Report des Données Terrain sur Plans

Comprendre le Report des Données Terrain sur Plans

Le report des données terrain sur un plan est une étape essentielle en topographie. Elle consiste à représenter graphiquement les points levés sur le terrain (avec leurs coordonnées X, Y, et parfois Z) sur un support papier ou numérique à une échelle définie. Cette représentation permet de visualiser la configuration du terrain, les objets présents, et de réaliser des mesures graphiques (distances, superficies). La précision du report dépend de la qualité des mesures initiales, de la justesse des calculs de transformation de coordonnées (si nécessaire), et de la rigueur apportée lors du dessin à l'échelle.

Données de l'étude

On dispose des coordonnées de trois points A, B et C, levés sur le terrain. On souhaite les reporter sur un plan et calculer certaines grandeurs graphiques et réelles.

Coordonnées des points (en mètres) :

Point A : \(X_{\text{A}} = 250.50\), \(Y_{\text{A}} = 450.75\)
Point B : \(X_{\text{B}} = 380.20\), \(Y_{\text{B}} = 510.30\)
Point C : \(X_{\text{C}} = 310.80\), \(Y_{\text{C}} = 390.15\)

Échelle du plan à réaliser : \(1/500\)

Hypothèses :

Les coordonnées terrain sont dans un système plan orthonormé.

Le plan sera dessiné sur un support avec une origine graphique arbitraire (par exemple, le coin inférieur gauche de la feuille). Pour simplifier, on pourra considérer une origine graphique \(X_{\text{graphiqueOrigine}} = 0 \text{ cm}\), \(Y_{\text{graphiqueOrigine}} = 0 \text{ cm}\) et reporter les points par rapport au point A comme référence locale sur le plan, ou calculer des coordonnées graphiques absolues par rapport à une origine choisie sur la feuille. Pour cet exercice, nous allons calculer les coordonnées graphiques en cm par rapport à une origine arbitraire du plan, en s'assurant que tous les points tiennent sur une feuille virtuelle.

Schéma : Report de points sur un plan

Schéma illustrant le report de points A', B', C' sur un plan à une échelle donnée.

Questions à traiter

Calculer les longueurs réelles des segments AB, BC et CA sur le terrain en mètres.
Déterminer les dimensions graphiques (en centimètres) de ces segments sur le plan à l'échelle 1/500.
Si l'on choisit une origine graphique pour le plan (par exemple, le coin inférieur gauche d'une feuille de dessin), et que l'on décide de placer le point A' (représentation de A sur le plan) aux coordonnées graphiques \(X'_{\text{A}} = 5.00 \, \text{cm}\) et \(Y'_{\text{A}} = 20.00 \, \text{cm}\), calculer les coordonnées graphiques \(X'_{\text{B}}, Y'_{\text{B}}\) et \(X'_{\text{C}}, Y'_{\text{C}}\) des points B' et C' sur le plan. (On supposera que l'axe des Y du terrain est parallèle à l'axe des Y graphiques, et de même pour X).
Si, sur le plan dessiné, on mesure une distance graphique entre A' et C' de \(18.5 \, \text{cm}\), quelle serait la distance terrain correspondante ? Comparer avec la valeur calculée à la question 1.

Correction : Calcul du Report des Données Terrain sur Plans

Question 1 : Calcul des Longueurs Réelles des Segments AB, BC, CA

Principe :

La longueur d'un segment entre deux points de coordonnées (\(X_1, Y_1\)) et (\(X_2, Y_2\)) est la distance euclidienne.

Formule(s) utilisée(s) :

L = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2}

Données spécifiques :

A: (\(X_{\text{A}}=250.50\), \(Y_{\text{A}}=450.75\))
B: (\(X_{\text{B}}=380.20\), \(Y_{\text{B}}=510.30\))
C: (\(X_{\text{C}}=310.80\), \(Y_{\text{C}}=390.15\))

Calcul des longueurs :

Segment AB :

\begin{aligned} L_{\text{AB}} &= \sqrt{(380.20 - 250.50)^2 + (510.30 - 450.75)^2} \\ &= \sqrt{(129.70)^2 + (59.55)^2} \\ &= \sqrt{16822.09 + 3546.2025} = \sqrt{20368.2925} \\ &\approx 142.717 \, \text{m} \end{aligned}

Segment BC :

\begin{aligned} L_{\text{BC}} &= \sqrt{(310.80 - 380.20)^2 + (390.15 - 510.30)^2} \\ &= \sqrt{(-69.40)^2 + (-120.15)^2} \\ &= \sqrt{4816.36 + 14436.0225} = \sqrt{19252.3825} \\ &\approx 138.753 \, \text{m} \end{aligned}

Segment CA :

\begin{aligned} L_{\text{CA}} &= \sqrt{(250.50 - 310.80)^2 + (450.75 - 390.15)^2} \\ &= \sqrt{(-60.30)^2 + (60.60)^2} \\ &= \sqrt{3636.09 + 3672.36} = \sqrt{7308.45} \\ &\approx 85.489 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : Les longueurs réelles des segments sont :

