Calcul de distance en topographie

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une limite de parcelle n'est pas un trait sur un plan : c'est une ligne matérialisée par des bornes, dont chacune possède des coordonnées établies par un levé. Vérifier cette limite, c'est vérifier que la longueur séparant deux bornes correspond bien à celle que portent les documents — et cette longueur ne se mesure pas, elle se calcule.

L'opération est d'une simplicité désarmante : un théorème vieux de vingt-cinq siècles appliqué à quatre nombres. Sa difficulté réelle n'est pas dans le calcul mais dans la lecture du résultat. Une calculatrice affiche dix chiffres ; les données n'en portent que six. Décider combien de chiffres ont un sens est une décision d'ingénieur, et c'est la seule partie de l'exercice qu'aucune machine ne prend à votre place.

En matière foncière, cette question n'a rien d'académique. Un centimètre annoncé à tort comme un millimètre, c'est une précision affichée que le levé ne garantit pas, et une affirmation qu'on ne pourra pas défendre si la limite est contestée.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments à poser avant d'écrire la première ligne de calcul. Le dernier est celui qui distingue une réponse d'une réponse défendable :

Deux bornes matérialisées : A et B existent physiquement sur le terrain. Leurs coordonnées rectangulaires proviennent d'un levé antérieur et constituent l'unique donnée de l'étude.
Une distance horizontale : la longueur recherchée est celle projetée sur le plan, celle qui figure sur les documents cadastraux. Elle ne tient compte d'aucun dénivelé.
Un triangle rectangle caché : les deux différences de coordonnées forment les côtés de l'angle droit. La distance en est l'hypoténuse. Tout le calcul tient dans cette observation.
Une précision à justifier : les coordonnées sont fournies au centimètre. Le résultat ne peut donc pas être annoncé au millimètre — et il faudra démontrer pourquoi, pas simplement l'affirmer.

Votre Mission :

Établir la longueur exacte du segment qui joint les deux bornes, à partir de leurs seules coordonnées, puis qualifier ce résultat : dire jusqu'à quel chiffre il est porté par les données, et de combien il bougerait si l'une des coordonnées était fausse d'un centimètre.

Le premier travail est arithmétique et prend cinq minutes. Le second est celui qui donne au premier sa valeur juridique : une longueur sans incertitude annoncée est une longueur qu'on ne peut pas opposer.

Le grand défi : résister à la calculatrice. Elle propose dix chiffres ; il faut décider lesquels ont un sens et savoir l'expliquer.
Votre rôle : celui du technicien géomètre qui prépare la fiche de contrôle d'une limite et engage sa signature sur la longueur transmise.
La contrainte : aucun résultat n'est admis sans son unité, son arrondi justifié et un contrôle indépendant.

PLAN DE SITUATION

Livrables Attendus (Checklist) :

La variation en abscisse ΔX, en mètres, avec son signe et l'interprétation du sens de déplacement qu'il désigne.
La variation en ordonnée ΔY, dans les mêmes conditions, et le quadrant que le couple de signes désigne.
La distance horizontale entre les deux bornes, avec la chaîne de calcul complète et le contrôle d'homogénéité dimensionnelle à chaque étape.
Un contrôle indépendant du résultat, qui ne réutilise aucune valeur intermédiaire déjà calculée.
L'incertitude sur la distance et l'arrondi qui en découle, l'un et l'autre démontrés et non affirmés.

2. Données Techniques & Normes

Quatre nombres, et rien d'autre. Cette économie de données est la marque du calcul inverse : le levé a déjà eu lieu, ses résultats sont consignés, et il ne reste qu'à en tirer les grandeurs dérivées. Encore faut-il savoir dans quel système ces quatre nombres sont exprimés, et avec quelle précision ils ont été établis.

Ces deux informations ne sont pas des détails administratifs : la première conditionne le sens géométrique de la soustraction, la seconde conditionne le nombre de chiffres que le résultat pourra porter. Le tableau des hypothèses les fixe explicitement.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Cinq relations suffisent. Les trois premières produisent le résultat, les deux dernières le contrôlent et le qualifient.

Variation en abscisse \( \Delta X = X_B - X_A \)
Variation en ordonnée \( \Delta Y = Y_B - Y_A \)
Distance horizontale \( D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \)
Encadrement du triangle \( \max(|\Delta X|, |\Delta Y|) \le D \le |\Delta X| + |\Delta Y| \)
Incertitude sur la distance \( \sigma_D = \sigma \sqrt{2} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

COORDONNÉES DES DEUX BORNES

Symbole	Description	Valeur	Unité
X_A	Abscisse de la borne A, comptée vers l'Est Décret 2006-272 · art. 1	150,25	m
Y_A	Ordonnée de la borne A, comptée vers le Nord du quadrillage	300,50	m
X_B	Abscisse de la borne B, dans le même système que la borne A	210,75	m
Y_B	Ordonnée de la borne B, dans le même système que la borne A	380,00	m

Écriture condensée des deux bornes

Borne A : \( A\,(X_A\,;\,Y_A) = \mathbf{(150{,}25\,;\,300{,}50)} \text{ m} \)
Borne B : \( B\,(X_B\,;\,Y_B) = \mathbf{(210{,}75\,;\,380{,}00)} \text{ m} \)

CADRE DE RÉFÉRENCE ET PRÉCISION DES DONNÉES

Symbole	Description	Valeur	Unité
—	Système géodésique de référence en France métropolitaine Décret 2006-272 · art. 1 A	RGF93	—
—	Projection plane associée, conique conforme	Lambert-93	—
σ	Résolution d'écriture des coordonnées fournies — le calcul d'incertitude s'appuie sur cette valeur	1	cm
n	Nombre de dimensions du contrôle — planimétrie seule Arrêté 16-09-2003 · art. 2	2	—
k	Coefficient de fiabilité associé à n = 2 Arrêté 16-09-2003 · art. 5	2,42	—

Hypothèses de calcul retenues

Géométrie : plan euclidien, axes orthogonaux, courbure terrestre négligée
Altimétrie : hors sujet — la distance recherchée est horizontale
Altération linéaire : négligeable à cette distance, non introduite
Convention : \( \text{arrivee} - \text{depart} \), soit B moins A

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Deux textes encadrent la matière. Le premier fixe le système dans lequel les coordonnées sont exprimées ; le second fixe la manière dont la précision d'un levé se qualifie et se contrôle.

Systèmes nationaux de référence — décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er

Zone	Système géodésique	Ellipsoïde associé	Projection
France métropolitaine	RGF93	IAG GRS 1980	Lambert-93 · coniques conformes 9 zones
Guyane	RGFG95	IAG GRS 1980	UTM Nord fuseau 22
Réunion	RGR92	IAG GRS 1980	UTM Sud fuseau 40

L'obligation de rattachement découle de l'article 89 de la loi n° 95-115 du 4 février 1995. L'article 6 du décret en fixe le seuil : les levers couvrant plus de 10 000 m², ou dont la plus grande longueur dépasse 500 m.

Classes de précision — arrêté du 16 septembre 2003

Paramètre	Signification	Valeur
n	Nombre de dimensions : 1 altimétrie, 2 planimétrie, 3 tridimensionnel	2
k	Coefficient de fiabilité, fonction de n	2,42
[xx]	Classe de précision visée, notée entre crochets avec son unité	[2] cm
C	Coefficient de sécurité, rapport de précision contrôle sur levé	≥ 2

Champ d'application. L'arrêté régit les travaux topographiques réalisés par l'État, les collectivités locales et leurs établissements publics, ou exécutés pour leur compte. Il ne s'impose pas à une opération privée entre particuliers. Ses classes de précision constituent néanmoins le cadre de référence commun de la profession pour qualifier un levé, et c'est à ce titre qu'elles sont mobilisées ici.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche est strictement séquentielle : les deux premières questions produisent les côtés du triangle, la troisième en tire l'hypoténuse, la quatrième vérifie l'ensemble et lui attribue sa précision. Aucune étape ne peut être sautée sans perdre la traçabilité de la note.

Les deux premières questions se ressemblent volontairement : c'est la même opération appliquée à deux axes indépendants. Cette répétition n'est pas une facilité — elle installe la convention de signe qui gouverne tout le calcul topographique, et c'est en la faisant deux fois qu'on cesse de se tromper de sens.

Question 1 : La variation en abscisse ΔX

Lecture de coordonnées 5 min | Accessible

But de l'étape : Mesurer le déplacement Est-Ouest entre les deux bornes. Cette valeur constituera l'un des deux côtés de l'angle droit du triangle sur lequel repose tout le calcul.

Énoncé : Calculer la variation en abscisse \( \Delta X = X_B - X_A \) entre la borne A et la borne B. Donner le résultat en mètres, avec son signe, et interpréter ce signe en termes de direction de déplacement.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La convention est « arrivée moins départ ». Comme on va de A vers B, c'est l'abscisse de B qui vient en premier dans la soustraction.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Estimez d'abord mentalement : 210 moins 150 donne 60. Le résultat exact doit être proche de cette valeur, et positif puisque B est plus à l'Est que A.

