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Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Exercice : Réponse Spectrale d'une Structure

Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

Contexte : L'ingénierie parasismique et le Spectre de RéponseUn outil fondamental en génie parasismique qui représente la réponse maximale (en déplacement, vitesse ou accélération) d'une série d'oscillateurs simples à un mouvement sismique donné..

Lors d'un tremblement de terre, le sol impose un déplacement complexe à la base des structures. Plutôt que d'effectuer une analyse temporelle complète, qui est coûteuse en calculs, les ingénieurs utilisent une méthode simplifiée et puissante : l'analyse par spectre de réponse. Cette méthode permet de déterminer les efforts maximaux (forces, déplacements) qu'une structure subira lors d'un séisme de référence, en se basant sur ses propriétés dynamiques fondamentales comme sa période propre et son amortissement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes essentielles du calcul des forces sismiques sur une structure simple en utilisant le spectre de calcul de l'Eurocode 8, la norme européenne pour le calcul des structures en zone sismique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la période propre d'un système à un degré de liberté (SDOF).
  • Utiliser le spectre de réponse élastique de l'Eurocode 8 pour déterminer l'accélération spectrale de calcul.
  • Déterminer l'effort tranchant sismique à la base et le déplacement maximal de la structure.

Données de l'étude

On étudie un portique simple en béton armé, modélisé comme un système à un degré de liberté (SDOF), situé dans une zone à sismicité modérée. L'objectif est de déterminer les efforts sismiques de calcul selon la norme Eurocode 8.

Fiche Technique du Site et du Bâtiment
Caractéristique Valeur
Localisation Nice, France (Zone de sismicité 4)
Classe de sol (EC8) Classe C (Dépôts denses de sable, gravier ou argile raide)
Classe d'importance du bâtiment II (Bâtiments courants, \( \gamma_I = 1.0 \))
Modélisation de la Structure (Portique SDOF)
Masse, M Raideur latérale, K u(t)
Paramètre Symbole Valeur Unité
Masse de l'étage M 50 tonnes
Raideur latérale totale des poteaux K 25 000 kN/m
Coefficient d'amortissement visqueux \( \xi \) 5 %
Accélération de la pesanteur g 9.81 m/s²

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation propre (\( \omega \)) et la période propre (\( T \)) de la structure.
  2. Déterminer les paramètres du spectre de réponse élastique (Type 1) pour le site.
  3. À partir de la période \( T \), calculer l'ordonnée spectrale en accélération élastique, \( S_e(T) \).
  4. Déterminer l'effort tranchant sismique à la base, \( F_b \).
  5. Calculer le déplacement spectral élastique, \( S_{de}(T) \), au sommet de la structure.

Les bases de la Dynamique des Structures et de l'Eurocode 8

Pour résoudre cet exercice, nous devons comprendre deux concepts clés : la manière dont une structure vibre (ses propriétés dynamiques) et comment les normes de construction modélisent un séisme (le spectre de réponse).

1. Période Propre d'un Oscillateur Simple (SDOF)
Toute structure possède des modes de vibration naturels. Le plus simple et souvent le plus important est le premier mode, caractérisé par la période propre T. C'est le temps, en secondes, que met la structure pour effectuer une oscillation complète si elle est écartée de sa position d'équilibre puis relâchée. Elle dépend de la masse M et de la raideur K de la structure. \[ \text{Pulsation propre : } \omega = \sqrt{\frac{K}{M}} \quad (\text{en rad/s}) \] \[ \text{Période propre : } T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{K}} \quad (\text{en s}) \]

2. Spectre de Réponse de l'Eurocode 8
Le spectre de réponse de l'Eurocode 8 est un graphique qui donne l'accélération maximale (\( S_e(T) \)) subie par n'importe quelle structure en fonction de sa période T. Sa forme dépend de l'aléa sismique de la région (via \( a_g \)), du type de sol (via S, \( T_B, T_C, T_D \)) et de l'amortissement. Il permet de passer d'une analyse dynamique complexe à un simple calcul statique équivalent.

Correction : Étude de la Réponse Spectrale d'une Structure

Question 1 : Calculer la pulsation propre (\( \omega \)) et la période propre (\( T \)) de la structure.

