Études de cas pratique

EGC

Processus Isobare pour l’Air

Processus Isobare pour l’Air en Thermodynamique

Processus Isobare pour l’Air (Gaz Parfait)

Comprendre les Processus Isobariques

Un processus isobare est une transformation thermodynamique qui se déroule à pression constante (\(\Delta P = 0\)). De nombreux processus réels se produisent à pression atmosphérique constante, ce qui rend l'étude des transformations isobares particulièrement pertinente. Lorsqu'un système (comme un gaz dans un cylindre avec un piston mobile libre) est chauffé ou refroidi à pression constante, il y a généralement un changement de volume, et donc un travail d'expansion ou de compression. La chaleur échangée lors d'un processus isobare réversible est égale à la variation d'enthalpie du système. Cet exercice se concentre sur le calcul du travail, de la chaleur, de la variation d'énergie interne et de la variation d'enthalpie pour un gaz parfait subissant un chauffage isobare.

Données de l'étude

On considère \(n\) moles d'air, assimilé à un gaz parfait diatomique, subissant un chauffage à pression constante dans un cylindre muni d'un piston mobile sans frottement.

Caractéristiques du gaz et de la transformation :

  • Type de gaz : Air (assimilé à un gaz parfait diatomique)
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(0.2 \, \text{mol}\)
  • Pression constante durant la transformation (\(P\)) : \(1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27^\circ\text{C}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(227^\circ\text{C}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant pour l'air (\(C_V\)) : \(\frac{5}{2}R\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante pour l'air (\(C_P\)) : \(\frac{7}{2}R\)
Schéma : Chauffage Isobare d'un Gaz dans un Cylindre-Piston
V1, T1 État Initial Poids (P=cste) Q V2, T2 W Chauffage Isobare (P = cste) Piston mobile sans frottement

Chauffage d'un gaz à pression constante dans un cylindre avec piston mobile.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures initiale (\(T_1\)) et finale (\(T_2\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer le volume initial (\(V_1\)) et le volume final (\(V_2\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  3. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette transformation isobare. Préciser s'il est moteur ou résistant.
  4. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz.
  5. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_P\)) échangée par le gaz avec l'extérieur. Le gaz absorbe-t-il ou cède-t-il de la chaleur ?
  6. Calculer la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du gaz et vérifier la relation \(\Delta H = Q_P\).

Correction : Chauffage de l’Air à Pression Constante

Question 1 : Conversion des températures en Kelvin

Principe :

La relation entre Celsius (\(^\circ\text{C}\)) et Kelvin (K) est \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\).

Données spécifiques :
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(27^\circ\text{C}\)
  • Température finale (\(T_2\)) : \(227^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 (\text{K}) &= 27 + 273.15 = 300.15 \, \text{K} \\ T_2 (\text{K}) &= 227 + 273.15 = 500.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Pour simplifier les calculs suivants, on peut utiliser \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et \(T_2 = 500 \, \text{K}\) si une approximation est acceptable, ou conserver les .15 pour plus de précision.

Résultat Question 1 :
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 = 500.15 \, \text{K}\)

Question 2 : Volumes initial (\(V_1\)) et final (\(V_2\))

Principe :

Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits \(PV = nRT\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \frac{nRT}{P} \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.2 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Pression constante (\(P\)) : \(1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 = 500.15 \, \text{K}\)
Calcul :

Volume initial \(V_1\) :

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{0.2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300.15 \, \text{K}}{1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{499.00962 \, \text{J}}{150000 \, \text{Pa}} \\ &\approx 0.0033267 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

Volume final \(V_2\) :

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{0.2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 500.15 \, \text{K}}{1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{831.58962 \, \text{J}}{150000 \, \text{Pa}} \\ &\approx 0.0055439 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • Volume initial : \(V_1 \approx 0.003327 \, \text{m}^3\) (soit \(3.327 \, \text{L}\))
  • Volume final : \(V_2 \approx 0.005544 \, \text{m}^3\) (soit \(5.544 \, \text{L}\))

Question 3 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une transformation isobare réversible, le travail reçu par le système est \(W = -P \Delta V\). Le travail effectué par le gaz est \(P \Delta V\).

Formule(s) utilisée(s) (travail reçu par le gaz) :
\[ W = -P (V_2 - V_1) \]
Données spécifiques :
  • Pression constante (\(P\)) : \(1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 \approx 0.0033267 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 \approx 0.0055439 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta V &= V_2 - V_1 \\ &\approx 0.0055439 \, \text{m}^3 - 0.0033267 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.0022172 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} W &= -(1.5 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.0022172 \, \text{m}^3) \\ &\approx -332.58 \, \text{J} \end{aligned} \]

Puisque \(W < 0\), le travail est fourni par le gaz à l'extérieur. C'est un travail moteur.