Question 2 : La variation en ordonnée ΔY

Lecture de coordonnées 5 min | Accessible

But de l'étape : Mesurer le déplacement Nord-Sud, second côté de l'angle droit. Le couple de signes obtenu avec la question précédente désignera le quadrant dans lequel se situe B par rapport à A.

Énoncé : Calculer la variation en ordonnée \( \Delta Y = Y_B - Y_A \). Donner le résultat en mètres avec son signe, puis identifier le quadrant à partir du couple de signes formé avec ΔX.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Rigoureusement la même opération que précédemment, appliquée à l'autre axe. Le sens de la soustraction doit être identique, sous peine d'obtenir une direction qui n'existe pas.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Attention à la soustraction décimale : 380,00 moins 300,50 n'est pas 80,50. Posez l'opération plutôt que de la faire de tête.

Question 3 : La distance horizontale entre les bornes

Géométrie du plan 10 min | Intermédiaire

But de l'étape : Obtenir la longueur de la limite, grandeur qui sera portée sur le plan et confrontée aux documents de propriété. C'est le résultat attendu par le client.

Énoncé : Déduire des deux variations la distance horizontale \( D \) séparant les bornes A et B. La chaîne de calcul devra faire apparaître la somme des carrés avant l'extraction de la racine, et l'unité de chaque étape sera contrôlée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux variations sont perpendiculaires : elles forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont la distance est l'hypoténuse.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Encadrez le résultat avant de calculer : l'hypoténuse est supérieure au plus grand côté et inférieure à la somme des deux, donc comprise entre 79,50 m et 140,00 m.

Question 4 (Finale) : Contrôle du résultat et précision légitime

Métrologie et incertitudes 20 min | BOSS

But de l'étape : Répondre à la question que la calculatrice ne pose jamais : combien de chiffres de ce résultat sont réels ? Une longueur sans incertitude annoncée n'est pas une donnée technique, c'est une opinion.

La subtilité de l'étape : les coordonnées sont fournies au centimètre, et la calculatrice rend la distance avec sept décimales. Il existe donc un rang à partir duquel les chiffres affichés ne sont plus portés par aucune mesure — et ce rang se calcule, il ne se devine pas.

Recalculer la distance par une voie indépendante, évaluer de combien elle varie si une coordonnée est fausse d'un centimètre, puis établir l'incertitude globale et en déduire l'arrondi à retenir pour la fiche de contrôle.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour le contrôle indépendant, développez les variations à l'intérieur de la racine : vous obtenez une expression qui ne dépend que des quatre coordonnées d'origine, sans passer par les questions 1 et 2.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la sensibilité, la dérivée de la distance par rapport à une abscisse vaut le rapport ΔX sur D. Ce rapport et son homologue en ordonnée sont les cosinus directeurs de la direction : la somme de leurs carrés vaut exactement 1, et cette propriété simplifie entièrement le calcul final.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Calcul de distance en topographie

Question 1 : La variation en abscisse ΔX

Dans la tête de l'ingénieur

« Une soustraction. C'est tout ce que demande cette question, et c'est exactement pour cela qu'elle mérite d'être traitée avec soin : les erreurs qui coûtent cher ne sont presque jamais des erreurs difficiles. Ce que je pose ici, ce n'est pas un calcul, c'est une convention — celle qui décidera, trois questions plus loin, si ma direction pointe vers B ou vers son exact opposé. »

Observation : l'abscisse de B dépasse celle de A d'une soixantaine de mètres. Le résultat sera donc positif, et je le sais avant de calculer.
Analyse du risque : l'inversion de l'ordre. Elle donne un module juste et un signe faux, ce qui la rend invisible tant qu'on ne s'en sert pas — puis catastrophique dès qu'on calcule une direction.
Choix stratégique : j'écris la convention avant les nombres : arrivée moins départ. La formule posée en toutes lettres protège mieux qu'un calcul mental rapide.
Alternative : on peut travailler en valeurs absolues et rétablir les signes à la fin, au vu du croquis. C'est une pratique répandue et une mauvaise habitude : elle marche tant qu'on ne quitte pas le premier quadrant.
Objectif visé : un nombre signé, exprimé en mètres, dont le signe soit lui-même une information utilisable et non un accident de calcul.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

ΔX = +60,500 m — déplacement vers l'Est

Rappel Théorique : la variation de coordonnée et son signe

Une coordonnée décrit une position ; une variation de coordonnée décrit un déplacement. Le passage de l'une à l'autre est le premier geste de tout calcul topographique, et il introduit une information que les positions seules ne portent pas : le sens. C'est ce sens, matérialisé par un signe, qui distingue une direction de son opposée.

L'orientation des axes : en topographie française, l'axe des X pointe vers l'Est et l'axe des Y vers le Nord. Cette convention géographique donne un sens physique immédiat au signe de chaque variation.
La règle de soustraction : la variation vaut toujours l'arrivée moins le départ. Elle n'est donc pas attachée à un couple de points, mais à un couple orienté : la variation de A vers B et celle de B vers A sont opposées.
La lecture du signe : un ΔX positif place l'arrivée à l'Est du départ, un ΔX négatif à l'Ouest. Le signe n'est pas un artefact de calcul : c'est la moitié de l'information produite.
Le cas particulier du zéro : un ΔX nul signale deux points situés sur la même verticale du quadrillage, l'un rigoureusement au Nord ou au Sud de l'autre. La configuration est parfaitement licite, et se rencontre notamment sur les limites parcellaires tracées à l'équerre.
L'exactitude de l'opération : la soustraction est exacte. Elle n'introduit aucune approximation : toute l'incertitude du résultat provient des coordonnées d'entrée, et cette propriété sera exploitée à la dernière question.

Équations Fondamentales

Deux relations, une par sens de parcours. Les écrire toutes les deux n'est pas une redondance : c'est ce qui rend visible la propriété d'antisymétrie sur laquelle repose la convention de signe.

Variation en abscisse de A vers B :

C'est la relation de travail, celle qui produit le résultat demandé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle traduit littéralement la question posée : de combien se décale-t-on vers l'Est en allant de la borne A à la borne B ? La différence de deux abscisses est le déplacement le long de cet axe, sans intermédiaire.

Contexte de validité : les deux abscisses doivent provenir du même système de projection. Mélanger deux systèmes rendrait la différence dépourvue de sens géométrique.
Avantage : elle est exacte et sans coefficient. Aucune source d'erreur n'y est propre, hormis l'ordre des termes.
Paramètre clé : l'ordre de la soustraction, seul degré de liberté et seule source d'erreur possible.
Vérification : confronter le signe obtenu au croquis. Si B est visiblement à l'Est de A, un résultat négatif dénonce une inversion.
Limite : elle ne décrit qu'un axe. Prise isolément, elle ne dit rien de la position réelle de B, qui peut se trouver n'importe où sur une droite verticale.

\[ \begin{aligned} \Delta X = X_B - X_A \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la largeur du rectangle qu'on tracerait autour du segment A—B. C'est l'ombre que porterait la limite parcellaire sur l'axe Est-Ouest, si l'on éclairait la scène depuis le Nord.

Décomposition des termes :

\( \Delta X \) : variation en abscisse de la direction A vers B, unité : m
\( X_B \) : abscisse de la borne d'arrivée, unité : m
\( X_A \) : abscisse de la borne de départ, unité : m

Variation en abscisse de B vers A :

C'est la relation réciproque, qui servira de contrôle du sens.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle rend explicite ce qui est trop souvent laissé implicite : une variation de coordonnée appartient à un sens de parcours. Parcourir la limite dans l'autre sens change le signe, et rien d'autre.

Contexte de validité : mêmes conditions que la relation directe — même système, mêmes unités.
Avantage : elle fournit un contrôle immédiat : les deux variations doivent être opposées, et leur somme rigoureusement nulle.
Paramètre clé : le signe moins, qui est ici toute l'information : les modules sont identiques.
Vérification : ajouter les deux variations. Toute somme non nulle signale une erreur d'arithmétique dans l'une des deux.
Limite : elle contrôle le sens, pas la valeur. Une même erreur commise sur les deux calculs passerait inaperçue.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{BA} = X_A - X_B = -\Delta X \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'aller de B vers A, c'est revenir sur ses pas. La distance parcourue sur l'axe Est-Ouest est la même ; seule la direction du parcours s'inverse, et c'est le signe qui en rend compte.

Décomposition des termes :

\( \Delta X_{BA} \) : variation en abscisse de la direction B vers A, unité : m
\( \Delta X \) : variation en abscisse de la direction A vers B, unité : m
Le signe moins : marque de l'antisymétrie, grandeur sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le signe, on le remettra à la fin en regardant le dessin. Pour l'instant je note 60,50 et j'avance. »

L'approche d'ingénieur : Le signe n'est pas une décoration ajoutée après coup : c'est la moitié du résultat. Le rétablir « en regardant le dessin » fonctionne tant que la configuration est simple, et échoue précisément dans les cas où l'on en aurait le plus besoin.

