Études de cas pratique

EGC

Conservation de la masse pour un fluide

Conservation de la Masse pour un Fluide en Hydraulique

Conservation de la Masse pour un Fluide en Hydraulique

Comprendre la Conservation de la Masse en Hydraulique

Le principe de conservation de la masse est l'un des principes fondamentaux en mécanique des fluides. Il stipule que la masse à l'intérieur d'un système fermé reste constante au cours du temps, ou, pour un volume de contrôle (une région fixe de l'espace), que le taux net de flux de masse à travers la surface de contrôle est égal au taux de variation de la masse à l'intérieur du volume de contrôle. Pour un écoulement stationnaire (ou permanent), la masse à l'intérieur du volume de contrôle ne change pas, ce qui simplifie l'équation. Pour un fluide incompressible, la masse volumique \(\rho\) est constante, ce qui conduit à la conservation du débit volumique.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule en régime permanent dans une conduite horizontale qui se rétrécit. La section 1 a un diamètre \(D_1\), et la section 2, plus en aval, a un diamètre \(D_2\). L'eau est considérée comme un fluide incompressible.

Caractéristiques du fluide et de la conduite :

  • Diamètre de la section 1 (\(D_1\)) : \(10 \, \text{cm}\)
  • Vitesse moyenne de l'eau dans la section 1 (\(V_1\)) : \(2 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre de la section 2 (\(D_2\)) : \(5 \, \text{cm}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Schéma : Conduite avec rétrécissement
Section 1 (D1) V1 Section 2 (D2) V2 D1 D2 Écoulement dans une conduite convergente

Schéma d'une conduite avec un rétrécissement, montrant les sections 1 et 2.

Questions à traiter

  1. Énoncer le principe de conservation de la masse pour un volume de contrôle fixe en régime permanent.
  2. Quelle est l'équation de continuité pour un écoulement incompressible à travers une section droite d'une conduite ?
  3. Calculer l'aire de la section \(A_1\).
  4. Calculer l'aire de la section \(A_2\).
  5. En utilisant l'équation de continuité, déterminer la vitesse \(V_2\) dans la section rétrécie.
  6. Calculer le débit volumique \(Q_v\) à travers la conduite.
  7. Calculer le débit massique \(Q_m\) à travers la conduite.

Correction : Conservation de la Masse pour un Fluide

Question 1 : Principe de conservation de la masse

Principe :

Pour un volume de contrôle (VC) fixe en régime permanent (stationnaire), le principe de conservation de la masse stipule que la masse totale de fluide entrant dans le volume de contrôle par unité de temps est égale à la masse totale de fluide sortant du volume de contrôle par unité de temps. Autrement dit, il n'y a pas d'accumulation ni de perte de masse à l'intérieur du volume de contrôle au cours du temps.

Mathématiquement, cela s'exprime par : \(\sum (\text{débit massique entrant}) = \sum (\text{débit massique sortant})\).

Résultat Question 1 : En régime permanent, la masse de fluide entrant dans un volume de contrôle par unité de temps est égale à la masse de fluide sortant par unité de temps.

Question 2 : Équation de continuité pour un fluide incompressible

Principe :

Pour un fluide incompressible (\(\rho = \text{constante}\)) s'écoulant en régime permanent à travers une conduite, la conservation de la masse implique la conservation du débit volumique. Si l'on considère deux sections droites d'une même conduite, notées 1 et 2, avec des aires respectives \(A_1\) et \(A_2\), et des vitesses moyennes \(V_1\) et \(V_2\), l'équation de continuité s'écrit simplement.

Formule(s) utilisée(s) :

Le débit massique \(Q_m\) est \(\rho A V\). Pour la conservation de la masse :

\[Q_{m1} = Q_{m2} \Rightarrow \rho_1 A_1 V_1 = \rho_2 A_2 V_2\]

Si le fluide est incompressible, \(\rho_1 = \rho_2 = \rho\), donc :

\[A_1 V_1 = A_2 V_2\]

Ceci est aussi l'égalité des débits volumiques : \(Q_{v1} = Q_{v2}\).

Résultat Question 2 : L'équation de continuité pour un fluide incompressible entre deux sections 1 et 2 d'une conduite est \(A_1 V_1 = A_2 V_2\).

Question 3 : Aire de la section \(A_1\)

Principe :

L'aire d'une section circulaire de diamètre \(D\) est donnée par la formule \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Données spécifiques :
  • Diamètre \(D_1 = 10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi D_1^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.10 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.01 \, \text{m}^2)}{4} \\ &\approx \frac{3.14159 \times 0.01 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'aire de la section \(A_1\) est environ \(0.007854 \, \text{m}^2\).

