Études de cas pratique

EGC

Détente adiabatique d’un gaz dans un piston

Détente adiabatique d’un gaz dans un piston

Détente adiabatique d’un gaz dans un piston

Comprendre la Détente Adiabatique

Une détente adiabatique est un processus thermodynamique au cours duquel un gaz se détend (augmente de volume) sans échange de chaleur avec son environnement (\(Q=0\)). Si cette détente est également réversible (quasi-statique et sans frottements), elle est dite isentropique (l'entropie du système reste constante). Lors d'une détente adiabatique, le gaz effectue un travail sur l'extérieur, et puisque aucun apport de chaleur ne compense cette perte d'énergie, son énergie interne diminue, ce qui se traduit par une baisse de sa température. Ce type de transformation est fondamental dans de nombreux dispositifs thermiques, comme les turbines à gaz, les moteurs à combustion interne, ou lors de la détente de gaz dans des tuyères.

Données de l'étude

On considère \(n\) moles d'un gaz parfait diatomique (comme l'air à température ambiante) subissant une détente adiabatique réversible dans un cylindre muni d'un piston.

Caractéristiques du gaz et de la transformation :

  • Type de gaz : Parfait diatomique
  • Coefficient adiabatique (\(\gamma = C_P/C_V\)) : \(1.4\)
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(0.5 \, \text{mol}\)
  • État initial (1) :
    • Pression (\(P_1\)) : \(6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (soit \(6 \, \text{bar}\))
    • Volume (\(V_1\)) : \(2.0 \, \text{L}\) (Litres)
  • État final (2) :
    • Volume (\(V_2\)) : \(8.0 \, \text{L}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant (\(C_V\)) pour un gaz parfait diatomique : \(\frac{5}{2}R\)
Schéma : Détente Adiabatique dans un Cylindre-Piston
V1, P1, T1 État Initial V2, P2, T2 État Final Détente Adiabatique Réversible Parois Isolées (Q=0)

Illustration d'un gaz se détendant de manière adiabatique dans un cylindre isolé avec piston mobile.

Questions à traiter

  1. Convertir les volumes \(V_1\) et \(V_2\) en mètres cubes (\(\text{m}^3\)).
  2. Calculer la température initiale (\(T_1\)) du gaz en Kelvin (K).
  3. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz après la détente adiabatique.
  4. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz après la détente.
  5. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette détente adiabatique réversible. Est-il moteur ou résistant ?
  6. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz durant cette transformation.
  7. Vérifier la cohérence de vos résultats avec le premier principe de la thermodynamique.

Correction : Détente adiabatique d’un gaz dans un piston

Question 1 : Conversion des volumes \(V_1\) et \(V_2\) en \(\text{m}^3\)

Principe :

Utiliser la relation \(1 \, \text{Litre (L)} = 10^{-3} \, \text{m}^3\).

Données spécifiques :
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(2.0 \, \text{L}\)
  • Volume final (\(V_2\)) : \(8.0 \, \text{L}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 2.0 \, \text{L} \times 10^{-3} \, \text{m}^3\text{/L} = 0.002 \, \text{m}^3 \\ V_2 &= 8.0 \, \text{L} \times 10^{-3} \, \text{m}^3\text{/L} = 0.008 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(V_1 = 0.002 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.008 \, \text{m}^3\)

Question 2 : Température initiale (\(T_1\)) du gaz

Principe :

Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1 = n R T_1 \Rightarrow T_1 = \frac{P_1 V_1}{n R} \]
Données spécifiques :
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • Volume initial (\(V_1\)) : \(0.002 \, \text{m}^3\)
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(0.5 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{(6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.002 \, \text{m}^3)}{0.5 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= \frac{1200 \, \text{J}}{4.157 \, \text{J/K}} \\ &\approx 288.6697 \, \text{K} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(288.67 \, \text{K}\).

Résultat Question 2 : La température initiale du gaz est \(T_1 \approx 288.67 \, \text{K}\).

