Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
Contexte : La ThermodynamiqueBranche de la physique qui étudie les relations entre la chaleur, le travail et l'énergie..
Cet exercice porte sur un concept fondamental en thermodynamique : la détente adiabatique. Nous allons étudier le comportement d'un gaz parfait, assimilé à de l'air, contenu dans un cylindre calorifugé et fermé par un piston mobile. Le gaz subit une détente rapide, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur. Ce modèle est essentiel pour comprendre le fonctionnement de nombreux systèmes, comme les moteurs à combustion interne ou les réfrigérateurs.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le premier principe de la thermodynamique et les lois de Laplace pour décrire une transformation sans échange de chaleur, et à calculer les variations d'état (pression, température) ainsi que les transferts d'énergie (travail, énergie interne).
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi des gaz parfaits.
- Utiliser les lois de Laplace pour une transformation adiabatique réversible.
- Calculer le travail des forces de pression lors d'une détente.
- Calculer la variation de l'énergie interneL'énergie contenue dans un système, associée à l'agitation microscopique de ses particules. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température..
- Vérifier le premier principe de la thermodynamique.
Données de l'étude
Fiche Technique du Gaz
| Caractéristique | Symbole / Valeur |
|---|---|
| Quantité de matière | \( n = 1.0 \, \text{mol} \) |
| Constante des gaz parfaits | \( R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \) |
| Indice adiabatique (gamma) | \( \gamma = C_p / C_v = 1.4 \) |
| Capacité thermique molaire à volume constant | \( C_v = \frac{5}{2}R \) |
Schéma de la détente adiabatique
| État | Pression (P) | Volume (V) | Température (T) |
|---|---|---|---|
| Initial (1) | \( 10.0 \times 10^5 \, \text{Pa} \) (10 bar) | \( 2.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \) (2 L) | ? |
| Final (2) | ? | \( 10.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \) (10 L) | ? |
Questions à traiter
- Calculer la température initiale du gaz \(T_1\).
- Déterminer la pression finale du gaz \(P_2\).
- Calculer la température finale du gaz \(T_2\).
- Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz lors de cette détente.
- Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) du gaz et vérifier la cohérence avec le premier principe de la thermodynamique.
Les bases sur la détente adiabatique
Une transformation thermodynamique est dite adiabatique lorsqu'elle s'effectue sans aucun échange de chaleur entre le système et le milieu extérieur. Cela se produit typiquement lorsque la transformation est très rapide ou que le système est parfaitement isolé thermiquement.
1. Premier principe de la thermodynamique
La variation d'énergie interne \(\Delta U\) d'un système est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) échangés avec l'extérieur :
\[ \Delta U = W + Q \]
Pour une transformation adiabatique, \(Q=0\), donc :
\[ \Delta U = W \]
2. Lois de Laplace
Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible (quasi-statique), les variables d'état P, V et T sont liées par les relations de Laplace :
\[ P V^\gamma = \text{constante} \]
\[ T V^{\gamma-1} = \text{constante} \]
\[ T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{constante} \]
Correction : Détente adiabatique d’un gaz dans un piston
Question 1 : Calculer la température initiale du gaz \(T_1\)
Principe
Pour déterminer une variable d'état manquante (ici la température \(T_1\)) alors que les autres sont connues (pression \(P_1\) et volume \(V_1\)), on utilise l'équation d'état qui lie ces variables. Pour un gaz parfait, c'est la loi des gaz parfaits.
Mini-Cours
La loi des gaz parfaits est une équation d'état qui décrit le comportement des gaz à basse pression. Elle relie la pression (P), le volume (V), la quantité de matière (n) et la température absolue (T). Elle est fondamentale car elle permet de définir complètement l'état d'un gaz parfait si trois de ces quatre variables sont connues.
Remarque Pédagogique
Avant toute application numérique, la première étape est toujours de vérifier que toutes les unités sont cohérentes avec celles de la constante R (Joules, Moles, Kelvin, Pascals, m³). C'est la source d'erreur la plus commune.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme de construction, mais d'une loi physique fondamentale de la thermodynamique, universellement acceptée pour modéliser les gaz dans certaines conditions.
