Études de cas pratique

EGC

Puissance d’une Centrale Hydroélectrique

Calcul de la Puissance d’une Centrale Hydroélectrique (Énergies Renouvelables)

Calcul de la Puissance d’une Centrale Hydroélectrique

Comprendre le Fonctionnement et le Calcul d'une Centrale Hydroélectrique

L'hydroélectricité est une forme d'énergie renouvelable majeure, exploitant l'énergie potentielle de l'eau stockée en hauteur (ou l'énergie cinétique d'un cours d'eau) en énergie électrique. L'eau est acheminée par une conduite forcée vers une turbine, qui se met à tourner sous l'effet de la pression et du débit de l'eau. La turbine entraîne un alternateur qui produit de l'électricité. La puissance générée dépend principalement de la hauteur de chute (différence d'altitude entre le niveau d'eau amont et la turbine) et du débit d'eau turbiné. Cependant, des pertes d'énergie se produisent tout au long du processus : pertes de charge dans la conduite forcée (dues aux frottements et aux singularités), rendement de la turbine et rendement de l'alternateur. Le calcul de ces éléments est crucial pour estimer la production d'énergie potentielle d'un site et dimensionner correctement les installations.

Données de l'étude

On étudie une petite centrale hydroélectrique de type "au fil de l'eau" avec une conduite forcée.

Caractéristiques de l'aménagement :

  • Hauteur de chute brute (\(H_b\)) (différence d'altitude entre la prise d'eau et l'axe de la turbine) : \(50 \, \text{m}\)
  • Débit d'équipement de la turbine (\(Q\)) : \(2.5 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Conduite forcée :
    • Longueur (\(L\)) : \(150 \, \text{m}\)
    • Diamètre intérieur (\(D\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
    • Coefficient de frottement de Darcy (\(f\)) : \(0.02\)
    • Coefficient de pertes de charge singulières (\(K_s\)) (total pour entrée, coudes, etc.) : \(1.5\)
  • Rendement de la turbine (\(\eta_{\text{turbine}}\)) : \(0.88\) (88%)
  • Rendement de l'alternateur (\(\eta_{\text{alternateur}}\)) : \(0.95\) (95%)
  • Nombre d'heures de fonctionnement annuel à pleine charge équivalente (\(T_{\text{fonct}}\)) : \(5500 \, \text{h/an}\)

Constantes :

  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Centrale Hydroélectrique Simplifiée
Centrale Hydroélectrique {/* Réservoir Amont */} Prise d'eau {/* Conduite Forcée */} Conduite Forcée {/* Turbine et Alternateur */} Turbine Altern. {/* Canal de Fuite */} Canal de fuite {/* Hauteur de chute brute Hb */} Hb = 50m {/* Lignes électriques */} Électricité

Schéma de principe d'une petite centrale hydroélectrique.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'eau (\(V\)) dans la conduite forcée.
  2. Calculer les pertes de charge linéaires (\(J_l\)) dans la conduite forcée.
  3. Calculer les pertes de charge singulières (\(J_s\)) dans la conduite forcée.
  4. Déterminer la hauteur de chute nette (\(H_n\)) disponible à la turbine.
  5. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) disponible à l'entrée de la turbine.
  6. Calculer la puissance mécanique (\(P_m\)) fournie par la turbine à l'alternateur.
  7. Calculer la puissance électrique (\(P_e\)) produite par la centrale.
  8. Estimer la production énergétique annuelle (\(E_{\text{annuelle}}\)) de la centrale en kWh et en MWh.

