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Choix du profilé optimal pour un tirant

Génie Civil : Choix du Profilé Optimal pour un Tirant en Traction Axiale

Choix du profilé optimal pour un tirant soumis à une traction axiale

Contexte : Le Travail le Plus Simple de l'Acier

Un tirantÉlément de structure conçu pour travailler uniquement en traction, c'est-à-dire pour résister à des forces qui tendent à l'allonger. est un élément structurel qui ne travaille qu'en traction. C'est le mode de sollicitation le plus simple et le plus efficace pour l'acier. On les trouve dans les treillis de charpente, les contreventements, ou comme suspentes pour les ponts. Le dimensionnement d'un tirant est fondamental : il consiste à s'assurer que sa section est suffisante pour résister à l'effort de traction sans atteindre la limite d'élasticitéContrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. Au-delà de cette limite, le matériau se déforme de manière irréversible. de l'acier. Cet exercice a pour but de déterminer l'aire de section minimale requise et de choisir le profilé commercial le plus léger qui satisfait à cette condition.

Remarque Pédagogique : Contrairement à la compression où le risque de flambement complique les calculs, la traction est un cas simple. L'effort se répartit uniformément sur toute la section. L'objectif est donc purement économique : trouver le profilé qui a juste l'aire nécessaire, sans gaspiller de matière, car "qui peut le plus peut le mieux" coûte cher en acier !

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'effort de traction de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)).
  • Déterminer la résistance de calcul de l'acier en traction (\(f_y / \gamma_{M0}\)).
  • Calculer l'aire de section brute minimale requise pour un tirant.
  • Savoir utiliser un catalogue de profilés pour choisir le plus léger qui satisfait le critère de résistance.
  • Comprendre la notion d'optimisation en construction métallique.

Données de l'étude

On doit dimensionner un tirant dans une ferme de toiture. Cet élément est soumis à un effort de traction caractéristique permanent \(N_{G,k} = 150 \, \text{kN}\) et à un effort de traction caractéristique variable (neige) \(N_{Q,k} = 220 \, \text{kN}\). Le tirant sera réalisé en acier de nuance S275.

Schéma du tirant et de l'effort de traction
N_Ed N_Ed

Données réglementaires et matérielles (Eurocode 3) :

  • Combinaison d'actions à l'ELU : \(1.35 N_{G,k} + 1.5 N_{Q,k}\)
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance : \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • Pour un acier S275 : limite d'élasticité \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort de traction de calcul à l'ELU (\(N_{Ed}\)).
  2. Calculer la résistance de calcul en traction de l'acier (\(f_y / \gamma_{M0}\)).
  3. Déterminer l'aire de section brute minimale requise (\(A_{req}\)) pour le tirant.
  4. À l'aide du tableau ci-dessous, choisir le profilé (cornière à ailes égales) le plus léger qui convient.
ProfiléAire (cm²)Masse (kg/m)
L 80x80x812.39.63
L 90x90x813.910.9
L 90x90x915.512.2
L 100x100x815.512.2
L 100x100x1019.215.0

Correction : Choix du profilé optimal pour un tirant

Question 1 : Effort de Traction de Calcul (\(N_{Ed}\))

Principe :
NGk NQk + NEd (ELU) 1.35NGk + 1.5NQk

On détermine l'effort de traction de calcul à l'État Limite Ultime (ELU) en appliquant la combinaison d'actions réglementaire. On majore les efforts caractéristiques (permanent \(N_{G,k}\) et variable \(N_{Q,k}\)) par leurs coefficients de sécurité respectifs (\(\gamma_G\) et \(\gamma_Q\)) pour obtenir l'effort maximal que le tirant devra supporter.

Remarque Pédagogique :

La sécurité avant tout : Cette étape de pondération des charges est la première et la plus importante pour garantir la sécurité. Elle assure que la structure est dimensionnée non pas pour les charges "moyennes" ou "probables", mais pour une situation défavorable qui a une très faible probabilité de se produire durant la vie de l'ouvrage.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{Ed} = 1.35 \times N_{G,k} + 1.5 \times N_{Q,k} \]
Donnée(s) :
  • Effort permanent \(N_{G,k} = 150 \, \text{kN}\)
  • Effort variable \(N_{Q,k} = 220 \, \text{kN}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} N_{Ed} &= (1.35 \times 150 \, \text{kN}) + (1.5 \times 220 \, \text{kN}) \\ &= 202.5 \, \text{kN} + 330 \, \text{kN} \\ &= 532.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : Il est primordial de travailler avec des unités cohérentes. Ici, les calculs sont faits en kilonewtons (kN). Il faudra penser à convertir cet effort en Newtons (N) pour les calculs de résistance impliquant des Mégapascals (MPa).

