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Moment non compensé dû à l’action de l’eau

Exercice : Moment non compensé dû à l’action de l’eau

Moment non compensé dû à l’action de l’eau

Contexte : L'étude de la stabilité des barrages-poidsOuvrage de retenue d'eau dont la propre masse suffit à résister à la poussée de l'eau..

Les barrages-poids sont des structures massives, généralement en béton, conçues pour retenir de grandes quantités d'eau. Leur stabilité dépend d'un équilibre délicat entre les forces qui cherchent à le renverser (principalement la poussée de l'eau) et celles qui le stabilisent (son propre poids). Cet exercice vous guidera à travers le calcul fondamental pour vérifier si un barrage résiste au moment de renversementEffet de rotation créé par une force (ici, la poussée de l'eau) qui tend à faire basculer une structure autour d'un point de pivot..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre comment les principes de la statique et de l'hydrostatique s'appliquent à des ouvrages de génie civil réels. Vous apprendrez à quantifier les forces et les moments pour évaluer la sécurité d'une structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la force de poussée hydrostatique sur une surface plane.
  • Déterminer le centre de poussée et calculer le moment de renversement.
  • Calculer le poids d'une structure et son moment stabilisateur.
  • Évaluer la stabilité d'un ouvrage à l'aide d'un coefficient de sécurité.

Données de l'étude

On étudie un barrage-poids de profil trapézoïdal, d'une longueur (largeur dans la direction de l'écoulement) de 1 mètre, qui retient une hauteur d'eau H.

Schéma du Barrage-Poids
Eau Béton H = 12 m B = 8 m A (Point de pivot)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur d'eau \(H\) 12 \(\text{m}\)
Largeur de la base \(B\) 8 \(\text{m}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho_{\text{eau}}\) 1000 \(\text{kg/m}^3\)
Masse volumique du béton \(\rho_{\text{béton}}\) 2500 \(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la force de poussée hydrostatique \(F\) exercée par l'eau sur le parement amont (la face verticale) du barrage.
  2. Déterminer la position du centre de poussée \(y_P\) par rapport à la base du barrage.
  3. Calculer le moment de renversement \(M_{\text{renv}}\) dû à la poussée de l'eau par rapport au point de pivot A (le pied aval du barrage).
  4. Calculer le poids \(W\) du barrage et le moment stabilisateur \(M_{\text{stab}}\) qu'il génère par rapport au point A.
  5. Calculer le moment non compensé (ou moment résultant) au point A.
  6. Calculer le coefficient de sécurité au renversement \(F_{S}\) et conclure sur la stabilité de l'ouvrage.

Les bases de l'Hydrostatique

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les principes fondamentaux de l'hydrostatique, qui décrivent les fluides au repos.

1. Pression Hydrostatique
La pression exercée par un fluide à une profondeur \(h\) est donnée par la loi de Pascal : \(p = \rho \cdot g \cdot h\). La pression augmente linéairement avec la profondeur. Sa distribution sur une paroi verticale est donc triangulaire.

2. Poussée sur une Paroi Verticale
La force résultante de la pression de l'eau, appelée poussée hydrostatique, est l'intégrale de la pression sur la surface mouillée. Pour une paroi rectangulaire de hauteur \(H\) et de largeur \(L\), cette force est égale à l'aire du diagramme des pressions: \[ F = \frac{1}{2} \cdot p_{\text{base}} \cdot A = \frac{1}{2} (\rho g H) (H L) = \frac{1}{2} \rho g H^2 L \]

3. Centre de Poussée
Le point d'application de la force de poussée n'est pas au centre géométrique, mais au centre de gravité du diagramme des pressions. Pour un diagramme triangulaire sur une paroi verticale, ce centre de poussée se situe au tiers de la hauteur d'eau, en partant de la base. \[ y_P = \frac{H}{3} \]

Correction : Moment non compensé dû à l’action de l’eau

Question 1 : Calculer la force de poussée hydrostatique \(F\)

Principe

La force de poussée de l'eau sur la face verticale du barrage correspond à la force résultante de la distribution de pression. Comme la pression de l'eau augmente linéairement avec la profondeur, cette distribution a une forme triangulaire. La force totale est donc l'aire de ce triangle de pression.