Formule(s)
La loi des gaz parfaits s'écrit :
Hypothèses
L'hypothèse principale est que l'air se comporte comme un gaz parfait. Cela implique que les interactions entre les molécules sont négligeables et que leur volume propre est nul par rapport au volume total.
Donnée(s)
On extrait les données de l'énoncé pour l'état initial :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | \(10.0 \times 10^5\) | \(\text{Pa}\) |
| Volume initial | \(V_1\) | \(2.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Quantité de matière | \(n\) | 1.0 | \(\text{mol}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
Astuces
Un Joule (J) est équivalent à un Pascal-mètre-cube (Pa·m³). Connaître cette équivalence permet de vérifier rapidement la cohérence des unités dans la formule.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma représente l'état initial du système dans le cylindre, avant que le piston ne bouge.
Calcul(s)
Formule de la température initiale
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le calcul complète notre connaissance de l'état 1. Le schéma reste le même, mais nous savons maintenant que la température est de 240.6 K.
Réflexions
La température initiale est d'environ 240.6 K, ce qui correspond à -32.6 °C. Le gaz est donc initialement à une pression élevée mais à une température assez basse.
Points de vigilance
La température dans la loi des gaz parfaits doit impérativement être exprimée en Kelvin (K), l'unité de température absolue. Utiliser des degrés Celsius mènerait à un résultat incorrect.
Points à retenir
L'état thermodynamique d'un gaz parfait est entièrement défini par P, V et T. La loi \(PV=nRT\) est l'outil fondamental pour passer de l'un à l'autre.
Le saviez-vous ?
Le concept de zéro absolu (0 K) a été introduit par Lord Kelvin. C'est la température la plus basse possible, où l'agitation thermique des particules cesse théoriquement.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pression initiale était de 5 bar, quelle serait la nouvelle température \(T_1\) (en K) ?
Question 2 : Déterminer la pression finale du gaz \(P_2\)
Principe
La transformation est adiabatique et supposée réversible. On peut donc utiliser l'une des lois de Laplace pour relier l'état initial (1) à l'état final (2). Comme on connaît les volumes \(V_1, V_2\) et la pression \(P_1\), on utilise la loi reliant la pression et le volume.
Mini-Cours
Les lois de Laplace découlent de la combinaison du premier principe (\(dU = \delta W\)) et de la loi des gaz parfaits. Elles ne sont valables que pour des transformations adiabatiques ET réversibles (suffisamment lentes pour que le système soit à tout instant à l'équilibre thermodynamique).
Remarque Pédagogique
Le choix de la bonne loi de Laplace est stratégique. Observez toujours les données connues et inconnues. Ici, on cherche P₂ et on connaît P₁, V₁ et V₂. La relation \(PV^\gamma = \text{Cte}\) est donc la plus directe.
Normes
Comme pour la loi des gaz parfaits, les lois de Laplace sont des principes fondamentaux de la thermodynamique et non des normes réglementaires.
Formule(s)
La loi de Laplace reliant P et V entre un état 1 et un état 2 est :
Hypothèses
En plus de l'hypothèse du gaz parfait, nous ajoutons ici deux hypothèses cruciales pour utiliser cette loi : la transformation est adiabatique (pas d'échange de chaleur) et réversible (quasi-statique).
Donnée(s)
On utilise les données des deux états et l'indice adiabatique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | \(10.0 \times 10^5\) | \(\text{Pa}\) |
| Volume initial | \(V_1\) | \(2.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Volume final | \(V_2\) | \(10.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 1.4 | - |
Astuces
Pour calculer \((V_1/V_2)^\gamma\), soit \((0.2)^{1.4}\), utilisez la touche \(x^y\) ou \(\wedge\) de votre calculatrice. Assurez-vous de calculer le rapport des volumes avant d'appliquer la puissance.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre le passage de l'état 1 (volume V₁) à l'état 2 (volume V₂).
Calcul(s)
Formule de la pression finale
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme P-V montre la trajectoire du gaz de l'état 1 à l'état 2. La courbe d'une détente adiabatique est plus raide que celle d'une détente isotherme.
Réflexions
La pression finale est d'environ \(1.06 \times 10^5\) Pa, soit 1.06 bar. Comme attendu lors d'une détente où le volume est multiplié par 5, la pression a considérablement chuté (quasiment d'un facteur 10).