Le saviez-vous ?

Les câbles des ponts suspendus sont des exemples extrêmes de tirants. Le câble principal du pont du Golden Gate à San Francisco a un diamètre de 92 cm et est composé de plus de 27 000 fils d'acier individuels, chacun travaillant en traction pour supporter le poids du tablier.

FAQ en rapport avec la question :
Et s'il y avait une charge de vent qui soulève la toiture ?

Si le vent crée un effort de soulèvement, il peut réduire l'effort de traction dans certains tirants, voire les comprimer. Il faudrait alors étudier une autre combinaison de charges, par exemple \(1.35G_k + 1.5W_k\) (où \(W_k\) serait l'effort de vent), et vérifier le tirant pour le cas le plus défavorable (traction maximale ou compression maximale).

Résultat : L'effort de traction de calcul est \(N_{Ed} = 532.5 \, \text{kN}\).

Question 2 : Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_y / \gamma_{M0}\))

Principe :
Acier S275 fy = 275 MPa Résistance fiable (γM0=1.0)

La résistance de calcul d'un matériau est sa résistance caractéristique (ici, la limite d'élasticité \(f_y\)) divisée par un coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_{M0}\)). Ce coefficient tient compte des incertitudes sur les propriétés du matériau. Pour la résistance des sections en acier, \(\gamma_{M0}\) vaut 1.0, ce qui signifie que l'on considère la limite d'élasticité comme une valeur fiable.

Remarque Pédagogique :

La confiance dans l'acier : Le fait que \(\gamma_{M0} = 1.0\) témoigne de la grande fiabilité et de l'homogénéité de l'acier en tant que matériau de construction. Sa production industrielle très contrôlée garantit des propriétés mécaniques constantes, contrairement à des matériaux plus naturels comme le bois ou le béton.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Résistance de calcul} = \frac{f_y}{\gamma_{M0}} \]
Donnée(s) :
  • Limite d'élasticité de l'acier S275 : \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité : \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul(s) :
\[ \frac{f_y}{\gamma_{M0}} = \frac{275 \, \text{MPa}}{1.0} = 275 \, \text{MPa} \]
Points de vigilance :

Vérifier la nuance d'acier : Une erreur sur la nuance (ex: utiliser un S235 au lieu d'un S275) entraîne une erreur directe sur la résistance et peut rendre le dimensionnement non sécuritaire. Toujours se référer aux certificats matière.

Le saviez-vous ?

La limite d'élasticité \(f_y\) est une valeur minimale garantie. En réalité, la résistance de l'acier produit est souvent légèrement supérieure. Cependant, les calculs de sécurité doivent toujours se baser sur la valeur nominale garantie par la norme.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi \(\gamma_{M0}\) est de 1.0 pour l'acier ?

Car l'acier est un matériau industriel produit dans des conditions très contrôlées, ce qui garantit des propriétés mécaniques très fiables et peu de variabilité. Pour des matériaux comme le bois ou le béton, la variabilité naturelle ou de mise en œuvre est plus grande, ce qui justifie un \(\gamma_M > 1.0\).

Résultat : La résistance de calcul de l'acier est de \(275 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Aire de Section Brute Minimale Requise (\(A_{req}\))

Principe :
N_Ed = A x (fy/γM0) A_req = N_Ed / (fy/γM0)

La résistance d'un tirant (\(N_{pl,Rd}\)) est égale à son aire (\(A\)) multipliée par la résistance de calcul de l'acier. Pour être sûr, l'effort appliqué (\(N_{Ed}\)) doit être inférieur ou égal à cette résistance. En inversant la formule, on peut calculer l'aire minimale requise (\(A_{req}\)) pour supporter l'effort \(N_{Ed}\).

