Études de cas pratique

EGC

Machine Thermique à Cycle de Carnot

Machine Thermique à Cycle de Carnot

Machine Thermique à Cycle de Carnot

Comprendre le Cycle de Carnot et son Rendement

Le cycle de Carnot, proposé par Sadi Carnot au début du XIXe siècle, est un cycle thermodynamique théorique idéal pour une machine thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures constantes. Il est composé de quatre transformations réversibles : deux isothermes et deux adiabatiques. Bien qu'irréalisable en pratique dans sa perfection, le cycle de Carnot est d'une importance capitale car il établit la limite supérieure du rendement qu'une machine thermique peut atteindre entre deux températures données (Théorème de Carnot). L'étude de ce cycle permet de comprendre les principes fondamentaux de la conversion de la chaleur en travail et les facteurs limitant l'efficacité des moteurs thermiques.

Données de l'étude

On considère une machine thermique fonctionnant selon un cycle de Carnot réversible entre une source chaude et une source froide.

Caractéristiques du cycle :

  • Température de la source chaude (\(T_H\)) : \(800 \, \text{K}\)
  • Température de la source froide (\(T_C\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Quantité de chaleur absorbée par le système depuis la source chaude pendant la détente isotherme (\(Q_H\)) : \(2000 \, \text{J}\) par cycle.
Schéma : Diagramme P-V d'un Cycle de Carnot Moteur
V P A B C D Détente Isotherme (QH) Détente Adiabatique Compression Isotherme (QC) Compression Adiabatique Cycle de Carnot Moteur

Diagramme Pression-Volume (P-V) typique d'un cycle de Carnot moteur.

Questions à traiter

  1. Calculer le rendement thermique (\(\eta_{\text{Carnot}}\)) de cette machine de Carnot.
  2. Calculer le travail net (\(W_{\text{net}}\)) fourni par la machine au cours d'un cycle.
  3. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_C\)) rejetée à la source froide par cycle.
  4. Si la température de la source froide était abaissée à \(250 \, \text{K}\) (la température de la source chaude restant à \(800 \, \text{K}\)), quel serait le nouveau rendement de Carnot ? Commenter.
  5. Expliquer pourquoi le rendement de Carnot représente une limite théorique pour toutes les machines thermiques fonctionnant entre les mêmes deux températures.

Correction : Machine Thermique à Cycle de Carnot

Question 1 : Rendement thermique (\(\eta_{\text{Carnot}}\))

Principe :

Le rendement d'un cycle de Carnot moteur ne dépend que des températures absolues (en Kelvin) de la source chaude (\(T_H\)) et de la source froide (\(T_C\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} \]
Données spécifiques :
  • Température de la source chaude (\(T_H\)) : \(800 \, \text{K}\)
  • Température de la source froide (\(T_C\)) : \(300 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta_{\text{Carnot}} &= 1 - \frac{300 \, \text{K}}{800 \, \text{K}} \\ &= 1 - \frac{3}{8} \\ &= 1 - 0.375 \\ &= 0.625 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(0.625 \times 100\% = 62.5\%\).

Résultat Question 1 : Le rendement thermique de cette machine de Carnot est \(\eta_{\text{Carnot}} = 0.625\) (soit \(62.5\%\)).

Question 2 : Travail net (\(W_{\text{net}}\)) fourni par cycle

Principe :

Le rendement d'une machine thermique est défini comme le rapport du travail net fourni (\(W_{\text{net}}\)) à la chaleur absorbée de la source chaude (\(Q_H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \eta = \frac{W_{\text{net}}}{Q_H} \Rightarrow W_{\text{net}} = \eta \times Q_H \]
Données spécifiques :
  • Rendement (\(\eta_{\text{Carnot}}\)) : \(0.625\)
  • Chaleur absorbée (\(Q_H\)) : \(2000 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{net}} &= 0.625 \times 2000 \, \text{J} \\ &= 1250 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le travail net fourni par la machine au cours d'un cycle est \(W_{\text{net}} = 1250 \, \text{J}\).

Question 3 : Chaleur (\(Q_C\)) rejetée à la source froide par cycle

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique appliqué à un cycle, le travail net fourni est égal à la différence entre la chaleur absorbée de la source chaude et la chaleur rejetée à la source froide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{\text{net}} = Q_H - Q_C \Rightarrow Q_C = Q_H - W_{\text{net}} \]

Alternativement, pour un cycle de Carnot réversible : \(\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H} \Rightarrow Q_C = Q_H \frac{T_C}{T_H}\)

Données spécifiques :
  • Chaleur absorbée (\(Q_H\)) : \(2000 \, \text{J}\)
  • Travail net (\(W_{\text{net}}\)) : \(1250 \, \text{J}\)
  • (Pour la méthode alternative : \(T_H = 800 \, \text{K}\), \(T_C = 300 \, \text{K}\))
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} Q_C &= 2000 \, \text{J} - 1250 \, \text{J} \\ &= 750 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - vérification) :
\[ \begin{aligned} Q_C &= 2000 \, \text{J} \times \frac{300 \, \text{K}}{800 \, \text{K}} \\ &= 2000 \, \text{J} \times \frac{3}{8} \\ &= 2000 \, \text{J} \times 0.375 \\ &= 750 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La quantité de chaleur rejetée à la source froide par cycle est \(Q_C = 750 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un cycle moteur, le travail net \(W_{net}\) est :

Question 4 : Nouveau rendement de Carnot avec \(T_C = 250 \, \text{K}\)

Principe :

Recalculer le rendement avec la nouvelle température de la source froide.