Correction : Calcul d’une Centrale Hydroélectrique

Question 1 : Vitesse de l'Eau (\(V\)) dans la Conduite Forcée

Principe :

La vitesse moyenne de l'eau (\(V\)) dans une conduite est le rapport entre le débit volumique (\(Q\)) et l'aire de la section transversale (\(A\)) de la conduite. Pour une conduite circulaire, l'aire est \(A = \pi D^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \] \[ V = \frac{Q}{A} \]
Données spécifiques :
  • Débit (\(Q\)) : \(2.5 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (1.0 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi}{4} \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.785398 \, \text{m}^2 \\ V &= \frac{2.5 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.785398 \, \text{m}^2} \\ &\approx 3.183099 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(V \approx 3.18 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 1 : La vitesse de l'eau dans la conduite forcée est \(V \approx 3.18 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Pertes de Charge Linéaires (\(J_l\))

Principe :

Les pertes de charge linéaires résultent du frottement de l'eau contre les parois internes de la conduite sur toute sa longueur. Elles sont calculées avec l'équation de Darcy-Weisbach : \(J_l = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\), où \(f\) est le coefficient de frottement, \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(V\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J_l = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Données spécifiques :
  • Coefficient de frottement (\(f\)) : \(0.02\)
  • Longueur (\(L\)) : \(150 \, \text{m}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(1.0 \, \text{m}\)
  • Vitesse (\(V\)) : \(\approx 3.183099 \, \text{m/s}\) (valeur non arrondie de Q1)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(3.183099 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{10.132118 \, \text{m}^2\text{/s}^2}{19.62 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.516418 \, \text{m} \\ J_l &= 0.02 \times \frac{150 \, \text{m}}{1.0 \, \text{m}} \times 0.516418 \, \text{m} \\ &= 0.02 \times 150 \times 0.516418 \, \text{m} \\ &= 3 \times 0.516418 \, \text{m} \\ &\approx 1.549254 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(J_l \approx 1.55 \, \text{m}\).

Résultat Question 2 : Les pertes de charge linéaires dans la conduite forcée sont \(J_l \approx 1.55 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le coefficient de frottement \(f\) était plus élevé (conduite plus rugueuse ou plus ancienne), les pertes de charge linéaires \(J_l\) seraient :

Question 3 : Pertes de Charge Singulières (\(J_s\))

Principe :

Les pertes de charge singulières sont des pertes localisées dues aux éléments de la conduite qui perturbent l'écoulement régulier, tels que les grilles à l'entrée, les coudes, les vannes, les élargissements ou rétrécissements de section, et la sortie dans la turbine. Elles sont souvent exprimées en fonction de l'énergie cinétique de l'écoulement (\(V^2/2g\)) et d'un coefficient de perte de charge singulière (\(K_s\)) qui est la somme des coefficients de chaque singularité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J_s = K_s \frac{V^2}{2g} \]
Données spécifiques :
  • Coefficient global de pertes singulières (\(K_s\)) : \(1.5\)
  • Terme d'énergie cinétique (\(V^2/(2g)\)) : \(\approx 0.516418 \, \text{m}\) (calculé en Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} J_s &= 1.5 \times 0.516418 \, \text{m} \\ &\approx 0.774627 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(J_s \approx 0.77 \, \text{m}\).

Résultat Question 3 : Les pertes de charge singulières dans la conduite forcée sont \(J_s \approx 0.77 \, \text{m}\).

Question 4 : Hauteur de Chute Nette (\(H_n\))

Principe :

La hauteur de chute nette (\(H_n\)) est la hauteur d'énergie réellement disponible à l'entrée de la turbine. Elle est obtenue en soustrayant de la hauteur de chute brute (\(H_b\)) l'ensemble des pertes de charge qui se produisent dans la conduite d'amenée, c'est-à-dire les pertes de charge linéaires (\(J_l\)) et les pertes de charge singulières (\(J_s\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_n = H_b - J_l - J_s \]
Données spécifiques :
  • Hauteur de chute brute (\(H_b\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Pertes de charge linéaires (\(J_l\)) : \(\approx 1.549254 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q2)
  • Pertes de charge singulières (\(J_s\)) : \(\approx 0.774627 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} H_n &= 50 \, \text{m} - 1.549254 \, \text{m} - 0.774627 \, \text{m} \\ &= 50 \, \text{m} - 2.323881 \, \text{m} \\ &\approx 47.676119 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(H_n \approx 47.68 \, \text{m}\)

Résultat Question 4 : La hauteur de chute nette disponible à la turbine est \(H_n \approx 47.68 \, \text{m}\).

