Ferraillage transversal d'une poutre

Comprendre le Ferraillage Transversal

Le ferraillage transversal (cadres, étriers, épingles) dans une poutre en béton armé a pour rôle principal de reprendre l'effort tranchant (\(V_{Ed}\)). Il contribue également au confinement du béton et au maintien des armatures longitudinales. Le dimensionnement selon l'Eurocode 2 consiste à vérifier si la résistance du béton seul (\(V_{Rd,c}\)) est suffisante, et si ce n'est pas le cas, à calculer la quantité d'armatures transversales (\(A_{sw}/s\)) nécessaire, tout en respectant des dispositions constructives minimales.

Données

On considère une section critique d'une poutre rectangulaire en béton armé.

Géométrie :

Section rectangulaire : \(b = 300 \, \text{mm}\), \(h = 600 \, \text{mm}\)
Hauteur utile (calculée ou estimée) : \(d = 540 \, \text{mm}\)
Armatures longitudinales tendues (calculées à l'ELU pour la flexion) : \(A_{sl} = 1250 \, \text{mm}^2\)

Sollicitations (ELU) :

Effort tranchant de calcul : \(V_{Ed} = 250 \, \text{kN}\)

Matériaux :

Béton : Classe C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\), \(f_{cd} = \frac{f_{ck}}{1.5} = 20 \, \text{MPa}\))
Acier (pour cadres) : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(f_{ywd} = \frac{f_{yk}}{1.15} = 435 \, \text{MPa}\))
Coefficient partiel pour béton : \(\gamma_c = 1.5\)

Paramètres de calcul (EC2) :

Angle d'inclinaison des bielles de béton : \(\theta\). On prendra \(\cot \theta = 1.5\) (valeur courante si non calculée).
Coefficient \(v_1 = 0.6 \times (1 - f_{ck}/250)\)

Schéma : Section de la Poutre

Questions

Calculer la résistance à l'effort tranchant du béton non armé (\(V_{Rd,c}\)).
Comparer \(V_{Ed}\) et \(V_{Rd,c}\). Conclure sur la nécessité d'armatures d'effort tranchant.
Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant de la section (\(V_{Rd,max}\)) limitée par l'écrasement des bielles de béton. Vérifier que \(V_{Ed} \le V_{Rd,max}\).
Si des armatures transversales sont nécessaires, calculer leur section requise par unité de longueur (\(A_{sw}/s\)).
Déterminer l'espacement maximal (\(s_{max}\)) autorisé pour les cadres.
Proposer un choix de ferraillage transversal pratique (diamètre et espacement des cadres).

Correction : Calcul du Ferraillage Transversal d’une Poutre

Question 1 : Calcul de la Résistance à l'Effort Tranchant du Béton (\(V_{Rd,c}\))

Principe (EC2 - 6.2.2) :

La résistance à l'effort tranchant d'un élément sans armature d'effort tranchant est donnée par \(V_{Rd,c}\).

Formule (EC2 - Éq. 6.2.a) :

V_{Rd,c} = [C_{Rd,c} k (100 \rho_l f_{ck})^{1/3}] b_w d

Avec une valeur minimale :

V_{Rd,c,min} = [v_{min}] b_w d

Où :

\(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c\)
\(k = 1 + \sqrt{200/d} \le 2.0\) (avec \(d\) en mm)
\(\rho_l = A_{sl} / (b_w d) \le 0.02\) (taux d'armatures longitudinales tendues)
\(b_w\) est la largeur de l'âme (ici \(b\))
\(v_{min} = 0.035 k^{3/2} f_{ck}^{1/2}\)

Données :

\(b_w = b = 300 \, \text{mm}\)
\(d = 540 \, \text{mm}\)
\(A_{sl} = 1250 \, \text{mm}^2\)
\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
\(\gamma_c = 1.5\)

Calcul :

Coefficient \(C_{Rd,c}\) :

C_{Rd,c} = 0.18 / 1.5 = 0.12

Coefficient \(k\) :

k = 1 + \sqrt{200/540} \] \[k = 1 + \sqrt{0.37} \] \[k \approx 1 + 0.608 \] \[k = 1.608 \le 2.0

Taux d'armatures \(\rho_l\) :

\rho_l = \frac{1250}{300 \times 540} \] \[\rho_l = \frac{1250}{162000} \approx 0.0077

Vérification : \(0.0077 \le 0.02\). OK.

