Calcul de l'Extraction de Chaleur d'une Sonde Géothermique Verticale
Contexte : L'énergie géothermique sur nappe phréatique.
L'énergie géothermique est une source d'énergie renouvelable qui exploite la chaleur stockée sous la surface de la Terre. Pour les bâtiments résidentiels, une méthode courante consiste à utiliser des sondes géothermiques verticalesUn échangeur de chaleur inséré verticalement dans le sol pour extraire (en hiver) ou dissiper (en été) de la chaleur, connecté à une pompe à chaleur.. Cet exercice se concentre sur le dimensionnement d'une de ces sondes pour déterminer la puissance qu'elle peut extraire du sol, une étape cruciale pour chauffer efficacement une habitation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes fondamentaux du transfert thermique par conduction pour évaluer la performance d'un système géothermique simple. Vous comprendrez comment les propriétés du sol et les températures de fonctionnement influencent directement la quantité d'énergie renouvelable que l'on peut extraire.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la formule de base du transfert de chaleur par conduction.
- Calculer la puissance thermique extraite par une sonde géothermique.
- Intégrer la notion de résistance de forage dans le calcul global.
- Dimensionner la longueur de sonde nécessaire pour un besoin de chauffage donné.
Données de l'étude
Schéma d'une Sonde Géothermique Verticale
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Profondeur de la sonde | \(L\) | 100 | m |
| Conductivité thermique du sol | \(\lambda_{\text{sol}}\) | 2.5 | W/(m·K) |
| Température moyenne du sol | \(T_{\text{sol}}\) | 12 | °C |
| Température moyenne du fluide | \(T_{\text{fluide}}\) | 2 | °C |
| Résistance thermique du forage | \(R_b\) | 0.08 | m·K/W |
Questions à traiter
- Calculer la résistance thermique du sol par unité de longueur (\(R'_{\text{sol}}\)).
- Calculer la résistance thermique totale par unité de longueur (\(R'_{\text{totale}}\)) en incluant la résistance du forage.
- Calculer le nouveau flux de chaleur par unité de longueur (\(q'\)) extrait du sol.
- Déterminer la puissance thermique totale (\(P_{\text{th}}\)) extraite par la sonde de 100 m.
- Si les besoins de chauffage de la maison sont de 8 kW, quelle longueur totale de forage (\(L_{\text{total}}\)) serait nécessaire ?
Les bases sur le Transfert Thermique en Géothermie
L'extraction de chaleur d'une sonde géothermique est principalement régie par le phénomène de conduction thermique. Pour un calcul plus réaliste, on doit considérer non seulement la résistance du sol, mais aussi celle du forage lui-même (tuyaux, ciment de scellement), notée \(R_b\).
1. Résistance Thermique Totale Linéique (\(R'_{\text{totale}}\))
Les résistances thermiques du sol et du forage agissent en série. On doit donc les additionner pour obtenir la résistance totale qui s'oppose au flux de chaleur.
\[ R'_{\text{totale}} = R'_{\text{sol}} + R_b \]
2. Flux Thermique Linéique (\(q'\))
La formule reste la même, mais on utilise maintenant la résistance totale pour un calcul plus précis.
\[ q' = \frac{T_{\text{sol}} - T_{\text{fluide}}}{R'_{\text{totale}}} \]
3. Puissance et Dimensionnement
La puissance totale reste le produit du flux par la longueur (\(P_{\text{th}} = q' \times L\)). Inversement, pour trouver la longueur nécessaire pour un besoin donné (\(P_{\text{besoin}}\)), on divise ce besoin par le flux linéique.
\[ L_{\text{total}} = \frac{P_{\text{besoin}}}{q'} \]
Correction : Calcul de l'Extraction de Chaleur d'une Sonde Géothermique
Question 1 : Calculer la résistance thermique du sol par unité de longueur (\(R'_{\text{sol}}\))
Principe
La résistance thermique du sol représente son opposition naturelle au passage de la chaleur. Elle est inversement proportionnelle à la conductivité thermique (\(\lambda_{\text{sol}}\)) : un sol très conducteur (roche humide, \(\lambda\) élevé) aura une faible résistance, tandis qu'un sol isolant (sol sec, \(\lambda\) faible) aura une forte résistance.
Mini-Cours
Le transfert de chaleur autour d'un forage cylindrique est un problème classique de conduction en coordonnées cylindriques. La formule utilisée est une simplification de la solution analytique, valable en régime quasi-stationnaire et en supposant que le forage est une source linéaire dans un milieu infini. La résistance ne dépend que de la propriété intrinsèque du matériau : sa conductivité.