Question 5 : Puissance Hydraulique (\(P_h\)) Disponible

Principe :

La puissance hydraulique (\(P_h\)) est la puissance brute que l'eau peut fournir à la turbine. Elle est fonction de la masse volumique de l'eau (\(\rho\)), de l'accélération de la gravité (\(g\)), du débit (\(Q\)) et de la hauteur de chute nette (\(H_n\)). C'est l'énergie potentielle par unité de temps qui est convertie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_n \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Débit (\(Q\)) : \(2.5 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Hauteur de chute nette (\(H_n\)) : \(\approx 47.676119 \, \text{m}\) (valeur non arrondie de Q4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2.5 \, \text{m}^3\text{/s} \cdot 47.676119 \, \text{m} \\ &= 24525 \, \text{N/m}^3 \cdot \text{m}^3\text{/s} \cdot 47.676119 \, \text{m} \\ &= 24525 \frac{\text{N}}{\text{s}} \cdot 47.676119 \\ &\approx 1169296.7 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_h \approx 1169.3 \, \text{kW}\) ou \(1.169 \, \text{MW}\).

Résultat Question 5 : La puissance hydraulique disponible à l'entrée de la turbine est \(P_h \approx 1169.3 \, \text{kW}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le débit (\(Q\)) turbiné diminuait, la puissance hydraulique (\(P_h\)) (en supposant \(H_n\) peu affectée par cette variation de débit pour ce quiz) :

Question 6 : Puissance Mécanique (\(P_m\)) Fournie par la Turbine

Principe :

La turbine convertit une partie de la puissance hydraulique disponible (\(P_h\)) en puissance mécanique (\(P_m\)) sur son arbre de sortie. Cette conversion n'est pas parfaite et est caractérisée par le rendement de la turbine (\(\eta_{\text{turbine}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_m = P_h \cdot \eta_{\text{turbine}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance hydraulique (\(P_h\)) : \(\approx 1169296.7 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q5)
  • Rendement de la turbine (\(\eta_{\text{turbine}}\)) : \(0.88\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_m &= 1169296.7 \, \text{W} \times 0.88 \\ &\approx 1029001.1 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_m \approx 1029.0 \, \text{kW}\) ou \(1.029 \, \text{MW}\).

Résultat Question 6 : La puissance mécanique fournie par la turbine est \(P_m \approx 1029.0 \, \text{kW}\).

Question 7 : Puissance Électrique (\(P_e\)) Produite par la Centrale

Principe :

L'alternateur (ou générateur) convertit la puissance mécanique fournie par la turbine en puissance électrique (\(P_e\)). Cette conversion a également un rendement, celui de l'alternateur (\(\eta_{\text{alternateur}}\)). La puissance électrique nette produite est donc la puissance mécanique multipliée par ce rendement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_e = P_m \cdot \eta_{\text{alternateur}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance mécanique (\(P_m\)) : \(\approx 1029001.1 \, \text{W}\) (valeur non arrondie de Q6)
  • Rendement de l'alternateur (\(\eta_{\text{alternateur}}\)) : \(0.95\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_e &= 1029001.1 \, \text{W} \times 0.95 \\ &\approx 977551.045 \, \text{W} \end{aligned} \]

Soit \(P_e \approx 977.6 \, \text{kW}\) ou \(0.978 \, \text{MW}\).

Résultat Question 7 : La puissance électrique produite par la centrale est \(P_e \approx 977.6 \, \text{kW}\).