Résultat Question 3 : Le travail reçu par le gaz est \(W \approx -332.6 \, \text{J}\). C'est un travail moteur.

Question 4 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température et de sa capacité thermique molaire à volume constant \(C_V\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_V (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.2 \, \text{mol}\)
  • \(C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300.15 \, \text{K}\)
  • \(T_2 = 500.15 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T = T_2 - T_1 = 200 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &= 0.2 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 200 \, \text{K} \\ &= 0.2 \times 4157 \, \text{J} \\ &= 831.4 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U = 831.4 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'un chauffage isobare d'un gaz parfait, sa température augmente. Son énergie interne :

Question 5 : Quantité de chaleur (\(Q_P\)) échangée

Principe :

Appliquer le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\). Pour une transformation à pression constante, la chaleur échangée est notée \(Q_P\).

Alternativement, pour une transformation isobare, \(Q_P = n C_P \Delta T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_P = \Delta U - W \quad \text{ou} \quad Q_P = n C_P (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta U = 831.4 \, \text{J}\)
  • Travail reçu par le gaz (\(W\)) : \(\approx -332.58 \, \text{J}\)
  • \(n = 0.2 \, \text{mol}\)
  • \(C_P = \frac{7}{2}R = \frac{7}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\Delta T = 200 \, \text{K}\)
Calcul (Méthode 1 : Premier Principe) :
\[ \begin{aligned} Q_P &= 831.4 \, \text{J} - (-332.58 \, \text{J}) \\ &= 831.4 \, \text{J} + 332.58 \, \text{J} \\ &\approx 1163.98 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 : Capacité thermique) :
\[ \begin{aligned} Q_P &= 0.2 \, \text{mol} \times 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 200 \, \text{K} \\ &= 0.2 \times 5819.8 \, \text{J} \\ &= 1163.96 \, \text{J} \end{aligned} \]

Les valeurs sont cohérentes (aux arrondis près). Puisque \(Q_P > 0\), le gaz absorbe de la chaleur.

Résultat Question 5 : La quantité de chaleur échangée est \(Q_P \approx 1164.0 \, \text{J}\). Le gaz absorbe cette chaleur.

Question 6 : Variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) et vérification

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie est \(\Delta H = n C_P (T_2 - T_1)\). Pour une transformation isobare, on s'attend à ce que \(\Delta H = Q_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = n C_P (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.2 \, \text{mol}\)
  • \(C_P = 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\Delta T = 200 \, \text{K}\)
  • \(Q_P \approx 1163.96 \, \text{J}\) (valeur calculée précédemment)
Calcul et Vérification :

Variation d'enthalpie \(\Delta H\) :

\[ \begin{aligned} \Delta H &= 0.2 \, \text{mol} \times 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 200 \, \text{K} \\ &= 1163.96 \, \text{J} \end{aligned} \]

Comparaison :

\(\Delta H \approx 1164.0 \, \text{J}\)

\(Q_P \approx 1164.0 \, \text{J}\)

Les valeurs sont égales, ce qui vérifie que pour cette transformation isobare, \(\Delta H = Q_P\).

Résultat Question 6 : La variation d'enthalpie du gaz est \(\Delta H \approx 1164.0 \, \text{J}\), ce qui est égal à \(Q_P\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors d'une transformation isobare, quelle grandeur reste constante ?

2. Pour un gaz parfait subissant un chauffage isobare, la chaleur échangée \(Q_P\) est égale à :

3. Si un gaz parfait se détend à pression constante en recevant de la chaleur :

Glossaire

Transformation Isobare
Processus thermodynamique qui se déroule à pression constante (\(P = \text{cste}\)).
Gaz Parfait
Modèle de gaz idéal obéissant à l'équation d'état \(PV = nRT\), dont l'énergie interne et l'enthalpie ne dépendent que de la température.
Énergie Interne (\(U\))
Somme des énergies microscopiques d'un système. Pour un gaz parfait, \(\Delta U = nC_V\Delta T\).
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Pour un gaz parfait, \(\Delta H = nC_P\Delta T\). Pour une transformation isobare, \(\Delta H = Q_P\).
Travail (\(W\))
Énergie transférée par l'action d'une force sur une distance. Pour une transformation isobare réversible, le travail reçu par le système est \(W = -P\Delta V\).
Chaleur (\(Q\))
Énergie transférée en raison d'une différence de température. \(Q_P\) désigne la chaleur échangée à pression constante.
Capacité Thermique Molaire (\(C_V, C_P\))
\(C_V\) est la capacité thermique molaire à volume constant, \(C_P\) est la capacité thermique molaire à pression constante. Pour un gaz parfait, \(C_P - C_V = R\).
Premier Principe de la Thermodynamique
Exprime la conservation de l'énergie : \(\Delta U = Q + W\).
Processus Isobare pour l’Air - Exercice d'Application

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