’exprime par :
\[ V = \frac{Q}{A} \] avec
\[ A = \frac{\pi \, d^2}{4} \] où \( d \) est le diamètre en m.

Données

- \( Q = 0,000868 \text{ m}^3/\text{s} \)
- Diamètres proposés :
   - \( d_1 = 150 \text{ mm} = 0,15 \text{ m} \)
   - \( d_2 = 200 \text{ mm} = 0,20 \text{ m} \)
   - \( d_3 = 250 \text{ mm} = 0,25 \text{ m} \)

Calcul

1. Pour \( d = 0,15 \text{ m} \) :
- Calcul de l’aire :
\[ A = \frac{\pi \times (0,15)^2}{4} \] \[ A \approx \frac{3,1416 \times 0,0225}{4} \] \[ A \approx \frac{0,070685}{4} \] \[ A \approx 0,01767 \text{ m}^2 \]
- Vitesse de l’eau :
\[ V = \frac{0,000868}{0,01767} \] \[ V \approx 0,0491 \text{ m/s} \]

2. Pour \( d = 0,20 \text{ m} \) :
- Aire :
\[ A = \frac{\pi \times (0,20)^2}{4} \] \[ A = \frac{3,1416 \times 0,04}{4} \] \[ A \approx 0,03142 \text{ m}^2 \]
- Vitesse :
\[ V = \frac{0,000868}{0,03142} \] \[ V \approx 0,02765 \text{ m/s} \]

3. Pour \( d = 0,25 \text{ m} \) :
- Aire :
\[ A = \frac{\pi \times (0,25)^2}{4} \] \[ A = \frac{3,1416 \times 0,0625}{4} \] \[ A \approx 0,04909 \text{ m}^2 \]
- Vitesse :
\[ V = \frac{0,000868}{0,04909} \] \[ V \approx 0,01769 \text{ m/s} \]

Conclusion : Les trois diamètres permettent une vitesse bien inférieure à 2 m/s. En pratique, le choix se fera en fonction d’un compromis entre la minimisation des coûts et la marge éventuelle d’augmentation du débit futur. Dans ce cas, le diamètre le plus économique (150 mm) est suffisant pour le débit actuel.

3. Calcul de la perte de charge dans le tuyau

La perte de charge par friction dans un tuyau peut être calculée à l’aide de l’équation de Hazen-Williams, qui s’exprime en général sous la forme :
\[ h_f = 10,67 \, L \, \frac{Q^{1,852}}{C^{1,852}\, d^{4,87}} \]
où :
- \( h_f \) est la perte de charge en mètres (m)
- \( L \) est la longueur du tuyau (m)
- \( Q \) est le débit (m³/s)
- \( C \) est le coefficient de rugosité (sans unité)
- \( d \) est le diamètre en mètres (m)
Nous effectuerons le calcul pour le diamètre le plus critique (150 mm) sachant que la perte de charge sera plus importante pour un tuyau de plus petit diamètre.

Formule

\[ h_f = 10,67 \, L \, \frac{Q^{1,852}}{C^{1,852} \, d^{4,87}} \]

Données

- \( L = 2000 \text{ m} \)
- \( Q = 0,000868 \text{ m}^3/\text{s} \)
- \( C = 130 \)
- \( d = 0,15 \text{ m} \)

Calcul pas à pas

1. Calcul de \( Q^{1,852} \) :
\( Q^{1,852} = (0,000868)^{1,852} \)
Calcul logarithmique (approximatif) :
\( \ln(0,000868) \approx -7,045 \)
\( -7,045 \times 1,852 \approx -13,05 \)
\( Q^{1,852} \approx e^{-13,05} \approx 2,13 \times 10^{-6} \)

2. Calcul de \( C^{1,852} \) :
\( C^{1,852} = (130)^{1,852} \)
Par estimation :
\( \ln(130) \approx 4,8675 \)
\( 4,8675 \times 1,852 \approx 9,012 \)
\( C^{1,852} \approx e^{9,012} \approx 8220 \)
(Remarque : selon l’arrondi, une valeur de l’ordre de 8200 à 8300 est acceptable.)