Question 3 : Pression finale (\(P_2\)) du gaz

Principe :

Pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace (ou loi de Poisson) reliant la pression et le volume est \(P V^\gamma = \text{constante}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \Rightarrow P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.002 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.008 \, \text{m}^3\)
  • Coefficient adiabatique (\(\gamma\)) : \(1.4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{V_1}{V_2} &= \frac{0.002}{0.008} = \frac{1}{4} = 0.25 \\ P_2 &= (6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (0.25)^{1.4} \\ &\approx (6.0 \times 10^5) \times 0.14366 \\ &\approx 86196 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit environ \(0.862 \, \text{bar}\).

Résultat Question 3 : La pression finale du gaz est \(P_2 \approx 86196 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\)) du gaz

Principe :

Pour une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, on peut utiliser une autre loi de Laplace reliant température et volume : \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\), ou utiliser l'équation d'état des gaz parfaits avec la pression \(P_2\) et le volume \(V_2\) calculés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \Rightarrow T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \] \[ \text{Ou } P_2 V_2 = n R T_2 \Rightarrow T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R} \]
Données spécifiques :
  • \(T_1 \approx 288.6697 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 0.002 \, \text{m}^3\), \(V_2 = 0.008 \, \text{m}^3\) \(\Rightarrow V_1/V_2 = 0.25\)
  • \(\gamma = 1.4 \Rightarrow \gamma-1 = 0.4\)
  • (Alternativement : \(P_2 \approx 86196 \, \text{Pa}\), \(n = 0.5 \, \text{mol}\), \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\))
Calcul (Méthode 1 - Loi de Laplace T-V) :
\[ \begin{aligned} T_2 &\approx 288.6697 \, \text{K} \times (0.25)^{0.4} \\ &\approx 288.6697 \times 0.574349 \\ &\approx 165.78 \, \text{K} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Équation d'état) :
\[ \begin{aligned} T_2 &\approx \frac{86196 \, \text{Pa} \times 0.008 \, \text{m}^3}{0.5 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= \frac{689.568 \, \text{J}}{4.157 \, \text{J/K}} \\ &\approx 165.88 \, \text{K} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis des calculs précédents. On prendra \(T_2 \approx 165.8 \, \text{K}\).

Résultat Question 4 : La température finale du gaz est \(T_2 \approx 165.8 \, \text{K}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, sa température :

Question 5 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, le travail \(W\) (reçu par le gaz) peut être calculé de plusieurs manières. L'une d'elles est \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{\gamma-1}\). Le travail effectué par le gaz est \(-W\).

Alternativement, comme \(Q=0\), d'après le premier principe \(\Delta U = W\), et pour un gaz parfait \(\Delta U = nC_V(T_2-T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) (travail reçu par le gaz) :
\[ W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-\gamma} \quad \text{ou} \quad W = n C_V (T_2 - T_1) \]

Avec \(C_V = \frac{R}{\gamma-1}\) pour un gaz parfait, donc \(W = \frac{nR(T_2-T_1)}{\gamma-1}\). Puisque \(nR T_2 = P_2 V_2\) et \(nR T_1 = P_1 V_1\), cela revient à \(W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{\gamma-1}\). La formule \(W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-\gamma}\) donne le travail fourni par le gaz. Pour le travail reçu par le gaz, on utilise \(W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1}\) ou \(W = nC_V(T_2-T_1)\).

Données spécifiques :
  • \(P_1 = 6.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(V_1 = 0.002 \, \text{m}^3 \Rightarrow P_1V_1 = 1200 \, \text{J}\)
  • \(P_2 \approx 86196 \, \text{Pa}\), \(V_2 = 0.008 \, \text{m}^3 \Rightarrow P_2V_2 \approx 689.568 \, \text{J}\)
  • \(\gamma = 1.4\)
  • \(n = 0.5 \, \text{mol}\), \(C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \approx 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 288.67 \, \text{K}\), \(T_2 \approx 165.78 \, \text{K}\)
Calcul (avec P et V) :
\[ \begin{aligned} W &= \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-\gamma} \\ &\approx \frac{689.568 \, \text{J} - 1200 \, \text{J}}{1 - 1.4} \\ &= \frac{-510.432}{-0.4} \\ &\approx 1276.08 \, \text{J} \end{aligned} \]

Ce calcul donne le travail fourni par le gaz. Le travail reçu par le gaz est donc \(W \approx -1276.08 \, \text{J}\).