Principe (le concept physique)

La première étape de toute analyse dynamique est de déterminer les caractéristiques vibratoires intrinsèques de la structure. La période propre est la plus importante car elle dicte comment la structure "ressentira" et amplifiera les secousses du sol. Une structure avec une longue période (flexible) se comportera différemment d'une structure avec une courte période (rigide).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Une structure peut être modélisée comme un système masse-ressort. La masse (M) représente l'inertie du bâtiment, et le ressort (de raideur K) représente la capacité des éléments porteurs (poteaux, murs) à résister à la déformation. La période propre est la vitesse naturelle à laquelle ce système oscille. C'est une propriété physique fondamentale, indépendante du séisme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la période comme à la "personnalité" de la structure face à un séisme. Avant tout, vérifiez toujours la cohérence de vos unités. C'est la source d'erreur numéro un dans ce type de calcul. Une masse en tonnes ne peut pas être divisée par une raideur en kN/m sans conversion !

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la dynamique des structures. Bien que l'Eurocode 8 fournisse des formules empiriques simplifiées pour estimer la période, le calcul direct à partir de la masse et de la raideur (méthode de Rayleigh) est la méthode de référence, surtout pour les modélisations précises.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la pulsation propre

\[ \omega = \sqrt{\frac{K}{M}} \]

Formule de la période propre

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La structure est modélisée comme un système à un seul degré de liberté (SDOF).
  • Le comportement des matériaux est supposé linéaire et élastique.
  • La masse est concentrée au niveau du plancher supérieur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les données de masse et de raideur de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Masse de l'étageM50tonnes
Raideur latérale totaleK25 000kN/m
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un bâtiment de 'n' étages, une estimation très grossière de la période est \( T \approx 0.075 \cdot n \). Pour notre portique simple (n=1), cela donnerait environ 0.075s. Notre calcul est plus précis, mais cette astuce donne un ordre de grandeur pour vérifier la plausibilité du résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente notre modèle simplifié : une masse unique supportée par des éléments porteurs de raideur K. C'est sur ce modèle que nos calculs sont basés.

Modèle Masse-Raideur (SDOF)
Masse, MRaideur, K
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la Masse (M)

\[ \begin{aligned} M &= 50 \text{ tonnes} \\ & = 50 \times 1000 \\ & = 50000 \text{ kg} \end{aligned} \]

Conversion de la Raideur (K)

\[ \begin{aligned} K &= 25000 \text{ kN/m} \\ & = 25000 \times 1000 \\ & = 25 \times 10^6 \text{ N/m} \end{aligned} \]

Calcul de la Pulsation Propre (\( \omega \))

\[ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{25 \times 10^6 \text{ N/m}}{50000 \text{ kg}}} \\ & = \sqrt{500} \\ & \approx 22.36 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

Calcul de la Période Propre (\( T \))

\[ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ & = \frac{2\pi}{22.36} \\ & \approx 0.281 \text{ s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La période de 0.28s représente le temps d'une oscillation complète, comme illustré par le mouvement sinusoïdal ci-dessous.

Visualisation de l'Oscillation
T = 0.28 s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une période de 0.28 s est relativement courte. Cela indique que notre structure est assez rigide. Les bâtiments "rigides" (périodes courtes) sont généralement plus sensibles aux hautes fréquences d'un séisme, tandis que les bâtiments "flexibles" (périodes longues, comme les gratte-ciels) sont plus sensibles aux basses fréquences.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'incohérence des unités. Pour que les formules fonctionnent, il est impératif de convertir toutes les valeurs dans le Système International : la masse en kilogrammes (kg) et la raideur en Newtons par mètre (N/m).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La période augmente avec la masse (plus lourd = plus lent).
  • La période diminue avec la raideur (plus rigide = plus rapide).
  • La relation fondamentale est \( T = 2\pi \sqrt{M/K} \).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effondrement du pont de Tacoma Narrows en 1940 n'est pas dû à un séisme mais au vent, mais il illustre parfaitement le concept de résonance. Le vent a excité le pont à une fréquence très proche de l'une de ses fréquences propres, créant des oscillations d'une amplitude spectaculaire jusqu'à la rupture.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser la formule simplifiée \( T = C_t \cdot H^{3/4} \) de l'Eurocode 8 ?