Remarque Pédagogique
Considérez la conductivité thermique comme le paramètre géologique le plus important. Avant tout projet, une étude géologique est cruciale pour estimer cette valeur. Une erreur sur \(\lambda_{\text{sol}}\) entraîne une erreur proportionnelle sur la puissance extraite.
Normes
Les méthodes de calcul détaillées et les valeurs de référence pour les propriétés des sols sont souvent spécifiées dans des normes professionnelles, comme la norme suisse SIA 384/6 ou la directive allemande VDI 4640, qui font autorité dans le domaine de la géothermie de surface.
Formule(s)
Hypothèses
- Le sol est considéré comme un milieu homogène et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions).
- Le transfert de chaleur est en régime quasi-stationnaire (les températures ne varient plus significativement avec le temps).
- Le sol est considéré comme un milieu infini (les bords du terrain n'influencent pas le forage).
Donnée(s)
- Conductivité thermique du sol, \(\lambda_{\text{sol}} = 2.5 \text{ W/(m·K)}\)
Astuces
Pour un calcul mental rapide, souvenez-vous que \(2\pi \approx 6.28\). Le calcul devient alors \(1 / (6.28 \times \lambda_{\text{sol}})\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Flux de chaleur radial autour du forage
Calcul(s)
Réflexions
Une résistance de 0.064 m·K/W est relativement faible, ce qui est typique d'un sol de bonne qualité pour la géothermie (roche sédimentaire, sol saturé en eau). À titre de comparaison, un sol argileux sec pourrait avoir une résistance 2 à 3 fois plus élevée.
Points de vigilance
Assurez-vous que la conductivité thermique est bien en W/(m·K), l'unité du Système International. Parfois, des données peuvent être fournies en BTU/(h·ft·°F) dans la littérature anglo-saxonne, nécessitant une conversion.
Points à retenir
- La résistance thermique du sol (\(R'_{\text{sol}}\)) est la première barrière au transfert de chaleur.
- Elle est inversement proportionnelle à la conductivité du sol (\(\lambda_{\text{sol}}\)).
- La formule clé est : \(R'_{\text{sol}} = 1 / (2 \pi \lambda_{\text{sol}})\).
Le saviez-vous ?
Pour mesurer précisément la conductivité thermique d'un terrain avant un grand projet, les ingénieurs réalisent un "Test de Réponse Thermique" (TRT). Une sonde test est installée et chauffée à puissance constante pendant plusieurs jours. En analysant l'évolution de la température du fluide, on peut en déduire les propriétés thermiques réelles du sol.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la résistance thermique pour un sol argileux sec avec \(\lambda_{\text{sol}} = 1.2 \text{ W/(m·K)}\).
Question 2 : Calculer la résistance thermique totale par unité de longueur (\(R'_{\text{totale}}\))
Principe
Le transfert de chaleur du sol (loin du forage) jusqu'au fluide caloporteur doit surmonter deux obstacles en série : le sol lui-même (\(R'_{\text{sol}}\)) et le forage (\(R_b\)). Comme pour des résistances électriques en série, leurs effets s'additionnent pour donner une résistance totale plus grande.
Mini-Cours
La résistance du forage, \(R_b\), est une valeur composite qui inclut la résistance des parois du ou des tuyaux en PEHD, et surtout la résistance du matériau de remplissage (le coulis ou ciment de scellement) entre les tuyaux et la paroi du forage. Un mauvais remplissage (avec des vides d'air) peut augmenter considérablement \(R_b\) et "tuer" la performance de la sonde.
Remarque Pédagogique
Ne sous-estimez jamais l'importance de \(R_b\). Dans la pratique, elle représente souvent entre 30% et 60% de la résistance totale. La qualité de l'exécution du forage est donc aussi importante que la qualité géologique du terrain.
Normes
Les fabricants de sondes et les normes (comme VDI 4640) fournissent des valeurs typiques pour \(R_b\) en fonction du type de sonde (simple U, double U, coaxiale), de son diamètre et du type de ciment de scellement utilisé (standard ou thermiquement amélioré).
Formule(s)
Hypothèses
- Les deux résistances sont considérées en série.
- On suppose un contact thermique parfait entre le ciment de scellement et la paroi du forage.
Donnée(s)
- Résistance du sol, \(R'_{\text{sol}} \approx 0.064 \text{ m·K/W}\) (calculée à la Q1)
- Résistance du forage, \(R_b = 0.08 \text{ m·K/W}\) (donnée de l'énoncé)
Astuces
C'est une simple addition. L'astuce est de toujours comparer les deux valeurs : si \(R_b\) est du même ordre de grandeur ou plus grand que \(R'_{\text{sol}}\), cela signifie que la performance est limitée autant par le forage que par le sol.
