Calcul de pente en topographie

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un levé livre des coordonnées, jamais des pentes. Ce que le géomètre remet, ce sont des triplets de nombres — une abscisse, une ordonnée, une altitude — et il revient au calculateur d'en tirer les grandeurs sur lesquelles un projet se décide. La pente entre deux points est la première de ces grandeurs : elle conditionne le tracé d'une voie, l'écoulement d'un réseau gravitaire, l'accessibilité d'un cheminement et la stabilité d'un talus.

Le calcul lui-même est court. Sa difficulté est ailleurs : elle tient à la distinction rigoureuse entre trois longueurs que le langage courant confond volontiers. La distance horizontale, qui se lit sur un plan ; la dénivelée, purement verticale ; et la distance suivant la pente, celle qu'une chaîne d'arpentage mesurerait réellement sur le terrain. Trois longueurs, un seul triangle rectangle, et une pente qui n'est définie que par rapport à l'une d'entre elles.

Vient enfin la question que le calcul seul ne tranche pas : cette pente est-elle acceptable ? La réponse dépend entièrement de l'usage projeté. Une même inclinaison peut être conforme pour une route ordinaire, refusée pour une autre catégorie de route, et interdite pour un cheminement accessible. Ce sont des textes réglementaires distincts qui fixent chacun de ces seuils, et l'étude se clôt sur leur confrontation.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent l'étude. Le premier est celui qui décide de tous les autres, car il fixe le dénominateur de la pente :

Une pente se rapporte à l'horizontale : son dénominateur est la distance horizontale, jamais la distance mesurée le long du terrain. Cette convention n'est pas arbitraire : elle rend la pente égale à la tangente de l'angle d'inclinaison.
Deux plans de travail séparés : les coordonnées X et Y se composent entre elles par Pythagore et ne rencontrent jamais l'altitude ; la coordonnée Z se traite seule, par simple différence. Mélanger les trois dans une même racine serait une faute de raisonnement, non une faute de calcul.
Deux expressions d'une même grandeur : le pourcentage et le degré décrivent la même inclinaison, mais ne sont pas proportionnels entre eux. Cent pour cent valent quarante-cinq degrés, et non quatre-vingt-dix.
Un seuil qui dépend de l'usage : il n'existe pas de « pente admissible » en soi. Le cheminement accessible, la route principale de catégorie R1 et celle de catégorie R2 relèvent de trois seuils distincts, fixés par deux textes différents.

Votre Mission :

Établir la distance horizontale séparant les deux points relevés, puis la dénivelée qui les sépare en altitude, et enfin la distance suivant la pente — celle que mesurerait un ruban tendu sur le terrain.

En déduire la pente en pourcentage et l'angle d'inclinaison en degrés, puis confronter le résultat aux seuils réglementaires applicables selon l'usage envisagé, et chiffrer ce qu'il faudrait modifier pour rendre le tracé conforme au plus exigeant d'entre eux.

Le grand défi : ne jamais confondre les trois longueurs du triangle de pente, et savoir laquelle chaque formule appelle.
Votre rôle : celui du projeteur qui reçoit un levé et doit dire si le terrain se prête à l'ouvrage envisagé.
La contrainte : des longueurs au millimètre, une pente à trois décimales, et un verdict adossé à un article de texte, non à une impression.

SCHÉMA DES DEUX POINTS RELEVÉS

Livrables Attendus (Checklist) :

Les deux accroissements de coordonnées et la distance horizontale qu'ils déterminent, au millimètre.
La dénivelée donnée avec son signe, et la distance suivant la pente, avec l'écart qu'elle présente vis-à-vis de la distance horizontale.
La pente en pourcentage et l'angle en degrés, accompagnés du contrôle de cohérence liant ces deux expressions.
La confrontation aux trois seuils réglementaires applicables, chacun rattaché à son article.
Les deux corrections chiffrées permettant de ramener le tracé sous le seuil le plus exigeant : abaissement du point haut, ou allongement du parcours.

2. Données Techniques & Normes

Six nombres suffisent à conduire toute l'étude : trois coordonnées par point. Encore faut-il savoir dans quels systèmes ils sont exprimés, car une abscisse et une altitude ne relèvent pas du même référentiel. Le décret du 3 mars 2006 en fixe deux, distincts et obligatoires : un système géodésique avec sa projection pour la planimétrie, un système altimétrique pour la coordonnée verticale.

Le calcul achevé, la pente obtenue ne signifie rien tant qu'elle n'est pas confrontée à un seuil. Or il n'existe pas de seuil universel : l'arrêté du 15 janvier 2007 en fixe un pour les cheminements accessibles, le guide d'aménagement des routes principales en fixe deux autres selon la catégorie de voie. Les trois sont réunis ci-dessous, avec leur référence exacte.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Sept relations. Les quatre premières produisent les longueurs, les deux suivantes les deux expressions de la pente, la dernière sert à dimensionner une correction.

Accroissement en abscisse \( \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \)
Accroissement en ordonnée \( \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \)
Distance horizontale \( D_{\text{h}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
Dénivelée \( \Delta Z = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}} \)
Distance suivant la pente \( D_{\text{i}} = \sqrt{D_{\text{h}}^{2} + \Delta Z^{2}} \)
Pente en pourcentage \( P = \dfrac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \times 100 \)
Angle d'inclinaison \( \alpha = \arctan\left( \dfrac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \right) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

CARNET DES COORDONNÉES RELEVÉES

Point	Abscisse X	Ordonnée Y	Altitude Z
A	150,00 m	200,00 m	450,00 m
B	350,00 m	320,00 m	465,50 m

Référentiels de travail

Planimétrie : \( \text{RGF93} \), ellipsoïde \( \text{IAG GRS 1980} \), projection \( \text{Lambert-93} \)
Altimétrie : \( \text{IGN 1969} \), système de référence de la France métropolitaine hors Corse
Nature de Z : une altitude, non une hauteur au-dessus de l'ellipsoïde
Unité : le mètre pour les trois coordonnées, au centimètre près

SEUILS RÉGLEMENTAIRES APPLICABLES SELON L'USAGE

Symbole	Description	Valeur	Unité
P_acc	Pente d'un cheminement accessible franchissant une dénivellation, sur voirie et espaces publics Arrêté 15-01-2007 · art. 1er, 1°	< 5	%
P_pal	Pente au-delà de laquelle un palier de repos devient obligatoire, en haut et en bas de chaque plan incliné et tous les 10 mètres en cheminement continu Arrêté 15-01-2007 · art. 1er, 1°	4	%
P_R1	Déclivité maximale du profil en long d'une route principale de catégorie R1, mesurée au droit de l'axe géométrique de la voie ARP 2022 · ch. 4, tabl. 12	6	%
P_R2	Déclivité maximale d'une route principale de catégorie R2, une valeur supérieure à 6 % n'étant à utiliser qu'en cas de nécessité ARP 2022 · ch. 4, tabl. 12	7	%
—	Systèmes nationaux de référence dans lesquels les coordonnées doivent être fournies Décret 2006-272 · art. 1 et 3	RGF93 · IGN 1969	—

Hypothèses de calcul retenues

Géométrie : pente constante entre A et B, le terrain étant assimilé au segment de droite qui les joint
Planimétrie : les coordonnées X et Y sont traitées comme des coordonnées planes, l'altération linéaire de la projection étant négligée
Altimétrie : les deux altitudes appartiennent au même système de référence, condition d'existence de la dénivelée
Courbure terrestre : négligée, l'étendue du levé restant très inférieure aux distances où elle devient sensible
Sens de parcours : de A vers B, ce qui fixe le signe de la dénivelée et donc celui de la pente

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Trois textes encadrent l'étude. Le premier dit dans quels systèmes les coordonnées doivent être exprimées ; les deux autres fixent, pour deux usages différents, l'inclinaison au-delà de laquelle un aménagement cesse d'être recevable.

Systèmes nationaux de référence — décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er

Zone	Système géodésique et projection	Système altimétrique
France métropolitaine hors Corse	RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, Lambert-93	IGN 1969
Corse	RGF93, ellipsoïde IAG GRS 1980, Lambert-93	IGN 1978
Guyane	RGFG95, ellipsoïde IAG GRS 1980, UTM Nord fuseau 22	NGG 1977

L'article 3 du même décret impose que les informations localisées soient fournies dans ce système national de référence. La conséquence pratique intéresse directement le présent calcul : l'altitude Z est une altitude rattachée au système IGN 1969, et non une hauteur au-dessus de l'ellipsoïde. Le passage de l'une à l'autre nécessite une surface de conversion altimétrique, dont la réalisation en vigueur est RAF20, publiée par l'Institut national de l'information géographique et forestière le 30 juin 2021 pour les hauteurs rapportées à RGF93 v2b.

Cheminements accessibles — arrêté du 15 janvier 2007, article 1er

Disposition	Valeur imposée
Pente d'un cheminement franchissant une dénivellation	inférieure à 5 %
Palier de repos en haut et en bas de chaque plan incliné, et tous les 10 mètres en cheminement continu	dès que la pente dépasse 4 %
Tolérance en cas d'impossibilité technique, due notamment à la topographie	8 % sur une longueur ≤ 2 m · 12 % sur une longueur ≤ 0,50 m
Garde-corps permettant de prendre appui, le long de toute rupture de niveau	obligatoire au-delà de 0,40 m de hauteur
Dimensions d'un palier de repos, horizontal et hors obstacle	1,20 m × 1,40 m

La structure du texte mérite attention : la règle est la pente inférieure à 5 %, et les valeurs de 8 % et 12 % ne sont pas des seuils alternatifs mais des tolérances, subordonnées à une impossibilité technique et strictement bornées en longueur. Les invoquer pour un tracé de plusieurs centaines de mètres serait un contresens.

Profil en long des routes principales — guide ARP, Cerema, édition août 2022, chapitre 4, tableau 12

Catégorie	Déclivité maximale	Rayon minimal en angle saillant	Rayon minimal en angle rentrant
R1	6 %	3 100 m	2 100 m
R2	7 %	1 300 m	1 300 m

Le guide précise que ces valeurs sont mesurées au droit de l'axe géométrique de la voie, et assortit la valeur de la catégorie R2 d'une réserve explicite : une déclivité supérieure à 6 % n'est à utiliser qu'en cas de nécessité, compte tenu de la limitation qui en résulte sur les niveaux de sécurité et de service. Le même chapitre fixe par ailleurs la pente transversale de la chaussée à 2,5 % en alignement et en courbe non déversée, orientée vers l'extérieur de la route : c'est une grandeur distincte de la déclivité étudiée ici, qui gouverne l'évacuation des eaux et non le tracé en long.

Portée exacte des seuils cités

Les trois seuils ne sont pas concurrents : chacun s'applique à un usage déterminé , et un même terrain peut satisfaire l'un tout en manquant l'autre
Le seuil de 5 % relève de l' accessibilité de la voirie et des espaces publics , et non du confort de circulation automobile
Les valeurs de 6 % et 7 % s'appliquent aux routes principales relevant du guide ARP, selon la catégorie retenue au projet
Aucun de ces textes ne fixe de seuil pour un terrain naturel : la pente calculée ici décrit l'état du sol, et ne devient un critère qu'une fois l'usage projeté défini
La conformité s'apprécie sur la déclivité du projet , qui peut différer de celle du terrain naturel dès lors que des terrassements sont prévus

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche progresse des longueurs vers l'inclinaison, puis de l'inclinaison vers le jugement. Chaque étape consomme le résultat de la précédente : la distance horizontale alimente la pente, la pente alimente l'angle, et l'ensemble alimente la confrontation réglementaire. Aucune ne peut être devancée.