Cette formule est une estimation empirique utile en phase de pré-dimensionnement. Le calcul direct à partir de la masse et de la raideur (issues d'un modèle informatique par exemple) est toujours plus précis et doit être privilégié pour les calculs finaux.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La pulsation propre de la structure est \( \omega \approx 22.36 \text{ rad/s} \) et sa période propre est \( T \approx 0.28 \text{ s} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Que deviendrait la période \( T \) si la raideur \( K \) était doublée pour atteindre 50 000 kN/m ?

Question 2 : Déterminer les paramètres du spectre de réponse élastique (Type 1) pour le site.

Principe

L'Eurocode 8 ne fournit pas un seul spectre, mais une méthode pour en construire un qui soit spécifique au site étudié. La forme du spectre dépend de l'accélération de référence au rocher (liée à la zone de sismicité) et, surtout, des conditions de sol locales, qui peuvent fortement amplifier les ondes sismiques.

Normes

Nous utilisons le tableau de l'Annexe Nationale Française (NF EN 1998-1/NA) pour déterminer les paramètres \( S, T_B, T_C \) et \( T_D \) en fonction de la classe de sol. Pour la France métropolitaine, un spectre de Type 1 est utilisé. La ligne correspondant à notre classe de sol (C) est surlignée ci-dessous.

Tableau NF EN 1998-1 — Paramètres pour spectre de type 1 (Annexe Nationale Française)
Classe de sol S \( T_B \) (s) \( T_C \) (s) \( T_D \) (s)
A 1.00 0.15 0.40 2.00
B 1.20 0.15 0.50 2.00
C 1.50 0.20 0.60 2.00
D 1.35 0.20 0.80 2.00
E 1.40 0.15 0.50 2.00
Donnée(s)

Les seules données nécessaires sont la classe de sol et le type de spectre.

ParamètreValeur
Classe de solC
Type de spectre1
Réflexions

Ces paramètres définissent les "coins" du spectre de réponse.

  • S est le facteur d'amplification du sol.
  • \( T_B \) et \( T_C \) définissent la durée du plateau d'accélération maximale.
  • \( T_D \) marque le début de la branche à déplacement constant.
Un sol de classe C est un sol "moyen", qui amplifie déjà significativement le mouvement par rapport au rocher.

Résultat Final
Pour un sol de classe C et un spectre de Type 1, les paramètres de l'Eurocode 8 sont : \( S = 1.5 \), \( T_B = 0.2 \text{ s} \), \( T_C = 0.6 \text{ s} \), et \( T_D = 2.0 \text{ s} \).

Question 3 : À partir de la période \( T \), calculer l'ordonnée spectrale en accélération élastique, \( S_e(T) \).

Principe (le concept physique)

Une fois que l'on connaît la période propre de la structure et la forme du spectre pour le site, il suffit de "lire" sur le graphique (ou d'utiliser les formules correspondantes) la valeur de l'accélération maximale que la structure subira. C'est l'étape cruciale qui connecte la structure (via \( T \)) à l'action sismique (le spectre).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un spectre de réponse est construit en calculant la réponse de milliers d'oscillateurs simples (chacun avec une période \( T \) différente) au même signal sismique (accélérogramme). Le spectre trace la réponse maximale de chaque oscillateur. Les normes comme l'Eurocode 8 ne fournissent pas un spectre pour un séisme unique, mais une "enveloppe" lissée qui représente un niveau de danger sismique donné pour une région.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le point le plus important ici est d'identifier correctement dans quelle "branche" du spectre se trouve votre période \( T \). Est-elle avant le plateau ? Sur le plateau ? Après ? La formule à appliquer en dépend totalement. C'est une simple lecture, mais elle doit être précise.

Normes (la référence réglementaire)

Nous utilisons les formules de la section 3.2.2.2 de l'EN 1998-1 pour calculer \( S_e(T) \). L'accélération de référence au rocher pour Nice (Zone 4) est \( a_g = 3.0 \text{ m/s}^2 \). Le spectre est normalisé par g, puis multiplié par \( a_g \).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La valeur de \( S_e(T) \) est donnée par un ensemble de formules dépendant de la position de \( T \) par rapport à \( T_B, T_C \) et \( T_D \).