L'erreur : calculer \( X_A - X_B \), soit −60,500 m, en croyant obtenir la variation de A vers B. La valeur absolue est juste, la direction est retournée.
La bonne méthode : nommer la direction avant de calculer. « Variation de A vers B » impose que B, point d'arrivée, occupe le premier rang dans la soustraction.
L'astuce de pro : écrire la formule littérale au-dessus de l'application numérique, systématiquement. Le geste prend trois secondes et supprime la classe d'erreur entière.
Le moyen mnémotechnique : « où j'arrive moins d'où je pars » — l'ordre des mots de la phrase est l'ordre des termes de la formule.
L'impact direct : sur ce seul exercice, aucun : la distance efface les signes par élévation au carré. Sur un calcul de direction, l'erreur envoie l'équipe implanter le point du côté opposé de la borne.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( X_A \) et \( X_B \) : exprimées en mètres , aucune conversion nécessaire
Différence de deux longueurs : le résultat reste en mètres
Résolution des données : le centimètre , soit deux décimales
Précision d'écriture retenue : le millimètre , pour ne pas propager d'arrondi

Une soustraction décimale, et son contrôle par le sens inverse. La seule vigilance porte sur la retenue : les deux abscisses ont des parties décimales différentes, et l'opération se pose plutôt qu'elle ne se fait de tête.

1. Résolution Numérique Variation en abscisse de A vers B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le premier côté de l'angle droit du triangle, celui qui sera élevé au carré à la question 3 et dont dépendra la moitié du carré de la distance.

Méthodologie du calcul :

On substitue les deux abscisses dans la relation, l'arrivée en premier, et on conserve le signe dans l'écriture du résultat même lorsqu'il est positif.

Substitution : \( X_B = 210{,}75 \) m au premier terme, \( X_A = 150{,}25 \) m au second.
Piège évité : l'ordre suit la direction demandée, non l'ordre alphabétique des noms de bornes.
Hypothèse validée : les deux abscisses proviennent du même levé, dans le même système de projection.
Vérification croisée : l'estimation mentale 210 moins 150 annonce une soixantaine de mètres ; le résultat doit en être proche.
Finalité : fournir le premier terme de la somme des carrés.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_B - X_A \\ &= 210{,}75 - 150{,}25 \\ &= \mathbf{+60{,}500} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le résultat est positif et voisin de l'estimation mentale. La borne B se trouve donc 60,500 m à l'Est de la borne A, ce que confirme la lecture du plan de situation.

Ordre de grandeur : 60,500 m, valeur typique d'un côté de parcelle urbaine ou périurbaine.
Impact sur la suite : cette valeur sera élevée au carré. Une erreur d'un centimètre ici se traduira par un écart d'environ six millimètres sur la distance finale.
Cohérence : les deux abscisses étant données au centimètre, leur différence l'est aussi. Le chiffre des millimètres affiché vaut zéro par construction.
Attention : le signe « + » est écrit. Sur une fiche de calcul, un signe sous-entendu est un signe perdu dès la première recopie.
Comparaison : cette variation est plus petite que celle attendue en ordonnée : la limite parcellaire penche davantage vers le Nord que vers l'Est.

Remarque pédagogique : Écrire le résultat au millimètre alors que les données s'arrêtent au centimètre n'ajoute aucune précision : c'est une convention d'écriture destinée à empêcher les arrondis successifs de s'accumuler. La question 4 dira jusqu'où cette écriture reste défendable.

Contrôle par la variation réciproque

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier que la convention de sens a bien été appliquée. Si les deux variations ne sont pas exactement opposées, c'est que l'une des deux soustractions est fausse.

Méthodologie du calcul :

On refait la soustraction dans l'ordre inverse, puis on additionne les deux résultats : la somme doit être rigoureusement nulle.

Substitution : \( X_A = 150{,}25 \) m au premier terme cette fois, \( X_B = 210{,}75 \) m au second.
Piège évité : il ne s'agit pas de « corriger » le premier calcul mais d'en produire un second, distinct, dont la cohérence avec le premier fait la preuve.
Hypothèse validée : l'antisymétrie est une propriété exacte de la soustraction, sans tolérance d'arrondi.
Vérification croisée : la somme des deux variations doit valoir zéro au dernier chiffre affiché.
Finalité : valider la convention de sens avant de la réutiliser sur l'axe des ordonnées.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{BA} &= X_A - X_B \\ &= 150{,}25 - 210{,}75 \\ &= \mathbf{-60{,}500} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux variations sont exactement opposées : leur somme vaut zéro. La convention de sens est donc correctement appliquée, et pourra être reconduite telle quelle sur l'axe des ordonnées.

Ordre de grandeur : module identique au calcul direct, seul le signe diffère — c'est exactement ce qu'annonçait la relation d'antisymétrie.
Impact sur la suite : aucun sur la distance, qui efface les signes. Décisif en revanche pour tout calcul de direction fondé sur ces variations.
Cohérence : le signe négatif place A à l'Ouest de B, ce qui est la lecture symétrique de la conclusion précédente.
Attention : ce contrôle valide le sens, pas la valeur. Une erreur de saisie identique sur les deux calculs y échapperait.
Comparaison : sur un cheminement fermé, cette même propriété fait que la somme de toutes les variations en abscisse doit valoir zéro — c'est le principe de la fermeture planimétrique.

Remarque pédagogique : Ce contrôle paraît excessif sur une soustraction. Il devient indispensable dès qu'on enchaîne vingt côtés de cheminement, où l'antisymétrie de chaque tronçon est la seule chose qui permette de fermer le polygone.

PROJECTION SUR L'AXE DES ABSCISSES

RÉSULTAT FINAL

ΔX = +60,500 m

Signe positif : la borne B se situe à l'Est de la borne A. Le contrôle réciproque restitue exactement l'opposé.

Question 2 : La variation en ordonnée ΔY

Dans la tête de l'ingénieur

« La même opération sur l'autre axe — et un piège arithmétique que je connais bien. Les deux ordonnées n'ont pas la même partie décimale : 380,00 moins 300,50 n'est pas une soustraction que l'on fait de tête sans se tromper. C'est le genre de faute qui ne se voit pas, parce que le résultat faux reste plausible. Je pose l'opération. »

Observation : l'ordonnée de B dépasse celle de A d'environ quatre-vingts mètres. Le résultat sera positif, donc B est au Nord de A.
Analyse du risque : la retenue décimale. Traiter séparément les entiers et les décimales donne 80,50 au lieu de 79,50 — un mètre d'erreur, sur une limite de propriété.
Choix stratégique : je vérifie par recomposition : l'ordonnée de départ augmentée de la variation doit redonner exactement celle d'arrivée. C'est un contrôle qui ne coûte rien et qui attrape la retenue.
Alternative : passer les deux ordonnées en centimètres pour travailler en entiers. C'est robuste, mais cela ajoute deux conversions — donc deux occasions de se tromper.
Objectif visé : le second côté du triangle, et le couple de signes qui désigne le quadrant où se trouve B.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

ΔY = +79,500 m — déplacement vers le Nord · couple (+ ; +), quadrant Nord-Est

Rappel Théorique : le couple de variations et le quadrant

Prises isolément, les deux variations ne disent presque rien : chacune décrit un déplacement le long d'un axe et laisse la position réelle indéterminée sur l'autre. C'est leur réunion en couple qui produit l'information géométrique complète — et c'est ce couple, et non les valeurs séparées, qui constitue le véritable résultat des deux premières questions.

Le vecteur de déplacement : le couple ordonné \( (\Delta X\,;\,\Delta Y) \) est un vecteur. Il porte simultanément une longueur — qu'on extraira à la question 3 — et une direction, qui se lit dans le rapport de ses deux composantes.
La lecture du quadrant : le couple de signes suffit à situer l'arrivée. (+ ; +) désigne le Nord-Est, (+ ; −) le Sud-Est, (− ; −) le Sud-Ouest, (− ; +) le Nord-Ouest.
Pourquoi le quadrant compte : il ne sert à rien pour la distance, qui efface les signes. Il devient indispensable dès qu'on cherche une direction, car l'arc tangente ne sait pas distinguer un quadrant de son opposé.
La comparaison des modules : si \( |\Delta Y| > |\Delta X| \), le déplacement est davantage septentrional qu'oriental, et la direction penche vers le Nord. Le rapport des deux composantes est déjà, à lui seul, une esquisse d'orientation.
La symétrie des deux axes : aucun des deux axes n'est privilégié dans le calcul de distance — ils y entrent par leurs carrés, de façon rigoureusement interchangeable. La dissymétrie n'apparaît que dans les calculs d'orientation, où l'axe des ordonnées sert de référence.

Équations Fondamentales

Deux relations : celle qui produit la variation en ordonnée, puis celle qui assemble les deux variations en un objet unique, le vecteur de déplacement, sur lequel portera la question suivante.