Mini-Cours

La pression hydrostatique à une profondeur \(h\) est \(p = \rho g h\). Cette pression s'exerce perpendiculairement à la paroi. Pour obtenir la force totale (la poussée), on intègre cette pression sur toute la surface mouillée. Pour une surface rectangulaire, cette intégration se simplifie pour devenir l'aire du diagramme de pression.

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours le diagramme des pressions. C'est un triangle avec une valeur nulle à la surface et une valeur maximale (\(p_{\text{max}} = \rho g H\)) à la base. La force que nous cherchons est simplement l'aire de ce triangle multipliée par la largeur (1 m ici).

Normes

Le calcul des charges hydrostatiques est une étape fondamentale définie dans les normes de conception des ouvrages hydrauliques, comme l'Eurocode 7 pour les aspects géotechniques ou les directives du COFRABL (Comité Français des Grands Barrages).

Formule(s)

Formule de la poussée hydrostatique

\[ F = \frac{1}{2} \rho_{\text{eau}} g H^2 L \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'eau est un fluide incompressible et au repos (statique).
  • La masse volumique de l'eau est constante.
  • Le parement amont du barrage est parfaitement vertical.
  • La pression à la surface de l'eau est la pression atmosphérique (prise comme référence zéro).
Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé, en considérant une "tranche" de barrage de largeur L = 1 m.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique de l'eau\(\rho_{\text{eau}}\)1000\(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Hauteur d'eau\(H\)12\(\text{m}\)
Largeur du barrage\(L\)1\(\text{m}\)
Astuces

Pour éviter les erreurs, assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) avant de commencer le calcul. Le résultat final d'une force sera alors naturellement en Newtons (N).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Pressions Hydrostatiques
Paroip_maxp=0
Calcul(s)

Application numérique pour la force de poussée

\[ \begin{aligned} F &= \frac{1}{2} \times 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times (12 \text{ m})^2 \times 1 \text{ m} \\ &= \frac{1}{2} \times 1000 \times 9.81 \times 144 \times 1 \\ &= 706320 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Résultante F
F
Réflexions

La force exercée par l'eau est de 706 320 N, soit environ 706 kN (ou 70 tonnes-force). C'est une force considérable qui s'applique sur chaque mètre de largeur du barrage. Elle est dirigée horizontalement et tend à pousser le barrage vers l'aval.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré sur la hauteur H, c'est une source d'erreur fréquente. La force n'est pas proportionnelle à H, mais à H². Une petite augmentation de la hauteur d'eau a un grand impact sur la poussée.

Points à retenir

  • La pression de l'eau augmente linéairement avec la profondeur.
  • La force de poussée sur une paroi verticale est l'aire du diagramme de pression triangulaire.
  • La formule clé est \( F = \frac{1}{2} \rho g H^2 L \).

Le saviez-vous ?

Le paradoxe hydrostatique, démontré par Blaise Pascal, stipule que la force exercée par un fluide sur le fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur du fluide et de l'aire du fond, et non de la forme du récipient ni du volume total de liquide. C'est ce même principe qui s'applique ici.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi utilise-t-on 1 mètre pour la largeur L ?

En génie civil pour les ouvrages linéaires comme les barrages ou les murs de soutènement, il est courant de faire les calculs pour une "tranche" de 1 mètre de largeur. Le résultat (en kN/m) peut ensuite être facilement extrapolé à la longueur totale de l'ouvrage.