Les deux premières questions séparent volontairement les trois longueurs du triangle de pente — horizontale, verticale, inclinée. Cette séparation n'est pas une lourdeur de rédaction : c'est la précaution qui empêche la confusion la plus fréquente de tout le sujet, celle qui consiste à rapporter la dénivelée à la mauvaise longueur.

Question 1 : La distance horizontale entre les deux points

Géométrie plane 15 min | Accessible

But de l'étape : Établir le dénominateur de la pente. Cette longueur commande tout le reste de l'étude : une erreur commise ici se propage à l'identique sur le pourcentage, sur l'angle et sur le verdict final.

Énoncé : Calculer les deux accroissements de coordonnées \( \Delta X \) et \( \Delta Y \), puis la distance horizontale \( D_{\text{h}} \) qu'ils déterminent. Le résultat sera donné au millimètre et vérifié par un chemin de calcul distinct.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux accroissements sont les côtés de l'angle droit d'un triangle tracé dans le plan horizontal ; la distance cherchée en est l'hypoténuse.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'altitude n'intervient à aucun moment dans cette question. Une distance horizontale se calcule dans le plan des seules coordonnées X et Y.

Question 2 : La dénivelée et la distance suivant la pente

Altimétrie 15 min | Accessible

But de l'étape : Produire le numérateur de la pente, puis la troisième longueur du triangle — celle qu'un ruban tendu sur le sol mesurerait — afin de rendre impossible toute confusion entre les deux distances.

Énoncé : Calculer la dénivelée \( \Delta Z \) en respectant le sens de parcours de A vers B, et en donner le signe. Calculer ensuite la distance suivant la pente \( D_{\text{i}} \), puis chiffrer l'écart qu'elle présente vis-à-vis de la distance horizontale, en valeur absolue et en valeur relative.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La dénivelée est une différence, pas une distance : elle porte un signe, qui indique une montée ou une descente selon le sens du parcours.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La distance suivant la pente est l'hypoténuse d'un second triangle rectangle, dressé cette fois dans un plan vertical : ses côtés de l'angle droit sont la distance horizontale et la dénivelée.

Question 3 : La pente en pourcentage et en degrés

Trigonométrie 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Exprimer l'inclinaison dans les deux langages du métier : celui du pourcentage, employé sur les plans et dans les textes d'aménagement, et celui du degré, employé dès qu'un calcul trigonométrique doit suivre.

Énoncé : Calculer la pente en pourcentage à partir de la dénivelée et de la distance horizontale, puis l'angle d'inclinaison en degrés. Établir enfin le contrôle de cohérence qui relie ces deux expressions pour les faibles inclinaisons, et chiffrer l'erreur que ce contrôle commet.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le rapport de la dénivelée à la distance horizontale est exactement la tangente de l'angle d'inclinaison. Le pourcentage n'est que ce même rapport multiplié par cent.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour les petits angles, la tangente est proche de l'angle exprimé en radians. La conversion des radians en degrés fait alors apparaître un diviseur constant entre le pourcentage et le nombre de degrés.

Question 4 (Finale) : La confrontation aux seuils réglementaires

Conformité et correction 25 min | BOSS

But de l'étape : Transformer un nombre en décision de projet. Une pente n'est ni bonne ni mauvaise : elle est conforme ou non à un usage déterminé, et l'étude doit dire lequel.

La subtilité de l'étape : les trois seuils applicables proviennent de deux textes distincts et visent des usages différents. Le même terrain peut donc être simultanément conforme pour une catégorie de route et non conforme pour une autre, ainsi que pour un cheminement accessible. Conclure « la pente est acceptable » sans préciser pour quel usage n'a aucun sens.

Confronter la pente obtenue aux trois seuils et conclure pour chacun. Puis dimensionner les deux corrections permettant de satisfaire le plus exigeant d'entre eux : la dénivelée maximale admissible à distance horizontale inchangée, et la longueur horizontale minimale à dénivelée inchangée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une pente est un quotient : pour l'abaisser, on peut soit diminuer le numérateur, soit augmenter le dénominateur. Les deux corrections demandées ne sont rien d'autre que ces deux leviers.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La longueur horizontale minimale s'obtient en divisant la dénivelée par la pente maximale exprimée en valeur décimale. Un pourcentage de 5 % correspond à la valeur décimale 0,05.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Calcul de pente en topographie

Question 1 : La distance horizontale entre les deux points

Dans la tête de l'ingénieur

« Trois coordonnées par point, mais une seule question ici : la distance horizontale. L'altitude ne m'intéresse pas encore, et la faire entrer maintenant serait une faute de raisonnement — je ne calcule pas une distance dans l'espace, je calcule la longueur de la projection du segment sur un plan horizontal. Deux accroissements, une composition par Pythagore, et je vérifie par un chemin arithmétique différent avant d'aller plus loin : cette longueur sera au dénominateur de tout ce qui suit. »

Observation : les deux accroissements sont dans le rapport cinq tiers — deux cents et cent vingt mètres. Le triangle n'est pas un triangle remarquable, mais ce rapport simple ouvre un contrôle par factorisation.
Analyse du risque : l'addition directe des deux accroissements. Deux cents plus cent vingt donne trois cent vingt mètres, soit la longueur d'un trajet en équerre — pas celle du segment.
Choix stratégique : conserver quatre chiffres après la virgule sur la racine, puis n'arrondir qu'à la fin. La pente se lira à trois décimales, et un arrondi prématuré du dénominateur s'y verrait.
Contrôle prévu : refaire le calcul en factorisant par le plus grand accroissement. Le chemin est arithmétiquement distinct : il remplace une somme de deux carrés par un carré unique augmenté de un.
Objectif visé : une longueur au millimètre, établie sans que l'altitude soit jamais intervenue.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

ΔX = +200,00 m · ΔY = +120,00 m · Dh = 233,238 m

Rappel Théorique : la distance horizontale se calcule dans le plan des seules coordonnées planimétriques

Un point levé est décrit par trois nombres, mais ces trois nombres ne relèvent pas du même référentiel. Les deux premiers appartiennent à un système géodésique projeté ; le troisième appartient à un système altimétrique indépendant. Cette séparation, imposée par le décret du 3 mars 2006 qui les définit dans deux sections distinctes de son article 1er, n'est pas administrative : elle traduit le fait qu'une altitude n'est pas une troisième coordonnée cartésienne.

La définition de la distance horizontale : c'est la longueur du segment joignant les projections des deux points sur un même plan horizontal. Elle ne dépend donc que de X et de Y.
L'origine de la formule : les accroissements \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) sont portés par deux axes perpendiculaires. Ils forment les côtés de l'angle droit d'un triangle dont la distance cherchée est l'hypoténuse, d'où le théorème de Pythagore.
Le signe des accroissements : il indique le sens du déplacement selon chaque axe et sera indispensable au calcul d'un gisement. Il disparaît en revanche dans la distance, puisque les accroissements y sont élevés au carré.
Une distance toujours positive : la racine carrée d'une somme de carrés est positive ou nulle. Une distance horizontale négative signalerait donc nécessairement une erreur de calcul.
La limite du cadre plan : la relation suppose des coordonnées planes. Sur des coordonnées issues d'une projection conforme, la longueur obtenue est celle mesurée sur le plan de projection, qui diffère de la longueur au sol par l'altération linéaire ; l'écart reste négligeable à l'étendue considérée ici.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première produit les composantes du déplacement selon chaque axe du plan ; la seconde les compose en une longueur unique.

Accroissement d'une coordonnée planimétrique :

Elle donne la composante du déplacement selon un axe, avec son signe.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une distance ne se calcule jamais sur des coordonnées brutes, mais sur leurs différences. L'origine du système disparaît alors du problème : deux points distants de deux cents mètres le restent, que leurs abscisses valent 150 et 350 ou 1 000 150 et 1 000 350.

Contexte de validité : les deux coordonnées doivent appartenir au même système et être exprimées dans la même unité.
Avantage : la relation s'applique à l'identique à l'ordonnée, ce qui donne \( \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \) sans aucune adaptation.
Paramètre clé : l'ordre des termes. Il fixe le sens de parcours, donc le signe de la composante, et devra rester le même pour l'abscisse, l'ordonnée et l'altitude.
Vérification : la somme des accroissements de A vers B et de B vers A doit être nulle pour chaque axe. C'est un contrôle immédiat du sens de parcours.
Limite : une composante isolée ne mesure aucune distance réelle entre les deux points ; elle ne décrit qu'une projection sur un axe.

\[ \begin{aligned} \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure le déplacement vers l'est entre les deux points, l'axe des abscisses pointant conventionnellement dans cette direction. Appliquée à l'ordonnée, la même relation mesure le déplacement vers le nord. Les deux composantes décrivent ensemble, et sans ambiguïté, le trajet horizontal de A vers B.

Décomposition des termes :

\( \Delta X \) : accroissement en abscisse, grandeur signée, unité : mètre
\( X_{\text{A}} \) : abscisse du point de départ, unité : mètre
\( X_{\text{B}} \) : abscisse du point d'arrivée, unité : mètre

Distance horizontale entre deux points :

Elle compose les deux accroissements en une longueur unique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux accroissements sont portés par des directions perpendiculaires. Une somme mesurerait la longueur d'un trajet en équerre ; c'est la composition quadratique qui donne celle du segment direct.

Contexte de validité : un repère orthonormé. La perpendicularité des axes et l'égalité de leurs unités sont les deux conditions du théorème de Pythagore.
Avantage : le résultat est indépendant du sens de parcours, les accroissements étant élevés au carré. La distance de A vers B égale celle de B vers A.
Paramètre clé : le plus grand des deux accroissements. Il impose l'ordre de grandeur du résultat, qui lui est toujours supérieur ou égal.
Vérification : le résultat doit être encadré par le plus grand accroissement et par leur somme. Ici, entre 200,00 m et 320,00 m.
Limite : elle ne fait intervenir aucune altitude. Cette longueur n'est pas celle que mesurerait un ruban posé sur le sol entre les deux points.

\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le trajet direct est plus court que le trajet en équerre. Aller de A vers B en suivant les deux axes coûterait 320,00 m ; le segment n'en coûte que 233,238 m. L'écart entre les deux, quatre-vingt-six mètres, est exactement ce que mesure le théorème de Pythagore.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{h}} \) : distance horizontale, grandeur toujours positive, unité : mètre
\( \Delta X \) : accroissement en abscisse, unité : mètre
\( \Delta Y \) : accroissement en ordonnée, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le point B est deux cents mètres plus loin en abscisse et cent vingt mètres plus loin en ordonnée. Il est donc à trois cent vingt mètres du point A. »

L'approche d'ingénieur : Trois cent vingt mètres est la longueur d'un trajet qui suivrait successivement les deux axes — un parcours en équerre. Or les deux accroissements sont portés par des directions perpendiculaires : ils ne s'ajoutent pas, ils se composent. L'inégalité triangulaire l'impose formellement, l'hypoténuse d'un triangle rectangle étant strictement plus courte que la somme des deux autres côtés dès que ceux-ci sont non nuls. La distance vaut 233,238 m.