Schéma (Avant les calculs)
Résistances thermiques en série
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des résistances
Réflexions
La résistance du forage (\(R_b=0.08\)) représente ici \(0.08 / 0.144 \approx 56\%\) de la résistance totale. C'est considérable ! Cela signifie que même si le sol était un conducteur parfait (\(R'_{\text{sol}}=0\)), la performance serait toujours limitée par le forage lui-même.
Points de vigilance
Ne jamais oublier la résistance du forage dans un calcul réel. Omettre \(R_b\) est une erreur de débutant qui conduit à une surestimation très optimiste de la puissance de la sonde.
Points à retenir
- La résistance totale est la somme des résistances en série : \(R'_{\text{totale}} = R'_{\text{sol}} + R_b\).
- La résistance du forage (\(R_b\)) est un facteur limitant majeur de la performance.
Le saviez-vous ?
Pour réduire la résistance de forage (\(R_b\)), les installateurs utilisent des "coulis thermiquement améliorés". Ce sont des ciments de scellement auxquels on ajoute des matériaux très conducteurs comme du graphite ou du sable de quartz. Cela peut réduire \(R_b\) de 30 à 50% et améliorer d'autant la performance de la sonde.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez la résistance totale si on utilise un coulis amélioré qui réduit \(R_b\) à 0.05 m·K/W.
Question 3 : Calculer le nouveau flux de chaleur par unité de longueur (\(q'\))
Principe
Le flux de chaleur est analogue à un courant électrique. Il est directement proportionnel à la "tension" (la différence de température \(\Delta T\)) et inversement proportionnel à la "résistance" (la résistance thermique totale \(R'_{\text{totale}}\)). C'est l'application directe de la loi d'Ohm au transfert thermique.
Mini-Cours
La différence de température \(\Delta T = T_{\text{sol}} - T_{\text{fluide}}\) est le "moteur" du système. En hiver, la pompe à chaleur refroidit le fluide (\(T_{\text{fluide}} < T_{\text{sol}}\)) pour créer ce \(\Delta T\) et "pomper" la chaleur du sol. En été (mode climatisation), le processus est inversé : la pompe à chaleur chauffe le fluide (\(T_{\text{fluide}} > T_{\text{sol}}\)) pour dissiper la chaleur du bâtiment dans le sol.
Remarque Pédagogique
Le choix de la température du fluide (\(T_{\text{fluide}}\)) est un compromis. Une température plus basse augmente le \(\Delta T\) et donc la puissance extraite, mais elle diminue le rendement (COP) de la pompe à chaleur. Les ingénieurs cherchent le point de fonctionnement optimal.
Normes
Les normes de conception imposent des limites à la température minimale du fluide (par exemple, -5°C) pour éviter de geler le sol autour de la sonde sur le long terme, ce qui dégraderait ses performances et pourrait causer des dommages structurels au terrain.
Formule(s)
Hypothèses
- Les températures du sol et du fluide sont considérées comme des moyennes constantes sur toute la longueur de la sonde.
Donnée(s)
- Température du sol, \(T_{\text{sol}} = 12 \text{ °C}\)
- Température du fluide, \(T_{\text{fluide}} = 2 \text{ °C}\)
- Résistance totale, \(R'_{\text{totale}} = 0.144 \text{ m·K/W}\) (calculée à la Q2)
Astuces
Une différence de température en degrés Celsius est numériquement égale à une différence en Kelvin. \(\Delta T = 12 - 2 = 10\) °C = \(10\) K. Vous n'avez pas besoin de convertir les températures en Kelvin avant de faire la soustraction, ce qui simplifie le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Profil de Température Simplifié
Calcul(s)
Réflexions
Un flux de 69.4 W/m est une valeur très réaliste pour un sol de bonne qualité. Les ordres de grandeur typiques pour le dimensionnement se situent entre 40 W/m (sol médiocre) et 80 W/m (excellent rocher fracturé et humide).
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les températures dans la soustraction. Le flux de chaleur va toujours du corps chaud vers le corps froid. Le résultat doit être une puissance positive (extraite).
Points à retenir
- Le flux de chaleur par mètre (\(q'\)) est le moteur de l'installation.
- Il est proportionnel à l'écart de température \(\Delta T\).
- Il est inversement proportionnel à la résistance totale \(R'_{\text{totale}}\).
Le saviez-vous ?