Calcul de \(V_{Rd,c}\) :

V_{Rd,c} = [0.12 \times 1.608 \times (100 \times 0.0077 \times 30)^{1/3}] \times 300 \times 540\] \[V_{Rd,c} = [0.12 \times 1.608 \times (23.1)^{1/3}] \times 162000\] \[V_{Rd,c} = [0.12 \times 1.608 \times 2.848] \times 162000 \] \[V_{Rd,c} \approx 0.550 \times 162000 \] \[V_{Rd,c} \approx 89100 \, \text{N} \approx 89.1 \, \text{kN}

Calcul de \(V_{Rd,c,min}\) :

v_{min} = 0.035 \times (1.608)^{3/2} \times (30)^{1/2} \] \[v_{min} = 0.035 \times 2.038 \times 5.477 \] \[v_{min} \approx 0.390 \, \text{MPa}\] \[V_{Rd,c,min} = 0.390 \times 300 \times 540 \] \[V_{Rd,c,min} \approx 63180 \, \text{N} \approx 63.2 \, \text{kN}

\(V_{Rd,c}\) à utiliser est \(\max(89.1; 63.2) = 89.1 \, kN\).

Résultat Question 1 : La résistance à l'effort tranchant du béton non armé est \(V_{Rd,c} \approx 89.1 \, \text{kN}\).

Question 2 : Comparaison \(V_{Ed}\) et \(V_{Rd,c}\)

Comparaison :

V_{Ed} = 250 \, \text{kN}\] \[V_{Rd,c} = 89.1 \, \text{kN}\] \[V_{Ed} = 250 \, \text{kN} > V_{Rd,c} = 89.1 \, \text{kN}

Résultat Question 2 : Comme \(V_{Ed} > V_{Rd,c}\), la résistance du béton seul est insuffisante. Des armatures d'effort tranchant sont **nécessaires**.

Question 3 : Vérification de la Résistance Maximale (\(V_{Rd,max}\))

Principe (EC2 - 6.2.3) :

La résistance à l'effort tranchant est également limitée par la résistance des bielles de béton comprimé pour éviter leur écrasement.

Formule (EC2 - Éq. 6.9) :

V_{Rd,max} = \alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd} / (\cot \theta + \tan \theta)

Où :

\(\alpha_{cw} = 1.0\) pour les éléments non précontraints.
\(z \approx 0.9 d\) (bras de levier des efforts internes).
\(\nu_1 = 0.6 \times (1 - f_{ck}/250)\).
\(\theta\) est l'angle d'inclinaison des bielles (ici \(\cot \theta = 1.5\)).

Données :

\(b_w = 300 \, \text{mm}\)
\(d = 540 \, \text{mm}\)
\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
\(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\)
\(\cot \theta = 1.5 \Rightarrow \tan \theta = 1/1.5 = 0.667\)

Calcul :

Bras de levier \(z\) :

z \approx 0.9 d = 0.9 \times 540 \] \[z = 486 \, \text{mm}

Coefficient \(\nu_1\) :

\nu_1 = 0.6 \times (1 - 30/250) \] \[\nu_1 = 0.6 \times (1 - 0.12) \] \[\nu_1 = 0.6 \times 0.88 \] \[\nu_1 = 0.528

Calcul de \(V_{Rd,max}\) :

V_{Rd,max} = \frac{1.0 \times 300 \times 486 \times 0.528 \times 16.67}{1.5 + 0.667}\] \[V_{Rd,max} = \frac{1 \, 283 \, 690}{2.167} \] \[V_{Rd,max} \approx 592 \, 400 \, \text{N} \approx 592.4 \, \text{kN}

Vérification :

V_{Ed} = 250 \, \text{kN} \le V_{Rd,max} = 592.4 \, \text{kN} \quad (\text{OK})

Résultat Question 3 : La résistance maximale des bielles (\(V_{Rd,max} \approx 592 \, \text{kN}\)) est supérieure à l'effort tranchant appliqué (\(V_{Ed} = 250 \, \text{kN}\)). La section de béton est correctement dimensionnée vis-à-vis de l'écrasement des bielles.

Question 4 : Calcul de la Section d'Armatures Transversales (\(A_{sw}/s\))

Principe (EC2 - 6.2.3) :

La section d'armatures transversales \(A_{sw}\) (aire des brins coupés par une fissure inclinée) par unité de longueur \(s\) (espacement des cadres) est calculée pour reprendre la partie de l'effort tranchant non reprise par le béton.