L'erreur : traiter deux composantes orthogonales comme deux longueurs colinéaires, c'est-à-dire additionner des grandeurs qui ne sont pas portées par la même direction.
L'ampleur chiffrée : 320,00 m au lieu de 233,238 m, soit une surestimation de 86,762 m, ou 37,20 % de la valeur exacte.
La conséquence sur l'étude : la pente deviendrait 15,50 divisé par 320,00, soit 4,844 % au lieu de 6,646 %. Le tracé serait alors déclaré conforme au seuil de 5 % de l'arrêté du 15 janvier 2007, alors qu'il ne l'est pas. L'erreur de calcul se transformerait en erreur de conformité.
La bonne méthode : élever chaque accroissement au carré, additionner les deux carrés, puis extraire la racine. Trois opérations, dans cet ordre exact.
Le contrôle qui l'aurait détectée : la distance doit être encadrée par le plus grand accroissement et par leur somme. Une valeur égale à la somme est nécessairement fausse, sauf si l'un des accroissements est nul.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coordonnées X et Y : en mètres , dans le même système de projection
Accroissements : en mètres , avec leur signe
Carrés des accroissements : en mètres carrés , unité de passage sans signification géométrique directe
Distance horizontale : en mètres , après extraction de la racine

Quatre calculs. Les deux premiers produisent les composantes, le troisième les compose, le quatrième reprend cette composition par un chemin arithmétique différent et vaut contrôle.

1. Résolution Numérique Accroissement en abscisse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la composante est-ouest du déplacement, premier des deux côtés de l'angle droit du triangle plan.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'abscisse du point de départ de celle du point d'arrivée, en respectant le sens de parcours de A vers B.

Substitution : \( X_{\text{B}} = 350{,}00 \ \text{m} \) et \( X_{\text{A}} = 150{,}00 \ \text{m} \), valeurs du carnet.
Piège évité : ne pas inverser les termes. L'inversion donnerait −200,00 m ; la distance finale serait identique puisque le terme est élevé au carré, mais le gisement du segment, s'il devait être calculé ensuite, serait décalé de deux cents grades.
Hypothèse validée : les deux abscisses appartiennent au même système de projection, condition sans laquelle leur différence n'aurait pas de sens métrique.
Vérification croisée : le résultat doit être positif, le point B étant situé plus à l'est que le point A dans le carnet.
Finalité : fournir le premier terme de la composition quadratique.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 350{,}00 - 150{,}00 \\ &= \mathbf{+200{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le déplacement en abscisse vaut +200,00 m. Le signe positif confirme que le point d'arrivée est situé du côté des abscisses croissantes. C'est le plus grand des deux accroissements : il fixera donc à lui seul l'ordre de grandeur de la distance horizontale.

Ordre de grandeur : deux cents mètres, valeur exacte puisque les deux abscisses sont données au centimètre et se retranchent sans reste.
Impact sur la suite : la distance horizontale sera nécessairement supérieure ou égale à cette valeur.
Cohérence : le signe s'accorde avec la position relative des deux points telle que la montre la vue en plan.
Attention : cette valeur ne mesure aucune distance réelle entre A et B ; elle ne décrit que la projection du trajet sur l'axe des abscisses.
Comparaison : ce seul accroissement représente déjà quatre-vingt-six pour cent de la distance horizontale qui sera trouvée.

Remarque pédagogique : Conserver le signe des accroissements coûte peu et sert souvent. La distance n'en a pas besoin, mais le gisement, la surface par la formule des trapèzes et le rayonnement polaire en dépendent tous directement.

Accroissement en ordonnée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la composante nord-sud du déplacement, second côté de l'angle droit du triangle plan.

Méthodologie du calcul :

On applique à l'ordonnée la relation déjà employée pour l'abscisse, en conservant strictement le même sens de parcours.

Substitution : \( Y_{\text{B}} = 320{,}00 \ \text{m} \) et \( Y_{\text{A}} = 200{,}00 \ \text{m} \), valeurs du carnet.
Piège évité : ne pas changer de sens de parcours entre les deux accroissements. Prendre B moins A en abscisse puis A moins B en ordonnée décrirait le trajet vers un point symétrique de B, et fausserait tout calcul de direction ultérieur.
Hypothèse validée : abscisses et ordonnées sont exprimées dans la même unité, condition de la composition quadratique à venir.
Vérification croisée : le rapport des deux accroissements vaut 120 sur 200, soit exactement trois cinquièmes, valeur qui servira au contrôle par factorisation.
Finalité : fournir le second terme de la composition quadratique.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 320{,}00 - 200{,}00 \\ &= \mathbf{+120{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le déplacement en ordonnée vaut +120,00 m. Les deux composantes étant positives, le point B se situe au nord-est du point A. Le segment est donc orienté dans le premier quadrant, information qui serait le point de départ d'un calcul de gisement.

Ordre de grandeur : cent vingt mètres, soit trois cinquièmes de l'accroissement en abscisse.
Impact sur la suite : sa contribution au carré de la distance vaut 14 400 contre 40 000 pour l'abscisse, soit environ vingt-six pour cent du total.
Cohérence : les deux signes positifs concordent avec la disposition des points sur la vue en plan.
Attention : l'accroissement en ordonnée se mesure sur l'axe des Y du système de projection, dirigé vers le nord de la projection et non vers le nord géographique.
Comparaison : si les deux accroissements avaient été égaux, la distance aurait valu leur valeur commune multipliée par racine de deux.

Remarque pédagogique : Le rapport des deux accroissements caractérise à lui seul la direction du segment, indépendamment de sa longueur. C'est cette propriété qui permettra le contrôle par factorisation du calcul suivant.

Distance horizontale par composition quadratique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la longueur qui servira de dénominateur à la pente. C'est le résultat central de cette question.

Méthodologie du calcul :

On élève chaque accroissement au carré, on additionne les deux carrés, puis on extrait la racine carrée de la somme obtenue.

Substitution : \( \Delta X = 200{,}00 \ \text{m} \) et \( \Delta Y = 120{,}00 \ \text{m} \), résultats des deux calculs précédents.
Piège évité : ne pas oublier la racine finale. L'oublier livrerait 54 400, valeur qui n'est pas homogène à une longueur — elle s'exprime en mètres carrés — et qui dépasse de deux ordres de grandeur toute distance plausible sur ce levé.
Hypothèse validée : le repère est orthonormé, ce qui autorise l'emploi du théorème de Pythagore.
Vérification croisée : le résultat doit tomber entre 200,00 m et 320,00 m, encadrement donné par le plus grand accroissement et par leur somme.
Finalité : produire la longueur de référence à laquelle la dénivelée sera rapportée.

\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} &= \sqrt{200{,}00^{2} + 120{,}00^{2}} \\ &= \sqrt{40\,000 + 14\,400} \\ &= \sqrt{54\,400} \\ &= \mathbf{233{,}238 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La distance horizontale vaut 233,238 m. Elle se situe bien entre 200,00 m et 320,00 m, conformément à l'encadrement annoncé, et nettement plus près de la borne inférieure : c'est la signature d'un segment dont une composante domine largement l'autre.

Ordre de grandeur : 233 mètres, soit un peu plus de deux fois la longueur d'un terrain de football.
Impact sur la suite : cette longueur sera le dénominateur de la pente ; toute erreur commise ici se reporterait intégralement sur le pourcentage et sur l'angle.
Cohérence : le carré du résultat restitue bien 54 400 m², ce qui confirme l'extraction de la racine.
Attention : il s'agit d'une distance horizontale, mesurée sur un plan. Aucun ruban posé sur le terrain ne donnerait cette valeur, sauf si le sol était rigoureusement plat.
Comparaison : le trajet en équerre, deux cents mètres puis cent vingt, mesurerait 320,00 m — soit 37,20 % de plus que le segment direct.

Remarque pédagogique : Le résultat est conservé à trois décimales, soit le millimètre. Arrondir dès maintenant au centimètre déplacerait la pente de moins d'un millième de point, mais l'habitude de n'arrondir qu'au dernier calcul évite les dérives sur les chaînes plus longues.

Contrôle de la distance par factorisation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier la distance par un chemin arithmétique différent. Reprendre la même somme de carrés ne ferait que répéter une éventuelle faute de frappe ; factoriser la change entièrement de forme.

Méthodologie du calcul :

On met le plus grand accroissement en facteur sous la racine. Il ne reste alors sous le radical qu'une unité augmentée du carré du rapport des deux accroissements.

Substitution : le rapport \( 120{,}00 / 200{,}00 \) vaut 0,600, dont le carré vaut 0,360.
Piège évité : ne pas sortir de la racine le facteur au carré. C'est \( \Delta X \) qui sort, non son carré, puisque la racine d'un produit est le produit des racines.
Hypothèse validée : l'accroissement mis en facteur est non nul, condition d'existence de la division par lui.
Vérification croisée : le facteur sous la racine, 1,360, doit être compris entre 1 et 2 dès que le rapport des accroissements reste inférieur à l'unité.
Finalité : confirmer la valeur avant de l'engager dans la suite de l'étude.

\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} &= 200{,}00 \times \sqrt{1 + \left( \frac{120{,}00}{200{,}00} \right)^{2}} \\ &= 200{,}00 \times \sqrt{1{,}360} \\ &= 200{,}00 \times 1{,}166190 \\ &= \mathbf{233{,}238 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le second chemin retombe sur 233,238 m. Les deux calculs ne partagent que les données de départ : l'un additionne deux carrés de plusieurs milliers, l'autre multiplie une longueur par un facteur voisin de l'unité. Leur accord valide la distance horizontale, qui peut désormais être engagée dans la suite.

Ordre de grandeur : le facteur 1,166 dit que l'obliquité du segment allonge le trajet de 16,6 % par rapport au seul déplacement en abscisse.
Impact sur la suite : la valeur est acquise ; les questions suivantes peuvent s'appuyer dessus sans nouvelle vérification.
Cohérence : le contrôle est réel et non tautologique : il emprunte une identité algébrique distincte et manipule des nombres d'ordres de grandeur différents.
Attention : ce contrôle valide le calcul, pas les données. Une coordonnée mal recopiée depuis le carnet serait reprise à l'identique par les deux chemins.
Comparaison : pour deux accroissements égaux, le facteur vaudrait racine de deux, soit 1,414, et l'allongement atteindrait 41,4 %.

Remarque pédagogique : Un contrôle n'a de valeur que s'il peut échouer là où le calcul principal réussit. Refaire deux fois la même somme de carrés ne vérifie rien ; changer de forme algébrique vérifie réellement.

LE TRIANGLE PLAN ENTIÈREMENT COTÉ

RÉSULTAT FINAL

D_h = 233,238 m

Distance horizontale établie à partir des seules coordonnées planimétriques, et confirmée par un second chemin de calcul indépendant.