Formule pour le plateau spectral

\[ S_e(T) = a_g \cdot S \cdot \frac{2.5}{\eta} \]

Avec \( \eta \), le coefficient correctif d'amortissement. Pour \( \xi = 5\% \), \( \eta = 1 \).

Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le spectre de réponse est de Type 1 (recommandé pour la France).
  • Le comportement de la structure est purement élastique.
  • Le coefficient d'amortissement visqueux est de 5%, ce qui est une valeur standard pour le béton armé, menant à \( \eta = 1 \).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Période propre\( T \)0.28s
Accélération de référence\( a_g \)3.0m/s²
Paramètres de sol\( S, T_B, T_C \)1.5, 0.2s, 0.6s-
Amortissement\( \xi \)5 (%)-
Astuces (Pour aller plus vite)

Le facteur 2.5 sur le plateau représente l'amplification dynamique maximale. Pour un calcul rapide, si vous savez que votre bâtiment est "standard" (ni extrêmement rigide, ni extrêmement flexible), il y a de fortes chances qu'il tombe sur ce plateau. Multiplier \( a_g \) par S et par 2.5 donne un bon premier aperçu de l'accélération maximale.

Schéma (Avant les calculs)

Le graphique ci-dessous montre la forme générale du spectre de l'Eurocode 8. Notre objectif est de situer notre période \( T=0.28\text{s} \) sur l'axe horizontal pour trouver l'accélération correspondante sur l'axe vertical.

Forme du Spectre de Calcul (EC8)
Période T (s)Se(T)TBTCTD
Calcul(s) (l'application numérique)

Vérification de l'intervalle de la période

\[ 0.2 \text{ s } (T_B) \le \mathbf{0.28 \text{ s }} (T) \le 0.6 \text{ s } (T_C) \]

Calcul de l'accélération spectrale

\[ \begin{aligned} S_e(0.28) &= a_g \cdot S \cdot 2.5 \\ & = 3.0 \text{ m/s}^2 \times 1.5 \times 2.5 \\ & = 11.25 \text{ m/s}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le point correspondant à notre structure se situe sur le plateau d'amplification maximale du spectre.

Position sur le Spectre de Réponse Élastique
Période T (s) Se(T) (m/s²) TB=0.2 TC=0.6 T=0.28 11.25
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une accélération de 11.25 m/s² est supérieure à l'accélération de la pesanteur g (9.81 m/s²). Cela signifie que la force horizontale maximale subie par la structure dépassera son propre poids. C'est une sollicitation extrêmement violente, qui met en évidence l'importance capitale du dimensionnement parasismique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de bien comparer \( T \) aux bornes \( T_B, T_C \) et \( T_D \) pour choisir la bonne formule. Une erreur d'intervalle est vite arrivée et peut changer radicalement le résultat. N'oubliez pas non plus le facteur de sol S, qui est un simple multiplicateur mais souvent oublié.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le spectre de réponse transforme un problème dynamique complexe en une simple lecture de valeur.
  • La forme du spectre dépend du sol ; un sol meuble amplifie davantage les secousses.
  • La position sur le spectre dépend de la période \( T \) de la structure.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lors du séisme de Mexico en 1985, de nombreux bâtiments de 10 à 15 étages se sont effondrés alors que des bâtiments plus petits ou beaucoup plus hauts sont restés intacts. La raison ? Le sol très particulier de la ville, un ancien lac, a amplifié de manière extraordinaire les ondes sismiques ayant une période autour de 2 secondes, qui correspondait justement à la période propre de ces bâtiments de hauteur moyenne, créant un phénomène de résonance dévastateur.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le spectre diminue-t-il pour les périodes longues ?

Pour les structures très flexibles (T élevé), le sol a le temps de bouger plusieurs fois sous la structure avant que celle-ci n'ait complété une oscillation. La base bouge, mais la masse au sommet, par inertie, a tendance à rester sur place. La structure "filtre" le mouvement du sol, et subit donc une accélération plus faible. En revanche, son déplacement relatif peut être très grand.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'accélération spectrale élastique pour la structure est \( S_e(T) = 11.25 \text{ m/s}^2 \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant les mêmes paramètres de site, quelle serait l'accélération spectrale \( S_e(T) \) pour une structure plus flexible avec une période \( T = 1.0 \text{ s} \) ?

