Études de cas pratique

EGC

Cycle frigorifique idéalisé en thermodynamique

Cycle Frigorifique Idéalisé (Carnot)

Cycle Frigorifique Idéalisé de Carnot

Comprendre le Cycle Frigorifique de Carnot

Le cycle frigorifique de Carnot est l'inverse du cycle moteur de Carnot. Il représente le cycle théorique le plus efficace pour transférer de la chaleur d'une source froide vers une source chaude, en consommant du travail. Comme le cycle moteur de Carnot, il est composé de quatre transformations réversibles : deux isothermes et deux adiabatiques. Bien qu'il s'agisse d'un cycle idéal non réalisable parfaitement en pratique, il sert de référence pour évaluer la performance maximale possible des systèmes de réfrigération et des pompes à chaleur fonctionnant entre deux températures données. Son analyse permet de comprendre les limites théoriques de l'efficacité frigorifique.

Données de l'étude

On considère un réfrigérateur fonctionnant selon un cycle de Carnot inversé (cycle frigorifique de Carnot) entre une source froide (l'intérieur du réfrigérateur) et une source chaude (l'air ambiant de la cuisine).

Caractéristiques du cycle :

  • Température de la source froide (\(T_C\)) : \(-10^\circ\text{C}\)
  • Température de la source chaude (\(T_H\)) : \(30^\circ\text{C}\)
  • Quantité de chaleur absorbée par le fluide frigorigène depuis la source froide par cycle (\(Q_C\)) : \(1000 \, \text{J}\)
Schéma : Diagramme T-S d'un Cycle Frigorifique de Carnot
S (Entropie) T (K) TH TC 1 2 3 4 1-2: Abs. Chaleur QC (Isotherme) 2-3: Comp. Adiab. 3-4: Rejet Chaleur QH (Isotherme) 4-1: Détente Adiab. QC QH W_in Cycle Frigorifique de Carnot (T-S)

Diagramme Température-Entropie (T-S) typique d'un cycle frigorifique de Carnot.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures des sources chaude (\(T_H\)) et froide (\(T_C\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer le coefficient de performance (COP ou \(\epsilon_f\)) de ce réfrigérateur de Carnot.
  3. Calculer le travail net (\(W_{\text{in}}\)) qui doit être fourni au réfrigérateur par cycle, en Joules (J).
  4. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_H\)) rejetée à la source chaude (l'air ambiant) par cycle.
  5. Si un réfrigérateur réel fonctionnant entre les mêmes températures a un COP qui est 60% de celui du cycle de Carnot idéal, quel serait son COP réel et combien de travail consommerait-il pour extraire la même quantité de chaleur \(Q_C = 1000 \, \text{J}\) ?
  6. Expliquer pourquoi il est plus difficile (nécessite plus de travail) de maintenir une température très basse dans un congélateur lorsque la température ambiante de la pièce est élevée.

Correction : Cycle Frigorifique Idéalisé de Carnot

Question 1 : Conversion des températures en Kelvin

Principe :

La relation entre Celsius (\(^\circ\text{C}\)) et Kelvin (K) est \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\).

Données spécifiques :
  • Température source froide (\(T_C\)) : \(-10^\circ\text{C}\)
  • Température source chaude (\(T_H\)) : \(30^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_C (\text{K}) &= -10 + 273.15 = 263.15 \, \text{K} \\ T_H (\text{K}) &= 30 + 273.15 = 303.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(T_C = 263.15 \, \text{K}\)
  • \(T_H = 303.15 \, \text{K}\)

Question 2 : Coefficient de performance (COP ou \(\epsilon_f\)) du réfrigérateur de Carnot

Principe :

Le coefficient de performance d'un réfrigérateur de Carnot ne dépend que des températures absolues de la source froide et de la source chaude.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{COP}_{R, \text{Carnot}} = \epsilon_{f, \text{Carnot}} = \frac{T_C}{T_H - T_C} \]
Données spécifiques :
  • \(T_C = 263.15 \, \text{K}\)
  • \(T_H = 303.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{COP}_{R, \text{Carnot}} &= \frac{263.15 \, \text{K}}{303.15 \, \text{K} - 263.15 \, \text{K}} \\ &= \frac{263.15}{40.00} \\ &\approx 6.57875 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(6.58\).