Points de vigilance
Attention à ne pas appliquer la puissance \(\gamma\) à la pression initiale. La formule est \(P_1 \times (V_1/V_2)^\gamma\), et non \((P_1 V_1/V_2)^\gamma\). L'ordre des opérations est crucial.
Points à retenir
Une détente adiabatique réversible est décrite par la loi \(PV^\gamma = \text{constante}\). Comme \(\gamma > 1\), la pression chute plus rapidement que le volume n'augmente.
Le saviez-vous ?
Le concept de transformation réversible est une idéalisation. Dans la réalité, toute transformation rapide crée des turbulences et des gradients de pression, la rendant irréversible. Cependant, ce modèle est une excellente approximation pour de nombreux processus rapides.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le volume final n'était que de 4 L (\(4.0 \times 10^{-3} \, \text{m}^3\)), quelle serait la nouvelle pression finale \(P_2\) (en bar) ?
Question 3 : Calculer la température finale du gaz \(T_2\)
Principe
Similaire à la question précédente, on utilise une loi de Laplace pour relier les états 1 et 2. Puisqu'on cherche la température T₂, et qu'on connaît T₁, V₁ et V₂, la relation la plus directe est celle liant la température et le volume.
Mini-Cours
Les trois formes des lois de Laplace sont équivalentes. On peut passer de l'une à l'autre en utilisant la loi des gaz parfaits. Par exemple, en remplaçant P par nRT/V dans \(PV^\gamma = \text{Cte}\), on obtient \((nRT/V)V^\gamma = \text{Cte}\), ce qui, après simplification, mène à \(TV^{\gamma-1} = \text{Cte}\).
Remarque Pédagogique
Utiliser une loi de Laplace qui dépend des données initiales de l'énoncé (\(T_1, V_1, V_2\)) est préférable à une méthode qui utiliserait un résultat calculé (\(P_2\)). Cela évite de propager une éventuelle erreur de calcul commise à l'étape précédente.
Normes
Principes fondamentaux de la thermodynamique.
Formule(s)
La loi de Laplace reliant T et V est :
Hypothèses
La transformation est adiabatique et réversible, et le gaz est parfait.
Donnée(s)
On utilise la température \(T_1\) calculée précédemment et les volumes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température initiale | \(T_1\) | 240.56 | \(\text{K}\) |
| Volume initial | \(V_1\) | \(2.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Volume final | \(V_2\) | \(10.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 1.4 | - |
Astuces
Alternativement, une fois \(P_2\) calculé, on pourrait aussi utiliser la loi des gaz parfaits pour l'état final : \(T_2 = P_2 V_2 / (nR)\). C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre la détente du gaz, processus pendant lequel la température va chuter.
Calcul(s)
Formule de la température finale
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme P-V avec les courbes isothermes (T=Cte) montre que le point final (2) se situe sur une isotherme plus basse (T₂) que le point initial (1), illustrant le refroidissement.
Réflexions
La température finale est de 126.3 K (-146.9 °C). Le gaz s'est fortement refroidi. C'est une caractéristique des détentes adiabatiques : le système fournit du travail à l'extérieur en puisant dans sa propre énergie interne, ce qui se traduit par une baisse de température.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier le "-1" dans l'exposant. La puissance est \(\gamma-1\), soit 0.4 dans notre cas, et non \(\gamma\).
Points à retenir
La détente adiabatique provoque un refroidissement. C'est l'un des principes de base de la réfrigération et de la liquéfaction des gaz.
Le saviez-vous ?
Le même principe, inversé (compression adiabatique), explique pourquoi une pompe à vélo chauffe lors du gonflage : le travail que vous fournissez augmente l'énergie interne de l'air, et donc sa température.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le gaz était de l'hélium (monoatomique, \(\gamma = 5/3 \approx 1.67\)), quelle serait la température finale (en K) pour la même détente ?
Question 4 : Calculer le travail \(W\) reçu par le gaz
Principe
Le travail des forces de pression reçu par le gaz lors de la transformation peut être calculé de plusieurs manières. Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, une formule simple relie le travail aux variables d'état initiales et finales.