\(L_{\text{AB}} \approx 142.72 \, \text{m}\)
\(L_{\text{BC}} \approx 138.75 \, \text{m}\)
\(L_{\text{CA}} \approx 85.49 \, \text{m}\)

Question 2 : Dimensions Graphiques des Segments sur le Plan (1/500)

Principe :

La dimension graphique (\(L_{\text{graph}}\)) est obtenue en divisant la dimension réelle (\(L_{\text{reel}}\)) par le dénominateur de l'échelle (\(E\)). Si l'échelle est 1/E, alors \(L_{\text{graph}} = L_{\text{reel}} / E\). Les résultats sont convertis en centimètres.

Formule(s) utilisée(s) :

L_{\text{graph}} (\text{m}) = \frac{L_{\text{reel}} (\text{m})}{E}

L_{\text{graph}} (\text{cm}) = L_{\text{graph}} (\text{m}) \times 100

Données spécifiques :

Échelle : 1/500 (donc \(E=500\))
\(L_{\text{AB}} \approx 142.717 \, \text{m}\)
\(L_{\text{BC}} \approx 138.753 \, \text{m}\)
\(L_{\text{CA}} \approx 85.489 \, \text{m}\)

Calcul des longueurs graphiques :

Segment AB :

\begin{aligned} L'_{\text{AB}} (\text{m}) &= \frac{142.717 \, \text{m}}{500} \approx 0.285434 \, \text{m} \\ L'_{\text{AB}} (\text{cm}) &= 0.285434 \, \text{m} \times 100 \approx 28.54 \, \text{cm} \end{aligned}

Segment BC :

\begin{aligned} L'_{\text{BC}} (\text{m}) &= \frac{138.753 \, \text{m}}{500} \approx 0.277506 \, \text{m} \\ L'_{\text{BC}} (\text{cm}) &= 0.277506 \, \text{m} \times 100 \approx 27.75 \, \text{cm} \end{aligned}

Segment CA :

\begin{aligned} L'_{\text{CA}} (\text{m}) &= \frac{85.489 \, \text{m}}{500} \approx 0.170978 \, \text{m} \\ L'_{\text{CA}} (\text{cm}) &= 0.170978 \, \text{m} \times 100 \approx 17.10 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 2 : Les dimensions graphiques sur le plan sont :

\(L'_{\text{AB}} \approx 28.54 \, \text{cm}\)
\(L'_{\text{BC}} \approx 27.75 \, \text{cm}\)
\(L'_{\text{CA}} \approx 17.10 \, \text{cm}\)

Question 3 : Coordonnées Graphiques des Points B' et C'

Principe :

Les différences de coordonnées terrain (\(\Delta X, \Delta Y\)) sont divisées par le dénominateur de l'échelle pour obtenir les différences de coordonnées graphiques (\(\Delta X', \Delta Y'\)). Ces différences sont ensuite ajoutées aux coordonnées graphiques du point de référence (A').

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta X'_{\text{AB}} = \frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{E} \quad ; \quad \Delta Y'_{\text{AB}} = \frac{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}{E}

X'_{\text{B}} = X'_{\text{A}} + \Delta X'_{\text{AB}} \quad ; \quad Y'_{\text{B}} = Y'_{\text{A}} + \Delta Y'_{\text{AB}}

(Convertir en cm si nécessaire après le calcul des \(\Delta\))

Données spécifiques :

A: (\(X_{\text{A}}=250.50\), \(Y_{\text{A}}=450.75\))
B: (\(X_{\text{B}}=380.20\), \(Y_{\text{B}}=510.30\))
C: (\(X_{\text{C}}=310.80\), \(Y_{\text{C}}=390.15\))
Échelle \(E=500\)
A': (\(X'_{\text{A}} = 5.00 \, \text{cm}\), \(Y'_{\text{A}} = 20.00 \, \text{cm}\))

Calcul pour B' :

Différences de coordonnées terrain A vers B :

\begin{aligned} \Delta X_{\text{AB_reel}} &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} = 380.20 - 250.50 = 129.70 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{AB_reel}} &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} = 510.30 - 450.75 = 59.55 \, \text{m} \end{aligned}

Différences de coordonnées graphiques A' vers B' (en mètres, puis en cm) :

\begin{aligned} \Delta X'_{\text{AB}} (\text{m}) &= \frac{129.70}{500} = 0.2594 \, \text{m} \Rightarrow 25.94 \, \text{cm} \\ \Delta Y'_{\text{AB}} (\text{m}) &= \frac{59.55}{500} = 0.1191 \, \text{m} \Rightarrow 11.91 \, \text{cm} \end{aligned}