Variation en ordonnée de A vers B :

Elle mesure le déplacement Nord-Sud entre les deux bornes.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la convention appliquée à l'abscisse doit l'être à l'identique sur l'ordonnée. Changer de règle d'un axe à l'autre produirait un vecteur qui ne correspond à aucun déplacement réel.

Contexte de validité : les deux ordonnées doivent appartenir au même système, et l'axe des Y être confondu avec le Nord du quadrillage.
Avantage : elle est exacte, comme sa jumelle sur l'axe des abscisses, et n'introduit aucune approximation.
Paramètre clé : la partie décimale des deux ordonnées, qui diffère ici et impose de poser l'opération.
Vérification : ajouter la variation à l'ordonnée de départ doit restituer exactement celle d'arrivée.
Limite : comme sa jumelle, elle ne décrit qu'un axe et laisse la position indéterminée sur l'autre.

\[ \begin{aligned} \Delta Y = Y_B - Y_A \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la hauteur du rectangle englobant le segment A—B. C'est l'ombre que porterait la limite parcellaire sur l'axe Nord-Sud si l'on éclairait la scène depuis l'Est.

Décomposition des termes :

\( \Delta Y \) : variation en ordonnée de la direction A vers B, unité : m
\( Y_B \) : ordonnée de la borne d'arrivée, unité : m
\( Y_A \) : ordonnée de la borne de départ, unité : m

Vecteur de déplacement de A vers B :

Elle réunit les deux variations en un objet géométrique unique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la question 3 ne travaillera pas sur deux nombres indépendants mais sur un couple solidaire. Écrire le vecteur, c'est acter que les deux variations décrivent ensemble un déplacement unique et non deux déplacements successifs.

Contexte de validité : les deux composantes doivent être issues du même sens de parcours. Mélanger A vers B sur un axe et B vers A sur l'autre produirait un vecteur fictif.
Avantage : l'écriture vectorielle rend immédiate la lecture du quadrant et prépare directement l'application du théorème de Pythagore.
Paramètre clé : l'ordre des composantes : l'abscisse toujours en premier, l'ordonnée en second, comme pour les coordonnées elles-mêmes.
Vérification : ajouter le vecteur aux coordonnées de A doit restituer exactement celles de B, sur les deux axes simultanément.
Limite : le vecteur décrit un déplacement, pas une position. Deux segments parallèles et de même longueur, situés en des endroits différents de la parcelle, ont le même vecteur.

\[ \begin{aligned} \vec{AB} = (\Delta X\,;\,\Delta Y) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'un déplacement quelconque dans le plan se ramène toujours à deux déplacements perpendiculaires. Aller de A à B en ligne droite, ou faire d'abord tout le chemin vers l'Est puis tout le chemin vers le Nord, mène au même endroit — mais pas par le même trajet, et c'est cette différence que la question 3 va chiffrer.

Décomposition des termes :

\( \vec{AB} \) : vecteur de déplacement de la borne A vers la borne B
\( \Delta X \) : composante sur l'axe des abscisses, unité : m
\( \Delta Y \) : composante sur l'axe des ordonnées, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

« 380 moins 300 font 80, et pour les décimales 0 moins 50… je note 80,50. »

L'approche d'ingénieur : Une soustraction décimale ne se décompose pas en « entiers d'un côté, décimales de l'autre ». Il faut emprunter une unité à la partie entière, exactement comme dans une soustraction posée à la main.

L'erreur : obtenir 80,50 m au lieu de 79,50 m. L'écart d'un mètre est parfaitement plausible à l'échelle d'une parcelle : rien dans le résultat ne signale l'anomalie.
La bonne méthode : poser l'opération, ou raisonner par étapes : de 300,50 à 380,00, il y a d'abord 0,50 pour atteindre 301,00, puis 79,00 — soit 79,50 au total.
L'astuce de pro : vérifier par recomposition. L'ordonnée de départ plus la variation doit redonner celle d'arrivée : 300,50 + 79,50 = 380,00. L'erreur de retenue tombe immédiatement.
Le moyen mnémotechnique : « je remonte par paliers » — d'abord jusqu'au nombre rond, ensuite le reste. La méthode est celle du rendu de monnaie, et elle ne trompe jamais.
L'impact direct : un mètre d'erreur sur une variation, c'est environ quatre-vingts centimètres d'erreur sur la longueur de la limite — cent fois la tolérance attendue sur un travail de bornage.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Y_A \) et \( Y_B \) : exprimées en mètres , aucune conversion nécessaire
Différence de deux longueurs : le résultat reste en mètres
Parties décimales différentes : la soustraction se pose, elle ne se fait pas de tête
Précision d'écriture retenue : le millimètre , comme pour l'abscisse

Une soustraction, puis son contrôle par recomposition. C'est ce second calcul qui fait le travail : il transforme une opération que l'on peut rater silencieusement en une opération vérifiée.

1. Résolution Numérique Variation en ordonnée de A vers B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le second côté de l'angle droit du triangle. Avec le premier, il constituera le vecteur de déplacement dont la question 3 extraira la longueur.

Méthodologie du calcul :

On applique la même convention que sur l'abscisse, en posant l'opération pour maîtriser la retenue décimale.

Substitution : \( Y_B = 380{,}00 \) m au premier terme, \( Y_A = 300{,}50 \) m au second.
Piège évité : la retenue : il faut emprunter une unité à la partie entière pour retrancher les cinquante centimètres.
Hypothèse validée : l'axe des ordonnées est confondu avec le Nord du quadrillage, propriété du système de projection.
Vérification croisée : l'estimation mentale annonce environ quatre-vingts mètres ; un résultat très éloigné signalerait une erreur de saisie.
Finalité : fournir le second terme de la somme des carrés.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= Y_B - Y_A \\ &= 380{,}00 - 300{,}50 \\ &= \mathbf{+79{,}500} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le résultat vaut 79,500 m et non 80,50 m : la retenue a bien été prise en compte. Le signe positif place la borne B au Nord de la borne A, et le couple (+ ; +) désigne le quadrant Nord-Est.

Ordre de grandeur : 79,500 m, cohérent avec l'estimation mentale de quatre-vingts mètres.
Impact sur la suite : cette composante est la plus grande des deux ; elle pèsera donc davantage dans la somme des carrés et gouvernera l'ordre de grandeur de la distance.
Cohérence : \( |\Delta Y| > |\Delta X| \) : la limite parcellaire penche davantage vers le Nord que vers l'Est, ce que confirme le plan de situation.
Attention : la distance sera nécessairement supérieure à 79,500 m, puisque l'hypoténuse dépasse toujours le plus grand des deux côtés.
Comparaison : le rapport des deux composantes vaut environ 0,76, ce qui annonce une direction plus proche du Nord-Nord-Est que de la diagonale exacte du quadrant.

Remarque pédagogique : Le couple de signes est un résultat à part entière, à consigner au même titre que les valeurs. Sur cet exercice il ne sert pas — la distance efface les signes — mais l'omettre installe une habitude qui coûtera cher au premier calcul d'orientation.

Contrôle par recomposition de l'ordonnée d'arrivée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour prendre la retenue en défaut si elle a été mal traitée. Ajouter la variation à l'ordonnée de départ doit restituer exactement celle d'arrivée : c'est une égalité sans tolérance.

Méthodologie du calcul :

On effectue l'opération inverse — une addition — et on compare le résultat à la donnée d'énoncé. Toute divergence, même d'un centimètre, dénonce une erreur.

Substitution : \( Y_A = 300{,}50 \) m augmentée de la variation \( \Delta Y = 79{,}500 \) m.
Piège évité : utiliser une addition, opération de nature différente de celle que l'on contrôle. Refaire la même soustraction ne prouverait rien.
Hypothèse validée : la relation est exacte : aucun arrondi n'intervient entre les deux opérations.
Vérification croisée : la valeur attendue est 380,00 m, ordonnée de la borne B telle que fournie par l'énoncé.
Finalité : valider la variation avant de l'engager dans le calcul de distance.

\[ \begin{aligned} Y_A + \Delta Y &= 300{,}50 + 79{,}500 \\ &= \mathbf{380{,}000} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La recomposition restitue exactement l'ordonnée de la borne B. La retenue a été correctement traitée, et la variation peut être engagée dans la suite du calcul sans réserve.

Ordre de grandeur : concordance au centimètre près, c'est-à-dire à la résolution même des données.
Impact sur la suite : les deux composantes du vecteur sont désormais validées ; la question 3 peut s'appuyer dessus sans contrôle supplémentaire.
Cohérence : l'erreur classique de retenue aurait donné 380,50 m au lieu de 380,00 m — un écart de cinquante centimètres, immédiatement visible.
Attention : ce contrôle ne vaut que si l'on repart de la donnée d'énoncé. Recomposer à partir d'une valeur déjà recopiée ne testerait que la recopie.
Comparaison : c'est le même principe qui, sur un cheminement, permet de retrouver les coordonnées d'arrivée en cumulant toutes les variations depuis le point de départ.

