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Choix du profilé optimal pour un tirant

Choix d’un Tirant en Structure Métallique

Choix du profilé optimal pour un tirant

Contexte : Les éléments tendus dans les structures.

Dans de nombreuses structures, comme les fermes de toiture, les contreventements ou les ponts suspendus, certains éléments ne travaillent qu'en traction : ce sont les tirantsÉlément de structure conçu pour résister uniquement à un effort de traction axiale. Il est souvent élancé car il n'est pas soumis au risque de flambement.. Leur rôle est crucial pour la stabilité de l'ensemble. Contrairement aux poutres qui subissent de la flexion, le dimensionnement d'un tirant est régi par sa capacité à résister à un effort d'arrachement. Cet exercice se concentre sur la sélection du profilé en acier le plus économique pour reprendre un effort de traction donné, en respectant les critères de sécurité de l'Eurocode 3.

Remarque Pédagogique : Cet exercice aborde l'un des cas de dimensionnement les plus fondamentaux en résistance des matériaux. Nous allons calculer l'effort de traction de calcul (ELU) à partir de charges permanentes et de neige, puis déterminer la section d'acier minimale requise. Enfin, nous choisirons un profilé commercial (une cornière) et vérifierons que son allongement en service (ELS) reste dans des limites acceptables.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer un effort normal de traction de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) à l'ELU.
  • Déterminer la section d'acier brute requise (\(A_{\text{req}}\)) pour un tirant.
  • Sélectionner une cornièreProfilé métallique en forme de L, très utilisé pour les membrures de treillis et les contreventements. Peut être à ailes égales (L) ou inégales. dans un catalogue de produits.
  • Vérifier la résistance plastique du profilé choisi à la traction.
  • Vérifier la condition d'allongement à l'État Limite de Service (ELS).

Données de l'étude

On étudie la membrure inférieure (entrait) d'une ferme de toiture. Cet élément est modélisé comme un tirant soumis à un effort de traction pur. Les charges permanentes (G) et de neige (S) sont appliquées aux nœuds de la ferme et génèrent un effort de traction dans la barre étudiée.

Schéma de la ferme et du tirant étudié
G, S Portée = 10 m Tirant étudié, L = 10 m
Schéma 3D interactif de la structure en treillis
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur du tirant \(L\) 10 \(\text{m}\)
Effort de traction (permanent) \(N_{\text{G,k}}\) 120 \(\text{kN}\)
Effort de traction (neige) \(N_{\text{S,k}}\) 95 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Limite d'allongement admissible \(\Delta L_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer l'effort normal de traction de calcul à l'ELU, \(N_{\text{Ed}}\).
  2. Déterminer l'aire de la section brute requise, \(A_{\text{req}}\).
  3. Choisir une cornière à ailes égales (L) et vérifier sa résistance plastique.
  4. Vérifier l'allongement du profilé choisi à l'ELS.

Les bases du calcul des tirants en acier

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux des Eurocodes pour les éléments tendus.

1. Résistance en Traction (ELU) :
La vérification de base pour un tirant consiste à s'assurer que l'effort de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) est inférieur ou égal à la résistance plastique en traction de la section (\(N_{\text{pl,Rd}}\)). On vérifie : \[ N_{\text{Ed}} \le N_{\text{pl,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \] Où \(A\) est l'aire de la section brute, \(f_y\) la limite élastique et \(\gamma_{\text{M0}}=1.0\) le coefficient de sécurité sur le matériau.

2. Allongement (ELS) :
La déformation d'un tirant est son allongement. Selon la loi de Hooke, il se calcule avec l'effort de service (\(N_{\text{ser}}\)), sans coefficients de sécurité. La formule est : \[ \Delta L = \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \] Où \(E\) est le module de Young de l'acier (environ \(210000 \, \text{MPa}\)). Cet allongement doit rester inférieur à une limite pour éviter des désordres dans les éléments secondaires (fissuration de plafonds, etc.).