Données spécifiques :
  • Température de la source chaude (\(T_H\)) : \(800 \, \text{K}\)
  • Nouvelle température de la source froide (\(T'_C\)) : \(250 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta'_{\text{Carnot}} &= 1 - \frac{T'_C}{T_H} \\ &= 1 - \frac{250 \, \text{K}}{800 \, \text{K}} \\ &= 1 - \frac{25}{80} \\ &= 1 - 0.3125 \\ &= 0.6875 \end{aligned} \]

Exprimé en pourcentage : \(0.6875 \times 100\% = 68.75\%\).

Commentaire :

Le rendement initial était de \(62.5\%\). Avec une source froide à \(250 \, \text{K}\) au lieu de \(300 \, \text{K}\), le rendement de Carnot augmente à \(68.75\%\). Cela illustre un principe général : pour une température de source chaude donnée, le rendement d'une machine thermique de Carnot (et donc le rendement maximal théorique de toute machine thermique) augmente lorsque la température de la source froide diminue. Plus l'écart de température entre les sources est grand, plus le rendement potentiel est élevé.

Résultat Question 4 : Le nouveau rendement de Carnot est \(\eta'_{\text{Carnot}} = 0.6875\) (soit \(68.75\%\)). Abaisser la température de la source froide augmente le rendement maximal théorique.

Question 5 : Rendement de Carnot comme limite théorique

Explication :

Le rendement de Carnot représente une limite théorique pour toutes les machines thermiques (moteurs) fonctionnant entre deux mêmes températures de source chaude (\(T_H\)) et de source froide (\(T_C\)) pour les raisons suivantes, découlant du deuxième principe de la thermodynamique :

  • Réversibilité : Le cycle de Carnot est composé de quatre transformations réversibles (deux isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles). Une transformation réversible est un processus idéal qui peut être inversé sans laisser de trace dans le système ou son environnement, et qui se déroule sans aucune dissipation d'énergie (par frottement, turbulence, etc.).
  • Théorème de Carnot : Ce théorème stipule qu'aucune machine thermique fonctionnant entre deux sources de chaleur données ne peut avoir un rendement supérieur à celui d'une machine de Carnot fonctionnant entre les mêmes deux sources. De plus, toutes les machines de Carnot réversibles fonctionnant entre les mêmes deux sources ont le même rendement.
  • Irréversibilités dans les machines réelles : Les machines thermiques réelles comportent inévitablement des irréversibilités :
    • Frottements mécaniques.
    • Transferts de chaleur à travers des différences de température finies (non infinitésimales comme dans le cycle de Carnot idéal).
    • Pertes de chaleur vers l'environnement.
    • Processus de combustion non idéaux, etc.
    Ces irréversibilités entraînent une production d'entropie et une dégradation de l'énergie, ce qui signifie qu'une partie de l'énergie qui pourrait théoriquement être convertie en travail est perdue sous forme de chaleur ou d'autres formes d'énergie non utilisables.

Par conséquent, le rendement d'une machine réelle sera toujours inférieur à celui du cycle de Carnot opérant entre les mêmes limites de température. Le cycle de Carnot sert donc de référence idéale pour évaluer la performance des machines thermiques réelles.

Résultat Question 5 : Le rendement de Carnot est une limite supérieure car il décrit un cycle idéal composé uniquement de transformations réversibles, sans les pertes et irréversibilités inhérentes aux machines réelles.

Quiz Intermédiaire 2 : Pour augmenter le rendement d'une machine de Carnot, on peut (en gardant l'autre température constante) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un cycle de Carnot est composé de :

2. Le rendement d'une machine thermique réelle fonctionnant entre deux températures \(T_H\) et \(T_C\) est toujours :

3. Dans un cycle moteur de Carnot, la chaleur \(Q_H\) est :

Glossaire

Machine Thermique (Moteur)
Dispositif qui convertit de l'énergie thermique (chaleur) en travail mécanique en opérant selon un cycle thermodynamique.
Cycle de Carnot
Cycle thermodynamique théorique réversible composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques.
Source Chaude (\(T_H\))
Réservoir de chaleur à haute température duquel la machine thermique absorbe de la chaleur (\(Q_H\)).
Source Froide (\(T_C\))
Réservoir de chaleur à basse température auquel la machine thermique rejette de la chaleur (\(Q_C\)).
Rendement Thermique (\(\eta\))
Rapport du travail net fourni par la machine à la chaleur absorbée de la source chaude (\(\eta = W_{\text{net}} / Q_H\)).
Transformation Isotherme
Processus thermodynamique qui se déroule à température constante.
Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique qui se déroule sans échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q=0\)). Si elle est réversible, elle est aussi isentropique.
Réversible (Transformation/Cycle)
Processus idéal qui peut être inversé pour ramener le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de trace. Il se déroule sans aucune dissipation d'énergie.
Kelvin (K)
Unité de température thermodynamique (absolue) dans le Système International. \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\).
Machine Thermique à Cycle de Carnot - Exercice d'Application

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