Études de cas pratique

EGC

Changement de Longueur des Matériaux

Changement de Longueur des Matériaux

Calcul du Changement de Longueur des Matériaux

Comprendre la Dilatation Thermique des Matériaux

La plupart des matériaux se dilatent lorsqu'ils sont chauffés et se contractent lorsqu'ils sont refroidis. Ce phénomène, appelé dilatation thermique, est une propriété physique fondamentale qui doit être prise en compte dans la conception et la construction d'ouvrages de génie civil. Une variation de longueur non maîtrisée peut engendrer des contraintes internes importantes, conduisant à des déformations, des fissurations, voire la rupture des structures. Le calcul du changement de longueur dû aux variations de température est donc essentiel pour prévoir le comportement des matériaux et concevoir des dispositifs adaptés (comme les joints de dilatation).

Données de l'étude

On étudie une barre en acier utilisée dans une structure métallique. Cette barre est initialement installée à une certaine température et subit ensuite une augmentation de température.

Caractéristiques de la barre et conditions thermiques :

  • Matériau : Acier de construction
  • Longueur initiale de la barre (\(L_0\)) : \(5.000 \, \text{m}\)
  • Température initiale d'installation (\(T_0\)) : \(15^\circ\text{C}\)
  • Température finale maximale (\(T_f\)) : \(40^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de dilatation thermique linéaire de l'acier (\(\alpha_{\text{acier}}\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\) (ou \(12 \, \mu\text{m/m/}^\circ\text{C}\))
Schéma : Dilatation thermique d'une barre
L0 à T0 L0 = 5.000 m Lf à Tf Lf = L0 + ΔL ΔL Dilatation Thermique Linéaire

Illustration de la dilatation d'une barre soumise à une augmentation de température.

Questions à traiter

  1. Calculer la variation de température (\(\Delta T\)) subie par la barre d'acier.
  2. Calculer la variation de longueur (\(\Delta L\)) de la barre d'acier due à cette variation de température. Donner le résultat en millimètres.
  3. Calculer la longueur finale (\(L_f\)) de la barre d'acier à la température de \(40^\circ\text{C}\).
  4. Si cette barre était parfaitement encastrée à ses deux extrémités avant le changement de température, quel type de contrainte se développerait dans la barre lors de l'augmentation de température ? Expliquer brièvement pourquoi. (Réponse qualitative)
  5. Un pont métallique a une portée principale constituée de poutres en acier d'une longueur totale de \(120 \, \text{m}\) à \(10^\circ\text{C}\). Si la température peut varier de \(-15^\circ\text{C}\) en hiver à \(+45^\circ\text{C}\) en été, quelle est la variation de longueur totale maximale que ces poutres peuvent subir ? (Utiliser \(\alpha_{\text{acier}} = 12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)).

Correction : Calcul du Changement de Longueur des Matériaux

Question 1 : Variation de température (\(\Delta T\))

Principe :

La variation de température est la différence entre la température finale et la température initiale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T = T_f - T_0 \]
Données spécifiques :
  • Température finale (\(T_f\)) : \(40^\circ\text{C}\)
  • Température initiale (\(T_0\)) : \(15^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 40^\circ\text{C} - 15^\circ\text{C} \\ &= 25^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La variation de température est \(\Delta T = 25^\circ\text{C}\).

Question 2 : Variation de longueur (\(\Delta L\)) de la barre d'acier

Principe :

La variation de longueur due à la dilatation thermique linéaire est proportionnelle à la longueur initiale, à la variation de température et au coefficient de dilatation thermique linéaire du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \]
Données spécifiques :
  • Coefficient de dilatation thermique linéaire (\(\alpha_{\text{acier}}\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(5.000 \, \text{m}\)
  • Variation de température (\(\Delta T\)) : \(25^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \times 5.000 \, \text{m} \times 25^\circ\text{C} \\ &= 12 \times 5 \times 25 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 1500 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 0.001500 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres : \(0.001500 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} = 1.50 \, \text{mm}\).

Résultat Question 2 : La variation de longueur de la barre d'acier est \(\Delta L = 1.50 \, \text{mm}\).