Remarque Pédagogique :

La formule la plus simple du génie civil : La relation \(\sigma = N/A\) (contrainte = effort / aire) est la base de la résistance des matériaux. Pour le dimensionnement en traction, on l'utilise sous la forme \(A \ge N / f\), où \(f\) est la résistance admissible. C'est un calcul direct qui donne une cible claire pour le choix du profilé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{Ed} \le \frac{A \times f_y}{\gamma_{M0}} \quad \Rightarrow \quad A_{req} \ge \frac{N_{Ed} \times \gamma_{M0}}{f_y} \]
Donnée(s) :
  • Effort de traction de calcul \(N_{Ed} = 532.5 \, \text{kN} = 532,500 \, \text{N}\)
  • Résistance de calcul de l'acier = \(275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} A_{req} &\ge \frac{532,500 \, \text{N}}{275 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 1936.4 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

On convertit cette aire en cm² pour la comparer au catalogue :

\[ A_{req} \ge 19.36 \, \text{cm}^2 \]
Points de vigilance :

La conversion des unités : L'erreur la plus fréquente ici est le mélange d'unités. L'effort doit être en Newtons (N) et la résistance en N/mm² (MPa) pour obtenir une aire en mm². Il faut ensuite convertir cette aire en cm² pour la comparer aux catalogues de profilés.

Le saviez-vous ?

Pour un élément en traction pure (sans risque d'instabilité), seule l'aire de la section compte, pas sa forme. Un rond plein, un carré, ou une cornière de même aire auront la même résistance en traction sur leur section brute. Le choix de la forme dépendra alors de la facilité de connexion et de la disponibilité.

FAQ en rapport avec la question :
Que faire si aucun profilé ne convient ?

L'ingénieur doit alors envisager d'autres solutions : utiliser une nuance d'acier supérieure (ex: S355) pour réduire l'aire requise, ou utiliser un profilé "reconstitué soudé" (PRS) fabriqué sur mesure, ou encore utiliser deux profilés jumelés (ex: 2 cornières dos à dos).

Résultat : L'aire de section minimale requise est \(A_{req} \ge 19.36 \, \text{cm}^2\).

Question 4 : Choix du Profilé Optimal

Principe :
Masse Aire Le plus léger qui convient

L'objectif est de choisir dans le catalogue le profilé qui satisfait la condition (\(A \ge A_{req}\)) tout en étant le plus léger possible. Le poids étant directement lié à l'aire de la section, cela revient à choisir le profilé qui a l'aire la plus petite, mais tout de même supérieure à l'aire requise.

Remarque Pédagogique :

L'art de l'optimisation : Un bon ingénieur ne choisit pas un profilé "au hasard" qui serait très surdimensionné. Il cherche le profilé "juste suffisant". Sur un grand projet avec des centaines de tirants, choisir systématiquement le profilé optimal peut représenter des économies de plusieurs tonnes d'acier, avec un impact financier et environnemental significatif.

Formule(s) utilisée(s) :

Comparaison directe des valeurs du tableau avec le besoin calculé.

Donnée(s) :
  • Aire requise \(A_{req} \ge 19.36 \, \text{cm}^2\)
  • Tableau des profilés L (cornières à ailes égales)
Calcul(s) :

On examine le tableau pour trouver le premier profilé dont l'aire est supérieure à 19.36 cm². On les parcourt par masse croissante :

\[ \begin{aligned} \text{L 80x80x8 : } & 12.3 \, \text{cm}^2 < 19.36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{Insuffisant} \\ \text{L 90x90x8 : } & 13.9 \, \text{cm}^2 < 19.36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{Insuffisant} \\ \text{L 90x90x9 : } & 15.5 \, \text{cm}^2 < 19.36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{Insuffisant} \\ \text{L 100x100x8 : } & 15.5 \, \text{cm}^2 < 19.36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{Insuffisant} \\ \text{L 100x100x10 : } & 19.2 \, \text{cm}^2 < 19.36 \, \text{cm}^2 \Rightarrow \text{Insuffisant} \end{aligned} \]

Aucun des profilés proposés dans la liste restreinte ne convient. Si l'on devait continuer, il faudrait consulter un catalogue plus complet pour trouver un profilé avec une aire supérieure à 19.36 cm², par exemple un L 100x100x12 (\(A = 22.8 \, \text{cm}^2\)) ou un L 120x120x10 (\(A = 23.2 \, \text{cm}^2\)). Le L 100x100x12 serait le plus léger des deux.