3. Calcul de \( d^{4,87} \) :
\( d^{4,87} = (0,15)^{4,87} \)
\( \ln(0,15) \approx -1,897 \)
\( -1,897 \times 4,87 \approx -9,245 \)
\( d^{4,87} \approx e^{-9,245} \approx 9,66 \times 10^{-5} \)

4. Substitution dans la formule :
\[ h_f = 10,67 \times 2000 \times \frac{2,13 \times 10^{-6}}{8220 \times 9,66 \times 10^{-5}} \]

5. Calcul du numérateur :
\( 10,67 \times 2000 = 21340 \)
\( 21340 \times 2,13 \times 10^{-6} \approx 0,0455 \)

6. Calcul du dénominateur :
\( 8220 \times 9,66 \times 10^{-5} \approx 0,794 \)
(Si on prend 8220 et 9,66e-5, le produit est environ 0,794)

7. Résultat final :
\[ h_f \approx \frac{0,0455}{0,794} \approx 0,0573 \text{ m} \]

Conclusion : La perte de charge dans le tuyau de 150 mm sur 2 km est d’environ 0,057 m, soit un effet négligeable par rapport à la différence d’altitude disponible (voir point suivant).

4. Vérification de la pression au point le plus bas (entrée du village)

La pression disponible à l’entrée du village dépend de la différence d’altitude entre la source et le réservoir, diminuée par la perte de charge le long du tuyau. La hauteur disponible est :
\[ \Delta z = z_{source} - z_{réservoir} \]
La pression exprimée en m de colonne d’eau est égale à cette différence (en négligeant les pertes très faibles). On vérifie ensuite que cette pression convertie en psi respecte la norme minimale de 30 psi.

Formule

1. Différence d’altitude :
\[ \Delta z = 350 \text{ m} - 300 \text{ m} = 50 \text{ m} \]
2. Pression en m de colonne d’eau après perte de charge :
\[ h_{disponible} = \Delta z - h_f \]
3. Conversion de m de colonne d’eau en psi :
\[ 1 \text{ m} \approx 4,77 \text{ psi} \]
Donc,
\[ P (\text{psi}) = h_{disponible} \times 4,77 \]

Données

- \( z_{source} = 350 \text{ m} \)
- \( z_{réservoir} = 300 \text{ m} \)
- \( \Delta z = 50 \text{ m} \)
- \( h_f \approx 0,057 \text{ m} \)
- \( 1 \text{ m de colonne d’eau} \approx 4,77 \text{ psi} \)

Calcul

1. Hauteur effective disponible :
\[ h_{disponible} = 50 - 0,057 \] \[ h_{disponible} \approx 49,943 \text{ m} \]
2. Pression en psi :
\[ P \approx 49,943 \times 4,77 \] \[ P \approx 238 \text{ psi} \]

Conclusion : La pression au réservoir est d’environ 238 psi, ce qui est largement au-dessus de la norme minimale de 30 psi.

5. Impact économique

Le choix du diamètre influence directement le coût d’installation des tuyaux. Même si la perte de charge est négligeable pour les trois diamètres, le coût des tuyaux augmente généralement avec le diamètre en raison de l’augmentation du volume de matériau nécessaire et d’autres facteurs techniques. Pour évaluer l’impact économique, nous pouvons estimer un coût unitaire (en €/mètre par exemple) fictif pour chaque diamètre. Il n’est pas rare de trouver, dans la pratique, des coûts croissants avec le diamètre. Nous proposons ici une estimation relative.

Hypothèses de coût

Supposons les coûts unitaires suivants (données estimatives pouvant varier selon le marché et les matériaux) :
- Pour 150 mm : 50 €/mètre
- Pour 200 mm : 70 €/mètre
- Pour 250 mm : 90 €/mètre

Données

- Longueur totale du tuyau : \( L = 2000 \text{ m} \)

Calcul des coûts totaux

1. Pour 150 mm :
\[ \text{Coût} = 2000 \text{ m} \times 50 \, \text{€/m} \] \[ \text{Coût} = 100\,000 \, \text{€} \]

2. Pour 200 mm :
\[ \text{Coût} = 2000 \text{ m} \times 70 \, \text{€/m} \] \[ \text{Coût} = 140\,000 \, \text{€} \]

3. Pour 250 mm :
\[ \text{Coût} = 2000 \text{ m} \times 90 \, \text{€/m} \] \[ \text{Coût} = 180\,000 \, \text{€} \]

Discussion :
- Économique : Puisque le débit requis est faible et que la perte de charge pour le tuyau de 150 mm est négligeable, ce diamètre apparaît comme la solution la plus économique.
- Sécurité et évolutivité : Si l’on envisage une augmentation future de la demande ou si des considérations particulières (résilience, facilité d’entretien) imposent une marge supplémentaire, le choix d’un diamètre supérieur pourrait être justifié malgré le surcoût.
- Conclusion économique : Pour le scénario présenté (500 personnes, 150 L/jour), le tuyau de 150 mm est suffisant et permet de réaliser des économies importantes.