Question 8 : Production Énergétique Annuelle (\(E_{\text{annuelle}}\))

Principe :

L'énergie électrique produite sur une année (\(E_{\text{annuelle}}\)) est le produit de la puissance électrique nette de la centrale (\(P_e\)) par son nombre d'heures de fonctionnement équivalent à pleine charge sur une année (\(T_{\text{fonct}}\)). Ce nombre d'heures équivalentes tient compte de la variabilité du débit du cours d'eau et de la disponibilité de la centrale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{\text{annuelle}} = P_e \times T_{\text{fonct}} \]
Données spécifiques :
  • Puissance électrique (\(P_e\)) : \(\approx 977.551 \, \text{kW}\) (valeur non arrondie de Q7)
  • Nombre d'heures de fonctionnement (\(T_{\text{fonct}}\)) : \(5500 \, \text{h/an}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{annuelle}} &= 977.551045 \, \text{kW} \times 5500 \, \text{h/an} \\ &\approx 5376530.7475 \, \text{kWh/an} \end{aligned} \]

En MWh/an : \(E_{\text{annuelle}} \approx 5376.5 \, \text{MWh/an}\).

En GWh/an : \(E_{\text{annuelle}} \approx 5.377 \, \text{GWh/an}\).

Résultat Question 8 : La production énergétique annuelle estimée de la centrale est d'environ \(5\,376\,531 \, \text{kWh/an}\) (soit \(5376.5 \, \text{MWh/an}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Si le rendement global de la chaîne de conversion (turbine + alternateur) était plus faible, la puissance électrique produite pour la même puissance hydraulique disponible serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La hauteur de chute nette (\(H_n\)) est toujours :

2. La puissance hydraulique disponible à la turbine dépend de :

3. Si le rendement de l'alternateur est de 90% (\(0.9\)), cela signifie que :

Glossaire

Hauteur de Chute Brute (\(H_b\))
Différence totale d'altitude entre le niveau de l'eau à la prise d'eau (amont) et le niveau de l'eau à la restitution (aval) ou l'axe de la turbine.
Conduite Forcée (Penstock)
Conduite qui achemine l'eau sous pression depuis la prise d'eau jusqu'à la turbine d'une centrale hydroélectrique.
Pertes de Charge (\(J\))
Perte d'énergie hydraulique (exprimée en hauteur de colonne d'eau) due aux frottements (pertes linéaires) et aux singularités (coudes, vannes, etc.) dans une conduite.
Pertes de Charge Linéaires (\(J_l\))
Pertes de charge dues au frottement du fluide contre les parois de la conduite sur sa longueur.
Pertes de Charge Singulières (\(J_s\))
Pertes de charge localisées dues aux changements de section, coudes, vannes, grilles, entrée et sortie de la conduite.
Hauteur de Chute Nette (\(H_n\))
Hauteur de chute brute diminuée de l'ensemble des pertes de charge dans les ouvrages d'amenée (conduite forcée). C'est la hauteur d'énergie réellement disponible pour la turbine.
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance théorique de l'eau disponible, calculée à partir du débit et de la hauteur de chute nette. \(P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_n\).
Turbine Hydraulique
Machine rotative qui convertit l'énergie hydraulique (pression et cinétique) de l'eau en énergie mécanique de rotation.
Rendement de la Turbine (\(\eta_{\text{turbine}}\))
Rapport entre la puissance mécanique fournie par la turbine et la puissance hydraulique qu'elle reçoit.
Alternateur (Générateur)
Machine rotative qui convertit l'énergie mécanique fournie par la turbine en énergie électrique.
Rendement de l'Alternateur (\(\eta_{\text{alternateur}}\))
Rapport entre la puissance électrique produite par l'alternateur et la puissance mécanique qu'il reçoit de la turbine.
Puissance Électrique (\(P_e\))
Puissance électrique nette produite par la centrale, disponible pour être injectée dans le réseau. \(P_e = P_h \cdot \eta_{\text{turbine}} \cdot \eta_{\text{alternateur}}\).
Calcul de la Puissance d’une Centrale Hydroélectrique - Exercice d'Application

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