3. Attention aux assemblages !
La formule de résistance utilise l'aire de la section brute (\(A\)). Cependant, au niveau des assemblages (boulons, soudures), la section peut être réduite. L'Eurocode 3 impose une seconde vérification sur la section netteAire de la section transversale d'un élément après déduction des trous pour les fixations (boulons). La rupture peut survenir à cet endroit affaibli. au droit des trous de boulons. Pour cet exercice, nous nous limiterons à la vérification sur la section brute.

Correction : Choix du profilé optimal pour un tirant

Question 1 : Calculer l'effort normal de traction de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Comme pour la flexion, la première étape est de déterminer l'effort maximal que l'élément devra supporter en tenant compte des sécurités. On applique la combinaison d'actions de l'Eurocode aux efforts de traction caractéristiques (données du problème) pour obtenir l'effort de traction de calcul, ou "effort ultime", noté \(N_{\text{Ed}}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La logique est la même pour tous les types de sollicitations (flexion, compression, traction, cisaillement) : on part des actions caractéristiques (valeurs statistiques, ex: neige centennale) et on leur applique des coefficients partiels de sécurité pour obtenir les actions de calcul. Cette approche unifiée est l'un des piliers de la philosophie des Eurocodes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous laissez pas perturber par le changement de sollicitation. La démarche initiale est identique : identifier les charges, appliquer la bonne combinaison. Que ce soit une charge répartie en kN/m ou un effort ponctuel en kN, la formule de combinaison reste \(1.35G + 1.5S\).

Normes (la référence réglementaire)

La formule de combinaison d'actions pour le bâtiment est donnée par la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures). La formule de base pour l'ELU est \(\sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_{0,i} Q_{k,i}\). Pour notre cas simple, elle se réduit à \(1.35 N_{\text{G,k}} + 1.5 N_{\text{S,k}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU pour un effort normal :

\[ N_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot N_{\text{G,k}} + 1.5 \cdot N_{\text{S,k}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la neige est la seule charge d'exploitation variable et que les efforts donnés ont été déterminés par un calcul statique préalable de la ferme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de traction permanent, \(N_{\text{G,k}} = 120 \, \text{kN}\)
  • Effort de traction de neige, \(N_{\text{S,k}} = 95 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez toujours les unités en tête. Ici, on combine des kN avec des kN, le résultat sera logiquement en kN. Une vérification rapide des unités à chaque étape permet de déceler de nombreuses erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des efforts sur le tirant
N_G = 120N_S = 95+=N_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de combinaison :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (120 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (95 \, \text{kN}) \\ &= 162 \, \text{kN} + 142.5 \, \text{kN} \\ &= 304.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Effort de Calcul ELU Résultant
N_Ed = 304.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort de calcul de 304.5 kN est l'effort maximal que notre tirant devra pouvoir encaisser sans rompre. C'est la valeur de référence pour le dimensionnement en résistance. Il est 42% plus élevé que l'effort de service (120+95=215 kN).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'inverser les coefficients ou d'appliquer le mauvais coefficient à la mauvaise charge. Toujours 1.35 pour le permanent (G) et 1.5 pour le variable (S, Q) dans les cas courants en bâtiment.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU vise la sécurité et la résistance.
  • On majore les efforts avec les coefficients : \(1.35 \cdot N_{\text{G}} + 1.5 \cdot N_{\text{S}}\).
  • Cet effort majoré \(N_{\text{Ed}}\) est utilisé pour tous les calculs de résistance.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour certaines structures, comme les réservoirs d'eau, le poids de l'eau est considéré comme une charge variable (Q) et non permanente (G), car le réservoir peut être vide. Le choix de la nature d'une charge est une étape clé de la modélisation.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients sont-ils supérieurs à 1 ?