Remarque pédagogique : Un contrôle n'a de valeur que s'il emprunte une opération différente de celle qu'il vérifie. Recommencer la même soustraction ne teste que l'attention ; l'addition inverse, elle, teste le résultat.

LE VECTEUR DE DÉPLACEMENT ET SON QUADRANT

RÉSULTAT FINAL

ΔY = +79,500 m

Couple de signes (+ ; +) : la borne B se situe dans le quadrant Nord-Est de la borne A, avec une dominance de la composante septentrionale.

Question 3 : La distance horizontale entre les bornes

Dans la tête de l'ingénieur

« Pythagore, appliqué à deux nombres que j'ai déjà vérifiés. Avant de toucher la calculatrice, je pose un encadrement : l'hypoténuse dépasse forcément le plus grand des deux côtés et reste en deçà de leur somme, donc entre 79,50 et 140,00 mètres. Tout résultat hors de cette fourchette est faux, et je le saurai avant même de lire l'affichage. »

Observation : les deux composantes sont du même ordre de grandeur. La distance sera donc sensiblement plus grande que la plus grande d'entre elles, sans s'approcher de leur somme.
Analyse du risque : l'oubli de la racine. L'erreur ne se détecte pas par la grandeur du nombre — elle se détecte par son unité : une somme de carrés s'exprime en mètres carrés, pas en mètres.
Choix stratégique : je sépare nettement les deux temps du calcul — d'abord l'aire, ensuite la longueur — pour pouvoir contrôler l'homogénéité dimensionnelle à chaque ligne.
Alternative : saisir toute l'expression d'un trait sur la calculatrice. C'est plus rapide et cela supprime le point de contrôle intermédiaire : je m'en priverai.
Objectif visé : la longueur de la limite parcellaire, affichée avec toutes ses décimales — la question de l'arrondi étant délibérément renvoyée à l'étape suivante.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

D = 99,9024524 m — arrondi à justifier en question 4

Rappel Théorique : la distance dans un plan de projection

La distance horizontale est la longueur du segment joignant deux points, mesurée dans le plan de projection. Elle ne se confond ni avec la longueur parcourue sur le terrain, ni avec la mesure brute d'un instrument : c'est la grandeur portée sur le plan, celle qui sert de référence aux documents fonciers et aux calculs de surface.

La distance suivant la pente : c'est celle que mesure un distancemètre entre l'instrument et le réflecteur. Elle est toujours supérieure ou égale à la distance horizontale, et l'on passe de l'une à l'autre par l'angle zénithal.
La distance horizontale : c'est la précédente une fois projetée sur un plan horizontal. C'est elle qui se déduit des coordonnées, et c'est elle qu'on recherche ici.
L'altération linéaire : aucune projection ne conserve les longueurs. En Lambert-93, l'écart entre la longueur au sol et la longueur projetée atteint quelques dizaines de centimètres par kilomètre. Sur une centaine de mètres, il reste inférieur au millimètre et n'est pas introduit.
Une grandeur scalaire : la distance est toujours positive. Les signes des variations disparaissent à l'élévation au carré, et cette perte est légitime : l'information de direction ne relève pas de la longueur.
L'encadrement du triangle : l'hypoténuse est supérieure à chacun des côtés de l'angle droit et inférieure à leur somme. Ce double encadrement, immédiat à poser, écarte toute erreur grossière avant même le calcul.

Équations Fondamentales

Une relation qui produit le résultat, une inégalité qui le borne. La seconde n'est pas un ornement : c'est le seul contrôle disponible avant le calcul, et le seul qui ne coûte rien.

Distance horizontale par le théorème de Pythagore :

Elle extrait la longueur du vecteur à partir de ses deux composantes.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux variations sont, par construction, perpendiculaires : elles se mesurent sur deux axes orthogonaux. Elles forment donc les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont la distance cherchée est l'hypoténuse.

Contexte de validité : elle exige un plan euclidien et des axes orthogonaux. Les deux conditions sont satisfaites par construction dans un système de projection.
Avantage : elle est symétrique en ses deux arguments : intervertir les axes ne change pas le résultat, ce qui supprime toute une classe d'erreurs.
Paramètre clé : la plus grande des deux composantes, qui gouverne l'ordre de grandeur du résultat et fixe la borne inférieure de l'encadrement.
Vérification : contrôler l'unité à chaque ligne. La somme des carrés est une aire, la racine ramène à une longueur.
Limite : elle donne une longueur et rien d'autre. La direction de la limite parcellaire, elle, s'est perdue au moment de l'élévation au carré.

\[ \begin{aligned} D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle chiffre l'économie du raccourci. Longer la parcelle en deux temps — 60,500 m vers l'Est, puis 79,500 m vers le Nord — représente 140,000 m de marche. Couper en diagonale n'en demande qu'une centaine. La racine carrée est exactement ce qui mesure ce gain.

Décomposition des termes :

\( D \) : distance horizontale entre les deux bornes, unité : m
\( \Delta X \) : variation en abscisse, premier côté de l'angle droit, unité : m
\( \Delta Y \) : variation en ordonnée, second côté de l'angle droit, unité : m

Encadrement géométrique de l'hypoténuse :

Elle borne le résultat avant tout calcul numérique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet de juger le résultat avant de l'obtenir. La borne basse traduit qu'un côté ne peut excéder l'hypoténuse ; la borne haute traduit l'inégalité triangulaire, selon laquelle le chemin direct ne dépasse jamais le détour.

Contexte de validité : valable pour tout triangle rectangle, quelles que soient les valeurs des côtés, y compris nulles.
Avantage : elle se pose de tête, en quelques secondes, et détecte instantanément une erreur de saisie ou de touche.
Paramètre clé : l'écart entre les deux bornes. Plus les composantes sont proches l'une de l'autre, plus l'encadrement est large et moins il est discriminant.
Vérification : les deux cas d'égalité sont eux-mêmes instructifs : la borne basse est atteinte quand un côté est nul, la borne haute ne l'est jamais dans un triangle non dégénéré.
Limite : c'est un contrôle grossier. Il écarte les erreurs d'ordre de grandeur, jamais une erreur de quelques centimètres.

\[ \begin{aligned} \max(|\Delta X|, |\Delta Y|) \le D \le |\Delta X| + |\Delta Y| \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit deux choses de bon sens. D'abord qu'une diagonale est plus longue qu'un côté. Ensuite qu'elle reste plus courte que le tour par l'angle — c'est l'inégalité triangulaire, la formulation mathématique du fait qu'on ne raccourcit jamais en faisant un détour.

Décomposition des termes :

\( \max(|\Delta X|, |\Delta Y|) \) : borne inférieure, le plus grand des deux côtés, unité : m
\( D \) : distance recherchée, unité : m
\( |\Delta X| + |\Delta Y| \) : borne supérieure, longueur du trajet en deux temps, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

« J'ai trouvé 9 980,50. C'est manifestement trop grand pour une distance entre deux bornes, donc j'ai dû me tromper quelque part. »

L'approche d'ingénieur : Le diagnostic est bon, le raisonnement est faux — et c'est le raisonnement qu'il faut corriger. Ce qui disqualifie 9 980,50 n'est pas sa grandeur mais sa dimension : c'est une aire, exprimée en mètres carrés. Le critère « c'est trop grand » échoue dès que les coordonnées changent d'échelle.

L'erreur : s'arrêter à la somme des carrés en croyant tenir une longueur. Avec des composantes de 0,60 m et 0,80 m, la somme des carrés vaudrait 1,00 — un nombre parfaitement plausible pour une distance, et pourtant tout aussi faux.
La bonne méthode : suivre l'unité à chaque ligne. Des mètres élevés au carré donnent des mètres carrés ; seule la racine ramène aux mètres. L'homogénéité dimensionnelle est un contrôle qui ne dépend d'aucune échelle.
L'astuce de pro : écrire l'unité à droite de chaque résultat intermédiaire, y compris pour les grandeurs qui n'apparaîtront jamais dans le rapport final.
Le moyen mnémotechnique : « des carrés font une surface, la racine fait une longueur » — la phrase contient à la fois l'opération et le contrôle.
L'impact direct : sur une fiche de contrôle de limite, une longueur exprimée dans la mauvaise dimension rend le document inexploitable — et, s'il n'est pas relu, indéfendable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( \Delta X \) et \( \Delta Y \) : en mètres , issues des questions 1 et 2
Élévation au carré : passage en mètres carrés
Somme de deux aires : reste en mètres carrés
Extraction de la racine : retour en mètres
Encadrement attendu : entre 79,500 m et 140,000 m

Deux temps nettement séparés : la somme des carrés, qui produit une aire, puis l'extraction de la racine, qui ramène à une longueur. Cette séparation est ce qui rend le contrôle dimensionnel possible ligne à ligne.