Question 3 : Longueur finale (\(L_f\)) de la barre d'acier

Principe :

La longueur finale est la somme de la longueur initiale et de la variation de longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_f = L_0 + \Delta L \]
Données spécifiques :
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(5.000 \, \text{m}\)
  • Variation de longueur (\(\Delta L\)) : \(0.001500 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_f &= 5.000 \, \text{m} + 0.001500 \, \text{m} \\ &= 5.0015 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La longueur finale de la barre d'acier à \(40^\circ\text{C}\) est \(L_f = 5.0015 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le coefficient de dilatation thermique linéaire \(\alpha\) d'un matériau est plus élevé, pour une même \(L_0\) et \(\Delta T\), la variation de longueur \(\Delta L\) sera :

Question 4 : Contrainte thermique dans une barre encastrée

Explication :

Si la barre d'acier était parfaitement encastrée à ses deux extrémités avant l'augmentation de température, sa dilatation serait empêchée. Le matériau tenterait de se dilater, mais les encastrements exerceraient une force opposée pour maintenir sa longueur constante.

Cette opposition à la dilatation libre engendre une contrainte de compression interne dans la barre. La barre "veut" s'allonger à cause de la chaleur, mais les appuis la "compriment" pour qu'elle garde sa taille initiale. L'amplitude de cette contrainte thermique peut être calculée en utilisant le module d'Young du matériau (\(E\)) par la formule \(\sigma = \alpha E \Delta T\). Si cette contrainte dépasse la limite de résistance du matériau ou la capacité des appuis, cela peut entraîner des dommages structurels.

Résultat Question 4 : Si la barre était encastrée, une contrainte de compression se développerait car les appuis empêcheraient la dilatation thermique libre de la barre.

Question 5 : Variation de longueur maximale des poutres d'un pont

Principe :

Calculer la variation de température maximale (entre la température la plus basse et la plus haute), puis utiliser la formule de dilatation thermique linéaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T_{\text{max}} = T_{\text{max été}} - T_{\text{min hiver}} \] \[ \Delta L_{\text{totale}} = \alpha_{\text{acier}} \cdot L_{\text{initiale pont}} \cdot \Delta T_{\text{max}} \]
Données spécifiques :
  • Longueur initiale des poutres (\(L_{\text{initiale pont}}\)) : \(120 \, \text{m}\)
  • Température minimale (\(T_{\text{min hiver}}\)) : \(-15^\circ\text{C}\)
  • Température maximale (\(T_{\text{max été}}\)) : \(+45^\circ\text{C}\)
  • Coefficient de dilatation (\(\alpha_{\text{acier}}\)) : \(12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}\)
Calcul :

Variation de température maximale :

\[ \begin{aligned} \Delta T_{\text{max}} &= 45^\circ\text{C} - (-15^\circ\text{C}) \\ &= 45^\circ\text{C} + 15^\circ\text{C} \\ &= 60^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Variation de longueur totale maximale :

\[ \begin{aligned} \Delta L_{\text{totale}} &= (12 \times 10^{-6} \, /^\circ\text{C}) \times 120 \, \text{m} \times 60^\circ\text{C} \\ &= 12 \times 120 \times 60 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 86400 \times 10^{-6} \, \text{m} \\ &= 0.0864 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en centimètres : \(0.0864 \, \text{m} \times 100 \, \text{cm/m} = 8.64 \, \text{cm}\).

Résultat Question 5 : La variation de longueur totale maximale que les poutres du pont peuvent subir est de \(0.0864 \, \text{m}\) (soit \(8.64 \, \text{cm}\)). C'est pour accommoder de telles variations que des joints de dilatation sont installés sur les ponts.

Quiz Intermédiaire 2 : Les joints de dilatation dans les ponts sont conçus pour :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La dilatation thermique linéaire d'un matériau est :

2. Le coefficient de dilatation thermique linéaire (\(\alpha\)) est exprimé en :

3. Si une barre métallique est chauffée et que sa dilatation est totalement empêchée, elle subira :

Glossaire

Dilatation Thermique Linéaire
Augmentation de la longueur d'un matériau solide due à une augmentation de sa température.
Coefficient de Dilatation Thermique Linéaire (\(\alpha\))
Propriété d'un matériau qui quantifie sa variation relative de longueur par unité de variation de température. Unité typique : \(^\circ\text{C}^{-1}\) ou \(\text{K}^{-1}\).
Variation de Longueur (\(\Delta L\))
Différence entre la longueur finale et la longueur initiale d'un matériau après un changement de température.
Contrainte Thermique
Contrainte mécanique (tension ou compression) induite dans un matériau lorsque sa dilatation ou sa contraction thermique est empêchée ou restreinte.
Joint de Dilatation
Dispositif ou espace prévu dans une structure (pont, bâtiment, rail de chemin de fer) pour permettre les mouvements dus à la dilatation et à la contraction thermiques, évitant ainsi l'apparition de contraintes excessives.
Calcul du Changement de Longueur des Matériaux - Exercice d'Application

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