Résultat Question 2 : Le coefficient de performance du réfrigérateur de Carnot est \(\text{COP}_{R, \text{Carnot}} \approx 6.58\).

Question 3 : Travail net (\(W_{\text{in}}\)) requis par cycle

Principe :

Le coefficient de performance d'un réfrigérateur est défini comme le rapport de la chaleur absorbée de la source froide (\(Q_C\)) au travail net fourni au système (\(W_{\text{in}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{COP}_R = \frac{Q_C}{W_{\text{in}}} \Rightarrow W_{\text{in}} = \frac{Q_C}{\text{COP}_R} \]
Données spécifiques :
  • Chaleur absorbée (\(Q_C\)) : \(1000 \, \text{J}\)
  • \(\text{COP}_{R, \text{Carnot}} \approx 6.57875\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{in}} &= \frac{1000 \, \text{J}}{6.57875} \\ &\approx 151.999 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(152.0 \, \text{J}\).

Résultat Question 3 : Le travail net qui doit être fourni au réfrigérateur par cycle est \(W_{\text{in}} \approx 152.0 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un cycle frigorifique, le travail \(W_{in}\) est :

Question 4 : Chaleur (\(Q_H\)) rejetée à la source chaude

Principe :

Selon le premier principe de la thermodynamique pour un cycle, la chaleur rejetée à la source chaude est la somme de la chaleur absorbée de la source froide et du travail fourni au système.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q_H = Q_C + W_{\text{in}} \]

Alternativement, pour un cycle de Carnot réversible : \(\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C} \Rightarrow Q_H = Q_C \frac{T_H}{T_C}\)

Données spécifiques :
  • Chaleur absorbée (\(Q_C\)) : \(1000 \, \text{J}\)
  • Travail fourni (\(W_{\text{in}}\)) : \(\approx 151.999 \, \text{J}\)
  • (Pour la méthode alternative : \(T_H = 303.15 \, \text{K}\), \(T_C = 263.15 \, \text{K}\))
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} Q_H &= 1000 \, \text{J} + 151.999 \, \text{J} \\ &\approx 1151.999 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - vérification) :
\[ \begin{aligned} Q_H &= 1000 \, \text{J} \times \frac{303.15 \, \text{K}}{263.15 \, \text{K}} \\ &\approx 1000 \, \text{J} \times 1.1519988 \\ &\approx 1151.999 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(1152.0 \, \text{J}\).

Résultat Question 4 : La quantité de chaleur rejetée à la source chaude par cycle est \(Q_H \approx 1152.0 \, \text{J}\).

Question 5 : COP réel et travail d'un réfrigérateur réel

Principe :

Le COP d'un réfrigérateur réel est un pourcentage du COP de Carnot idéal. Le travail requis est ensuite calculé à partir de ce COP réel.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{COP}_{R, \text{réel}} = 0.60 \times \text{COP}_{R, \text{Carnot}} \] \[ W'_{\text{in}} = \frac{Q_C}{\text{COP}_{R, \text{réel}}} \]
Données spécifiques :
  • \(\text{COP}_{R, \text{Carnot}} \approx 6.57875\)
  • \(Q_C = 1000 \, \text{J}\)
Calcul :

COP réel :

\[ \begin{aligned} \text{COP}_{R, \text{réel}} &= 0.60 \times 6.57875 \\ &\approx 3.94725 \end{aligned} \]

Travail requis pour le réfrigérateur réel :

\[ \begin{aligned} W'_{\text{in}} &= \frac{1000 \, \text{J}}{3.94725} \\ &\approx 253.34 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir \(\text{COP}_{R, \text{réel}} \approx 3.95\) et \(W'_{\text{in}} \approx 253.3 \, \text{J}\).

Résultat Question 5 : Le COP réel du réfrigérateur est d'environ \(3.95\), et il consommerait environ \(253.3 \, \text{J}\) de travail pour extraire \(1000 \, \text{J}\) de la source froide.

Question 6 : Influence de la température ambiante sur un congélateur

Explication :

Un congélateur fonctionne comme un réfrigérateur, transférant la chaleur de son intérieur (source froide, \(T_C\)) vers la pièce ambiante (source chaude, \(T_H\)). Le coefficient de performance (COP) d'un cycle frigorifique idéal de Carnot est donné par \(\text{COP}_R = \frac{T_C}{T_H - T_C}\).