Question 2 : La dénivelée et la distance suivant la pente

Dans la tête de l'ingénieur

« La dénivelée est une soustraction, mais elle porte un signe, et ce signe est une information de terrain : il dit si l'on monte ou si l'on descend. Je calcule ensuite la troisième longueur du triangle, celle qu'un ruban tendu sur le sol mesurerait réellement. Elle ne servira pas au calcul de la pente — c'est même là tout l'intérêt de la produire : en l'écrivant noir sur blanc à côté de la distance horizontale, je rends impossible la confusion entre les deux. »

Observation : la dénivelée, quinze mètres et demi, est quinze fois plus petite que la distance horizontale. Le triangle de pente sera donc très aplati, ce qui laisse prévoir une inclinaison faible.
Analyse du risque : la confusion des deux distances. Rapporter la dénivelée à la distance suivant la pente donnerait un sinus là où la définition appelle une tangente.
Choix stratégique : produire explicitement la troisième longueur et chiffrer son écart à la distance horizontale, plutôt que de se contenter d'un avertissement verbal.
Cohérence des systèmes : les deux altitudes doivent relever du même système de référence ; sans cette condition, leur différence n'aurait aucune signification physique.
Objectif visé : les trois longueurs du triangle de pente, écrites côte à côte, chacune nommée sans ambiguïté.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

ΔZ = +15,50 m · Di = 233,753 m · écart à Dh : 0,514 m soit 0,221 %

Rappel Théorique : trois longueurs, un seul triangle, des rôles distincts

Le triangle de pente est un triangle rectangle dressé dans un plan vertical. Son côté horizontal est la distance horizontale, son côté vertical la dénivelée, son hypoténuse la distance suivant la pente. Ces trois longueurs décrivent la même réalité, mais aucune n'est interchangeable avec une autre : chacune répond à une question différente.

La dénivelée est une différence, non une distance : elle porte un signe, positif en montée et négatif en descente selon le sens de parcours retenu. Une distance, elle, est toujours positive.
L'altitude n'est pas une hauteur ellipsoïdale : le décret du 3 mars 2006 impose pour la France métropolitaine hors Corse le système altimétrique IGN 1969. Le passage entre altitudes et hauteurs au-dessus de l'ellipsoïde exige une surface de conversion, actuellement la réalisation RAF20 publiée par l'Institut national de l'information géographique et forestière.
La distance suivant la pente est celle du terrain : c'est elle qu'une chaîne d'arpentage tendue sur le sol mesurerait, et elle qui détermine les quantités de matériaux d'un revêtement ou d'une canalisation.
La pente se rapporte à l'horizontale : son dénominateur est la distance horizontale. Cette convention fait de la pente la tangente de l'angle d'inclinaison, ce qui la rend directement exploitable en trigonométrie.
L'écart entre les deux distances croît comme le carré de la pente : il reste négligeable pour les faibles inclinaisons, mais devient sensible dès que la pente atteint quelques dizaines de pour cent. C'est ce qui rend la confusion à la fois fréquente et longtemps indolore.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première produit la composante verticale du déplacement ; la seconde compose cette composante avec la distance horizontale pour livrer la longueur réellement parcourue sur le terrain.

Dénivelée entre deux points :

Elle donne la composante verticale du déplacement, avec son signe.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'altitude est une coordonnée indépendante des deux autres. Elle ne se compose ni avec l'abscisse ni avec l'ordonnée : elle se traite seule, par simple différence, dans un référentiel qui lui est propre.

Contexte de validité : les deux altitudes doivent relever du même système altimétrique. Deux altitudes issues de systèmes différents ne se soustraient pas.
Avantage : la dénivelée est une grandeur relative : elle ne dépend pas du choix du zéro du système, seulement de l'écart entre les deux points.
Paramètre clé : le sens de parcours. Il doit être le même que celui retenu pour les accroissements planimétriques, faute de quoi le signe de la pente contredirait celui du déplacement.
Vérification : la dénivelée de A vers B et celle de B vers A doivent être opposées. Leur somme est nulle.
Limite : elle ne décrit que les deux extrémités. Un col ou une cuvette situés entre A et B resteraient totalement invisibles.

\[ \begin{aligned} \Delta Z = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la hauteur à gravir pour aller de A vers B. C'est le travail vertical de l'ouvrage : la charge qu'une canalisation de refoulement devrait vaincre, ou le dénivelé qu'une route devra racheter par son profil en long.

Décomposition des termes :

\( \Delta Z \) : dénivelée, grandeur signée, unité : mètre
\( Z_{\text{A}} \) : altitude du point de départ dans le système IGN 1969, unité : mètre
\( Z_{\text{B}} \) : altitude du point d'arrivée dans le même système, unité : mètre

Distance suivant la pente :

Elle donne la longueur réellement parcourue le long du terrain.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la distance horizontale et la dénivelée sont, elles aussi, perpendiculaires — l'une portée par un plan horizontal, l'autre par la verticale. Elles se composent donc exactement comme les deux accroissements planimétriques de la question précédente.

Contexte de validité : la pente doit être constante entre les deux points. Sur un terrain ondulé, la longueur réelle du sol dépasserait cette valeur.
Avantage : c'est la longueur qui intervient dans les métrés : surface de chaussée, linéaire de canalisation, volume de déblai.
Paramètre clé : le rapport de la dénivelée à la distance horizontale. C'est lui, et lui seul, qui détermine l'écart entre les deux distances.
Vérification : la distance suivant la pente est toujours supérieure à la distance horizontale, l'égalité n'étant atteinte que pour une dénivelée nulle.
Limite : elle n'entre jamais dans le calcul de la pente, dont le dénominateur est par définition la distance horizontale.

\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} = \sqrt{D_{\text{h}}^{2} + \Delta Z^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'un terrain incliné est plus long qu'il n'y paraît sur un plan. Un plan ne montre que la projection ; le sol, lui, se parcourt en suivant la pente. C'est cet allongement que paie l'entreprise qui pose un revêtement, et que le plan seul ne facture pas.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{i}} \) : distance suivant la pente, grandeur positive, unité : mètre
\( D_{\text{h}} \) : distance horizontale, unité : mètre
\( \Delta Z \) : dénivelée, dont seul le carré intervient, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La pente, c'est la dénivelée rapportée à la distance parcourue. Le terrain mesure 233,753 m entre A et B, donc la pente vaut 15,50 divisé par 233,753, soit 6,631 %. »

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement remplace la distance horizontale par la distance suivant la pente. Or ces deux rapports ne sont pas la même fonction trigonométrique : rapporter la dénivelée à l'hypoténuse donne le sinus de l'angle, alors que la pente est définie comme sa tangente. Le rapport entre les deux résultats vaut exactement le cosinus de l'angle d'inclinaison.

L'erreur : confondre le côté adjacent à l'angle, qui est la distance horizontale, avec l'hypoténuse du triangle de pente.
L'ampleur chiffrée : 6,631 % au lieu de 6,646 %, soit un écart de 0,015 point, ou 0,22 % en valeur relative. L'erreur est ici presque indolore.
Pourquoi elle est dangereuse malgré tout : son ampleur relative vaut \( 1 - \cos\alpha \), donc elle croît comme le carré de la pente. Négligeable à 6,6 %, elle atteint 1,1 % pour une pente de 15 % et près de 5 % pour une pente de 32 %. Une habitude prise sur un terrain plat devient une faute en montagne.
La bonne méthode : écrire le triangle avant de poser le quotient, et repérer que l'angle d'inclinaison a pour côté adjacent la distance horizontale et pour côté opposé la dénivelée.
Le contrôle qui la détecte : la pente calculée doit être supérieure au rapport de la dénivelée à la distance suivant la pente, puisque le dénominateur est plus petit. Un résultat inférieur signale immédiatement l'inversion.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Altitudes : en mètres , dans le système IGN 1969
Dénivelée : en mètres , avec son signe
Distances horizontale et suivant la pente : en mètres , toutes deux positives
Écart relatif : sans dimension , exprimé en pourcentage

Quatre calculs. Le premier livre la composante verticale, le deuxième la troisième longueur du triangle, les deux derniers chiffrent l'écart entre les deux distances, en valeur absolue puis relative.

1. Résolution Numérique Dénivelée entre les deux points

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le numérateur de la pente, et pour connaître le sens du déplacement vertical entre les deux points.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'altitude du point de départ de celle du point d'arrivée, en conservant le sens de parcours déjà retenu pour les accroissements planimétriques.

Substitution : \( Z_{\text{B}} = 465{,}50 \ \text{m} \) et \( Z_{\text{A}} = 450{,}00 \ \text{m} \), valeurs du carnet.
Piège évité : ne pas inverser les termes. Contrairement aux accroissements planimétriques, dont l'inversion restait sans effet sur la distance, celle de la dénivelée change le signe de la pente : elle transformerait une montée en descente.
Hypothèse validée : les deux altitudes relèvent du même système altimétrique, conformément aux référentiels de travail déclarés.
Vérification croisée : le résultat doit être positif, l'altitude du point B figurant au carnet comme la plus élevée.
Finalité : fournir la composante verticale du triangle de pente.

\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 465{,}50 - 450{,}00 \\ &= \mathbf{+15{,}50 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La dénivelée vaut +15,50 m. Le signe positif indique une montée de A vers B : le point d'arrivée domine le point de départ de quinze mètres et demi, soit la hauteur d'un immeuble de cinq étages.

Ordre de grandeur : quinze mètres et demi pour deux cent trente-trois mètres parcourus à l'horizontale, soit un rapport voisin de un pour quinze.
Impact sur la suite : la pente sera positive dans le sens A vers B, et négative de même valeur absolue dans le sens inverse.
Cohérence : le sens de parcours est bien le même que celui retenu pour les deux accroissements planimétriques, tous deux calculés de A vers B.
Attention : la dénivelée ne renseigne que sur les extrémités. Le terrain pourrait comporter entre A et B un point plus haut que B, sans que ce calcul en laisse rien paraître.
Comparaison : une dénivelée nulle donnerait une pente nulle et une distance suivant la pente rigoureusement égale à la distance horizontale.

Remarque pédagogique : Écrire le signe explicitement, même lorsqu'il est positif, n'est pas une redondance : c'est ce qui garantit qu'il ne sera pas perdu en cours de chaîne, et qu'une pente en descente ne sera pas rapportée comme une montée.

Distance suivant la pente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer de la troisième longueur du triangle — celle du terrain — et pouvoir la comparer explicitement à la distance horizontale.

Méthodologie du calcul :

On compose la distance horizontale et la dénivelée par le théorème de Pythagore, appliqué cette fois dans un plan vertical.

Substitution : \( D_{\text{h}} = 233{,}238 \ \text{m} \) et \( \Delta Z = 15{,}50 \ \text{m} \), résultats acquis.
Piège évité : ne pas repartir des coordonnées brutes en écrivant une racine à trois termes. La forme à trois termes est correcte, mais elle masque le triangle vertical et donc la distinction entre les deux distances, qui est l'objet même de la question.
Hypothèse validée : la pente est constante entre A et B, le terrain étant assimilé au segment qui les joint.
Vérification croisée : le carré de la dénivelée, 240,25, est très petit devant celui de la distance horizontale, 54 400. Le résultat doit donc rester très proche de 233,238 m.
Finalité : fournir la longueur employée dans les métrés, et le terme de comparaison de la question suivante.