Certains systèmes innovants de "stockage d'énergie thermique saisonnier" utilisent les sondes géothermiques de manière réversible. En été, la chaleur des panneaux solaires thermiques est injectée dans le sol, ce qui augmente la \(T_{\text{sol}}\) locale. En hiver, cette chaleur stockée est récupérée avec un bien meilleur rendement.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le flux linéique si, en fin d'hiver, la température du sol autour de la sonde chutait à 8°C ?
Question 4 : Déterminer la puissance thermique totale (\(P_{\text{th}}\)) extraite par la sonde de 100 m
Principe
La puissance totale est simplement l'extrapolation de la puissance extraite par chaque mètre (\(q'\)) à la longueur totale de la sonde (\(L\)). Si chaque mètre fournit une certaine puissance, la puissance totale est cette valeur multipliée par le nombre de mètres.
Mini-Cours
Cette relation linéaire (\(P_{\text{th}} = q' \times L\)) est au cœur du dimensionnement. Elle montre que pour doubler la puissance, il faut (en première approximation) doubler la longueur de forage. C'est pourquoi le coût d'une installation géothermique est fortement lié à la profondeur totale à forer.
Remarque Pédagogique
Dans la réalité, les 5-10 premiers mètres de la sonde sont moins efficaces à cause de l'influence de la température de l'air en surface. Cependant, pour un calcul de pré-dimensionnement, l'hypothèse d'un flux constant sur toute la longueur est acceptable.
Normes
Les logiciels de simulation certifiés (comme EED, PILESIM ou GeoT*) utilisés pour les études thermiques réglementaires n'utilisent pas cette simple multiplication. Ils réalisent une intégration numérique le long de la sonde, en tenant compte des variations de température et des interactions thermiques entre les tubes aller et retour.
Formule(s)
Hypothèses
- Le flux de chaleur par mètre (\(q'\)) est constant sur toute la profondeur de la sonde.
- Les pertes de chaleur en surface (près de la connexion à la pompe à chaleur) sont négligées.
Donnée(s)
- Flux thermique linéique, \(q' \approx 69.4 \text{ W/m}\) (calculé à la Q3)
- Longueur de la sonde, \(L = 100 \text{ m}\)
Astuces
Le résultat du calcul sera en Watts. Pensez toujours à le convertir en kilowatts (kW) en divisant par 1000, car c'est l'unité standard pour exprimer les puissances de chauffage des bâtiments.
Schéma (Avant les calculs)
Intégration de la puissance le long de la sonde
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul en Watts
Étape 2 : Conversion en kilowatts
Réflexions
Une puissance de près de 7 kW est suffisante pour une maison moderne, bien isolée, de taille moyenne (120-150 m²). Pour une maison plus ancienne ou plus grande, cette puissance serait probablement insuffisante.
Points de vigilance
La prise en compte de la résistance du forage (\(R_b\)) a fait chuter la puissance estimée de 15.7 kW (calcul simplifié sans \(R_b\)) à 6.9 kW. Cela illustre à quel point il est dangereux de négliger ce paramètre dans un dimensionnement réel. L'installation aurait été sous-dimensionnée de plus de 50% !
Points à retenir
- La puissance totale est le produit du flux linéique par la longueur : \(P_{\text{th}} = q' \times L\).
- Le résultat est une estimation de la puissance disponible en régime continu.
Le saviez-vous ?
Les fondations spéciales, comme les pieux de fondation, peuvent être transformées en échangeurs de chaleur. On parle de "pieux énergétiques". Pour les grands bâtiments, cela permet de faire d'une pierre deux coups : assurer la stabilité de l'édifice et fournir une source pour le chauffage et la climatisation, sans nécessiter de forages supplémentaires.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la puissance extraite par une sonde de 150 m de long dans les mêmes conditions ?
Question 5 : Si les besoins de chauffage sont de 8 kW, quelle longueur totale (\(L_{\text{total}}\)) serait nécessaire ?
Principe
C'est l'étape finale et la plus concrète du dimensionnement : adapter la technologie (la sonde) au besoin (le chauffage de la maison). Connaissant le besoin total en puissance et la puissance que l'on peut extraire par mètre de forage, on peut en déduire le nombre de mètres à forer. C'est une simple règle de trois.
Mini-Cours
Le "besoin de chauffage" (ou déperditions thermiques) d'un bâtiment est la puissance que le système de chauffage doit fournir pour maintenir une température de confort intérieure (ex: 20°C) lorsque la température extérieure est à son minimum de référence (ex: -5°C). Il est calculé par un bureau d'études thermiques et dépend de l'isolation, des fenêtres, de la ventilation, etc.