Le travail requis pour extraire une quantité de chaleur \(Q_C\) de la source froide est \(W_{\text{in}} = \frac{Q_C}{\text{COP}_R}\). En substituant la formule du COP de Carnot, on obtient :

\[ W_{\text{in}} = Q_C \frac{T_H - T_C}{T_C} = Q_C \left(\frac{T_H}{T_C} - 1\right) \]

Si la température ambiante de la pièce (\(T_H\)) augmente, et que la température intérieure du congélateur (\(T_C\)) doit être maintenue constante (très basse) :

  • Le terme \((T_H - T_C)\) augmente.
  • Par conséquent, le dénominateur du COP (\(T_H - T_C\)) augmente, ce qui signifie que le \(\text{COP}_R\) diminue. Un COP plus faible signifie que le réfrigérateur est moins efficace : pour une même quantité de chaleur \(Q_C\) extraite, plus de travail \(W_{\text{in}}\) est nécessaire.
  • Directement à partir de la formule de \(W_{\text{in}}\), si \(T_H\) augmente, le terme \(\left(\frac{T_H}{T_C} - 1\right)\) augmente également, ce qui signifie que \(W_{\text{in}}\) augmente pour une même \(Q_C\).

Ainsi, lorsque la température ambiante est élevée, le congélateur doit "travailler plus dur" (consommer plus d'énergie électrique) pour pomper la chaleur de l'intérieur froid vers l'extérieur plus chaud, car la "différence de potentiel thermique" à surmonter est plus grande. De plus, les pertes de chaleur par les parois du congélateur vers l'intérieur augmentent également avec une plus grande différence de température, ce qui signifie que \(Q_C\) (la quantité de chaleur à extraire pour maintenir la température basse) augmente également, nécessitant encore plus de travail.

Résultat Question 6 : Une température ambiante (\(T_H\)) plus élevée diminue le COP du cycle frigorifique et augmente la différence \(T_H - T_C\). Pour une même quantité de chaleur \(Q_C\) à extraire de la source froide (\(T_C\)), le travail \(W_{\text{in}}\) requis augmente. De plus, les infiltrations de chaleur dans le congélateur augmentent, ce qui accroît la charge thermique à évacuer.

Quiz Intermédiaire 2 : Le coefficient de performance (COP) d'un réfrigérateur idéal de Carnot :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un cycle frigorifique de Carnot est l'inverse :

2. Le Coefficient de Performance (COP) d'un réfrigérateur est défini comme :

3. Pour un cycle frigorifique de Carnot, si la différence de température entre la source chaude et la source froide augmente, le COP :

Glossaire

Cycle Frigorifique
Cycle thermodynamique qui transfère de la chaleur d'une source à basse température (source froide) vers une source à haute température (source chaude) en consommant du travail.
Cycle de Carnot
Cycle thermodynamique théorique réversible composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques. Le cycle de Carnot frigorifique est le cycle de Carnot moteur fonctionnant en sens inverse.
Source Froide (\(T_C\))
Réservoir thermique à basse température duquel le système frigorifique absorbe de la chaleur (\(Q_C\)).
Source Chaude (\(T_H\))
Réservoir thermique à haute température auquel le système frigorifique rejette de la chaleur (\(Q_H\)).
Coefficient de Performance (COP ou \(\epsilon_f\))
Pour un réfrigérateur, rapport de la chaleur utile absorbée de la source froide au travail fourni au système (\(\text{COP}_R = Q_C / W_{\text{in}}\)). Il mesure l'efficacité du réfrigérateur.
Travail d'Entrée (\(W_{\text{in}}\))
Travail mécanique ou électrique fourni au système frigorifique pour opérer le cycle.
Transformation Isotherme
Processus thermodynamique qui se déroule à température constante.
Transformation Adiabatique Réversible (Isentropique)
Processus thermodynamique qui se déroule sans échange de chaleur avec l'extérieur et sans création d'entropie (entropie constante).
Kelvin (K)
Unité de température thermodynamique (absolue) dans le Système International. \(T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15\).
Cycle Frigorifique Idéalisé de Carnot - Exercice d'Application

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