Question 4 : Aire de la section \(A_2\)

Principe :

Similaire à la question précédente, l'aire d'une section circulaire de diamètre \(D\) est \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

Données spécifiques :
  • Diamètre \(D_2 = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi D_2^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.05 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi (0.0025 \, \text{m}^2)}{4} \\ &\approx \frac{3.14159 \times 0.0025 \, \text{m}^2}{4} \\ &\approx 0.0019635 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'aire de la section \(A_2\) est environ \(0.0019635 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diamètre d'une conduite est divisé par 2, par quel facteur son aire de section est-elle divisée ?

Question 5 : Vitesse \(V_2\) dans la section rétrécie

Principe :

On utilise l'équation de continuité pour un fluide incompressible : \(A_1 V_1 = A_2 V_2\). On peut alors isoler \(V_2\).

Données spécifiques :
  • \(A_1 \approx 0.007854 \, \text{m}^2\)
  • \(V_1 = 2 \, \text{m/s}\)
  • \(A_2 \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_1 V_1 &= A_2 V_2 \\ V_2 &= \frac{A_1 V_1}{A_2} \\ &= \frac{0.007854 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s}}{0.0019635 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{0.015708 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.0019635 \, \text{m}^2} \\ &\approx 8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Note : Puisque \(A = \pi D^2 / 4\), on a \(A_1/A_2 = (D_1/D_2)^2\). Donc \(V_2 = V_1 (D_1/D_2)^2 = 2 \text{ m/s} \times (10\text{cm}/5\text{cm})^2 = 2 \text{ m/s} \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8 \text{ m/s}\).

Résultat Question 5 : La vitesse dans la section rétrécie \(V_2\) est de \(8 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Débit volumique \(Q_v\)

Principe :

Le débit volumique \(Q_v\) est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. Il est donné par \(Q_v = A V\). En régime permanent pour un fluide incompressible, le débit volumique est constant tout au long de la conduite.

Calcul :

En utilisant les données de la section 1 :

\[ \begin{aligned} Q_v &= A_1 V_1 \\ &= 0.007854 \, \text{m}^2 \times 2 \, \text{m/s} \\ &= 0.015708 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Vérification avec la section 2 :

\[ \begin{aligned} Q_v &= A_2 V_2 \\ &= 0.0019635 \, \text{m}^2 \times 8 \, \text{m/s} \\ &= 0.015708 \, \text{m}^3\text{/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le débit volumique \(Q_v\) à travers la conduite est de \(0.015708 \, \text{m}^3\text{/s}\) (ou \(15.708 \, \text{L/s}\)).

Question 7 : Débit massique \(Q_m\)

Principe :

Le débit massique \(Q_m\) est la masse de fluide qui traverse une section par unité de temps. Il est donné par \(Q_m = \rho Q_v = \rho A V\). En régime permanent, le débit massique est constant tout au long de la conduite.

Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(Q_v = 0.015708 \, \text{m}^3\text{/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_m &= \rho Q_v \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 0.015708 \, \text{m}^3\text{/s} \\ &= 15.708 \, \text{kg/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le débit massique \(Q_m\) à travers la conduite est de \(15.708 \, \text{kg/s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. En régime permanent, si la section d'une conduite diminue et que le fluide est incompressible, la vitesse du fluide :

9. L'équation de continuité \(A_1 V_1 = A_2 V_2\) est une conséquence directe de :

10. Le débit massique est défini comme :

Glossaire

Conservation de la masse
Principe fondamental stipulant que la masse ne peut être ni créée ni détruite dans un système isolé. En mécanique des fluides, cela se traduit par des bilans de masse sur des volumes de contrôle.
Volume de Contrôle (VC)
Région fixe de l'espace à travers laquelle le fluide s'écoule, utilisée pour analyser les propriétés de l'écoulement en appliquant les lois de conservation.
Régime permanent (ou stationnaire)
État d'un écoulement où les propriétés du fluide (vitesse, pression, masse volumique, etc.) en tout point ne varient pas avec le temps.
Fluide incompressible
Fluide dont la masse volumique (\(\rho\)) est considérée comme constante, indépendamment des variations de pression ou de température.
Équation de continuité
Expression mathématique du principe de conservation de la masse appliqué à un écoulement fluide. Pour un fluide incompressible en régime permanent, elle se simplifie souvent à \(A_1 V_1 = A_2 V_2\).
Débit volumique (\(Q_v\))
Volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Il est calculé par \(Q_v = A \cdot V\), où \(A\) est l'aire de la section et \(V\) la vitesse moyenne du fluide à travers cette section. Unité SI : \(\text{m}^3\text{/s}\).
Débit massique (\(Q_m\))
Masse de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Il est calculé par \(Q_m = \rho \cdot Q_v = \rho \cdot A \cdot V\). Unité SI : \(\text{kg/s}\).
Masse volumique (\(\rho\))
Masse par unité de volume d'une substance. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Conservation de la Masse pour un Fluide - Exercice d'Application

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