Question 4 : Déterminer l'effort tranchant sismique à la base, \( F_b \).

Principe (le concept physique)

Selon la deuxième loi de Newton (F=ma), la force sismique maximale est simplement le produit de la masse de la structure par l'accélération maximale qu'elle subit. C'est la force totale horizontale que les fondations et le système de contreventement doivent être capables de supporter.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'analyse spectrale permet de calculer une "force statique équivalente". On remplace le problème dynamique complexe d'un sol qui bouge par un problème statique simple : la structure est fixe à sa base, et on lui applique une force horizontale \( F_b \) à l'emplacement de sa masse. Cette force est calibrée pour produire les mêmes effets maximaux (déplacements, efforts internes) que le séisme.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'effort tranchant à la base est LE chiffre clé du dimensionnement sismique. C'est la charge totale que la structure doit faire descendre jusqu'aux fondations. Toutes les vérifications de résistance des poteaux, des murs, des assemblages et des fondations découleront de cette valeur.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de calcul de l'effort tranchant à la base pour le mode fondamental est donnée à la section 4.3.3.2.2 de l'EN 1998-1.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'effort tranchant à la base

\[ F_b = M \cdot S_e(T) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La réponse de la structure est dominée par son premier mode de vibration (ce qui est vrai pour notre portique simple).
  • La masse utilisée dans le calcul (parfois appelée "masse modale") est la masse totale M de notre modèle SDOF.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse de l'étageM50 000kg
Accélération spectrale\( S_e(T) \)11.25m/s²
Astuces (Pour aller plus vite)

Un moyen rapide de juger de l'intensité de l'effort sismique est de calculer le "coefficient sismique", qui est le rapport \( F_b / \text{Poids} \). Ce rapport (ici, \( S_e(T)/g \approx 1.15 \)) vous donne directement la force horizontale en pourcentage du poids du bâtiment. Un coefficient de 1.15 (115%) est énorme !

Schéma (Avant les calculs)

On modélise l'effet du séisme par une force statique \( F_b \) appliquée au centre de la masse M.

Force Statique Équivalente
Fb
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'effort tranchant

\[ \begin{aligned} F_b &= 50000 \text{ kg} \times 11.25 \text{ m/s}^2 \\ & = 562500 \text{ N} \\ & = 562.5 \text{ kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

L'effort tranchant à la base de 562.5 kN est repris par les deux poteaux. Chaque poteau subit donc un effort tranchant de 281.25 kN à sa base et à sa tête.

Diagramme de l'Effort Tranchant (V)
+VV = 281.25 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort sismique est équivalent à environ 56 tonnes-force. On peut aussi le voir comme un pourcentage du poids du bâtiment :

Calcul du coefficient sismique

\[ \begin{aligned} \frac{F_b}{\text{Poids}} &= \frac{F_b}{M \cdot g} \\ & = \frac{M \cdot S_e(T)}{M \cdot g} \\ & = \frac{S_e(T)}{g} \\ & = \frac{11.25}{9.81} \\ & \approx 1.15 \end{aligned} \]

Cela signifie que la structure doit résister à une force horizontale égale à 115% de son propre poids. C'est une valeur très élevée, typique des spectres élastiques pour des structures rigides.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le coefficient d'importance \( \gamma_I \) (ici, il vaut 1.0, donc pas d'impact). Pour les bâtiments critiques comme les hôpitaux, ce coefficient augmente les forces sismiques. De plus, ce calcul donne la force élastique. Les normes autorisent à la réduire par un "coefficient de comportement" q pour tenir compte de la ductilité de la structure, mais c'est une étape ultérieure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La force sismique est directement proportionnelle à la masse et à l'accélération spectrale.
  • F=ma est le principe de base.
  • \( F_b \) est la sollicitation globale à reprendre par le système de contreventement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La philosophie moderne du calcul parasismique n'est pas d'empêcher toute dégradation, ce qui serait extrêmement coûteux. Elle vise à garantir l'absence d'effondrement pour protéger les vies humaines. On accepte que la structure se déforme, se fissure (entre dans le domaine plastique) et dissipe ainsi l'énergie du séisme. C'est le concept de "dimensionnement en ductilité", qui justifie l'utilisation du coefficient de comportement 'q' pour réduire les forces de calcul.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette force \( F_b \) s'applique-t-elle pendant toute la durée du séisme ?

