C'est quoi l'altération linéaire ?

D'où vient le problème

Un ellipsoïde n'est pas une surface développable : on ne peut pas l'aplatir sans le déformer. Toute projection déforme donc quelque chose. Les projections conformes — dont Lambert et UTM — conservent les angles ; les équivalentes conservent les surfaces ; les aphylactiques ne conservent ni l'un ni l'autre mais limitent les deux. Aucune, jamais, ne conserve les distances.

Quatre distances, et il faut savoir de laquelle on parle

• Dp, distance suivant la pente — le plus court chemin entre les deux points. C'est ce que mesure l'appareil sur le terrain.
• Dh, distance horizontale — ramenée à une surface de niveau, de préférence à la hauteur moyenne des deux points.
• D0, distance sur l'ellipsoïde — la distance de référence.
• Dr, distance en projection — celle qu'on lit sur le plan ou que le SIG calcule par Pythagore sur les coordonnées.

La confusion entre Dr et D0 est l'erreur qui coûte le plus cher, parce qu'elle passe inaperçue : les deux nombres se ressemblent.

Module et altération

Le module linéaire est le rapport m = Dr / D0. L'altération linéaire en est l'écart à l'unité : ε = m − 1. On la convertit en unités parlantes par ε = (m − 1)·10⁵ en cm/km, ou ε = (m − 1)·10⁶ en mm/km.

Et pour revenir à la distance de référence, on divise : D0 = Dr / m. Le module est un rapport, pas une longueur — on ne l'ajoute pas à des mètres.

Les ordres de grandeur qui font mal

L'IGN donne le cas de l'UTM : son facteur d'échelle vaut par définition k₀ = 0,9996, soit une altération de −40 cm/km le long du méridien central. Un kilomètre de terrain y devient 999,6 m sur le plan.

Le même calcul, appliqué aux facteurs d'échelle publiés par le Certu pour les projections françaises, donne :

• Lambert 93 — k₀ = 0,99905103 à la latitude origine 46°30′, soit (0,99905103 − 1)·10⁶ ≈ −949 mm/km, presque un mètre par kilomètre.
• Coniques conformes 9 zones (CC42 à CC50) — k₀ ≈ 0,9999146, soit ≈ −85 mm/km, plus de dix fois moins.

Voilà la raison d'être des neuf zones CC : Lambert 93 couvre toute la France d'un seul tenant, au prix d'une altération inacceptable pour un travail topographique. Découper en bandes d'un degré de latitude la ramène au niveau du centimètre par hectomètre.

La réduction à l'ellipsoïde, qu'on oublie aussi

Avant même la projection, la hauteur au-dessus de l'ellipsoïde joue. À la hauteur moyenne des deux points, Dh = D0·(1 + (h_A + h_B) / 2R) avec R ≈ 6 378 000 m. Le Certu chiffre l'écart Dh − D0 sur 1 000 m : 1,6 cm à 100 m de hauteur, 7,8 cm à 500 m, 15,7 cm à 1 000 m, 47,1 cm à 3 000 m. En montagne, cette correction dépasse la précision d'un bon tachéomètre.

Et les surfaces ?

Le module surfacique est le carré du module linéaire. En développant, ε_S = 2ε_L + ε_L². L'altération sur une surface est donc à peu près le double de celle sur une longueur — ce qui, en Lambert 93, dépasse 1,8 ‰. Sur un lotissement de plusieurs hectares, la différence se compte en dizaines de mètres carrés, et elle se retrouve dans les actes.

Quand peut-on l'ignorer ?

Le Certu est explicite : on confond Dr et D0 uniquement dans une zone à faible altération, sur de très courtes distances, ou pour des travaux dont la précision attendue est décamétrique. Hors de ces trois cas, toute mesure de distance doit être corrigée.