Remarque Pédagogique
En pratique, on ajoute toujours une marge de sécurité de 10 à 15% sur la longueur calculée. Cela permet de compenser les incertitudes sur les propriétés du sol et d'assurer la performance sur le long terme, même si le sol se refroidit légèrement après plusieurs années d'exploitation.
Normes
Le calcul des besoins de chauffage d'un bâtiment est strictement encadré par les réglementations thermiques en vigueur, comme la RE2020 en France. Cette réglementation définit les méthodes de calcul des déperditions et les exigences de performance énergétique pour les constructions neuves.
Formule(s)
Hypothèses
- Le flux d'extraction \(q'\) calculé est considéré comme constant et fiable.
- Le besoin de 8 kW est le besoin de pointe à couvrir par la géothermie.
Donnée(s)
- Besoin en puissance, \(P_{\text{besoin}} = 8 \text{ kW} = 8000 \text{ W}\)
- Flux thermique linéique, \(q' \approx 69.4 \text{ W/m}\) (calculé à la Q3)
Astuces
Avant de diviser, assurez-vous que les unités de puissance sont cohérentes. Le plus simple est de tout convertir en Watts. Ici, 8 kW = 8000 W. L'erreur classique est de diviser 8 par 69.4, ce qui donnerait un résultat 1000 fois trop petit.
Schéma (Avant les calculs)
Logique de Dimensionnement
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Solution de Forage Proposée
Réflexions
Le calcul montre qu'une seule sonde de 100 m est insuffisante. Il faudrait forer environ 115 m. Dans la pratique, les foreuses travaillent avec des tiges de longueur standard (ex: 3m), et on arrondit toujours à la longueur supérieure. De plus, pour des raisons techniques et de coût, il est souvent préférable de faire deux forages moins profonds (ex: 2 x 60 m) plutôt qu'un seul très profond.
Points de vigilance
Ne pas confondre la puissance thermique fournie par le sol (ce que nous avons calculé) et la puissance électrique consommée par la pompe à chaleur. Grâce à son COP (Coefficient de Performance), la pompe à chaleur consommera beaucoup moins d'électricité (typiquement 2 kW électriques pour produire 8 kW thermiques).
Points à retenir
- Le dimensionnement final consiste à adapter la longueur du forage au besoin de chauffage.
- La formule clé est : \(L_{\text{total}} = P_{\text{besoin}} / q'\).
- Il faut toujours prévoir une marge de sécurité et considérer des solutions pratiques (ex: plusieurs sondes).
Le saviez-vous ?
Le plus grand champ de sondes géothermiques au monde se trouve à l'aéroport de Stockholm-Arlanda en Suède. Il est utilisé pour stocker le froid de l'hiver dans le sous-sol afin de climatiser les terminaux en été, et inversement pour la chaleur. Ce système permet d'éviter l'émission de milliers de tonnes de CO2 chaque année.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes données, quelle longueur de forage serait nécessaire pour un besoin de 12 kW ?
Outil Interactif : Simulateur de Puissance Géothermique
Utilisez ce simulateur pour explorer comment la conductivité thermique du sol et la longueur de la sonde influencent la puissance totale extraite. Les températures du sol (12°C), du fluide (2°C) et la résistance du forage (0.08 m·K/W) sont fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la conductivité thermique du sol (\(\lambda_{\text{sol}}\)) augmente, la puissance extraite...
2. La résistance thermique du forage (\(R_b\)) dépend principalement :
3. Si la température du fluide caloporteur augmente et se rapproche de celle du sol, comment évolue le flux de chaleur ?
4. Pour un besoin de chauffage donné, si on utilise un sol moins conducteur, la longueur totale de forage nécessaire sera :
5. Dans le calcul de la résistance totale, les résistances du sol et du forage :
- Sonde Géothermique Verticale
- Un échangeur de chaleur inséré verticalement dans le sol pour extraire (en hiver) ou dissiper (en été) de la chaleur, connecté à une pompe à chaleur.
- Conductivité Thermique (\(\lambda\))
- Propriété d'un matériau à conduire la chaleur. Une valeur élevée, exprimée en W/(m·K), signifie que la chaleur se propage facilement.
- Résistance Thermique du Forage (\(R_b\))
- Résistance au passage de la chaleur due aux composants de la sonde elle-même (tuyaux, ciment de scellement). S'exprime en m·K/W.
- Flux Thermique Linéique (\(q'\))
- Quantité de chaleur transférée par unité de temps et par unité de longueur. S'exprime en Watts par mètre (W/m).
D’autres exercices d’énergie rénouvelable:
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