\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} &= \sqrt{233{,}238^{2} + 15{,}50^{2}} \\ &= \sqrt{54\,400{,}00 + 240{,}25} \\ &= \sqrt{54\,640{,}25} \\ &= \mathbf{233{,}753 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La distance suivant la pente vaut 233,753 m, contre 233,238 m à l'horizontale. L'inclinaison du terrain n'allonge donc le trajet que d'une cinquantaine de centimètres sur plus de deux cents mètres, ce qui confirme le caractère très aplati du triangle de pente.

Ordre de grandeur : la contribution de la dénivelée au carré de la distance vaut 240,25 pour 54 640,25, soit moins d'un deux-centième du total.
Impact sur la suite : c'est cette longueur, et non la distance horizontale, qui servirait à quantifier un revêtement ou un linéaire de canalisation.
Cohérence : le résultat est bien supérieur à la distance horizontale, comme l'exige la géométrie du triangle rectangle.
Attention : cette longueur n'entrera pas dans le calcul de la pente. Elle est produite ici pour être écartée en connaissance de cause, non pour être employée.
Comparaison : pour une pente de cent pour cent, la même composition donnerait un allongement de 41,4 %, et la confusion des deux distances deviendrait rédhibitoire.

Remarque pédagogique : Les instruments modernes mesurent une distance inclinée et la réduisent à l'horizontale au moyen de l'angle zénithal. La distinction traitée ici n'est donc pas académique : elle est intégrée au fonctionnement même de la station totale.

Écart absolu entre les deux distances

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer ce que coûterait la confusion entre les deux longueurs, plutôt que de se contenter de la signaler.

Méthodologie du calcul :

On retranche la distance horizontale de la distance suivant la pente, en conservant quatre décimales sur les deux termes pour ne pas perdre le résultat dans les arrondis.

Substitution : \( D_{\text{i}} = 233{,}7525 \ \text{m} \) et \( D_{\text{h}} = 233{,}2381 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas soustraire des valeurs déjà arrondies au millimètre. Les deux longueurs ne diffèrent qu'au deuxième chiffre significatif de leur écart : arrondir avant de soustraire ferait perdre la moitié de la précision du résultat.
Hypothèse validée : les deux longueurs se rapportent au même segment et sont exprimées dans la même unité.
Vérification croisée : l'écart doit être positif et très petit devant les deux longueurs qui l'engendrent.
Finalité : disposer du numérateur de l'écart relatif calculé ensuite.

\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} - D_{\text{h}} &= 233{,}7525 - 233{,}2381 \\ &= \mathbf{0{,}514 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'écart vaut 0,514 m, soit un peu plus d'un demi-mètre. Sur un métré de revêtement de trois mètres de largeur, cet écart représenterait à lui seul environ un mètre carré et demi de surface — négligeable ici, mais qui deviendrait significatif sur un linéaire de plusieurs kilomètres.

Ordre de grandeur : un demi-mètre pour deux cent trente-trois, ce qui annonce un écart relatif de l'ordre de deux millièmes.
Impact sur la suite : cet écart alimente directement le calcul de l'écart relatif, qui en donnera la lecture transposable à d'autres pentes.
Cohérence : le signe est positif, conformément au fait que l'hypoténuse dépasse toujours le côté de l'angle droit.
Attention : les deux distances ayant été conservées à quatre décimales, l'écart est significatif au millimètre ; il ne le serait pas si les termes avaient été arrondis au centimètre.
Comparaison : sur un kilomètre de tracé à la même pente, cet écart atteindrait environ 2,21 m.

Remarque pédagogique : Soustraire deux nombres presque égaux est l'opération numérique la plus fragile qui soit : les chiffres significatifs se détruisent. C'est le seul cas où conserver des décimales apparemment superflues est réellement indispensable.

Écart relatif entre les deux distances

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir une lecture transposable : l'écart absolu dépend de la longueur du tracé, l'écart relatif ne dépend que de la pente.

Méthodologie du calcul :

On rapporte l'écart absolu à la distance horizontale, puis on exprime le quotient en pourcentage.

Substitution : écart de \( 0{,}5144 \ \text{m} \) rapporté à \( D_{\text{h}} = 233{,}2381 \ \text{m} \).
Piège évité : préciser à quoi l'écart est rapporté. Rapporté à la distance suivant la pente, il vaudrait 0,220 % au lieu de 0,221 % : la différence est infime ici, mais la convention doit être énoncée.
Hypothèse validée : les deux termes du quotient sont dans la même unité, ce qui rend le résultat sans dimension.
Vérification croisée : pour une faible pente, cet écart relatif vaut approximativement la moitié du carré de la pente exprimée en valeur décimale, soit ici 0,0665 au carré divisé par deux.
Finalité : fournir un ordre de grandeur applicable à toute autre pente.

\[ \begin{aligned} \frac{D_{\text{i}} - D_{\text{h}}}{D_{\text{h}}} &= \frac{0{,}5144}{233{,}2381} \\ &= 0{,}002206 \\ &= \mathbf{0{,}221 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'écart relatif vaut 0,221 %, soit environ deux millièmes. Le contrôle par la moitié du carré de la pente donne 0,0665 au carré divisé par deux, soit 0,221 % également : les deux valeurs coïncident à la troisième décimale, ce qui confirme à la fois le calcul et l'ordre de grandeur.

Ordre de grandeur : deux millièmes, c'est-à-dire l'épaisseur d'un trait sur un plan au millième.
Impact sur la suite : il justifie que la confusion des deux distances reste indolore à cette pente, et seulement à cette pente.
Cohérence : la loi en carré de la pente est vérifiée numériquement, ce qui valide la formule d'approximation employée comme contrôle.
Attention : cette faiblesse est trompeuse. Elle installe une habitude qui deviendra fautive dès que la pente s'élèvera, la loi étant quadratique et non proportionnelle.
Comparaison : une pente dix fois plus forte porterait cet écart relatif à l'ordre de vingt pour cent.

Remarque pédagogique : Retenir la règle de la moitié du carré de la pente dispense de tout calcul pour estimer cet écart : à 10 %, environ un demi pour cent ; à 20 %, environ deux pour cent ; à 50 %, une douzaine de pour cent.

LE TRIANGLE DE PENTE ET SES TROIS LONGUEURS

RÉSULTAT FINAL

ΔZ · D_i = +15,50 m · 233,753 m

Montée de quinze mètres et demi de A vers B, pour une longueur de terrain qui excède la distance horizontale de 0,514 m, soit 0,221 %.

Question 3 : La pente en pourcentage et en degrés

Dans la tête de l'ingénieur

« Une seule inclinaison, deux écritures. Le pourcentage est le langage des textes d'aménagement et des plans ; le degré est celui des calculs trigonométriques qui viendront ensuite. Passer de l'un à l'autre n'est pas une simple conversion d'unité : ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles, parce que l'une est une tangente et l'autre un angle. Je calculerai les deux, puis je vérifierai leur cohérence par la relation approchée valable aux faibles pentes — en chiffrant l'erreur qu'elle commet, pour ne pas la présenter comme exacte. »

Observation : le rapport de la dénivelée à la distance horizontale vaut environ un quinzième. L'inclinaison sera donc faible, et l'approximation des petits angles largement applicable.
Analyse du risque : la lecture du pourcentage comme un nombre de degrés. Les deux nombres sont du même ordre de grandeur aux faibles pentes, ce qui rend la confusion facile et son diagnostic difficile.
Choix stratégique : calculer le rapport une seule fois et l'employer tel quel dans les deux expressions. Un rapport recalculé deux fois est un rapport arrondi deux fois.
Contrôle prévu : la relation approchée liant le pourcentage au degré pour les faibles pentes, dont l'écart à la valeur exacte sera chiffré et non postulé négligeable.
Objectif visé : deux expressions de la même inclinaison, chacune donnée à trois décimales, prêtes pour la confrontation réglementaire.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

P = 6,646 % · α = 3,802°

Rappel Théorique : le pourcentage est une tangente, le degré est un angle

Les deux expressions décrivent la même inclinaison, mais elles n'appartiennent pas à la même catégorie mathématique. Le pourcentage est un rapport de longueurs : il dit de combien on s'élève pour cent unités parcourues à l'horizontale. Le degré est une mesure d'angle. Le lien entre les deux passe par la fonction tangente, qui n'est pas linéaire.

La définition du pourcentage : c'est le rapport de la dénivelée à la distance horizontale, ramené à une base de cent. Une pente de 6 % élève de six mètres pour cent mètres parcourus à l'horizontale.
Le lien avec la trigonométrie : dans le triangle de pente, la dénivelée est le côté opposé à l'angle d'inclinaison et la distance horizontale son côté adjacent. Leur rapport est donc, par définition, la tangente de cet angle.
La non-proportionnalité : cent pour cent correspondent à quarante-cinq degrés, et non à quatre-vingt-dix. Un mur vertical n'a pas de pente exprimable en pourcentage, la tangente d'un angle droit n'étant pas définie.
Le domaine de quasi-proportionnalité : pour les faibles inclinaisons, la tangente se confond avec l'angle exprimé en radians. Le pourcentage et le degré deviennent alors presque proportionnels, dans un rapport voisin de un virgule sept cent quarante-cinq.
L'usage respectif des deux écritures : les textes d'aménagement raisonnent en pourcentage, parce qu'il se lit directement sur un profil en long. Le degré s'impose dès qu'un calcul trigonométrique suit, par exemple pour réduire une distance inclinée à l'horizontale.

Équations Fondamentales

Deux relations bâties sur le même rapport. La première le met à l'échelle de cent, la seconde en extrait l'angle par la fonction réciproque de la tangente.

Pente exprimée en pourcentage :

Elle donne l'élévation obtenue pour cent unités de distance horizontale.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle se lit directement sur un profil en long et se transpose sans calcul : une pente de 6,646 % élève de 6,646 m par centaine de mètres, de 66,46 m par kilomètre. C'est cette lisibilité immédiate qui l'a imposée dans les textes d'aménagement.

Contexte de validité : le dénominateur doit être la distance horizontale. Toute autre longueur donnerait une grandeur différente, sans rapport avec la définition réglementaire de la pente.
Avantage : elle est additive sur les dénivelées à distance horizontale fixée, ce qui facilite le calage d'un profil en long par tronçons.
Paramètre clé : le signe de la dénivelée, qui distingue une rampe d'une pente au sens du profil en long.
Vérification : une pente de 100 % signifie que la dénivelée égale la distance horizontale. Toute valeur supérieure à 100 % décrit un terrain plus haut que long.
Limite : le pourcentage n'est pas un angle et ne se manipule pas comme tel : deux pentes successives ne s'additionnent pas plus que deux tangentes.

\[ \begin{aligned} P = \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \times 100 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à la question « combien monte-t-on en cent mètres ? ». C'est la formulation qu'emploie un conducteur de travaux, un cycliste ou un rédacteur de cahier des charges — et c'est pourquoi les seuils réglementaires sont tous exprimés dans cette unité.

Décomposition des termes :

\( P \) : pente, grandeur signée sans dimension, unité : pourcentage
\( \Delta Z \) : dénivelée entre les deux points, unité : mètre
\( D_{\text{h}} \) : distance horizontale, seul dénominateur admis, unité : mètre

Angle d'inclinaison sur l'horizontale :

Il donne la même inclinaison sous forme d'angle géométrique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que tout calcul trigonométrique ultérieur réclame un angle, non un rapport. Réduire une distance inclinée à l'horizontale, décomposer une force sur un talus ou calculer un ensoleillement suppose de disposer de l'angle lui-même.