Mini-Cours
Le travail \(W\) est une forme de transfert d'énergie. Par convention en thermodynamique, le travail est compté positivement s'il est reçu par le système (compression) et négativement s'il est fourni par le système (détente). Le travail \(W\) est égal à l'intégrale de \(-P_{\text{ext}}dV\). Pour une transformation réversible, \(P_{\text{ext}} = P_{\text{int}}\), et en utilisant les lois de la thermodynamique on aboutit à la formule de calcul ci-dessous.
Remarque Pédagogique
Le signe du résultat est un excellent indicateur de bon sens. Pour une détente, le gaz pousse le piston : il fournit de l'énergie au monde extérieur. Le travail qu'il reçoit doit donc être négatif. Si vous trouvez un résultat positif, il y a une erreur.
Normes
La convention de signe pour le travail (\(W > 0\) si reçu par le système) est la plus courante en physique et en chimie (norme UICPA), mais il est important de toujours vérifier la convention utilisée dans un contexte donné.
Formule(s)
Le travail \(W\) reçu par le gaz lors d'une transformation adiabatique est donné par :
Hypothèses
La formule est valable pour une transformation adiabatique, réversible, d'un gaz parfait.
Donnée(s)
Nous utilisons les pressions et volumes des états 1 et 2, ainsi que l'indice adiabatique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression initiale | \(P_1\) | \(10.0 \times 10^5\) | \(\text{Pa}\) |
| Volume initial | \(V_1\) | \(2.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Pression finale | \(P_2\) | 105991 | \(\text{Pa}\) |
| Volume final | \(V_2\) | \(10.0 \times 10^{-3}\) | \(\text{m}^3\) |
| Indice adiabatique | \(\gamma\) | 1.4 | - |
Astuces
Puisque \(W = \Delta U\) et \(\Delta U = nC_v(T_2-T_1)\), on peut aussi calculer le travail directement à partir des températures. C'est souvent plus rapide et permet de vérifier le calcul précédent : \(W = 1 \times 20.785 \times (126.34 - 240.56) \approx -2374\) J. Les résultats doivent être cohérents.
Schéma (Avant les calculs)
Le diagramme P-V est utilisé pour visualiser le travail, qui correspond à l'aire sous la courbe de la transformation.
Calcul(s)
Produit Pression-Volume Initial
Produit Pression-Volume Final
Calcul du travail
Schéma (Après les calculs)
Sur le diagramme P-V, la valeur absolue du travail, \(|W|\), correspond à l'aire sous la courbe de transformation. Cette aire représente l'énergie mécanique fournie par le gaz à l'extérieur.
Réflexions
Le travail reçu est négatif (W ≈ -2.35 kJ). Cela confirme que le gaz n'a pas reçu de travail, mais en a fourni au milieu extérieur (en poussant le piston). L'énergie a été transférée du système vers l'extérieur sous forme de travail.
Points de vigilance
Ne pas inverser les termes \(P_1V_1\) et \(P_2V_2\), car cela inverserait le signe du travail. La formule est bien (Final - Initial) au numérateur.
Points à retenir
Le travail n'est pas une fonction d'état, il dépend du chemin suivi. Pour une transformation adiabatique, le travail échangé est exactement égal à la variation de l'énergie interne du système.
Le saviez-vous ?
Dans un moteur de voiture, la phase de "détente" est modélisée par une détente adiabatique. C'est ce travail fourni par les gaz chauds qui pousse le piston et met le véhicule en mouvement.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la détente s'arrêtait à \(P_2 = 2\) bar, quel serait le travail reçu par le gaz (en J) ? (Indice: calculez d'abord \(V_2\) et \(T_2\)).
Question 5 : Calculer \(\Delta U\) et vérifier le premier principe
Principe
Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) ne dépend que de la variation de température. On la calcule avec la capacité thermique molaire à volume constant \(C_v\). Ensuite, on vérifie la validité du premier principe pour une transformation adiabatique (\(Q=0\)), qui stipule que \(\Delta U\) doit être égal au travail \(W\).
Mini-Cours
L'énergie interne U est une fonction d'état : sa variation ne dépend que de l'état initial et de l'état final, et non du chemin parcouru. C'est une différence fondamentale avec le travail W et la chaleur Q, qui sont des transferts d'énergie et dépendent du processus.