Coordonnées graphiques de B' :

\begin{aligned} X'_{\text{B}} &= 5.00 \, \text{cm} + 25.94 \, \text{cm} = 30.94 \, \text{cm} \\ Y'_{\text{B}} &= 20.00 \, \text{cm} + 11.91 \, \text{cm} = 31.91 \, \text{cm} \end{aligned}

Calcul pour C' :

Différences de coordonnées terrain A vers C :

\begin{aligned} \Delta X_{\text{AC_reel}} &= X_{\text{C}} - X_{\text{A}} = 310.80 - 250.50 = 60.30 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{AC_reel}} &= Y_{\text{C}} - Y_{\text{A}} = 390.15 - 450.75 = -60.60 \, \text{m} \end{aligned}

Différences de coordonnées graphiques A' vers C' (en mètres, puis en cm) :

\begin{aligned} \Delta X'_{\text{AC}} (\text{m}) &= \frac{60.30}{500} = 0.1206 \, \text{m} \Rightarrow 12.06 \, \text{cm} \\ \Delta Y'_{\text{AC}} (\text{m}) &= \frac{-60.60}{500} = -0.1212 \, \text{m} \Rightarrow -12.12 \, \text{cm} \end{aligned}

Coordonnées graphiques de C' :

\begin{aligned} X'_{\text{C}} &= 5.00 \, \text{cm} + 12.06 \, \text{cm} = 17.06 \, \text{cm} \\ Y'_{\text{C}} &= 20.00 \, \text{cm} - 12.12 \, \text{cm} = 7.88 \, \text{cm} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Les coordonnées graphiques sont :

Point B' : (\(X'_{\text{B}} \approx 30.94 \, \text{cm}\) ; \(Y'_{\text{B}} \approx 31.91 \, \text{cm}\))
Point C' : (\(X'_{\text{C}} \approx 17.06 \, \text{cm}\) ; \(Y'_{\text{C}} \approx 7.88 \, \text{cm}\))

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'échelle d'un plan est 1/1000, une distance réelle de 500 m sera représentée sur le plan par :

50 cm
5 cm
0.5 cm
500 cm

Question 4 : Distance Terrain à partir d'une Mesure Graphique

Principe :

La distance réelle (\(L_{\text{reel}}\)) est obtenue en multipliant la distance graphique mesurée sur le plan (\(L'_{\text{graph}}\)) par le dénominateur de l'échelle (\(E\)).

Formule(s) utilisée(s) :

L_{\text{reel}} = L'_{\text{graph}} \times E

Données spécifiques :

Distance graphique mesurée A'C' : \(18.5 \, \text{cm} = 0.185 \, \text{m}\)
Échelle \(E=500\)
Distance réelle \(L_{\text{CA}}\) calculée à la Q1 : \(\approx 85.489 \, \text{m}\)

Calcul de la distance terrain correspondante :

\begin{aligned} L_{\text{CA_mes_graph}} &= 0.185 \, \text{m} \times 500 \\ &= 92.5 \, \text{m} \end{aligned}

Comparaison :

Distance réelle calculée \(L_{\text{CA}} \approx 85.49 \, \text{m}\).

Distance terrain déduite de la mesure graphique \(L_{\text{CA_mes_graph}} = 92.5 \, \text{m}\).

Différence : \(92.5 \, \text{m} - 85.49 \, \text{m} = 7.01 \, \text{m}\).

Cette différence est significative. Elle peut être due à plusieurs facteurs : imprécision de la mesure graphique sur le plan, déformations du support papier, ou erreurs dans le report initial des points si la mesure graphique est faite sur un plan réellement dessiné. Dans le cadre d'un exercice, si la mesure graphique est une donnée, cela met en évidence l'impact des erreurs de lecture ou de dessin sur les estimations de distances réelles.

Résultat Question 4 : La distance terrain correspondante à une mesure graphique de \(18.5 \, \text{cm}\) est de \(92.5 \, \text{m}\). Cette valeur diffère de la distance réelle calculée (\(85.49 \, \text{m}\)) de \(7.01 \, \text{m}\), indiquant une potentielle imprécision de la mesure graphique ou du dessin.

Glossaire

Report sur Plan: Action de dessiner sur un support (papier, écran) les points, lignes et symboles représentant les éléments du terrain, en respectant une échelle définie.
Échelle d'un Plan: Rapport constant entre une distance mesurée sur le plan et la distance correspondante sur le terrain. Exprimée sous forme 1/E (ex: 1/500 signifie que 1 unité sur le plan représente 500 unités sur le terrain).
Coordonnées Terrain: Coordonnées (généralement X, Y, Z) d'un point dans un système de référence lié au terrain.
Coordonnées Graphiques: Coordonnées d'un point sur le support de dessin (plan), généralement exprimées en centimètres ou millimètres par rapport à une origine graphique.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\)): Projection de la distance entre deux points sur un plan horizontal. C'est cette distance qui est généralement représentée et mesurée sur les plans topographiques.
Formule du Laçage (ou des Trapèzes): Méthode de calcul de la superficie d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.