Ils représentent une marge de sécurité pour couvrir les incertitudes : les charges réelles peuvent être plus élevées que prévu (plus de neige que la moyenne) et la résistance du matériau peut être légèrement plus faible que sa valeur nominale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'effort normal de traction de calcul à l'ELU est de 304.5 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort dû à la neige était de 110 kN, quel serait le nouvel effort \(N_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer l'aire de la section brute requise

Principe (le concept physique)

Pour résister à un effort de traction, un matériau a besoin d'une certaine "quantité de matière". Cette quantité est représentée par l'aire de sa section transversale (\(A\)). Plus l'effort est grand, plus l'aire nécessaire est grande. En inversant la formule de résistance, on peut calculer l'aire minimale requise (\(A_{\text{req}}\)) pour supporter l'effort \(N_{\text{Ed}}\) sans dépasser la limite d'élasticité de l'acier.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte normale (\(\sigma\)) dans une section est définie par \(\sigma = N/A\). La condition de résistance à l'ELU stipule que cette contrainte de calcul ne doit pas dépasser la résistance de calcul du matériau, qui est \(f_y / \gamma_{\text{M0}}\). Ainsi, \(\sigma_{\text{Ed}} = N_{\text{Ed}}/A \le f_y / \gamma_{\text{M0}}\). C'est en réarrangeant cette inéquation fondamentale que l'on obtient la formule pour l'aire requise.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape de "pré-dimensionnement". On ne sait pas encore quel profilé on va utiliser, mais on calcule sa caractéristique géométrique essentielle pour la traction : son aire. C'est l'équivalent du calcul du module de section requis pour la flexion.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance des sections en traction est détaillée dans la norme NF EN 1993-1-1 (Eurocode 3 - Partie 1-1), section 6.2.3. La formule utilisée ici correspond à la résistance plastique de la section brute.

Formule(s) (l'outil mathématique)

En partant de la condition de résistance \(N_{\text{Ed}} \le (A \cdot f_y) / \gamma_{\text{M0}}\), on isole A :

\[ A_{\text{req}} \ge \frac{N_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'effort de traction est appliqué de manière centrée sur le profilé, ce qui garantit une répartition uniforme des contraintes dans la section.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort de calcul, \(N_{\text{Ed}} = 304.5 \, \text{kN}\) (de Q1)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est cruciale. Le plus simple est de tout passer en Newtons (N) et millimètres (mm).

  • \(N_{\text{Ed}} = 304.5 \, \text{kN} = 304500 \, \text{N}\)
  • \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
Le résultat pour \(A_{\text{req}}\) sera directement en mm². Les catalogues donnent souvent les aires en cm², n'oubliez pas de convertir (\(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\)).

Schéma (Avant les calculs)
Section Requise pour l'Effort N_Ed
N_EdA_req = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule :

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} &\ge \frac{304500 \, \text{N} \cdot 1.0}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 1295.7 \, \text{mm}^2 \\ &\ge 12.96 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Aire Minimale Calculée
A_req ≥ 12.96 cm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous devons maintenant trouver un profilé standard dont l'aire de la section est d'au moins 12.96 cm². C'est la condition minimale pour que la résistance soit assurée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il ne faut jamais utiliser l'effort de service (\(N_{\text{ser}}\)) pour calculer l'aire de résistance requise. Cela omettrait les coefficients de sécurité et conduirait à un dimensionnement dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en traction dépend de l'aire de la section.
  • On calcule l'aire requise en inversant la formule de résistance : \(A_{\text{req}} \ge N_{\text{Ed}} / f_y\).
  • Une gestion rigoureuse des unités (N, mm, mm²) est indispensable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les câbles de précontrainte du béton, on utilise des aciers à très haute limite élastique (souvent > 1500 MPa). Pour un même effort, l'aire requise est donc beaucoup plus faible que pour un acier de construction S235, ce qui permet d'utiliser des câbles très fins et efficaces.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette aire est-elle la seule chose qui compte ?

Pour la résistance en traction pure de la section brute, oui. Mais en pratique, il faut aussi vérifier la section nette (avec les trous des boulons) et la résistance des assemblages eux-mêmes (boulons, soudures), qui peuvent être les points faibles du système.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section brute requise est de 12.96 cm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un acier S355 (\(f_y = 355 \, \text{MPa}\)), quelle serait la nouvelle aire requise en cm² ?