1. Résolution Numérique Somme des carrés des deux variations

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le théorème de Pythagore porte sur les carrés des longueurs. Cette étape produit une grandeur intermédiaire homogène à une aire, qui n'a pas de sens physique direct mais que la racine va convertir en longueur.

Méthodologie du calcul :

On élève chaque variation au carré séparément, puis on additionne les deux aires obtenues. Les signes disparaissent, ce qui confirme que la distance ne dépend pas du sens de parcours.

Substitution : \( \Delta X = 60{,}500 \) m et \( \Delta Y = 79{,}500 \) m, valeurs validées aux questions précédentes.
Piège évité : ne pas confondre \( \Delta X^2 + \Delta Y^2 \) avec \( (\Delta X + \Delta Y)^2 \). Le double produit n'existe pas : les deux côtés sont perpendiculaires.
Hypothèse validée : les axes du système sont orthogonaux, condition d'application du théorème.
Vérification croisée : la somme doit être comprise entre le carré du plus grand côté, 6 320,25 m², et le carré de la somme des côtés, 19 600,00 m².
Finalité : obtenir la quantité à placer sous le radical.

\[ \begin{aligned} \Delta X^2 + \Delta Y^2 &= (60{,}500)^2 + (79{,}500)^2 \\ &= 3\,660{,}25 + 6\,320{,}25 \\ &= \mathbf{9\,980{,}50} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La somme vaut 9 980,50 mètres carrés. Elle tombe dans l'encadrement annoncé, et sa proximité avec 10 000 laisse déjà prévoir une distance légèrement inférieure à 100 m.

Ordre de grandeur : la valeur se situe bien entre 6 320,25 m² et 19 600,00 m², bornes du contrôle.
Impact sur la suite : c'est la quantité sous le radical. Une erreur relative commise ici sera divisée par deux par la racine — la racine atténue, elle n'amplifie pas.
Cohérence : le terme en ΔY pèse davantage que celui en ΔX, ce qui reflète la dominance de la composante Nord constatée à la question 2.
Attention : l'unité est le mètre carré. C'est ce contrôle, et non un argument de grandeur, qui interdit de s'arrêter à ce résultat.
Comparaison : l'écart à 10 000 m² vaut 19,50 m², soit près de deux millièmes de la somme — d'où un écart final proche de dix centimètres sur la distance.

Remarque pédagogique : Afficher la somme des carrés n'est pas une étape superflue. C'est le dernier point où un ordre de grandeur aberrant reste détectable à l'œil : une aire fausse saute aux yeux, une longueur fausse beaucoup moins.

Extraction de la racine carrée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour convertir l'aire intermédiaire en la longueur recherchée, seule forme exploitable sur un plan, sur le terrain ou dans un document foncier.

Méthodologie du calcul :

On extrait la racine carrée de la somme et on conserve, à ce stade, toutes les décimales rendues par la machine. La question de l'arrondi sera traitée séparément.

Substitution : racine carrée de 9 980,50 m².
Piège évité : ne pas arrondir maintenant. L'arrondi est une décision distincte, qui doit être justifiée et non subie.
Hypothèse validée : la distance recherchée est horizontale ; aucune donnée altimétrique n'entre dans le calcul.
Vérification croisée : le résultat doit tomber entre 79,500 m et 140,000 m, encadrement posé avant le calcul.
Finalité : disposer de la longueur brute, que la question 4 contrôlera puis qualifiera.

\[ \begin{aligned} D &= \sqrt{9\,980{,}50} \\ &= \mathbf{99{,}9024524} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La distance vaut 99,9024524 m. Elle respecte l'encadrement, dépasse nettement la plus grande composante et reste très en deçà de leur somme. La longueur de la limite parcellaire avoisine donc la centaine de mètres.

Ordre de grandeur : 99,90 m se place au tiers inférieur de l'intervalle 79,500 m — 140,000 m, ce qui correspond bien à deux composantes de tailles voisines.
Impact sur la suite : les sept décimales affichées seront confrontées à la précision des données à la question suivante. Elles ne survivront pas toutes.
Cohérence : la distance est supérieure à 79,500 m et inférieure à 140,000 m : les deux inégalités du triangle sont satisfaites.
Attention : l'unité est de nouveau le mètre. Le passage aire vers longueur est effectué, l'homogénéité est rétablie.
Comparaison : le trajet direct économise 40,098 m sur le trajet en deux temps, soit près de trente pour cent du parcours par l'angle.

Remarque pédagogique : Ce résultat n'est pas encore publiable. Il est juste, mais il affiche sept décimales issues de données qui n'en portent que deux. Le transformer en donnée technique est précisément l'objet de la dernière question.

LE TRIANGLE RÉSOLU

RÉSULTAT FINAL

D = 99,9024524 m

Valeur brute du calcul, encadrement de contrôle satisfait. Le nombre de décimales à retenir reste à établir.

Question 4 : Contrôle du résultat et précision légitime

Dans la tête de l'ingénieur

« J'ai un nombre. Il me reste à répondre à deux questions que la calculatrice ne pose jamais. La première : est-il juste ? — et pour y répondre je vais refaire le calcul par un chemin qui ne réutilise rien de ce que j'ai déjà écrit. La seconde : combien de ses chiffres sont réels ? — et là, il faut calculer. Mes coordonnées s'arrêtent au centimètre ; annoncer sept décimales, ce serait prétendre à une précision que le levé ne me donne pas. »

Observation : les quatre coordonnées sont écrites avec deux décimales. La distance en affiche sept. L'écart entre ces deux nombres de décimales est l'objet même de cette question.
Analyse du risque : la précision fictive. Publier 99,9024524 m sur une fiche de contrôle, c'est affirmer que la limite est connue au dixième de micron. Une affirmation de ce genre ne se défend pas.
Choix stratégique : je passe par la propagation des incertitudes. Elle transforme une intuition — « ça ne peut pas être si précis » — en un nombre qui figure dans la note et que l'on peut opposer.
Alternative : appliquer la règle des chiffres significatifs, qui donnerait ici quatre chiffres. La règle est commode mais aveugle à la géométrie ; la propagation, elle, rend un résultat démontré.
Objectif visé : une longueur contrôlée, assortie de son incertitude, et un arrondi qui découle du calcul plutôt que de l'habitude.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ(D) = 1,414 cm · D = 99,90 m au centimètre

Rappel Théorique : contrôle indépendant et propagation des incertitudes

Un résultat de calcul n'est une donnée technique qu'à deux conditions : avoir été vérifié par une voie qui ne dépend pas de celle qui l'a produit, et être accompagné de l'ordre de grandeur de son erreur. Sans la première, on ne sait pas s'il est juste ; sans la seconde, on ne sait pas ce qu'il vaut.

Le contrôle indépendant : refaire le calcul en court-circuitant les étapes intermédiaires. Ici, développer les variations à l'intérieur de la racine donne une expression qui ne dépend que des quatre coordonnées d'origine, et qui teste donc aussi les questions 1 et 2.
La sensibilité : elle mesure de combien le résultat bouge quand une donnée bouge d'une unité. Mathématiquement, c'est la dérivée partielle de la grandeur calculée par rapport à la donnée considérée.
Les cosinus directeurs : les rapports \( \Delta X / D \) et \( \Delta Y / D \) ne sont pas des quantités quelconques : ce sont les cosinus directeurs de la direction A—B, et la somme de leurs carrés vaut exactement 1. Cette identité simplifiera entièrement le calcul final.
La composition quadratique : des erreurs indépendantes ne s'additionnent pas, elles se composent en somme quadratique. Quatre erreurs d'un centimètre ne produisent pas quatre centimètres d'erreur, mais bien moins.
La règle d'écriture : on n'affiche jamais un résultat plus précis que son incertitude. Une longueur entachée d'une incertitude centimétrique s'écrit au centimètre, quels que soient les chiffres proposés par la machine.

Équations Fondamentales

Trois relations : celle qui contrôle, celle qui mesure la sensibilité à une donnée, et celle qui compose les quatre sensibilités en une incertitude unique.

Distance à partir des coordonnées brutes :

Elle constitue la voie de contrôle, indépendante des questions 1 et 2.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un contrôle qui réutilise les résultats du calcul contrôlé ne prouve rien. En développant les variations sous le radical, on obtient une expression alimentée par les seules données d'énoncé.

Contexte de validité : identique à la forme condensée — c'est la même relation, écrite sans étape intermédiaire.
Avantage : elle valide simultanément les trois questions précédentes : si le résultat concorde, ni les variations ni la somme des carrés ne peuvent être fausses.
Paramètre clé : le parenthésage. Chaque soustraction doit être achevée avant l'élévation au carré.
Vérification : la concordance doit être exacte, jusqu'au dernier chiffre affiché. Un écart, même infime, signale une faute et non un arrondi.
Limite : saisie d'un seul trait, elle expose à une erreur de parenthèses dont le résultat reste plausible, donc difficile à repérer.

\[ \begin{aligned} D = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit exactement la même chose que la forme condensée, mais sans mémoire du chemin parcouru. C'est cette absence de mémoire qui en fait un contrôle : elle ne peut pas hériter d'une erreur commise en route.