Formule (EC2 - Éq. 6.8) :

\frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{z f_{ywd} \cot \theta}

Données :

\(V_{Ed} = 250 \, \text{kN} = 250 \, 000 \, \text{N}\)
\(z \approx 486 \, \text{mm}\) (calculé précédemment)
\(f_{ywd} = 435 \, \text{MPa}\)
\(\cot \theta = 1.5\)

Calcul :

\frac{A_{sw}}{s} = \frac{250 \, 000 \, \text{N}}{486 \, \text{mm} \times 435 \, \text{N/mm}^2 \times 1.5} \] \[ \approx \frac{250 \, 000}{317 \, 130} \approx 0.788 \, \text{mm}^2/\text{mm}

Conversion en cm²/m : \(0.788 \, \text{mm}^2/\text{mm} = 7.88 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Résultat Question 4 : La section d'armatures transversales requise est \(A_{sw}/s \approx 0.79 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) (soit \(7.9 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).

Question 5 : Détermination de l'Espacement Maximal (\(s_{max}\))

Principe (EC2 - 9.2.2) :

L'espacement longitudinal maximal des armatures d'effort tranchant (\(s_{max}\)) est limité pour garantir un bon comportement et le contrôle des fissures inclinées.

Formule (EC2 - Éq. 9.5N) :

s_{max} = 0.75 d

Il existe une condition plus restrictive si \(V_{Ed}\) est élevé, mais ici \(V_{Ed} = 250kN\) est inférieur à \(0.33 V_{Rd,max} \approx 195kN\), donc cette condition ne s'applique pas. On vérifie \(V_{Ed} \le 0.1 f_{cd} b_w d \cot \theta\)... Non, la limite est \(0.75d\).

Données :

\(d = 540 \, \text{mm}\)

Calcul :

s_{max} = 0.75 \times 540 \, \text{mm} \] \[s_{max} = 405 \, \text{mm}

Les réglementations nationales peuvent imposer des limites plus strictes (souvent \(s \le \min(0.75d; 400mm)\) ou lié à \(b_w\)). Utilisons \(s_{max} = 400 \, \text{mm}\) par sécurité.

Résultat Question 5 : L'espacement maximal autorisé pour les cadres est \(s_{max} = 405 \, \text{mm}\) (limité souvent à 400 mm par pratique ou annexe nationale).

Question 6 : Proposition de Ferraillage Transversal Pratique

Principe :

On choisit un diamètre de cadre commercial (\(\phi_w\)) et on calcule l'espacement \(s\) nécessaire pour satisfaire \(A_{sw}/s \ge 0.79 \, mm^2/mm\), tout en respectant \(s \le s_{max}\).

\(A_{sw}\) est l'aire des brins verticaux du cadre. Pour un cadre simple (2 brins), \(A_{sw} = 2 \times \text{Aire}(\phi_w)\).

Choix et Calcul :

Essayons des cadres HA 8 (\(\phi_w = 8 \, mm\)) :

A_{sw} = 2 \times \pi \frac{(8 \, \text{mm})^2}{4} \] \[A_{sw} = 2 \times 50.27 \] \[A_{sw} = 100.5 \, \text{mm}^2

Calcul de l'espacement \(s\) requis :

s \le \frac{A_{sw}}{0.79} = \frac{100.5 \, \text{mm}^2}{0.79 \, \text{mm}^2/\text{mm}} \approx 127 \, \text{mm}

Vérification par rapport à \(s_{max}\) :

s = 127 \, \text{mm} \le s_{max} = 400 \, \text{mm} \quad (\text{OK})

Choix pratique : On arrondit à un espacement pratique inférieur, par exemple **e = 12 cm (120 mm)**.

Vérification avec \(s = 120 \, mm\) :

\frac{A_{sw}}{s} = \frac{100.5}{120} \approx 0.838 \, \text{mm}^2/\text{mm} \ge 0.79 \, \text{mm}^2/\text{mm} \quad (\text{OK})

On vérifie aussi le pourcentage minimal d'armatures transversales (EC2 9.2.2(5)) : \(\rho_{w} = A_{sw} / (s b_w \sin \alpha)\).

\rho_w = \frac{100.5}{120 \times 300 \times 1} \approx 0.00279\] \[\rho_{w,min} = \frac{0.08 \sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}} = \frac{0.08 \sqrt{30}}{500} \approx 0.000876\] \[\rho_w = 0.00279 \ge \rho_{w,min} = 0.000876 \quad (\text{OK})

Résultat Question 6 : Le ferraillage transversal requis est \(A_{sw}/s = 7.9 \, \text{cm}^2/\text{m}\). Un choix pratique est d'utiliser des **cadres HA 8 (2 brins)** avec un **espacement de 12 cm** (\(A_{sw}/s = 100.5/120 \approx 0.84 \, mm^2/mm = 8.4 \, cm^2/m\)). Cet espacement respecte \(s_{max}\) et le pourcentage minimal.