Remarque Pédagogique
Cette dernière question est cruciale. Elle ne demande pas un nouveau résultat, mais une vérification de la cohérence de l'ensemble de votre démarche. Si \( \Delta U \approx W\), vous pouvez être confiant dans vos calculs précédents. Un écart important signale une erreur.
Normes
Le premier principe de la thermodynamique est une loi fondamentale de conservation de l'énergie, l'un des piliers de la physique moderne.
Formule(s)
La variation d'énergie interne d'un gaz parfait est :
Le premier principe pour une transformation adiabatique est :
Hypothèses
La formule pour \(\Delta U\) est valable car on a supposé que l'air est un gaz parfait.
Donnée(s)
Nous avons besoin des températures et de la capacité thermique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Température finale | \(T_2\) | 126.34 | \(\text{K}\) |
| Température initiale | \(T_1\) | 240.56 | \(\text{K}\) |
| Quantité de matière | \(n\) | 1.0 | \(\text{mol}\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | \(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) |
Astuces
Puisque la cohérence est le but, utilisez les valeurs les moins arrondies possibles de T₁ et T₂ pour obtenir la meilleure précision sur \(\Delta U\) et la comparer au travail W.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma représente le système (le gaz) comme une entité dont on va calculer la variation de l'énergie interne \(\Delta U\) entre l'état 1 et l'état 2.
Calcul(s)
Calcul de la capacité thermique molaire
Calcul de la variation d'énergie interne
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma conceptuel illustre le Premier Principe pour ce processus. Le système (le gaz) voit son énergie interne diminuer, et cette énergie est entièrement convertie en travail fourni à l'extérieur.
Réflexions et Vérification
On compare le \(\Delta U\) calculé (\(-2374.0 \, \text{J}\)) avec le travail \(W\) calculé à la question 4 (\(-2350.2 \, \text{J}\)). Les valeurs sont très proches. L'écart de ~1% provient des arrondis successifs sur les valeurs de P₂, T₁ et T₂. Théoriquement, pour une transformation adiabatique, ces deux valeurs sont exactement égales. Cette cohérence valide notre démarche.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la capacité thermique à volume constant (\(C_v\)) et non à pression constante (\(C_p\)) pour le calcul de l'énergie interne.
Points à retenir
Pour un processus adiabatique, la variation d'énergie interne est exactement égale au travail échangé avec l'extérieur. L'énergie utilisée pour le travail provient de l'énergie interne du système, et vice-versa.
Le saviez-vous ?
Le premier principe de la thermodynamique est l'une des lois les mieux établies en physique. À ce jour, aucune expérience n'a jamais réussi à la mettre en défaut. Elle interdit notamment la création d'une "machine à mouvement perpétuel de première espèce", qui produirait de l'énergie à partir de rien.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la température d'un gaz parfait diatomique diminue de 50 K, quelle est la variation de son énergie interne \(\Delta U\) par mole (en J) ?
Outil Interactif : Simulateur de Détente Adiabatique
Utilisez les curseurs pour modifier la pression initiale et le rapport de détente (\(V_2/V_1\)) et observez en temps réel l'impact sur l'état final du gaz et le travail produit. Le graphique montre la courbe de la transformation dans un diagramme Pression-Volume.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qui caractérise une transformation adiabatique ?
2. Lors d'une détente adiabatique d'un gaz parfait, que fait sa température ?
3. Selon le premier principe, si un système adiabatique fournit du travail (\(W < 0\)), comment varie son énergie interne \(\Delta U\) ?
4. Laquelle de ces relations est une loi de Laplace ?
5. L'indice adiabatique \(\gamma\) pour un gaz parfait diatomique comme l'air vaut approximativement :
Glossaire
- Transformation Adiabatique
- Processus thermodynamique se déroulant sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
- Énergie Interne (U)
- Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
- Lois de Laplace
- Relations mathématiques qui décrivent l'évolution des variables d'état (P, V, T) d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique réversible.
- Indice Adiabatique (\(\gamma\))
- Rapport des capacités thermiques à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)). Il caractérise la réponse du gaz à une compression ou une détente adiabatique.
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