Contexte de validité : la fonction réciproque de la tangente rend un angle compris entre moins quatre-vingt-dix et plus quatre-vingt-dix degrés, ce qui couvre toutes les inclinaisons de terrain.
Avantage : l'angle est borné, contrairement au pourcentage qui tend vers l'infini pour une paroi verticale.
Paramètre clé : l'unité angulaire de la calculatrice. Le même rapport rend 3,802 en degrés, 4,224 en grades et 0,066 en radians.
Vérification : la tangente de l'angle obtenu doit restituer le rapport de départ. C'est un contrôle immédiat de l'unité employée.
Limite : l'angle se prête mal à la lecture d'un profil en long, où l'on raisonne en mètres par centaine de mètres plutôt qu'en degrés.

\[ \begin{aligned} \alpha = \arctan\left( \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne l'angle que fait la ligne de terrain avec le plan horizontal. C'est l'angle qu'un clinomètre lirait directement, et celui dont dépendent l'équilibre d'un talus ou la réduction d'une distance inclinée mesurée par une station totale.

Décomposition des termes :

\( \alpha \) : angle d'inclinaison sur l'horizontale, unité : degré
\( \arctan \) : fonction réciproque de la tangente, sans dimension en entrée
\( \dfrac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \) : tangente de l'angle cherché, grandeur sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La pente vaut 6,646 %, donc le terrain fait à peu près 6,6 degrés avec l'horizontale. Les deux nombres sont pratiquement les mêmes, la conversion est inutile. »

L'approche d'ingénieur : Les deux nombres sont du même ordre de grandeur, mais ils ne sont pas égaux, et l'écart n'a rien de marginal. Un angle de 6,646° correspond à une pente de 11,65 %, c'est-à-dire près du double de la pente réelle. La relation entre les deux grandeurs passe par la fonction tangente : elle est quasi proportionnelle aux faibles valeurs, avec un coefficient voisin de 1,745, et jamais égale à l'unité.

L'erreur : traiter un rapport de longueurs comme une mesure d'angle, alors que le passage de l'un à l'autre exige une fonction trigonométrique.
L'ampleur chiffrée : lire 6,646° au lieu de 3,802° revient à annoncer une pente de 11,65 % au lieu de 6,646 %, soit une surestimation de 75,3 %.
La conséquence sur l'étude : une pente de 11,65 % dépasserait les trois seuils retenus, y compris celui de 7 % de la catégorie R2, alors que la pente réelle n'en dépasse que deux. Le diagnostic de conformité en serait entièrement faussé.
La bonne méthode : appliquer la fonction réciproque de la tangente au rapport, en s'assurant que la calculatrice est réglée en degrés et non en grades ni en radians.
Le repère qui l'empêche : retenir que cent pour cent valent quarante-cinq degrés. Ce seul point d'ancrage suffit à écarter l'idée d'une égalité entre les deux nombres.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Dénivelée et distance horizontale : toutes deux en mètres , ce qui rend leur rapport sans dimension
Pente : exprimée en pourcentage , donc en centièmes d'unité
Angle : exprimé en degrés , la calculatrice devant être réglée en conséquence
Étape intermédiaire : le radian , unité naturelle dans laquelle l'angle se confond avec sa tangente aux faibles valeurs

Trois calculs. Les deux premiers livrent les deux expressions de l'inclinaison, le troisième les relie par la relation approchée des faibles pentes et en chiffre l'écart.

1. Résolution Numérique Pente exprimée en pourcentage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est dans cette unité que les seuils réglementaires sont écrits. Sans cette valeur, aucune confrontation à un texte n'est possible.

Méthodologie du calcul :

On divise la dénivelée par la distance horizontale, puis on multiplie le rapport obtenu par cent.

Substitution : \( \Delta Z = 15{,}50 \ \text{m} \) et \( D_{\text{h}} = 233{,}238 \ \text{m} \), résultats des deux premières questions.
Piège évité : ne pas inverser le quotient. La forme inversée donnerait 15,047, c'est-à-dire le nombre de mètres parcourus à l'horizontale par mètre d'élévation — grandeur légitime, appelée raideur, mais qui n'est pas la pente et ne se compare à aucun seuil réglementaire.
Hypothèse validée : la pente est supposée constante entre les deux points, conformément aux hypothèses de l'étude.
Vérification croisée : la dénivelée valant environ un quinzième de la distance horizontale, le résultat doit avoisiner 6,7 %.
Finalité : fournir la grandeur qui sera confrontée aux trois seuils réglementaires.

\[ \begin{aligned} P &= \frac{15{,}50}{233{,}238} \times 100 \\ &= 0{,}066456 \times 100 \\ &= \mathbf{6{,}646 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente vaut 6,646 %, c'est-à-dire que le terrain s'élève de 6,646 m par centaine de mètres parcourus à l'horizontale, soit 66,46 m par kilomètre. Le signe positif confirme la montée de A vers B établie à la question précédente.

Ordre de grandeur : six virgule six pour cent, valeur conforme à l'estimation d'un rapport voisin d'un quinzième.
Impact sur la suite : cette valeur se situe entre 6 % et 7 %, c'est-à-dire précisément entre les deux seuils du guide d'aménagement des routes principales. La confrontation ne sera donc pas triviale.
Cohérence : le rapport intermédiaire, 0,066456, est bien la tangente de l'angle qui sera calculé ci-après.
Attention : cette pente décrit le terrain naturel. La déclivité du projet pourra en différer si des terrassements sont prévus, et c'est elle seule qui sera soumise aux seuils.
Comparaison : la pente transversale de chaussée prescrite en alignement par le guide d'aménagement des routes principales vaut 2,5 % : la déclivité trouvée ici lui est environ deux fois et demie supérieure.

Remarque pédagogique : Le rapport intermédiaire est conservé à six décimales avant d'être multiplié par cent. Cette précaution n'est pas ornementale : elle garantit que la troisième décimale du pourcentage, qui décidera de la comparaison au seuil de 7 %, ne dépend pas d'un arrondi.

Angle d'inclinaison en degrés

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer de l'inclinaison sous la forme d'un angle, seule utilisable dans un calcul trigonométrique ultérieur.

Méthodologie du calcul :

On applique la fonction réciproque de la tangente au rapport déjà obtenu, sans le recalculer, puis on exprime le résultat en degrés.

Substitution : le rapport vaut \( 0{,}066456 \), valeur intermédiaire du calcul précédent.
Piège évité : ne pas laisser la calculatrice en grades ni en radians. Le même rapport rendrait 4,224 en grades et 0,066 en radians ; la première valeur, plausible à première vue, passerait inaperçue.
Hypothèse validée : le rapport employé est bien celui de la dénivelée à la distance horizontale, donc bien une tangente.
Vérification croisée : la tangente du résultat doit restituer 0,066456. C'est le contrôle le plus direct de l'unité angulaire employée.
Finalité : disposer de l'angle pour toute réduction trigonométrique ultérieure.

\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan\left( 0{,}066456 \right) \\ &= 0{,}066358 \ \text{rad} \\ &= \mathbf{3{,}802^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'angle vaut 3,802°. Le passage par le radian rend visible la raison de la quasi-proportionnalité entre pourcentage et degré : l'angle en radians, 0,066358, est presque égal à sa tangente, 0,066456. L'écart entre les deux ne dépasse pas un dix-millième.

Ordre de grandeur : moins de quatre degrés, inclinaison à peine perceptible à l'œil sur le terrain.
Impact sur la suite : c'est l'angle dont dépendrait la réduction à l'horizontale d'une distance mesurée le long du terrain.
Cohérence : l'angle en radians est inférieur à sa tangente, ce qui est la propriété générale de la fonction tangente sur les angles aigus.
Attention : cet angle ne se compare à aucun des seuils cités, tous exprimés en pourcentage. Il faudrait les convertir avant toute confrontation directe.
Comparaison : le seuil de 5 % de l'arrêté du 15 janvier 2007 correspond à 2,862°, et celui de 7 % du guide d'aménagement des routes principales à 4,004°.

Remarque pédagogique : Faire apparaître le radian comme étape intermédiaire n'allonge pas le calcul : cela l'explique. Toute la quasi-proportionnalité entre pourcentage et degré tient dans le fait qu'un petit angle en radians se confond avec sa tangente.

Contrôle par la relation approchée des faibles pentes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier l'angle sans calculatrice et, surtout, pour chiffrer l'erreur que commet cette relation approchée plutôt que de la présenter comme exacte.

Méthodologie du calcul :

Aux faibles pentes, la tangente se confond avec l'angle en radians. Convertir ces radians en degrés fait apparaître un diviseur constant entre le pourcentage et le nombre de degrés : cent fois pi divisé par cent quatre-vingts, soit 1,745.

Substitution : \( P = 6{,}646 \ \% \) et le diviseur \( 1{,}745 \), valeur exacte de \( 100\pi / 180 \).
Piège évité : ne pas employer cette relation au-delà du domaine des faibles pentes. Elle donnerait 57,3° pour une pente de 100 %, au lieu des 45° exacts, soit une erreur de plus de vingt-sept pour cent.
Hypothèse validée : la pente est ici de 6,6 %, donc très largement dans le domaine où l'approximation reste fine.
Vérification croisée : l'approximation surestime toujours l'angle, puisqu'elle confond la tangente avec l'angle alors que la tangente lui est supérieure.
Finalité : disposer d'un contrôle mental de l'angle, avec son erreur connue.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{approche}} &= \frac{6{,}646}{1{,}745} \\ &= \mathbf{3{,}808^\circ} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La relation approchée donne 3,808° contre 3,802° pour le calcul exact, soit une surestimation de 0,006°, ou 0,147 % en valeur relative. Cette erreur n'est pas quelconque : la théorie la donne égale au tiers du carré de l'angle exprimé en radians, soit 0,147 % également — les deux valeurs coïncident.

Ordre de grandeur : six millièmes de degré, soit une vingtaine de secondes d'arc.
Impact sur la suite : le contrôle confirme l'angle exact ; c'est bien la valeur de 3,802° qui sera retenue.
Cohérence : l'approximation surestime, conformément à la propriété annoncée. Un résultat approché inférieur à la valeur exacte aurait signalé une faute.
Attention : l'erreur croît comme le carré de la pente. Elle atteint 0,74 % à 15 % de pente et approche 3 % à 30 %, ce qui interdit d'employer la relation au-delà des faibles inclinaisons.
Comparaison : appliquée à une pente de 100 %, la relation rendrait 57,3° au lieu de 45°, ce qui illustre la limite de son domaine de validité.

Remarque pédagogique : Une relation approchée n'est utile que si son erreur est connue. Employée sans cette connaissance, elle devient une source de fautes silencieuses ; employée avec, elle constitue un contrôle mental rapide et fiable dans son domaine.

LES DEUX EXPRESSIONS D'UNE MÊME INCLINAISON

RÉSULTAT FINAL

P · α = 6,646 % · 3,802°

Une même inclinaison, exprimée en rapport de longueurs puis en angle géométrique, les deux valeurs se confirmant par la relation approchée des faibles pentes.