Résultat Final
La force de poussée hydrostatique sur 1 mètre de largeur de barrage est de \(F = 706.32 \text{ kN}\).
A vous de jouer

Quelle serait la force de poussée si le barrage retenait de l'eau de mer (\(\rho \approx 1025 \text{ kg/m}^3\)) au lieu de l'eau douce ?

Question 2 : Déterminer la position du centre de poussée \(y_P\)

Principe

Le centre de poussée est le point d'application de la force résultante \(F\). Comme la pression est nulle à la surface et maximale à la base, cette force s'applique plus bas que le milieu de la hauteur d'eau. Pour une distribution de pression triangulaire, elle se situe au centre de gravité du triangle.

Mini-Cours

Le concept de "centre de poussée" est analogue à celui de "centre de gravité" ou "centroïde". C'est le point où l'on peut considérer que toute la force est appliquée pour produire le même effet (en termes de moment) que la distribution de pression répartie. Pour un triangle, le centroïde se situe aux deux tiers de la distance depuis un sommet jusqu'au milieu du côté opposé. Pour un triangle rectangle, cela revient à se situer à 1/3 de la base et 1/3 de la hauteur par rapport à l'angle droit.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus commune est de confondre le centre de poussée avec le centre géométrique de la surface mouillée. Le centre géométrique d'un rectangle de hauteur H est à H/2. Mais comme la force est plus importante en bas, le point d'application de la force résultante est tiré vers le bas, à H/3.

Normes

La détermination correcte du point d'application des forces est une exigence fondamentale de toutes les normes de calcul de structure. Une erreur sur le bras de levier peut conduire à une sous-estimation dangereuse des moments de renversement.

Formule(s)

Formule du centre de poussée

\[ y_P = \frac{H}{3} \]
Hypothèses

Cette formule simple est valide car nous avons supposé que la distribution de pression est parfaitement triangulaire (fluide statique, densité uniforme, paroi verticale).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette question est la hauteur totale de l'eau.

ParamètreSymboleValeurUnité
Hauteur d'eau\(H\)12\(\text{m}\)
Astuces

Un moyen simple de vérifier la plausibilité de votre résultat : le centre de poussée doit toujours être dans la moitié inférieure de la hauteur d'eau. H/3 sera toujours inférieur à H/2.

Schéma (Avant les calculs)
Centroïde du Diagramme de Pression
CGy_P = ?
Calcul(s)

Application numérique pour le centre de poussée

\[ \begin{aligned} y_P &= \frac{12 \text{ m}}{3} \\ &= 4 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Centre de Poussée
F4 m
Réflexions

La force de 706 kN est donc appliquée à 4 mètres au-dessus de la base. Cette position est cruciale car elle définit le "bras de levier" qui va générer le moment de renversement.

Points de vigilance

Assurez-vous toujours de mesurer la distance \(y_P\) à partir de la base du barrage (ou du point de pivot), car c'est cette distance qui sera utilisée pour le calcul du moment.

Points à retenir

  • Le centre de poussée est le point d'application de la force hydrostatique.
  • Il est situé au centre de gravité du diagramme des pressions.
  • Pour une paroi verticale, sa hauteur par rapport à la base est \(y_P = H/3\).

Le saviez-vous ?

Pour des surfaces immergées non rectangulaires ou inclinées, la formule \(y_P = H/3\) n'est plus valable. Le calcul devient plus complexe et fait appel au moment d'inertie de la surface immergée.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

La densité du fluide influence-t-elle la position du centre de poussée ?

Non. La densité influence l'intensité de la force de poussée, mais tant que la distribution de pression reste triangulaire (ce qui est le cas pour tout fluide de densité uniforme), la position relative du centre de poussée (\(H/3\)) reste la même.

Résultat Final
Le centre de poussée est situé à \(y_P = 4 \text{ m}\) au-dessus de la base du barrage.
A vous de jouer

Si la hauteur d'eau n'était que de 9 mètres, à quelle hauteur se situerait le centre de poussée ?