Décomposition des termes :

\( X_A \), \( Y_A \) : coordonnées de la borne A, telles que fournies par l'énoncé, unité : m
\( X_B \), \( Y_B \) : coordonnées de la borne B, telles que fournies par l'énoncé, unité : m
\( D \) : distance horizontale, grandeur toujours positive, unité : m

Sensibilité de la distance à une coordonnée :

Elle chiffre l'effet d'une erreur portant sur une seule donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que toutes les coordonnées ne pèsent pas également. Une erreur sur la coordonnée alignée avec la direction se répercute intégralement sur la distance ; une erreur perpendiculaire à cette direction n'a presque aucun effet.

Contexte de validité : valable pour de petites erreurs devant la distance elle-même — condition très largement satisfaite avec des centimètres sur une centaine de mètres.
Avantage : le résultat est un cosinus directeur, donc un nombre compris entre −1 et 1 : l'effet d'une erreur ne dépasse jamais l'erreur elle-même.
Paramètre clé : l'orientation de la direction A—B. C'est elle, et non la longueur, qui répartit l'influence entre les deux axes.
Vérification : les deux sensibilités doivent vérifier \( (\Delta X/D)^2 + (\Delta Y/D)^2 = 1 \), identité qui découle directement du théorème de Pythagore.
Limite : elle traite les coordonnées une à une. Combiner leurs effets demande la relation suivante.

\[ \begin{aligned} \frac{\partial D}{\partial X_B} = \frac{\Delta X}{D} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que déplacer la borne le long de la limite allonge la limite d'autant, tandis que la déplacer en travers ne l'allonge presque pas. Le rapport ΔX sur D mesure précisément la part du déplacement qui se retrouve dans l'allongement.

Décomposition des termes :

\( \partial D / \partial X_B \) : variation de la distance pour une variation unitaire de l'abscisse de B, grandeur sans dimension
\( \Delta X \) : variation en abscisse de la direction A vers B, unité : m
\( D \) : distance horizontale entre les bornes, unité : m

Incertitude composée sur la distance :

Elle rassemble les quatre sensibilités en un seul nombre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les erreurs sur les quatre coordonnées sont indépendantes : elles ne se cumulent pas arithmétiquement, mais se composent en somme quadratique. La formule pondère chaque erreur par la sensibilité qui lui correspond.

Contexte de validité : elle suppose les erreurs indépendantes et de même ordre de grandeur sur les quatre coordonnées.
Avantage : elle se simplifie entièrement grâce à l'identité des cosinus directeurs, et livre un résultat d'une simplicité inattendue.
Paramètre clé : le facteur 2 devant le crochet, qui traduit le fait que deux points sont en cause, et non un seul.
Vérification : le résultat doit être indépendant de la géométrie : la même incertitude vaut pour une limite orientée dans n'importe quelle direction.
Limite : si les deux bornes ont été levées depuis une même station, leurs erreurs sont corrélées et la composition quadratique surestime l'incertitude.

\[ \begin{aligned} \sigma_D = \sigma \sqrt{2\left[\left(\frac{\Delta X}{D}\right)^2 + \left(\frac{\Delta Y}{D}\right)^2\right]} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'une distance est moins bien connue que les points qui la définissent, parce qu'elle hérite de l'incertitude des deux extrémités. Et elle annonce, par la structure du crochet, que le résultat ne dépendra pas de l'orientation de la limite.

Décomposition des termes :

\( \sigma_D \) : incertitude sur la distance calculée, unité : cm
\( \sigma \) : incertitude affectant chaque coordonnée, supposée identique sur les quatre, unité : cm
\( \Delta X / D \), \( \Delta Y / D \) : cosinus directeurs de la direction A—B, grandeurs sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La calculatrice affiche 99,9024524 : je recopie tout, comme ça je ne perds rien. »

L'approche d'ingénieur : On ne perd rien, mais on affirme beaucoup. Chaque décimale écrite est une prétention à la précision. Sept décimales sur une longueur déduite de coordonnées centimétriques revient à annoncer la limite au dixième de micron.

L'erreur : confondre la précision de calcul — celle de la machine — et la précision de mesure — celle du levé. La première n'ajoute jamais rien à la seconde.
La bonne méthode : calculer l'incertitude, puis arrondir au rang qu'elle désigne. Ici \( \sigma_D = 1{,}414 \) cm impose le centimètre, donc deux décimales.
L'astuce de pro : garder toutes les décimales en machine pour les calculs enchaînés, n'arrondir qu'au moment de l'écriture. Les deux exigences ne sont pas contradictoires.
Le moyen mnémotechnique : « l'incertitude commande l'arrondi » — jamais l'inverse, et jamais l'habitude.
L'impact direct : sur une fiche de contrôle de limite, une précision surévaluée est une affirmation indéfendable. Si la limite est contestée, c'est le premier point sur lequel le document sera attaqué.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coordonnées : en mètres , la distance de contrôle le sera aussi
Sensibilités : rapport de deux longueurs, donc sans dimension
Incertitude σ : exprimée en centimètres , l'incertitude composée le sera également
Conversion finale : du centimètre vers le mètre pour l'écriture du résultat

Trois calculs enchaînés : le contrôle indépendant, l'effet d'une erreur isolée, puis la composition des quatre erreurs. Le troisième s'appuie sur une identité remarquable qui simplifie l'expression jusqu'à la rendre indépendante de la géométrie.

1. Résolution Numérique Contrôle indépendant par les coordonnées brutes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier les trois questions précédentes d'un seul coup, en repartant des seules données d'énoncé et sans réutiliser la moindre valeur intermédiaire.

Méthodologie du calcul :

On substitue les quatre coordonnées dans la forme développée, en achevant chaque soustraction avant l'élévation au carré, puis on compare au résultat de la question 3.

Substitution : les quatre valeurs d'énoncé, 150,25 · 300,50 · 210,75 · 380,00 m.
Piège évité : ne pas reprendre les variations déjà calculées, sans quoi le contrôle ne testerait que la racine.
Hypothèse validée : les deux formes sont algébriquement identiques ; toute divergence provient donc d'une erreur numérique.
Vérification croisée : la valeur attendue est 99,9024524 m, résultat de la question 3.
Finalité : clore la partie arithmétique avant d'aborder la question de la précision.

\[ \begin{aligned} D &= \sqrt{(210{,}75 - 150{,}25)^2 + (380{,}00 - 300{,}50)^2} \\ &= \sqrt{(60{,}500)^2 + (79{,}500)^2} \\ &= \sqrt{9\,980{,}50} \\ &= \mathbf{99{,}9024524} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La concordance est exacte, jusqu'au dernier chiffre affiché. Les quatre questions forment un ensemble cohérent, et la partie arithmétique de la note peut être considérée comme close.

Ordre de grandeur : identique au calcul principal, comme l'exige une identité algébrique.
Impact sur la suite : la valeur étant validée, la question de la précision peut être abordée sans réserve sur la justesse.
Cohérence : les variations reconstituées dans la ligne intermédiaire coïncident avec celles des questions 1 et 2, qui se trouvent ainsi validées elles aussi.
Attention : la concordance doit être parfaite. Contrairement à un contrôle de mesure, aucune tolérance n'est admise entre deux écritures d'une même formule.
Comparaison : ce contrôle est celui qu'exécute automatiquement un logiciel de terrain, qui repart toujours des coordonnées stockées et jamais des affichages intermédiaires.

Remarque pédagogique : Ce contrôle ne détecte pas une erreur dans les données elles-mêmes. Si une coordonnée a été mal relevée sur le terrain, les deux voies concorderont sur une valeur également fausse. Vérifier le calcul et vérifier la donnée sont deux opérations distinctes.

Sensibilité de la distance à l'abscisse de la borne B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'effet, sur la longueur de la limite, d'une erreur d'un centimètre portant sur la seule abscisse de la borne B.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport de la variation en abscisse sur la distance. Le résultat est le premier cosinus directeur de la direction A—B.

Substitution : \( \Delta X = 60{,}500 \) m au numérateur, \( D = 99{,}9024524 \) m au dénominateur.
Piège évité : employer la distance non arrondie, faute de quoi l'identité de contrôle ne tomberait pas juste.
Hypothèse validée : un centimètre est très petit devant une centaine de mètres : l'approximation par la dérivée est pleinement justifiée.
Vérification croisée : le résultat doit être compris entre 0 et 1, puisque \( |\Delta X| \le D \).
Finalité : obtenir le poids affecté aux deux abscisses dans la composition finale.

\[ \begin{aligned} \frac{\partial D}{\partial X_B} &= \frac{\Delta X}{D} \\ &= \frac{60{,}500}{99{,}9024524} \\ &= \mathbf{0{,}605591} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une erreur d'un centimètre sur l'abscisse de la borne B ne déplace la distance que de 0,61 cm. L'effet est atténué, parce que l'axe des abscisses n'est pas aligné avec la direction de la limite.