Question 4 : La confrontation aux seuils réglementaires

Dans la tête de l'ingénieur

« Six virgule six pour cent : ni bon ni mauvais tant que je n'ai pas dit pour quel usage. La valeur tombe entre deux seuils du guide d'aménagement des routes principales, et nettement au-dessus de celui des cheminements accessibles. Je vais donc rendre trois verdicts, pas un seul. Puis je chiffrerai les deux corrections possibles : rabattre le point haut, ou allonger le parcours. C'est le rôle du projeteur — non pas constater qu'un terrain est trop pentu, mais dire de combien il l'est et ce qu'il en coûterait d'y remédier. »

Observation : la pente se situe entre les deux seuils routiers, 6 % et 7 %. Aucun des deux ne peut donc être invoqué seul : la catégorie de voie retenue au projet décidera du verdict.
Analyse du risque : l'invocation abusive des tolérances de l'arrêté du 15 janvier 2007. Elles sont bornées en longueur et subordonnées à une impossibilité technique ; elles ne relèvent pas le seuil général.
Choix stratégique : rendre trois verdicts distincts, chacun rattaché à son texte et à son article, plutôt qu'une appréciation globale sans portée juridique.
Objet de la correction : une pente étant un quotient, elle s'abaisse en diminuant son numérateur ou en augmentant son dénominateur. Les deux leviers seront chiffrés.
Objectif visé : un avis motivé, adossé à des articles, et deux ordres de grandeur exploitables en phase d'esquisse.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Non conforme à 5 % et à 6 % · conforme à 7 % · correction : −3,838 m ou +76,762 m

Rappel Théorique : un seuil de pente n'existe jamais sans un usage

Aucun texte ne fixe de pente admissible pour un terrain naturel. Ce que les textes encadrent, c'est l'aménagement qu'on y projette. Le même sol pourra donc porter une route de catégorie R2 sans réserve, une route de catégorie R1 en dérogation, et jamais un cheminement accessible en l'état. Trois lectures d'un unique chiffre.

Le seuil des cheminements accessibles : l'arrêté du 15 janvier 2007 dispose en son article 1er que, lorsqu'une pente est nécessaire pour franchir une dénivellation, elle est inférieure à 5 %. Le seuil est un maximum strict, non une valeur cible.
L'obligation de paliers : le même article impose, dès que la pente dépasse 4 %, un palier de repos en haut et en bas de chaque plan incliné, et un tous les dix mètres en cheminement continu. Ces paliers sont horizontaux et mesurent 1,20 m par 1,40 m hors obstacle.
Le statut des tolérances : les valeurs de 8 % et 12 % que mentionne l'arrêté ne sont pas des seuils alternatifs. Ce sont des tolérances, subordonnées à une impossibilité technique due notamment à la topographie, et bornées respectivement à 2 mètres et 0,50 mètre de longueur.
Les seuils routiers : le guide d'aménagement des routes principales fixe au tableau 12 de son chapitre 4 une déclivité maximale de 6 % en catégorie R1 et de 7 % en catégorie R2, mesurée au droit de l'axe géométrique de la voie.
La réserve attachée au seuil de 7 % : le même guide précise qu'une déclivité supérieure à 6 % n'est à utiliser qu'en cas de nécessité, compte tenu de la limitation qui en résulte sur les niveaux de sécurité et de service. La conformité formelle n'y dispense pas de la justification.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première juge le tracé existant ; la seconde dimensionne la correction qui le rendrait conforme, en inversant la définition de la pente.

Critère de conformité d'une déclivité :

Il confronte la pente calculée au seuil attaché à l'usage projeté.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un projet doit être déclaré recevable ou non, sans état intermédiaire. C'est la seule relation de l'étude dont le résultat n'est pas un nombre mais une décision, et elle engage la responsabilité du projeteur.

Contexte de validité : le seuil retenu doit correspondre à l'usage réellement projeté. Comparer une déclivité routière au seuil des cheminements accessibles n'aurait aucun sens.
Avantage : les deux grandeurs étant exprimées en pourcentage, la comparaison est immédiate et ne demande aucune conversion.
Paramètre clé : le choix du seuil. C'est lui, et non le calcul, qui détermine le verdict, puisque la pente est acquise depuis la question précédente.
Vérification : la comparaison porte sur la valeur absolue de la pente. Une descente de 6,646 % est aussi contraignante qu'une montée de même valeur.
Limite : le critère porte sur la déclivité du projet. Celle du terrain naturel n'est qu'un point de départ, que des terrassements peuvent modifier.

\[ \begin{aligned} \left| P \right| \leq P_{\text{max}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle demande si l'inclinaison du terrain reste compatible avec l'usage envisagé. Au-delà du seuil, ce n'est pas la géométrie qui est en cause mais l'aptitude de l'ouvrage à remplir sa fonction : gravir la pente en fauteuil roulant, ou la descendre en poids lourd sans solliciter excessivement les freins.

Décomposition des termes :

\( \left| P \right| \) : valeur absolue de la pente calculée, unité : pourcentage
\( P_{\text{max}} \) : seuil réglementaire attaché à l'usage projeté, unité : pourcentage

Longueur horizontale minimale pour une pente imposée :

Elle dimensionne le développement nécessaire au franchissement d'une dénivelée donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une dénivelée est le plus souvent imposée par le terrain, alors que le tracé, lui, se choisit. Allonger le parcours est donc le levier le plus fréquemment employé pour abaisser une déclivité — c'est le principe même du lacet en montagne.

Contexte de validité : la pente maximale doit être exprimée en valeur décimale et non en pourcentage, faute de quoi le résultat serait cent fois trop petit.
Avantage : elle donne directement l'emprise foncière minimale du tracé, donnée décisive dès la phase d'esquisse.
Paramètre clé : la dénivelée, qui est imposée. Elle ne se réduit qu'au prix de terrassements, souvent plus coûteux qu'un allongement de tracé.
Vérification : la longueur obtenue doit être supérieure à la distance horizontale actuelle dès lors que la pente actuelle dépasse le seuil.
Limite : elle ne tient pas compte des paliers de repos, horizontaux, qui allongent encore le développement sans racheter aucune dénivelée.

\[ \begin{aligned} L_{\text{min}} = \frac{\Delta Z}{P_{\text{max}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'une dénivelée imposée se rachète par la longueur. Diviser la pente admissible par deux double le développement nécessaire : c'est exactement la raison d'être des lacets d'une route de montagne et des rampes en zigzag d'un bâtiment public.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{min}} \) : longueur horizontale minimale du tracé, unité : mètre
\( \Delta Z \) : dénivelée à franchir, imposée par le terrain, unité : mètre
\( P_{\text{max}} \) : pente maximale admissible en valeur décimale, grandeur sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'arrêté du 15 janvier 2007 tolère une pente allant jusqu'à 8 %. Notre terrain est à 6,646 %, il reste donc en dessous : le cheminement est conforme. »

L'approche d'ingénieur : La valeur de 8 % existe bien dans le texte, mais elle n'y a pas le statut qu'on lui prête. L'arrêté énonce d'abord la règle — la pente est inférieure à 5 % — puis ouvre une tolérance en cas d'impossibilité technique, et la borne explicitement : jusqu'à 8 % sur une longueur inférieure ou égale à 2 mètres, jusqu'à 12 % sur une longueur inférieure ou égale à 0,50 mètre. Ce sont des exceptions ponctuelles, non un relèvement du seuil.

L'erreur : lire une tolérance bornée comme si elle constituait un seuil alternatif applicable à l'ensemble du tracé.
L'ampleur chiffrée : une pente de 8 % appliquée sur les 2 mètres autorisés ne rachète que 0,16 m de dénivelée, soit 1,0 % des 15,50 m à franchir. La tolérance est sans effet à l'échelle du problème.
La condition oubliée : la tolérance est subordonnée à une impossibilité technique, que le texte rattache notamment à la topographie et à la disposition des constructions existantes. Elle doit être établie, non supposée.
La bonne méthode : appliquer le seuil général de 5 %, et traiter séparément, s'il y a lieu, les points singuliers relevant des tolérances.
La conséquence pratique : au-delà de 4 %, l'arrêté impose en outre des paliers de repos tous les dix mètres, contrainte que la lecture erronée fait entièrement disparaître alors qu'elle gouverne la conception du cheminement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Pente calculée et seuils : tous en pourcentage , directement comparables
Pente maximale employée dans une division : en valeur décimale , soit 0,05 pour 5 %
Dénivelées et longueurs : en mètres
Nombre de paliers : sans dimension , et nécessairement entier

Quatre calculs. Le premier situe la pente parmi les trois seuils, les deux suivants dimensionnent les deux corrections possibles, le dernier chiffre la contrainte de paliers qui accompagne la solution retenue.

1. Résolution Numérique Position de la pente parmi les trois seuils

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour rendre les trois verdicts d'un seul geste, en plaçant la valeur calculée sur l'échelle des seuils plutôt qu'en la comparant trois fois séparément.

Méthodologie du calcul :

On ordonne les trois seuils par valeurs croissantes et l'on insère la pente calculée à sa place dans cette suite d'inégalités.

Substitution : \( P = 6{,}646 \ \% \), \( P_{\text{acc}} = 5{,}000 \ \% \), \( P_{\text{R1}} = 6{,}000 \ \% \) et \( P_{\text{R2}} = 7{,}000 \ \% \).
Piège évité : ne pas retenir un seul seuil et conclure globalement. Les trois textes visent des usages différents : un verdict unique masquerait le fait que le terrain est simultanément conforme et non conforme selon l'ouvrage projeté.
Hypothèse validée : les quatre valeurs sont exprimées en pourcentage, ce qui autorise leur comparaison directe.
Vérification croisée : la pente est supérieure à 6 % et inférieure à 7 % ; elle doit donc se placer strictement entre les deux seuils routiers.
Finalité : établir simultanément les trois conclusions de conformité.

\[ \begin{aligned} P_{\text{acc}} = 5{,}000 \ \% < P_{\text{R1}} = 6{,}000 \ \% < P = 6{,}646 \ \% < P_{\text{R2}} = 7{,}000 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente dépasse les deux premiers seuils et reste sous le troisième. Le terrain est donc non conforme pour un cheminement accessible et pour une route principale de catégorie R1, mais conforme pour une route principale de catégorie R2 — cette dernière conformité restant assortie de la réserve du guide, qui n'admet une déclivité supérieure à 6 % qu'en cas de nécessité.

Ordre de grandeur : la pente excède le seuil d'accessibilité de 1,646 point, soit un tiers de ce seuil.
Impact sur la suite : c'est le seuil le plus exigeant, celui de 5 %, qui servira de cible aux deux corrections dimensionnées ensuite.
Cohérence : la marge sous le seuil de la catégorie R2 vaut 0,354 point, soit à peine 5 % de ce seuil : la conformité y est acquise, mais sans réserve confortable.
Attention : la conformité à la catégorie R2 ne dispense pas de justifier le dépassement de 6 %, le guide subordonnant cette plage à une nécessité établie.
Comparaison : la pente dépasse également de plus de deux points et demi le seuil de 4 % au-delà duquel les paliers de repos deviennent obligatoires.