Question 3 : Calculer le moment de renversement \(M_{\text{renv}}\)

Principe

Le moment de renversement est la tendance de la force de poussée à faire tourner, à faire basculer le barrage autour d'un point de pivot. Ce point est le pied aval de l'ouvrage (le point A), car c'est l'arête autour de laquelle la rotation se produirait.

Mini-Cours

Un moment de force (\(M\)) est une grandeur qui mesure l'aptitude d'une force à provoquer la rotation d'un système autour d'un point, appelé pivot. Il est calculé par \(M = F \times d\), où \(F\) est l'intensité de la force et \(d\) est le "bras de levier", c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre le point de pivot et la ligne d'action de la force.

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul de moment, identifiez toujours trois éléments : 1. La Force (\(F\)), 2. Le Point de Pivot (A), 3. Le Bras de Levier (\(y_P\)). Dessiner une flèche de rotation autour du pivot aide à visualiser le sens du moment (ici, sens anti-horaire si on regarde le schéma).

Normes

L'analyse des moments et la vérification de la stabilité au renversement sont des "états limites ultimes" (ELU) critiques dans les normes de conception comme l'Eurocode 7. L'ouvrage ne doit pas se renverser sous les charges les plus défavorables.

Formule(s)

Formule du moment de renversement

\[ M_{\text{renv}} = F \times y_P \]
Hypothèses

Nous supposons que le barrage est un corps parfaitement rigide et que le point de pivot est un point fixe A au pied de la structure.

Donnée(s)

Nous utilisons la force de poussée et la position de son point d'application calculées précédemment.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force de poussée\(F\)706320\(\text{N}\)
Bras de levier\(y_P\)4\(\text{m}\)
Astuces

Gardez bien les unités en tête : une force en Newtons (N) multipliée par une distance en mètres (m) donne un moment en Newton-mètres (N.m). Pour des grands nombres, il est pratique de convertir le résultat en kilonewton-mètres (kN.m).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Moment de Renversement
AFy_P M_renv
Calcul(s)

Application numérique pour le moment de renversement

\[ \begin{aligned} M_{\text{renv}} &= 706320 \text{ N} \times 4 \text{ m} \\ &= 2825280 \text{ N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en Kilonewton-mètres

\[ \begin{aligned} M_{\text{renv}} &= 2825280 \text{ N.m} \\ &\Rightarrow M_{\text{renv}} = 2825.28 \text{ kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Moment de Renversement
AFy_P M_renv
Réflexions

Nous avons quantifié l'action déstabilisatrice de l'eau. Le barrage est soumis à un moment de plus de 2800 kN.m qui tente de le faire basculer. Pour qu'il soit stable, il doit y avoir un moment contraire, le moment stabilisateur, d'une magnitude supérieure.

Points de vigilance

Le moment de renversement est très sensible à la hauteur d'eau. Comme \(F \propto H^2\) et \(y_P \propto H\), le moment de renversement est proportionnel à \(H^3\). Une augmentation de 10% de la hauteur d'eau augmente le moment de renversement d'environ 33% !

Points à retenir

  • Le moment est le produit d'une force par un bras de levier.
  • Le moment de renversement est créé par les forces externes (poussée de l'eau).
  • Le point de pivot pour le renversement est généralement le pied aval de la structure.

Le saviez-vous ?

La rupture du barrage de Malpasset en France en 1959, qui a causé plus de 400 morts, n'était pas due à un renversement, mais à la rupture de la roche de fondation. Cela montre que la stabilité d'un barrage est un problème complexe avec plusieurs modes de défaillance possibles (renversement, glissement, rupture interne, etc.).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Si le barrage avait une forme différente, le calcul serait-il le même ?

Non. La formule \(M_{\text{renv}} = F \times y_P\) reste la même, mais le calcul de F et de \(y_P\) changerait si le parement amont était incliné, par exemple. Il faudrait alors considérer les composantes horizontale et verticale de la poussée.

