Études de cas pratique

EGC

Moment non compensé dû à l’action de l’eau

Calcul du Moment non Compensé dû à l’Action de l’Eau

Calcul du Moment non Compensé dû à l’Action de l’Eau

Comprendre le Moment dû à l'Action de l'Eau

Lorsqu'une surface plane est immergée dans un fluide, la force hydrostatique résultante s'applique au centre de poussée. Si cette surface est articulée ou peut pivoter autour d'un axe, cette force hydrostatique crée un moment par rapport à cet axe. Ce moment, souvent appelé moment non compensé, est crucial dans la conception des vannes, des portes d'écluse, et d'autres structures mobiles en contact avec l'eau. Il faut le calculer pour déterminer les efforts nécessaires pour manœuvrer ces structures ou pour assurer leur stabilité en position fermée.

Données de l'étude

On étudie une vanne rectangulaire verticale, articulée à son bord supérieur. De l'eau est présente d'un seul côté de la vanne.

Caractéristiques de la vanne et du fluide :

  • Forme de la vanne : Rectangulaire
  • Hauteur de la vanne (\(H\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne (\(L\)) : \(2.0 \, \text{m}\) (dimension perpendiculaire au plan du schéma)
  • La vanne est articulée à son bord supérieur, qui coïncide avec la surface libre de l'eau.
  • Hauteur d'eau retenue par la vanne (\(h_w\)) : \(3.0 \, \text{m}\) (la vanne est donc complètement immergée jusqu'à son articulation)
  • Fluide : Eau. Masse volumique (\(\rho_{\text{eau}}\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Vanne Rectangulaire Verticale Articulée
Surface Libre / Articulation (O) O FH yP M0 H = hw = 3m Vanne Verticale et Moment

Schéma d'une vanne rectangulaire verticale articulée à son sommet, soumise à la pression de l'eau.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la surface immergée de la vanne (\(A\)).
  2. Calculer la profondeur verticale du centroïde (G) de la surface immergée de la vanne (\(\bar{y}_{\text{v}}\)), mesurée depuis la surface libre.
  3. Calculer la force de pression hydrostatique résultante (\(F_H\)) s'exerçant sur la vanne.
  4. Calculer le moment d'inertie de la surface immergée de la vanne par rapport à son axe centroidal horizontal (\(I_{Gxx}\)).
  5. Calculer la distance verticale du centre de poussée (P) à la surface libre (\(y_P\)).
  6. Calculer le bras de levier de la force hydrostatique (\(d\)) par rapport à l'articulation (O) située au sommet de la vanne.
  7. Calculer le moment non compensé (\(M_O\)) dû à l'action de l'eau par rapport à l'articulation (O).

Correction : Calcul du Moment non Compensé dû à l’Action de l’Eau

Question 1 : Aire de la Surface Immergée (\(A\))

Principe :

L'aire d'une surface rectangulaire est le produit de sa hauteur par sa largeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = H \cdot L\]
Données spécifiques :
  • Hauteur de la vanne (et hauteur d'eau) \(H = h_w = 3.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne \(L = 2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 3.0 \, \text{m} \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 6.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la surface immergée de la vanne est \(A = 6.0 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Profondeur Verticale du Centroïde (\(\bar{y}_{\text{v}}\))

Principe :

Pour une surface rectangulaire verticale dont le bord supérieur coïncide avec la surface libre, le centroïde (G) est situé à mi-hauteur de la surface immergée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\bar{y}_{\text{v}} = \frac{H}{2}\]

(puisque le sommet de la vanne est à la surface libre et \(h_w = H\))

Données spécifiques :
  • \(H = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \bar{y}_{\text{v}} &= \frac{3.0 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La profondeur verticale du centroïde est \(\bar{y}_{\text{v}} = 1.5 \, \text{m}\).

Question 3 : Force de Pression Hydrostatique Résultante (\(F_H\))

Principe :

La force de pression hydrostatique résultante sur une surface plane immergée est \(F_H = \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot \bar{y}_{\text{v}} \cdot A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_H = \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot \bar{y}_{\text{v}} \cdot A\]
Données spécifiques :
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(\bar{y}_{\text{v}} = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(A = 6.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_H &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 1.5 \, \text{m} \times 6.0 \, \text{m}^2 \\ &= 9810 \, \frac{\text{N}}{\text{m}^3} \times 9.0 \, \text{m}^3 \\ &= 88290 \, \text{N} \end{aligned} \]

Soit \(F_H \approx 88.29 \, \text{kN}\).