Question 3 : Choisir une cornière et vérifier sa résistance

Principe (le concept physique)

Avec l'aire requise calculée, nous consultons un catalogue de profilés pour choisir le plus adapté. Pour des raisons d'économie, on choisit généralement le profilé le plus léger qui satisfait la condition (\(A \ge A_{\text{req}}\)). Une fois le profilé choisi, on effectue la vérification finale en calculant sa résistance plastique réelle (\(N_{\text{pl,Rd}}\)) et en la comparant à l'effort de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les profilés en acier sont standardisés pour simplifier la conception, la fabrication et la construction. Les catalogues de produits fournissent toutes les caractéristiques géométriques nécessaires aux calculs (aire, moments d'inertie, modules de section, etc.). Le choix du profilé le plus léger est une démarche d'optimisation technico-économique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'ingénierie rencontre le monde réel. On passe d'un chiffre théorique (\(A_{\text{req}}\)) à un produit commercial existant. Le choix du type de profilé (cornière, plat, tube...) dépend aussi de contraintes d'assemblage et d'encombrement.

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions et propriétés des cornières à ailes égales laminées à chaud sont définies dans la norme NF EN 10056. L'utilisation de ces profilés standard garantit que les caractéristiques utilisées dans le calcul correspondent bien à celles du produit qui sera livré sur chantier.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification finale du ratio de travail :

\[ \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad N_{\text{pl,Rd}} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé choisi sera disponible auprès des fournisseurs. Pour la vérification, on ne tient pas compte de la réduction de section due aux trous de fixation (vérification de la section nette), ce qui est une simplification acceptable pour un exercice.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Aire requise, \(A_{\text{req}} \ge 12.96 \, \text{cm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Lors de la consultation des catalogues, cherchez directement la colonne "Aire" ou "Section" et parcourez-la jusqu'à trouver la première valeur supérieure à votre besoin. Cela vous donnera directement le profilé le plus léger et donc le plus économique.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche dans le Catalogue
Catalogue Cornières (L)ProfiléAire (cm²)L80x812.3L90x813.9L100x815.5
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Sélection dans un catalogue de cornières à ailes égales (L) :

ProfiléAire (cm²)Choix
L 80x80x812.3❌
L 90x90x813.9✔️
L 100x100x815.5✔️ (surdimensionné)

On choisit donc la cornière L 90x90x8, qui est la plus légère satisfaisant à la condition (\(13.9 \, \text{cm}^2 \ge 12.96 \, \text{cm}^2\)).

2. Vérification finale du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} N_{\text{pl,Rd}} &= \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{(13.9 \times 100 \, \text{mm}^2) \cdot (235 \, \text{N/mm}^2)}{1.0} \\ &= 326650 \, \text{N} \\ &= 326.65 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{pl,Rd}}} \\ &= \frac{304.5 \, \text{kN}}{326.65 \, \text{kN}} \\ &= 0.93 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance en Traction
Sollicitation N_Ed=304.5 kNRésistance N_pl,Rd (L90x8)=326.7 kNOK ✔️ (Ratio = 93%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le choix de la cornière L 90x90x8 est validé. Le profilé travaille à 93% de sa capacité, ce qui indique un dimensionnement bien optimisé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier la vérification de la section nette ! Dans un cas réel, les trous pour les boulons réduisent l'aire résistante. L'Eurocode 3 impose une vérification supplémentaire qui peut parfois amener à choisir un profilé plus grand que celui basé sur l'aire brute seule.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On compare l'aire requise \(A_{\text{req}}\) aux aires des profilés standards.
  • On choisit le profilé le plus léger (économique) dont l'aire \(A\) est supérieure à \(A_{\text{req}}\).
  • La vérification finale se fait en s'assurant que le ratio \(N_{\text{Ed}} / N_{\text{pl,Rd}}\) est inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers profilés en fer, au 19ème siècle, n'étaient pas laminés mais assemblés par rivetage de plaques et de cornières. La Tour Eiffel est un exemple monumental de cette technique de construction.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser un profilé rond ?