Remarque pédagogique : Un rapport d'étude qui conclurait « pente acceptable » sans nommer l'usage serait inexploitable, et juridiquement sans valeur. Le verdict n'existe que rattaché à un texte, un article et un usage.

Dénivelée maximale admissible à distance horizontale inchangée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer le premier levier de correction : abaisser le point haut par terrassement, sans toucher au tracé en plan.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la distance horizontale existante par la pente maximale admissible, exprimée en valeur décimale.

Substitution : \( D_{\text{h}} = 233{,}238 \ \text{m} \) et \( P_{\text{max}} = 0{,}05 \), soit le seuil de 5 % de l'arrêté du 15 janvier 2007.
Piège évité : ne pas multiplier par 5 au lieu de 0,05. Le résultat serait cent fois trop grand, soit plus de mille cent mètres de dénivelée — valeur immédiatement absurde au regard des altitudes du carnet.
Hypothèse validée : le tracé en plan reste inchangé, la correction portant uniquement sur l'altitude du point haut.
Vérification croisée : le résultat doit être inférieur aux 15,50 m existants, puisque la pente actuelle dépasse le seuil visé.
Finalité : quantifier le déblai nécessaire au point haut.

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{max}} &= 0{,}05 \times 233{,}238 \\ &= \mathbf{11{,}662 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

À distance horizontale inchangée, la dénivelée ne devrait pas excéder 11,662 m. Or elle vaut 15,50 m : il faudrait donc rabattre le point haut de 3,838 m. C'est un terrassement considérable, dont l'ampleur suffit généralement à écarter cette solution au profit de la suivante.

Ordre de grandeur : près de quatre mètres de déblai, soit la hauteur d'un étage courant.
Impact sur la suite : la seconde correction, par allongement du tracé, doit être chiffrée pour permettre la comparaison des deux options.
Cohérence : le rapport de la dénivelée admissible à la dénivelée réelle, 11,662 sur 15,50, vaut 0,752 — exactement le rapport des pentes, 5 sur 6,646.
Attention : abaisser le point haut modifie le raccordement avec le terrain adjacent. Le problème est déplacé, non supprimé, si le point B est imposé par un ouvrage existant.
Comparaison : pour viser le seuil de 6 % de la catégorie R1, la dénivelée admissible s'élèverait à 13,994 m et le rabattement se réduirait à 1,506 m.

Remarque pédagogique : Une pente étant un quotient, la corriger revient toujours à agir sur l'un de ses deux termes. Présenter les deux leviers chiffrés, plutôt qu'un seul, est ce qui distingue une note de calculs d'un simple constat.

Longueur horizontale minimale à dénivelée inchangée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer le second levier : conserver les deux altitudes et allonger le parcours jusqu'à ramener la pente sous le seuil.

Méthodologie du calcul :

On divise la dénivelée imposée par la pente maximale admissible, exprimée en valeur décimale.

Substitution : \( \Delta Z = 15{,}50 \ \text{m} \) et \( P_{\text{max}} = 0{,}05 \).
Piège évité : ne pas diviser par 5. Le résultat vaudrait 3,10 m, longueur inférieure à la dénivelée elle-même — donc une pente supérieure à 100 %, ce qui contredirait l'objectif poursuivi.
Hypothèse validée : les deux altitudes sont imposées ; seul le tracé en plan est libre.
Vérification croisée : le résultat doit dépasser les 233,238 m actuels, puisque la pente doit être abaissée.
Finalité : fournir l'emprise minimale du tracé conforme.

\[ \begin{aligned} L_{\text{min}} &= \frac{15{,}50}{0{,}05} \\ &= \mathbf{310{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le tracé devrait développer au moins 310,00 m à l'horizontale, contre 233,238 m aujourd'hui : un allongement de 76,762 m, soit 32,9 % du parcours actuel. C'est l'ordre de grandeur qui décide, en phase d'esquisse, de la faisabilité foncière d'une rampe conforme.

Ordre de grandeur : environ soixante-dix-sept mètres de développement supplémentaire, à trouver dans l'emprise disponible.
Impact sur la suite : cette longueur conditionne le nombre de paliers de repos, calculé ci-après.
Cohérence : le rapport 310,00 sur 233,238 vaut 1,329, soit exactement l'inverse du rapport des pentes, 5 sur 6,646.
Attention : cette longueur est celle des parties inclinées seules. Les paliers de repos, horizontaux, s'y ajoutent sans racheter la moindre dénivelée.
Comparaison : viser 6 % au lieu de 5 % ramènerait la longueur minimale à 258,33 m, soit un allongement réduit à 25,09 m.

Remarque pédagogique : La longueur nécessaire varie comme l'inverse de la pente admissible. Passer de 6 % à 5 % n'allonge le tracé que de vingt pour cent ; passer de 5 % à 2,5 % le doublerait.

Nombre de paliers de repos imposés par l'arrêté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la conformité ne se réduit pas au respect du seuil de pente : au-delà de 4 %, l'arrêté impose une trame de paliers qui gouverne la conception du cheminement.

Méthodologie du calcul :

On divise la longueur inclinée par l'intervalle de dix mètres imposé, ce qui donne le nombre de tronçons ; les paliers intermédiaires sont en nombre inférieur d'une unité, auxquels s'ajoutent ceux du haut et du bas.

Substitution : \( L_{\text{min}} = 310{,}00 \ \text{m} \) et un intervalle de \( 10{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas confondre le nombre de tronçons et le nombre de paliers intermédiaires. Trente et un tronçons sont séparés par trente paliers, non par trente et un : c'est l'erreur classique de dénombrement dite du nombre de poteaux d'une clôture.
Hypothèse validée : le cheminement est continu, cas auquel l'arrêté attache explicitement la règle des dix mètres.
Vérification croisée : trente et un tronçons de dix mètres à 5 % rachètent chacun 0,50 m, soit 15,50 m au total : exactement la dénivelée à franchir.
Finalité : mesurer la contrainte réelle d'aménagement au-delà du seul respect du seuil.

\[ \begin{aligned} N_{\text{paliers}} &= \left( \frac{310{,}00}{10{,}00} - 1 \right) + 2 \\ &= 30 + 2 \\ &= \mathbf{32} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le cheminement conforme comporterait 32 paliers : trente intermédiaires, plus un en haut et un en bas. Les trente paliers intermédiaires, chacun long de 1,40 m dans le sens de la marche, ajoutent 42,00 m de cheminement horizontal, portant le développement total à environ 352,00 m sans racheter la moindre dénivelée.

Ordre de grandeur : une trentaine de paliers pour quinze mètres et demi de dénivelée, soit un palier tous les cinquante centimètres d'élévation.
Impact sur la suite : l'emprise réelle dépasse ainsi de plus de cinquante pour cent la distance horizontale initiale, ce qui change la nature de la question posée au maître d'ouvrage.
Cohérence : le contrôle par les dénivelées élémentaires est exact : trente et un tronçons rachetant chacun 0,50 m restituent bien les 15,50 m.
Attention : une pente ramenée sous 4 % supprimerait entièrement cette obligation de paliers, au prix d'un développement porté à 387,50 m. L'arbitrage se joue donc entre 35,50 m d'emprise supplémentaire et trente paliers intermédiaires à aménager.
Comparaison : chaque palier occupe une surface de 1,20 m par 1,40 m hors obstacle, dimensions fixées par le même article de l'arrêté.

Remarque pédagogique : Le respect d'un seuil de pente n'épuise jamais la conformité. Les obligations qui l'accompagnent — paliers, garde-corps, largeurs — déterminent souvent davantage la faisabilité que le seuil lui-même.

LA PENTE PLACÉE SUR L'ÉCHELLE DES SEUILS

RÉSULTAT FINAL

Verdicts = 5 % non · 6 % non · 7 % oui

Pour satisfaire le seuil de 5 %, il faudrait rabattre le point haut de 3,838 m ou porter la longueur horizontale à 310,00 m, avec trente-deux paliers de repos.

SCHÉMA BILAN — LE SEGMENT A-B ENTIÈREMENT COTÉ

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que la démarche est acquise dans son ensemble, et non les seules valeurs numériques :

J'ai composé les accroissements par Pythagore et non par addition, et je sais chiffrer l'écart entre les deux. Je distingue les trois longueurs du triangle de pente et je sais laquelle chaque formule appelle. Je sais que la pente se rapporte à la distance horizontale, et donc qu'elle est la tangente de l'angle d'inclinaison. Je n'assimile jamais un pourcentage à un nombre de degrés, et je retiens que cent pour cent valent quarante-cinq degrés. Je rattache chaque verdict de conformité à un usage, un texte et un article, et non à une appréciation générale. Je sais dimensionner les deux corrections d'une pente excessive : agir sur la dénivelée ou sur la longueur.

L'étude est complète. Les deux accroissements de coordonnées, +200,00 m en abscisse et +120,00 m en ordonnée, composent une distance horizontale de 233,238 m, confirmée par un second chemin de calcul. La dénivelée vaut +15,50 m — une montée de A vers B — et la distance suivant la pente 233,753 m, soit 0,514 m de plus que la distance horizontale, écart de 0,221 % conforme à la loi en carré de la pente. L'inclinaison s'établit à 6,646 %, c'est-à-dire 3,802°, les deux valeurs se recoupant par la relation approchée des faibles pentes à 0,15 % près.

La confrontation réglementaire livre trois verdicts distincts, parce que trois usages différents relèvent de trois seuils. Pour un cheminement accessible, l'arrêté du 15 janvier 2007 impose en son article 1er une pente inférieure à 5 % : le terrain est non conforme. Pour une route principale de catégorie R1, le guide d'aménagement des routes principales fixe au tableau 12 de son chapitre 4 une déclivité maximale de 6 % : le terrain est non conforme. Pour une route principale de catégorie R2, dont la déclivité maximale s'élève à 7 %, il est conforme — sous la réserve expresse du guide, qui n'admet une déclivité supérieure à 6 % qu'en cas de nécessité. Un rapport qui conclurait « pente acceptable » sans nommer l'usage n'aurait donc aucune portée.

Rendre le tracé conforme au seuil le plus exigeant suppose d'agir sur l'un des deux termes du quotient. Rabattre le point haut de 3,838 m ramènerait la dénivelée à 11,662 m à distance inchangée ; allonger le parcours jusqu'à 310,00 m, soit 76,762 m de plus, y parviendrait à dénivelée inchangée. Cette seconde solution appelle en outre trente-deux paliers de repos, la pente dépassant les 4 % au-delà desquels l'arrêté les impose : trente paliers intermédiaires de 1,40 m portent le développement à environ 352,00 m. Le respect d'un seuil de pente n'épuise jamais la conformité — ce sont les obligations qui l'accompagnent qui décident le plus souvent de la faisabilité.

Calcul de pente en topographie

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Contexte de l'Étude & Enjeux

CARNET DES COORDONNÉES RELEVÉES

SEUILS RÉGLEMENTAIRES APPLICABLES SELON L'USAGE

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : La distance horizontale entre les deux points

Question 2 : La dénivelée et la distance suivant la pente

Question 3 : La pente en pourcentage et en degrés

Question 4 (Finale) : La confrontation aux seuils réglementaires

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Exécution de la Note de Calculs

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