Résultat Question 3 : La force de pression hydrostatique résultante est \(F_H \approx 88290 \, \text{N}\) (ou \(88.29 \, \text{kN}\)).

Question 4 : Moment d'Inertie (\(I_{Gxx}\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une surface rectangulaire de largeur \(L\) et de hauteur \(H\) par rapport à un axe horizontal passant par son centroïde est \(I_{Gxx} = \frac{L H^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{Gxx} = \frac{L H^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • Largeur de la vanne \(L = 2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de la vanne \(H = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{Gxx} &= \frac{2.0 \, \text{m} \times (3.0 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{2.0 \, \text{m} \times 27.0 \, \text{m}^3}{12} \\ &= \frac{54.0 \, \text{m}^4}{12} \\ &= 4.5 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment d'inertie est \(I_{Gxx} = 4.5 \, \text{m}^4\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe :

Question 5 : Distance Verticale au Centre de Poussée (\(y_P\))

Principe :

La distance verticale \(y_P\) du centre de poussée (P) à la surface libre, pour une surface plane verticale, est donnée par \(y_P = \bar{y}_{\text{v}} + \frac{I_{Gxx}}{A \cdot \bar{y}_{\text{v}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_P = \bar{y}_{\text{v}} + \frac{I_{Gxx}}{A \cdot \bar{y}_{\text{v}}}\]
Données spécifiques :
  • \(\bar{y}_{\text{v}} = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(I_{Gxx} = 4.5 \, \text{m}^4\)
  • \(A = 6.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_P &= 1.5 \, \text{m} + \frac{4.5 \, \text{m}^4}{6.0 \, \text{m}^2 \times 1.5 \, \text{m}} \\ &= 1.5 \, \text{m} + \frac{4.5 \, \text{m}^4}{9.0 \, \text{m}^3} \\ &= 1.5 \, \text{m} + 0.5 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La distance verticale du centre de poussée à la surface libre est \(y_P = 2.0 \, \text{m}\).

Question 6 : Bras de Levier de la Force Hydrostatique (\(d\))

Principe :

Le bras de levier (\(d\)) de la force hydrostatique \(F_H\) par rapport à l'articulation (O) est la distance verticale entre l'articulation et le centre de poussée (P). Puisque l'articulation est à la surface libre, \(d = y_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[d = y_P\]
Données spécifiques :
  • \(y_P = 2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ d = 2.0 \, \text{m} \]
Résultat Question 6 : Le bras de levier de la force hydrostatique par rapport à l'articulation est \(d = 2.0 \, \text{m}\).

Question 7 : Moment non Compensé (\(M_O\))

Principe :

Le moment non compensé (\(M_O\)) dû à l'action de l'eau par rapport à l'articulation (O) est le produit de la force hydrostatique résultante (\(F_H\)) par son bras de levier (\(d\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_O = F_H \cdot d\]
Données spécifiques :
  • \(F_H \approx 88290 \, \text{N}\)
  • \(d = 2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_O &= 88290 \, \text{N} \times 2.0 \, \text{m} \\ &= 176580 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Soit \(M_O \approx 176.58 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Résultat Question 7 : Le moment non compensé dû à l'action de l'eau par rapport à l'articulation est \(M_O \approx 176580 \, \text{N} \cdot \text{m}\) (ou \(176.58 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la hauteur d'eau \(h_w\) augmente, le moment non compensé \(M_O\) autour de l'articulation supérieure :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le centre de poussée sur une surface plane verticale immergée, dont le bord supérieur est à la surface libre, est situé à :

2. Le moment d'une force par rapport à un axe est :

3. Si une vanne est articulée à son sommet et que la force hydrostatique s'applique en dessous de ce sommet, le moment créé tend à :

Glossaire

Moment d'une Force
Capacité d'une force à faire tourner un objet autour d'un axe ou d'un point. Il est calculé comme le produit de la force par le bras de levier (distance perpendiculaire de l'axe à la ligne d'action de la force).
Force Hydrostatique (\(F_H\))
Force résultante exercée par un fluide au repos sur une surface immergée.
Centre de Poussée (P)
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée.
Centroïde (G)
Centre géométrique d'une surface plane.
Moment d'Inertie (\(I_{Gxx}\))
Propriété géométrique d'une surface qui décrit comment ses points sont distribués par rapport à un axe passant par son centroïde. Pour les surfaces planes, il influence la position du centre de poussée par rapport au centroïde.
Bras de Levier (\(d\))
Distance perpendiculaire entre l'axe de rotation (ou le point de pivot) et la ligne d'action d'une force.
Calcul du Moment non Compensé - Exercice d'Application

D’autres exercices d’hydraulique:

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