Non, \( F_b \) est la force maximale attendue. Durant le séisme, la force réelle varie constamment en direction et en intensité. L'analyse spectrale ne s'intéresse qu'à la valeur de crête pour un dimensionnement statique équivalent.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort tranchant sismique à la base est \( F_b = 562.5 \text{ kN} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une étude géotechnique plus fine classait le sol en classe B (S=1.2), quel serait le nouvel effort tranchant \( F_b \) ? (L'accélération \( S_e(T) \) serait alors de 9.0 m/s²).

Question 5 : Calculer le déplacement spectral élastique, \( S_{de}(T) \), au sommet de la structure.

Principe (le concept physique)

Le déplacement spectral (\( S_{de} \)) est lié à l'accélération spectrale (\( S_e \)) et à la pulsation propre (\( \omega \)) de la structure. Il représente le déplacement horizontal maximal au niveau de la masse lors du séisme. Cette valeur est cruciale pour vérifier que la structure ne heurtera pas les bâtiments voisins (joint sismique) et pour limiter les dommages aux éléments non-structuraux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un oscillateur harmonique simple, l'amplitude de l'accélération (A), de la vitesse (V) et du déplacement (D) sont liées par la pulsation : \( A = \omega V = \omega^2 D \). L'analyse spectrale utilise ce principe. On calcule l'accélération spectrale \( S_e(T) \), et on peut en déduire le "pseudo-déplacement" spectral \( S_{de}(T) \) via la relation \( S_{de}(T) = S_e(T) / \omega^2 \). On l'appelle "pseudo-déplacement" car ce n'est pas un calcul direct, mais il est très proche du déplacement réel maximal.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne sous-estimez pas l'importance du déplacement. Dans de nombreux cas, ce n'est pas la rupture d'un élément qui cause problème, mais une déformation excessive qui peut entraîner la chute de cloisons, la rupture de canalisations ou le martèlement avec un bâtiment voisin. Le contrôle des déplacements est aussi important que le contrôle des forces.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 8 définit le spectre de déplacement élastique \( S_{de}(T) \) dans sa section 3.2.2.3. Il peut être calculé directement à partir de \( S_e(T) \) et de la période \( T \).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du déplacement spectral (avec la pulsation)

\[ S_{de}(T) = \frac{S_e(T)}{\omega^2} \]

Formule du déplacement spectral (avec la période)

\[ S_{de}(T) = S_e(T) \cdot \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le déplacement calculé est le déplacement maximal au centre de la masse M.
  • Il s'agit du déplacement élastique. Le déplacement réel inélastique sera plus grand et est estimé en multipliant \( S_{de}(T) \) par le coefficient de comportement q.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Accélération spectrale\( S_e(T) \)11.25m/s²
Pulsation propre\( \omega \)22.36rad/s
Astuces (Pour aller plus vite)

L'Eurocode 8 donne une formule directe : \( S_{de}(T) = 0.025 \cdot a_g \cdot S \cdot T_C \cdot T_D \). Elle n'est valable que pour \( T > T_D \). Cependant, elle montre que pour les structures très souples, le déplacement maximal attendu ne dépend plus de leur période, mais seulement des caractéristiques du site (\(a_g, S, T_C, T_D\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul vise à quantifier le déplacement horizontal maximal 'u_max' (qui est \( S_{de}(T) \)) par rapport à la base de la structure.

Déplacement Relatif Maximum
u_max
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du déplacement spectral en mètres

\[ \begin{aligned} S_{de}(0.28) &= \frac{11.25 \text{ m/s}^2}{(22.36 \text{ rad/s})^2} \\ & = \frac{11.25}{500} \\ & = 0.0225 \text{ m} \end{aligned} \]

Conversion du déplacement en millimètres

\[ \begin{aligned} S_{de}(T) &= 0.0225 \text{ m} \\ & = 22.5 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Tout comme le spectre d'accélération, on peut tracer un spectre de déplacement. Notre structure se situe dans la zone de "vitesse constante", où le déplacement augmente quasi-linéairement avec la période.