Résultat Final
Le moment de renversement par rapport au point A est de \(M_{\text{renv}} = 2825.28 \text{ kN.m}\).
A vous de jouer

Si la force de poussée était de 900 kN et qu'elle s'appliquait à 5 m de la base, quel serait le moment de renversement ?

Question 4 : Calculer le poids \(W\) et le moment stabilisateur \(M_{\text{stab}}\)

Principe

Le poids du barrage est la force principale qui s'oppose au renversement. Cette force, appliquée au centre de gravité de la structure, crée un moment "stabilisateur" par rapport au même point de pivot A, mais dans le sens opposé au moment de renversement.

Mini-Cours

Le poids \(W\) d'un objet est le produit de sa masse \(m\) et de l'accélération de la pesanteur \(g\), soit \(W=mg\). La masse est le produit du volume \(V\) et de la masse volumique \(\rho\), d'où \(W = V \rho g\). Le point d'application de cette force est le centre de gravité (CG) de l'objet, qui est le point d'équilibre de la masse.

Remarque Pédagogique

La démarche est simple : 1. Calculez l'aire de la section du barrage. 2. Multipliez par 1m pour obtenir le volume. 3. Multipliez par \(\rho_{\text{béton}} \times g\) pour obtenir le poids. 4. Déterminez la position du centre de gravité pour trouver le bras de levier par rapport à A.

Normes

Les normes de construction spécifient les poids volumiques des matériaux à utiliser dans les calculs (par exemple, environ 25 kN/m³ pour le béton armé), ainsi que les coefficients de sécurité à appliquer sur ces charges permanentes.

Formule(s)

Formule du poids

\[ W = V \times \rho_{\text{béton}} \times g = \left(\frac{1}{2} B H L\right) \rho_{\text{béton}} g \]

Formule du moment stabilisateur

\[ M_{\text{stab}} = W \times d \]
Hypothèses

Nous supposons que le béton est homogène (masse volumique constante partout) et que la forme du barrage est un triangle rectangle parfait.

Donnée(s)

Nous utilisons les dimensions du barrage et les propriétés du béton.

ParamètreSymboleValeurUnité
Base du barrage\(B\)8\(\text{m}\)
Hauteur du barrage\(H\)12\(\text{m}\)
Masse volumique béton\(\rho_{\text{béton}}\)2500\(\text{kg/m}^3\)
Astuces

Pour un triangle rectangle, le centre de gravité se trouve à 1/3 de la base et 1/3 de la hauteur à partir de l'angle droit. Le bras de levier par rapport au pied aval A sera donc de \(B - B/3 = 2B/3\).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Moment Stabilisateur
AGWd = 2B/3 M_stab
Calcul(s)

Étape 1.1 : Calcul du volume du barrage

\[ \begin{aligned} V &= \left(\frac{1}{2} \times B \times H\right) \times L \\ &= \left(\frac{1}{2} \times 8 \text{ m} \times 12 \text{ m}\right) \times 1 \text{ m} \\ &= 48 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Étape 1.2 : Calcul du poids du barrage

\[ \begin{aligned} W &= V \times \rho_{\text{béton}} \times g \\ &= 48 \text{ m}^3 \times 2500 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\ &= 1177200 \text{ N} \end{aligned} \]

Étape 2.1 : Calcul du bras de levier

\[ \begin{aligned} d &= \frac{2 \times B}{3} \\ &= \frac{2 \times 8 \text{ m}}{3} \\ &\approx 5.333 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2.2 : Calcul du moment stabilisateur

\[ \begin{aligned} M_{\text{stab}} &= W \times d \\ &= 1177200 \text{ N} \times 5.333 \text{ m} \\ &\approx 6278400 \text{ N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Forces et Moments
AFW
Réflexions

Le poids du barrage génère un moment stabilisateur de près de 6300 kN.m. Ce moment s'oppose directement au moment de renversement de ~2800 kN.m. À première vue, le moment stabilisateur semble confortablement plus grand.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur ici est la détermination du bras de levier \(d\). Assurez-vous de bien calculer la distance horizontale entre le centre de gravité et le point de pivot A, et non une autre distance.