Calcul (avec T et \(C_V\)) :
\[ \begin{aligned} W &= n C_V (T_2 - T_1) \\ &\approx 0.5 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times (165.78 \, \text{K} - 288.67 \, \text{K}) \\ &\approx 10.3925 \times (-122.89) \\ &\approx -1277.1 \, \text{J} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis. On prendra \(W \approx -1277 \, \text{J}\). Puisque \(W < 0\), le travail est fourni par le gaz, il est donc moteur.

Résultat Question 5 : Le travail reçu par le gaz est \(W \approx -1277 \, \text{J}\). C'est un travail moteur (le gaz fournit du travail à l'extérieur).

Question 6 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_V (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.5 \, \text{mol}\)
  • \(C_V = \frac{5}{2}R \approx 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 \approx 288.67 \, \text{K}\)
  • \(T_2 \approx 165.78 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx 0.5 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times (165.78 \, \text{K} - 288.67 \, \text{K}) \\ &\approx 10.3925 \times (-122.89) \\ &\approx -1277.1 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(\Delta U \approx -1277 \, \text{J}\).

Résultat Question 6 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U \approx -1277 \, \text{J}\).

Question 7 : Vérification du premier principe de la thermodynamique

Principe :

Le premier principe de la thermodynamique stipule que \(\Delta U = Q + W\). Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\).

Vérification :

Pour une transformation adiabatique, \(Q = 0\).

Selon le premier principe, on devrait avoir \(\Delta U = W\).

D'après nos calculs :

  • \(\Delta U \approx -1277 \, \text{J}\) (calculé à la question 6)
  • \(W \approx -1277 \, \text{J}\) (travail reçu par le gaz, calculé à la question 5)

Les valeurs sont cohérentes (\(\Delta U = W\)), ce qui confirme l'application du premier principe pour une transformation adiabatique.

Résultat Question 7 : Les calculs de \(\Delta U\) et \(W\) sont cohérents avec le premier principe de la thermodynamique pour une transformation adiabatique (\(Q=0 \Rightarrow \Delta U = W\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, laquelle de ces affirmations est toujours vraie ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une transformation adiabatique est un processus au cours duquel :

2. Lors d'une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait, son énergie interne :

3. La loi de Laplace pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait peut s'écrire :

Glossaire

Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique au cours duquel il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q=0\)) entre le système et son environnement.
Transformation Réversible
Processus idéal qui peut être inversé à tout moment, ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de trace. Le système est en équilibre à chaque instant.
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas, obéissant à l'équation \(PV = nRT\).
Coefficient Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_P\)) et à volume constant (\(C_V\)), soit \(\gamma = C_P/C_V\). Pour un gaz parfait diatomique, \(\gamma \approx 1.4\).
Lois de Laplace (ou de Poisson)
Relations entre pression, volume et température pour les transformations adiabatiques réversibles d'un gaz parfait (ex: \(P V^\gamma = \text{cste}\), \(T V^{\gamma-1} = \text{cste}\)).
Travail Thermodynamique (\(W\))
Énergie transférée lorsqu'une force déplace son point d'application. Pour un gaz, \(dW = -P_{\text{ext}}dV\). Par convention, \(W > 0\) si reçu par le système.
Énergie Interne (\(U\))
Somme des énergies microscopiques d'un système. Pour un gaz parfait, \(\Delta U = nC_V\Delta T\).
Premier Principe de la Thermodynamique
Conservation de l'énergie : \(\Delta U = Q + W\).
Détente adiabatique d’un gaz dans un piston - Exercice d'Application

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