Études de cas pratique

EGC

Mesure de Distances, Angles et Altitudes

Mesure de Distances, Angles et Altitudes en Topographie

Introduction aux Mesures Topographiques

La topographie est la technique de représentation des formes du terrain et des détails qui s'y trouvent. Les mesures fondamentales en topographie concernent les distances entre les points, les angles (horizontaux et verticaux) qui définissent leurs orientations relatives, et les altitudes qui caractérisent leur élévation. Ces mesures sont typiquement réalisées à l'aide d'instruments comme les tachéomètres (ou stations totales). À partir d'une station dont la position est connue, l'opérateur mesure des angles et des distances vers d'autres points pour en déterminer les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z). Ces calculs sont la base de la création de plans topographiques, de l'implantation d'ouvrages et de nombreuses autres applications en ingénierie et en géomatique.

Données de l'étude

Un topographe est stationné au point S, dont les coordonnées sont connues. Il effectue des mesures pour déterminer la position d'un point P.

Coordonnées de la station S :

  • \(X_{\text{S}} = 1234.56 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{S}} = 5678.90 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{S}} = 105.25 \, \text{m}\) (altitude du point au sol)

Orientation de l'instrument :

  • Le zéro du cercle horizontal de l'instrument est orienté sur un point de référence R.
  • Le gisement de la direction S-R est \(G_{\text{SR}} = 50.0000 \, \text{gon}\).

Mesures effectuées depuis S vers P :

  • Angle horizontal lu sur P (\(A_{\text{h,SP}}\)) : \(125.3450 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical zénithal lu sur P (\(A_{\text{v,SP}}\)) : \(92.7850 \, \text{gon}\)
  • Distance inclinée mesurée S-P (\(D_{\text{i,SP}}\)) : \(85.672 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument (\(h_{\text{i}}\)) à la station S : \(1.580 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme (\(h_{\text{p}}\)) au point P : \(1.650 \, \text{m}\)
Schéma d'un Levé Tacheométrique
Levé Tacheométrique S vers P S (Xs, Ys, Zs) R G_SR P Ah_SP Di_SP N hi hp

Schéma simplifié d'un levé par rayonnement depuis une station S vers un point P, avec une référence R.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h,SP}}\)) entre la station S et le point P.
  2. Calculer le gisement de la direction SP (\(G_{\text{SP}}\)).
  3. Calculer les coordonnées planimétriques (\(X_{\text{P}}\), \(Y_{\text{P}}\)) du point P.
  4. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) entre l'axe optique de l'instrument en S et le point visé sur le prisme en P.
  5. Calculer l'altitude (\(Z_{\text{P}}\)) du point P.

Correction : Mesure de Distances, Angles et Altitudes

Question 1 : Distance horizontale (\(D_{\text{h,SP}}\))

Principe :

La distance horizontale est calculée à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical zénithal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{h}} = D_{\text{i}} \times \sin(A_{\text{v}})\]

N'oubliez pas de convertir les angles en radians si votre calculatrice l'exige : \(\text{radians} = \text{gon} \times \pi / 200\).

Données et Calcul :
  • \(D_{\text{i,SP}} = 85.672 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{v,SP}} = 92.7850 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} D_{\text{h,SP}} &= 85.672 \times \sin(92.7850 \, \text{gon}) \\ &= 85.672 \times \sin(92.7850 \times \pi / 200) \\ &= 85.672 \times \sin(1.45746...) \\ &\approx 85.672 \times 0.99325 \\ &\approx 85.093 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : La distance horizontale \(D_{\text{h,SP}} \approx 85.093 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement de la direction SP (\(G_{\text{SP}}\))

Principe :

Le gisement de la direction SP est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(A_{\text{h,SP}}\)) au gisement de la référence d'orientation (\(G_{\text{SR}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = G_{\text{SR}} + A_{\text{h,SP}}\]

Si \(G_{\text{SP}} \ge 400 \, \text{gon}\), soustraire 400 gon. Si \(G_{\text{SP}} < 0 \, \text{gon}\), ajouter 400 gon.

Données et Calcul :
  • \(G_{\text{SR}} = 50.0000 \, \text{gon}\)
  • \(A_{\text{h,SP}} = 125.3450 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP}} &= 50.0000 + 125.3450 \\ &= 175.3450 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat Q2 : Le gisement \(G_{\text{SP}} = 175.3450 \, \text{gon}\).