Un profilé rond (tube ou barre pleine) est très efficace en traction. Cependant, l'assemblage avec d'autres éléments (les goussets) est souvent plus complexe et coûteux à réaliser qu'avec une cornière, dont la surface plate facilite les connexions par boulonnage ou soudure.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé L 90x90x8 est adéquat pour reprendre l'effort de traction de calcul.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la résistance \(N_{\text{pl,Rd}}\) (en kN) d'une cornière L 100x100x8 (A = 15.5 cm²) ?

Question 4 : Vérifier l'allongement à l'ELS

Principe (le concept physique)

La résistance ne fait pas tout. Il faut aussi s'assurer que l'élément ne se déforme pas excessivement dans des conditions normales d'utilisation. Pour un tirant, la déformation est un allongement. On le calcule avec les charges de service (réelles, non majorées) et on le compare à une limite admissible pour garantir le bon comportement de la structure dans son ensemble.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La rigidité axiale d'un élément est le produit \(E \cdot A\). C'est sa capacité à résister à l'allongement. L'allongement (\(\Delta L\)) est directement proportionnel à l'effort (\(N_{\text{ser}}\)) et à la longueur (\(L\)), et inversement proportionnel à cette rigidité. C'est une application directe de la loi de Hooke pour les matériaux élastiques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la vérification du "confort" et de la "fonctionnalité". Un tirant qui s'allonge trop pourrait provoquer la fissuration d'un plafond suspendu en dessous, même si la structure elle-même est parfaitement sûre. C'est pourquoi on utilise les charges de service, qui représentent ce qui se passe au quotidien.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de déformation pour les bâtiments sont données dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. La limite de L/300 est une valeur courante pour les éléments supportant des finitions fragiles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Effort de service :

\[ N_{\text{ser}} = N_{\text{G,k}} + N_{\text{S,k}} \]

2. Allongement :

\[ \Delta L = \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \]

3. Vérification :

\[ \Delta L \le \Delta L_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le module de Young de l'acier est constant et vaut \(E = 210000 \, \text{MPa}\). On néglige les déformations dues aux assemblages.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{G,k}} = 120 \, \text{kN}\) ; \(N_{\text{S,k}} = 95 \, \text{kN}\)
  • Longueur, \(L = 10 \, \text{m}\)
  • Profilé : L 90x90x8, avec \(A = 13.9 \, \text{cm}^2\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Encore une fois, la cohérence des unités est la clé. Utilisons les Newtons (N) et les millimètres (mm).

  • \(N_{\text{ser}}\) en N
  • \(L\) en mm
  • \(E\) en N/mm² (MPa)
  • \(A\) en mm² (\(1 \, \text{cm}^2 = 100 \, \text{mm}^2\))
L'allongement \(\Delta L\) sera obtenu en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Allongement du Tirant sous Charges de Service
L = 10 mN_serΔL = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités et calcul de l'effort de service :

\[ \begin{aligned} N_{\text{ser}} &= 120 \, \text{kN} + 95 \, \text{kN} \\ &= 215 \, \text{kN} \\ &= 215000 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ L = 10 \, \text{m} = 10000 \, \text{mm} \]
\[ A = 13.9 \, \text{cm}^2 = 1390 \, \text{mm}^2 \]