Ordre de grandeur : la valeur est bien comprise entre 0 et 1, comme l'exige la définition d'un cosinus directeur.
Impact sur la suite : ce poids s'appliquera à \( X_A \) comme à \( X_B \), les deux abscisses jouant un rôle symétrique.
Cohérence : la valeur est inférieure à celle attendue en ordonnée, ce qui traduit la dominance de la composante Nord dans cette direction.
Attention : ce poids vaut pour cette direction seulement. Une limite orientée plein Est donnerait 1 en abscisse et 0 en ordonnée.
Comparaison : c'est exactement le sinus du gisement de la direction, quantité que produit tout calcul d'orientation.

Remarque pédagogique : Une sensibilité inférieure à 1 signifie qu'une erreur de mesure est partiellement absorbée par la géométrie. Ce n'est pas toujours le cas : sur un calcul d'intersection à angle rasant, les sensibilités dépassent largement l'unité et amplifient les erreurs.

Sensibilité de la distance à l'ordonnée de la borne B

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le second poids, et vérifier l'identité qui lie les deux cosinus directeurs — identité qui simplifiera entièrement le calcul suivant.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport de la variation en ordonnée sur la distance, puis on contrôle que la somme des carrés des deux cosinus directeurs vaut bien l'unité.

Substitution : \( \Delta Y = 79{,}500 \) m au numérateur, \( D = 99{,}9024524 \) m au dénominateur.
Piège évité : conserver six décimales : l'identité de contrôle porte sur des carrés, et les arrondis y sont amplifiés.
Hypothèse validée : la même distance non arrondie sert de dénominateur aux deux rapports.
Vérification croisée : la somme \( (0{,}605591)^2 + (0{,}795776)^2 \) doit valoir exactement 1.
Finalité : disposer des deux poids et de l'identité qui les relie.

\[ \begin{aligned} \frac{\partial D}{\partial Y_B} &= \frac{\Delta Y}{D} \\ &= \frac{79{,}500}{99{,}9024524} \\ &= \mathbf{0{,}795776} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une erreur d'un centimètre sur l'ordonnée de B déplace la distance de 0,80 cm : davantage que la même erreur en abscisse. La somme des carrés des deux poids vaut 1,000000, comme l'exige le théorème de Pythagore appliqué aux cosinus directeurs.

Ordre de grandeur : 0,80 contre 0,61 : l'ordonnée pèse environ un tiers de plus que l'abscisse.
Impact sur la suite : l'identité vérifiée permet de simplifier entièrement l'expression de l'incertitude composée.
Cohérence : la coordonnée la plus influente est celle de l'axe vers lequel la limite penche le plus — ici le Nord.
Attention : aucun des deux poids ne dépasse 1, mais leur somme vaut 1,40 : c'est bien la somme des carrés, non la somme simple, qui vaut l'unité.
Comparaison : c'est exactement le cosinus du gisement de la direction, complément du poids calculé en abscisse.

Remarque pédagogique : L'identité \( (\Delta X/D)^2 + (\Delta Y/D)^2 = 1 \) n'est pas une curiosité : c'est le théorème de Pythagore lui-même, divisé par le carré de la distance. C'est elle qui va rendre le résultat final indépendant de l'orientation de la limite.

Incertitude composée et arrondi du résultat

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour convertir la précision des données en précision du résultat, et en déduire le rang auquel la distance doit être écrite sur la fiche de contrôle.

Méthodologie du calcul :

On compose quadratiquement les quatre contributions, on exploite l'identité des cosinus directeurs pour simplifier, puis on arrondit la distance au rang que l'incertitude désigne.

Substitution : \( \sigma = 1 \) cm sur chacune des quatre coordonnées, sensibilités calculées ci-dessus.
Piège évité : ne pas additionner les erreurs arithmétiquement. Quatre centimètres serait une surestimation grossière.
Hypothèse validée : les quatre erreurs sont supposées indépendantes et de même ampleur.
Vérification croisée : le crochet doit se réduire à 2, donc l'incertitude à \( \sigma\sqrt{2} \), quelle que soit l'orientation de la limite.
Finalité : fixer l'arrondi de la longueur portée sur la fiche de contrôle.

\[ \begin{aligned} \sigma_D &= \sigma \sqrt{2\left[(0{,}605591)^2 + (0{,}795776)^2\right]} \\ &= \sigma \sqrt{2 \times 1{,}000000} \\ &= 1 \times \sqrt{2} \\ &= \mathbf{1{,}414} \text{ cm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'incertitude vaut 1,414 cm, soit exactement \( \sigma\sqrt{2} \). Le résultat est remarquable : il ne dépend ni de la longueur de la limite, ni de son orientation. Une distance calculée entre deux points connus au centimètre est toujours connue à 1,4 cm près.

Ordre de grandeur : 1,4 cm, soit quatorze fois le millimètre que l'affichage brut proposait. Le chiffre des millimètres n'est donc pas significatif.
Impact sur la suite : l'arrondi s'impose au centimètre : la distance s'écrit 99,90 m, et pas autrement.
Cohérence : le facteur \( \sqrt{2} \) traduit la mise en jeu de deux points. Une distance à un point fixe parfaitement connu n'aurait qu'une incertitude de 1 cm.
Attention : si les deux bornes ont été levées depuis la même station, leurs erreurs sont partiellement corrélées et l'incertitude réelle est plus faible que cette borne.
Comparaison : rapportée à une classe de précision [2] cm, cette incertitude reste sous le seuil : la longueur est cohérente avec un levé de qualité courante.

Remarque pédagogique : Retenez ce résultat, il resservira constamment : l'incertitude sur une distance vaut celle des points multipliée par la racine de deux. Il ne dépend d'aucune configuration particulière et se retrouve en trois lignes chaque fois qu'on en a besoin.

RÉSULTAT FINAL

D = 99,90 m ± 1,4 cm

Contrôle indépendant satisfait. L'arrondi au centimètre découle du calcul d'incertitude, non d'une convention d'usage.

SCHÉMA BILAN — LA LIMITE A—B COTÉE ET QUALIFIÉE

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que la démarche est acquise dans son ensemble, et pas seulement le résultat numérique :

J'ai calculé mes variations en arrivée moins départ, et j'ai conservé leur signe jusque dans l'écriture du résultat. J'ai posé la soustraction décimale au lieu de la faire de tête, et je l'ai vérifiée par recomposition. J'ai encadré la distance avant de la calculer, entre le plus grand côté et la somme des deux côtés. J'ai suivi l'unité à chaque ligne, et je sais dire pourquoi la somme des carrés ne peut pas être une longueur. J'ai contrôlé le résultat par une voie indépendante, qui ne réutilise aucune valeur intermédiaire. J'ai démontré mon arrondi par un calcul d'incertitude, au lieu de l'adopter par habitude.

La limite parcellaire est caractérisée. Les deux variations de coordonnées valent ΔX = +60,500 m et ΔY = +79,500 m, plaçant la borne B au Nord-Est de la borne A avec une dominance de la composante septentrionale. La somme des carrés s'établit à 9 980,50 m², et la distance horizontale qui en découle à 99,9024524 m en valeur brute. Le contrôle indépendant, mené directement sur les quatre coordonnées, restitue cette valeur au dernier chiffre. L'incertitude composée valant 1,414 cm, la longueur portée sur la fiche de contrôle est 99,90 m.

L'essentiel de cette étude ne tient pas dans l'application du théorème de Pythagore, qu'une calculatrice exécute sans erreur. Il tient dans le passage de 99,9024524 à 99,90 — et surtout dans le fait que ce passage soit démontré. La propagation des incertitudes livre ici un résultat d'une portée générale : l'incertitude sur une distance vaut celle des points multipliée par racine de deux, indépendamment de la longueur de la limite et de son orientation. Deux points connus au centimètre définissent donc toujours une distance connue à 1,4 cm près, jamais mieux.

Cette exigence n'est pas une élégance de rédaction. En matière foncière, une longueur est un engagement : elle sera reportée sur un document, opposée à un voisin, éventuellement discutée devant un tiers. Annoncer une précision que le levé ne garantit pas fragilise le document tout entier, alors qu'une incertitude déclarée le rend, elle, parfaitement défendable. C'est aussi le raisonnement qui structure les classes de précision de l'arrêté du 16 septembre 2003 : un levé n'est jamais qualifié par son résultat seul, mais par le couple résultat-tolérance.

Calcul de distance en topographie

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Contexte de l'Étude & Enjeux

COORDONNÉES DES DEUX BORNES

CADRE DE RÉFÉRENCE ET PRÉCISION DES DONNÉES

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : La variation en abscisse ΔX

Question 2 : La variation en ordonnée ΔY

Question 3 : La distance horizontale entre les bornes

Question 4 (Finale) : Contrôle du résultat et précision légitime

Calcul de distance en topographie

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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