Quiz Intermédiaire : Un angle zénithal de 100 gon indique une visée :

Question 3 : Coordonnées planimétriques (\(X_{\text{P}}\), \(Y_{\text{P}}\)) du point P

Principe :

Les coordonnées du point P sont calculées à partir des coordonnées de la station S, de la distance horizontale \(D_{\text{h,SP}}\) et du gisement \(G_{\text{SP}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_{\text{h,SP}} \times \sin(G_{\text{SP}})\]
\[Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_{\text{h,SP}} \times \cos(G_{\text{SP}})\]
Données et Calcul :
  • \(X_{\text{S}} = 1234.56 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 5678.90 \, \text{m}\)
  • \(D_{\text{h,SP}} \approx 85.093 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP}} = 175.3450 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} X_{\text{P}} &= 1234.56 + 85.093 \times \sin(175.3450 \, \text{gon}) \\ &\approx 1234.56 + 85.093 \times 0.57695 \\ &\approx 1234.56 + 49.099 \\ &\approx 1283.659 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P}} &= 5678.90 + 85.093 \times \cos(175.3450 \, \text{gon}) \\ &\approx 5678.90 + 85.093 \times (-0.81677) \\ &\approx 5678.90 - 69.502 \\ &\approx 5609.398 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : Les coordonnées du point P sont \(X_{\text{P}} \approx 1283.659 \, \text{m}\) et \(Y_{\text{P}} \approx 5609.398 \, \text{m}\).

Question 4 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{SP}}\)) entre l'axe optique en S et le prisme en P

Principe :

La dénivelée entre l'axe optique de l'instrument et le point visé sur le prisme est calculée à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical zénithal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{axe-prisme}} = - D_{\text{i}} \times \cos(A_{\text{v}})\]

Le signe négatif est utilisé car avec un angle zénithal, \(\cos(A_{\text{v}})\) est positif si la visée est vers le bas (par rapport à l'horizontale de l'instrument) et négatif si elle est vers le haut. \(\Delta Z_{\text{axe-prisme}}\) sera donc positif pour une montée et négatif pour une descente du prisme par rapport à l'axe optique.

Données et Calcul :
  • \(D_{\text{i,SP}} = 85.672 \, \text{m}\)
  • \(A_{\text{v,SP}} = 92.7850 \, \text{gon}\)
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{SP}} &= - 85.672 \times \cos(92.7850 \, \text{gon}) \\ &\approx - 85.672 \times 0.11318 \\ &\approx -9.696 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le prisme est donc \(9.696 \, \text{m}\) plus haut que l'axe optique de l'instrument.

Résultat Q4 : La dénivelée \(\Delta Z_{\text{SP}} \approx -9.696 \, \text{m}\) (le prisme est plus haut que l'axe optique).

Question 5 : Altitude (\(Z_{\text{P}}\)) du point P

Principe :

L'altitude du point P au sol est calculée à partir de l'altitude de la station S, de la hauteur de l'instrument, de la dénivelée entre l'axe optique et le prisme, et de la hauteur du prisme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_{\text{i}} + \Delta Z_{\text{SP}} - h_{\text{p}}\]
Données et Calcul :
  • \(Z_{\text{S}} = 105.250 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{i}} = 1.580 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Z_{\text{SP}} \approx -9.696 \, \text{m}\)
  • \(h_{\text{p}} = 1.650 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P}} &= 105.250 + 1.580 + (-9.696) - 1.650 \\ &= 106.830 - 9.696 - 1.650 \\ &= 97.134 - 1.650 \\ &= 95.484 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q5 : L'altitude du point P est \(Z_{\text{P}} \approx 95.484 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire : Si l'angle vertical zénithal est supérieur à 100 gon, cela signifie que la visée est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La distance horizontale est toujours :

2. Le gisement d'une direction S-P est de 150 gon. Le gisement de la direction P-S est :

3. Pour calculer l'altitude d'un point P visé depuis une station S, laquelle de ces informations N'EST PAS directement nécessaire si on a \(\Delta Z_{\text{axe-prisme}}\) ?

Glossaire

Tachéomètre (Station Totale)
Instrument de topographie qui mesure les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances inclinées. Les modèles modernes calculent directement les coordonnées (X,Y,Z).
Levé par Rayonnement
Méthode de levé topographique où, depuis un point de station connu, on mesure les angles et les distances vers des points de détail à lever.
Station
Point sur lequel l'instrument de mesure est installé et dont les coordonnées sont connues ou à déterminer.
Point de Référence (R)
Point connu ou arbitraire utilisé pour orienter l'instrument (définir le zéro du cercle horizontal).
Gisement (\(G\))
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence Nord (ou d'une autre référence) jusqu'à la direction considérée. Exprimé en degrés (°) ou en grades/gons (gon).
Angle Horizontal (\(A_{\text{h}}\))
Angle mesuré dans le plan horizontal entre une direction de référence et une direction visée.
Angle Vertical Zénithal (\(A_{\text{v}}\))
Angle mesuré dans le plan vertical à partir de la direction du zénith (verticale ascendante, 0 gon) jusqu'à la ligne de visée. Une visée horizontale correspond à 100 gon.
Distance Inclinée (\(D_{\text{i}}\))
Distance directe mesurée entre l'instrument et le prisme (ou la mire) sur le point visé.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection de la distance inclinée sur le plan horizontal.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points.
Hauteur d'Instrument (\(h_{\text{i}}\))
Distance verticale entre le repère de la station au sol et l'axe des tourillons (axe horizontal de rotation de la lunette) de l'instrument.
Hauteur de Prisme/Mire (\(h_{\text{p}}\))
Distance verticale entre le point au sol visé et le centre optique du prisme réflecteur (ou la lecture sur la mire).
Mesure de Distances, Angles et Altitudes - Exercice d'Application en Topographie

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