2. Calcul de l'allongement :

\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N_{\text{ser}} \cdot L}{E \cdot A} \\ &= \frac{(215000 \, \text{N}) \cdot (10000 \, \text{mm})}{(210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (1390 \, \text{mm}^2)} \\ &= \frac{2.15 \times 10^{9}}{2.919 \times 10^{8}} \, \text{mm} \\ &\approx 7.37 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de l'allongement admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{10000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 33.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 7.37 \, \text{mm} \le 33.3 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 7.37/33.3 \approx 0.22 \le 1.0) \Rightarrow \text{CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Allongement Calculé vs Admissible
ΔL_calc=7.4 mmΔL_adm=33.3 mmCONFORME ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de l'allongement est largement satisfaite. L'allongement réel est bien inférieur à la limite. Cela confirme que pour les tirants en acier, c'est presque toujours la résistance à l'ELU qui est le critère dimensionnant, contrairement aux poutres en flexion où la flèche à l'ELS est souvent critique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser l'effort de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) pour les vérifications à l'ELS. Cela conduirait à un allongement surestimé et pourrait mener à un surdimensionnement inutile et coûteux du profilé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les efforts de service (non majorés) : \(N_{\text{ser}} = N_{\text{G}} + N_{\text{S}}\).
  • L'allongement doit être inférieur à une limite normative (ex: L/300).
  • Pour les tirants, l'ELS est rarement le critère qui dimensionne.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La dilatation thermique (\(\Delta L = \alpha \cdot \Delta T \cdot L\)) peut créer des allongements du même ordre de grandeur que les charges mécaniques. Dans les structures exposées à de grandes variations de température, comme les ponts, cet effet doit impérativement être pris en compte dans les calculs.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si l'allongement est trop grand ?

Un allongement excessif peut causer des dommages aux éléments non-structuraux : fissuration des plafonds, des cloisons, des façades, ou problèmes d'étanchéité. Il faut alors choisir un profilé avec une plus grande section (A) pour augmenter sa rigidité et réduire son allongement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement du tirant L 90x90x8 (7.4 mm) est inférieur à l'allongement admissible (33.3 mm). Le profilé est validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait l'allongement (en mm) si le tirant faisait 20 m de long ?

Outil Interactif : Paramètres du Tirant

Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur la section requise et l'allongement.

Paramètres d'Entrée
10 m
95 kN
Résultats Clés
Effort ELU (N_Ed) (kN) -
Ratio Résistance (Traction) -
Ratio Allongement (ELS) -

Le Saviez-Vous ?

Le Viaduc de Millau, l'un des ponts à haubans les plus hauts du monde, est un exemple spectaculaire d'utilisation de tirants. Ses 154 haubans, qui sont de gigantesques câbles en acier, fonctionnent comme des tirants pour supporter le tablier et transmettre les charges aux pylônes. La résistance en traction de ces câbles est l'élément clé de la stabilité de l'ouvrage.

Foire Aux Questions (FAQ)

Et si l'élément était comprimé au lieu d'être tendu ?

Si l'effort était de compression, le calcul serait radicalement différent. L'élément ne risquerait plus de rompre en traction, mais de "flamber" (perdre sa stabilité de forme et se plier brusquement). Le flambementPhénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à un effort de compression axiale. La charge critique de flambement dépend de la longueur de l'élément, de ses conditions d'appui et de son moment d'inertie. dépend de la longueur de la barre et de la forme de sa section (son moment d'inertie), et non plus seulement de son aire.

Pourquoi choisir une cornière plutôt qu'un simple fer plat ?

Un fer plat a une très faible rigidité dans une direction. Même en traction, il peut vibrer ou se déformer facilement sous son propre poids ou sous des chocs. Une cornière, grâce à son angle, offre une bien meilleure rigidité dans les deux directions, ce qui la rend plus robuste et plus facile à manipuler et à assembler sur chantier.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un tirant, si on double l'effort de traction de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)), l'aire de section requise (\(A_{\text{req}}\))...

2. Quel phénomène n'est PAS une préoccupation pour le dimensionnement d'un élément travaillant uniquement en traction pure ?

Tirant
Élément de structure conçu pour résister uniquement à un effort de traction axiale. Il est souvent élancé car il n'est pas soumis au risque de flambement.
Cornière
Profilé métallique en forme de L, très utilisé pour les membrures de treillis et les contreventements. Peut être à ailes égales (L) ou inégales.
Flambement
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à un effort de compression axiale. La charge critique de flambement dépend de la longueur de l'élément, de ses conditions d'appui et de son moment d'inertie.
Section Nette
Aire de la section transversale d'un élément après déduction des trous pour les fixations (boulons). La rupture peut survenir à cet endroit affaibli.
Choix du Profilé Optimal pour un Tirant

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