Points à retenir

  • Le poids d'une structure est une force stabilisatrice majeure.
  • Il s'applique au centre de gravité de la structure.
  • Le moment stabilisateur est le produit du poids par son bras de levier par rapport au pivot.

Le saviez-vous ?

Les ingénieurs romains, sans connaître les formules exactes, avaient une compréhension intuitive de ces principes. Leurs aqueducs et ponts, comme le Pont du Gard, ont survécu 2000 ans en partie grâce à des conceptions massives où le poids propre assurait une stabilité exceptionnelle.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi la hauteur du centre de gravité (H/3) n'intervient-elle pas dans le calcul du moment ?

Parce que le poids est une force verticale. Le moment qu'il crée par rapport à A dépend de son bras de levier horizontal (\(d = 2B/3\)). La hauteur de son point d'application n'influence pas ce moment de rotation.

Résultat Final
Le poids du barrage est \(W = 1177.2 \text{ kN}\) et le moment stabilisateur est \(M_{\text{stab}} \approx 6278.4 \text{ kN.m}\).
A vous de jouer

Quel serait le moment stabilisateur si on utilisait un béton léger d'une densité de 1800 kg/m³ ?

Question 5 : Calculer le moment non compensé au point A

Principe

Le moment non compensé, aussi appelé moment résultant, est la somme algébrique de tous les moments agissant sur la structure par rapport au point de pivot. Il représente le moment net qui n'est pas "annulé". Le signe de ce moment indique le sens de la rotation que la structure aurait tendance à amorcer : s'il a le même sens que le moment stabilisateur, la structure est stable.

Mini-Cours

En statique, pour qu'un corps soit en équilibre de rotation, la somme des moments par rapport à n'importe quel point doit être nulle (\(\sum M = 0\)). Ici, nous calculons cette somme. Si elle n'est pas nulle, il y a un moment résultant qui doit être équilibré par les réactions du sol. Un moment résultant dans le sens stabilisateur est la condition requise pour la stabilité.

Remarque Pédagogique

Cette étape est une synthèse des calculs de moments. Elle permet de voir d'un seul coup d'œil quelle action domine. C'est une autre façon d'aborder la stabilité avant de calculer le ratio qu'est le coefficient de sécurité.

Normes

Le calcul du moment résultant est fondamental pour la vérification de l'état limite de stabilité de forme (STB-GEO) selon l'Eurocode 7. Il permet notamment de s'assurer que la résultante des forces s'applique bien dans le noyau central de la fondation pour éviter les soulèvements (traction).

Formule(s)

Formule du moment non compensé

\[ M_{\text{net}} = M_{\text{stab}} - M_{\text{renv}} \]
Hypothèses

Nous gardons les mêmes hypothèses que précédemment, à savoir que le barrage est un corps rigide et que les seuls moments pris en compte sont ceux dus au poids propre et à la poussée de l'eau.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 3 et 4.

ParamètreSymboleValeurUnité
Moment stabilisateur\(M_{\text{stab}}\)6278400\(\text{N.m}\)
Moment de renversement\(M_{\text{renv}}\)2825280\(\text{N.m}\)
Astuces

Adoptez une convention de signe claire dès le début (par exemple, sens horaire positif). Le moment stabilisateur (créé par W) est horaire, donc positif. Le moment de renversement (créé par F) est anti-horaire, donc négatif. Le calcul devient : \(M_{\text{net}} = (+M_{\text{stab}}) + (-M_{\text{renv}})\).