Position sur le Spectre de Déplacement
Période T (s)Sde(T) (mm)T=0.2822.5
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La structure devrait subir un déplacement maximal d'environ 2.25 cm à son sommet. Cette valeur doit être comparée aux limites de déformation admissibles par les normes (typiquement un pourcentage de la hauteur de l'étage) pour s'assurer que les dommages restent contrôlés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser \( \omega \) en rad/s, et non la fréquence f en Hertz (\( f = 1/T \)). Une autre erreur est d'oublier que ce déplacement est relatif à la base. Le déplacement total de la structure par rapport à un point fixe est la somme du déplacement du sol et de ce déplacement relatif.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le déplacement est aussi important que la force.
  • Il est directement lié à l'accélération et inversement à la pulsation au carré : \( S_{de} \propto S_e / \omega^2 \).
  • Ce déplacement sert à dimensionner les joints sismiques et à vérifier les critères de limitation des dommages.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes d'isolation sismique à la base ("base isolation") fonctionnent en insérant des appuis très flexibles (en caoutchouc fretté, par exemple) entre les fondations et la structure. Cela augmente considérablement la période T de la structure (par exemple de 0.5s à 3.0s), ce qui fait "chuter" l'accélération spectrale \( S_e(T) \) le long du spectre. Les forces sont réduites drastiquement, mais le système doit pouvoir accommoder de très grands déplacements à sa base.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce déplacement de 22.5 mm est-il le déplacement réel de la structure ?

C'est le déplacement élastique maximal. Les normes exigent de le multiplier par le coefficient de comportement 'q' pour estimer le déplacement inélastique réel, qui sera plus important car la structure se déformera de manière permanente pour dissiper l'énergie.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le déplacement spectral élastique maximal est \( S_{de}(T) = 22.5 \text{ mm} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez le déplacement élastique \( S_{de}(T) \) pour une structure dont la pulsation propre \( \omega \) serait de 10 rad/s et l'accélération spectrale \( S_e(T) \) de 8 m/s².

Outil Interactif : Simulateur de Réponse Spectrale

Utilisez les curseurs pour modifier la masse et la raideur de la structure. Observez en temps réel comment sa période change et comment cela affecte sa position sur le spectre de réponse de l'Eurocode 8, modifiant ainsi l'accélération et la force sismique qu'elle subit.

Paramètres de la Structure
50 tonnes
25000 kN/m
Résultats Dynamiques
Période Propre (T) - s
Accélération Spectrale (Se(T)) - m/s²
Effort Tranchant (Fb) - kN

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. De quelles propriétés de la structure la période propre T dépend-elle principalement ?

2. Dans l'Eurocode 8, le paramètre de sol 'S' influence principalement :

3. Si on double la masse d'une structure sans changer sa raideur, sa période propre :

4. À quoi correspond le plateau du spectre de réponse (entre T_B et T_C) ?

5. L'effort tranchant à la base (Fb) est utilisé pour :

Spectre de Réponse
Un graphique représentant la réponse maximale (déplacement, vitesse ou accélération) d'une série d'oscillateurs à un degré de liberté, chacun ayant une période propre différente, à une excitation sismique donnée. C'est un outil essentiel pour le calcul sismique.
Période Propre (T)
Le temps, en secondes, nécessaire à une structure pour effectuer une oscillation complète si elle est déplacée de sa position d'équilibre et relâchée. C'est une propriété intrinsèque qui dépend de la masse et de la raideur.
Système à Un Degré de Liberté (SDOF)
Modèle simplifié d'une structure où l'ensemble de sa masse est concentrée en un seul point et ne peut se déplacer que dans une seule direction. Utile pour l'analyse des bâtiments simples.
Eurocode 8 (EN 1998)
La norme européenne qui définit les règles de conception et de construction des bâtiments et des ouvrages de génie civil en zone sismique.
Étude de la Réponse Spectrale d’une Structure

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