Points de vigilance :

Section brute vs Section nette : Ce calcul est basé sur la section brute du profilé. Au niveau des assemblages (boulons, soudures), la section peut être réduite par les trous de perçage. L'Eurocode 3 exige une vérification supplémentaire de la "section nette" à l'attache pour s'assurer qu'il n'y a pas de rupture à cet endroit affaibli. Cette vérification est souvent dimensionnante.

Le saviez-vous ?

Les profilés en acier sont généralement vendus au poids. L'optimisation du dimensionnement, en choisissant le profilé le plus léger qui satisfait à toutes les conditions, a donc un impact direct et immédiat sur le coût de la structure. C'est un aspect fondamental du métier d'ingénieur en charpente métallique.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le L 100x100x8 et le L 90x90x9 ont-ils la même masse ?

Leurs aires sont très proches (15.5 cm²). Les légères différences sont absorbées par les arrondis de fabrication et de calcul, conduisant à la même masse commerciale. Dans ce cas, on peut choisir l'un ou l'autre, souvent en fonction de la disponibilité ou de la géométrie des assemblages.

Résultat : Parmi les profilés proposés, aucun ne convient. Le profilé le plus proche mais insuffisant est le L 100x100x10. Il faudrait choisir un profilé plus grand.

Simulation Interactive : Choix du Tirant

Faites varier les paramètres de charge et la nuance d'acier pour voir comment ils influencent l'aire requise et le choix du profilé optimal.

Paramètres de Conception
Résultats du Dimensionnement
Aire de section requise (\(A_{req}\)) :
Profilé L optimal (le plus léger) :

Pour Aller Plus Loin : Rupture de la Section Nette

La vérification de la résistance à la traction doit aussi être menée sur la "section nette" au droit des fixations (trous de boulons). La résistance ultime de l'acier (\(f_u\)) est utilisée pour cette vérification. La formule est \(N_{u,Rd} = 0.9 \times A_{net} \times f_u / \gamma_{M2}\). Souvent, pour les assemblages boulonnés, c'est cette vérification qui est la plus critique et qui dimensionne le tirant, car les trous réduisent significativement la section résistante.

Le Saviez-Vous ?

L'acier est l'un des matériaux les plus recyclés au monde. Environ 85% de l'acier utilisé en construction est collecté en fin de vie et recyclé pour produire de nouveaux aciers, sans perte de qualité. Une poutre métallique d'aujourd'hui pourrait contenir des atomes d'une locomotive à vapeur du 19ème siècle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser une cornière (profilé en L) pour un tirant ?

Les cornières sont économiques et très faciles à connecter (boulonner ou souder) sur les goussets d'assemblage d'une ferme. Cependant, si l'effort est appliqué sur une seule aile, cela crée une excentricité et donc de la flexion, ce qui complique le dimensionnement. Pour les très gros efforts, on préfère des profilés en H ou des tubes ronds ou carrés où l'effort est mieux centré.

Le poids propre du tirant est-il important ?

Pour un tirant court et peu incliné, son poids propre est généralement négligeable par rapport à l'effort de traction qu'il subit. Pour un tirant très long et quasi horizontal (comme un câble), son poids propre n'est plus négligeable car il crée une "flèche" (une courbure) et donc des efforts de flexion qui s'ajoutent à la traction.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'effort de traction sur un tirant double, l'aire de section requise :

2. Quel phénomène n'est généralement PAS à vérifier pour un élément soumis à de la traction pure ?

Glossaire

Tirant
Élément de structure conçu pour travailler uniquement en traction, c'est-à-dire pour résister à des forces qui tendent à l'allonger.
Limite d'élasticité (\(f_y\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. Au-delà de cette limite, le matériau se déforme de manière irréversible.
Classe de section
Classification (de 1 à 4) d'une section en acier qui définit sa capacité à développer sa pleine résistance plastique sans être limitée par des phénomènes d'instabilité locale (voilement).
Section brute (A)
Aire totale de la section transversale d'un profilé, sans déduction des trous pour les fixations.
Choix du profilé optimal pour un tirant soumis à une traction axiale

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