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des Moments
A M_renv M_stab
Calcul(s)

Calcul du moment non compensé (net)

\[ \begin{aligned} M_{\text{net}} &= 6278400 \text{ N.m} - 2825280 \text{ N.m} \\ &= 3453120 \text{ N.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Résultant
A M_net
Réflexions

Le résultat est un moment positif de 3453 kN.m. Le signe positif (selon notre convention implicite) indique que le moment résultant a le même sens que le moment stabilisateur. La structure est donc non seulement stable, mais elle appuie fermement sur sa fondation avec ce moment résiduel.

Points de vigilance

Une erreur de signe dans ce calcul final est critique. Elle mènerait à une conclusion diamétralement opposée sur la stabilité de l'ouvrage. Vérifiez toujours que le moment stabilisateur s'oppose bien au moment de renversement.

Points à retenir

  • Le moment non compensé est la différence entre le moment stabilisateur et le moment de renversement.
  • Un moment non compensé positif (dans le sens de la stabilité) indique que l'ouvrage est stable.
  • Cette valeur est cruciale pour le dimensionnement de la fondation.

Le saviez-vous ?

La notion de "noyau central" (ou tiers central pour une section rectangulaire) découle de ce calcul. Pour qu'il n'y ait aucune traction à la base du barrage, la résultante des forces (poids et poussée) doit passer à l'intérieur de ce noyau. Le moment net permet de calculer la position exacte de cette résultante.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Que se passerait-il si le moment non compensé était négatif ?

Cela signifierait que le moment de renversement est supérieur au moment stabilisateur (\(M_{\text{renv}} > M_{\text{stab}}\)). La structure serait instable et se renverserait. Le coefficient de sécurité serait alors inférieur à 1.

Résultat Final
Le moment non compensé (résultant) au point A est \(M_{\text{net}} = +3453.12 \text{ kN.m}\).
A vous de jouer

Si le moment stabilisateur était de 5000 kN.m et le moment de renversement de 4500 kN.m, quel serait le moment non compensé ?

Question 6 : Calculer le coefficient de sécurité \(F_{S}\) et conclure

Principe

Le coefficient de sécurité est une mesure de la marge de sécurité d'une structure. Il compare les forces ou moments qui assurent la stabilité (les "gentils") à ceux qui menacent de la détruire (les "méchants"). Un coefficient supérieur à 1.0 signifie que l'ouvrage résiste, mais une marge plus importante est toujours requise.

Mini-Cours

En ingénierie, la sécurité est quantifiée. Le Facteur de Sécurité (FS ou \(F_S\)) est défini comme le rapport de la capacité ultime d'un système à la charge réellement appliquée. Pour le renversement, c'est le rapport entre le moment maximum qu'il peut supporter (moment stabilisateur) et le moment qui lui est appliqué (moment de renversement).

Remarque Pédagogique

Pensez au coefficient de sécurité comme à un score. Un score de 1.0 signifie que vous êtes à la limite de la rupture. Un score de 2.0 signifie que vous avez une marge de 100% ; le barrage pourrait résister à un moment de renversement deux fois plus grand.

Normes

Les normes de conception imposent des coefficients de sécurité minimaux. Pour la stabilité au renversement d'un barrage, il est courant d'exiger un \(F_S\) d'au moins 1.5 dans des conditions normales de service, et une valeur un peu plus faible (ex: 1.2) dans des conditions exceptionnelles comme une crue millénale.

Formule(s)

Formule du coefficient de sécurité au renversement

\[ F_S = \frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{renv}}} \]
Hypothèses

Ce calcul suppose que les moments que nous avons calculés sont les seuls à agir sur la structure. En réalité, d'autres forces peuvent exister (poussée des sédiments, sous-pression de l'eau sous la base, charges sismiques, etc.).

Donnée(s)

Nous utilisons les moments calculés dans les questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Moment stabilisateur\(M_{\text{stab}}\)6278400\(\text{N.m}\)
Moment de renversement\(M_{\text{renv}}\)2825280\(\text{N.m}\)
Astuces

Le coefficient de sécurité est un nombre sans dimension (des N.m divisés par des N.m). Si vous obtenez une unité, c'est qu'il y a une erreur dans votre raisonnement.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Moments
A M_renv M_stab
Calcul(s)

Application numérique pour le coefficient de sécurité

\[ \begin{aligned} F_S &= \frac{6278400 \text{ N} \cdot \text{m}}{2825280 \text{ N} \cdot \text{m}} \\ &\approx 2.22 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan Final
A Stable
Réflexions

Le coefficient de sécurité de 2.22 est supérieur au seuil de 1.5 généralement requis par les normes pour un cas de charge normal. On peut donc conclure que, sur la base de cette analyse simplifiée, le barrage est stable au renversement.

Points de vigilance

Une conclusion de stabilité n'est valide que dans le cadre des hypothèses posées. L'oubli d'une seule force, comme la sous-pression, pourrait radicalement changer le résultat et mener à une conclusion erronée et dangereuse.

Points à retenir

  • La stabilité au renversement est évaluée en comparant les moments stabilisateurs et les moments de renversement.
  • Le coefficient de sécurité \(F_S = M_{\text{stab}} / M_{\text{renv}}\) quantifie la marge de sécurité.
  • Ce coefficient doit être supérieur à une valeur minimale imposée par les normes (ex: 1.5).

Le saviez-vous ?

Pour améliorer le coefficient de sécurité, les ingénieurs peuvent jouer sur plusieurs paramètres : élargir la base (augmente \(M_{\text{stab}}\)), installer des drains pour réduire les sous-pressions, ou encore construire une "bêche" d'ancrage dans la fondation.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Est-ce que le barrage est aussi stable au glissement ?

Cet exercice ne permet pas de le dire. La stabilité au glissement est une autre vérification essentielle, où l'on compare la force de poussée horizontale à la force de frottement résistante à la base du barrage (\(F_{\text{friction}} = \mu \times W\), où \(\mu\) est le coefficient de frottement béton/roche). Il faudrait faire ce calcul séparément.

Résultat Final
Le coefficient de sécurité au renversement est \(F_S \approx 2.22\). L'ouvrage est stable.
A vous de jouer

Supposons que pour être conforme, la norme exige un \(F_S\) de 2.5. Quel serait le poids minimal \(W\) que le barrage devrait avoir (en kN), en gardant le même moment de renversement ?

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau et la densité du béton. Observez l'impact sur les moments et le coefficient de sécurité. Le graphique montre l'évolution des moments en fonction de la hauteur d'eau pour la densité de béton choisie.

Paramètres d'Entrée
12 m
2500 kg/m³
Résultats Clés
Moment Renversement (kN.m) -
Moment Stabilisateur (kN.m) -
Coeff. Sécurité (Fs) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la hauteur d'eau double, la force de poussée hydrostatique...

2. Le centre de poussée sur une paroi verticale est toujours situé...

3. Pour augmenter la stabilité d'un barrage-poids, la solution la plus efficace est :

Barrage-Poids
Ouvrage de retenue d'eau, généralement en béton, dont la propre masse suffit à résister à la poussée de l'eau et aux autres sollicitations.
Centre de Poussée
Point d'application de la résultante des forces de pression exercées par un fluide sur une surface. Pour une surface plane verticale, il est situé au centre de gravité du diagramme des pressions.
Moment de Renversement
Effet de rotation créé par une ou plusieurs forces qui tendent à faire basculer une structure autour d'un point de pivot (généralement le pied aval pour un barrage).
Moment Stabilisateur
Effet de rotation, principalement dû au poids de la structure, qui s'oppose au moment de renversement et contribue à la stabilité de l'ouvrage.
Coefficient de Sécurité
Rapport entre les actions résistantes (stabilisatrices) et les actions motrices (déstabilisatrices). Une valeur supérieure à 1 est requise pour assurer la stabilité.
Moment non compensé dû à l’action de l’eau

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