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Calculs de Résistance et Déformation

Calculs de Résistance et Déformation

Calculs de Résistance et Déformation

Contexte : Le Balcon en porte-à-faux.

Les structures en porte-à-faux, ou consoles, sont omniprésentes en génie civil : balcons, auvents, passerelles, bras de grue... Elles sont ancrées à une seule extrémité et s'étendent dans le vide, ce qui les rend particulièrement sensibles à la flexion et à la déformation. Le dimensionnement de ces éléments est crucial car tous les efforts doivent être repris par un unique encastrement. Cet exercice vous propose de vérifier la poutre principale (le sommier) d'un balcon métallique selon l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions..

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière les spécificités du calcul d'une console. À partir des charges permanentes (poids de la structure) et d'exploitation (personnes, mobilier), nous allons déterminer les efforts à l'encastrement (moment fléchissant négatif et effort tranchant), puis vérifier qu'un profilé en acier du commerce peut supporter ces efforts sans rompre et sans présenter une flèche excessive en bout de console.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les combinaisons d'actions à l'ELU pour des charges réparties et ponctuelles.
  • Calculer le moment fléchissant et l'effort tranchant maximaux à l'encastrementType de liaison qui bloque la translation et la rotation. C'est le point où les efforts (moment et tranchant) sont maximaux pour une console..
  • Sélectionner un profilé IPE et vérifier sa résistance à la flexion.
  • Vérifier la condition de flèche en bout de console à l'État Limite de Service (ELS).
  • Comprendre la différence de comportement entre une poutre sur appuis et une console.

Données de l'étude

On étudie l'un des sommiers métalliques supportant un balcon. La poutre est modélisée comme une console parfaitement encastrée dans le mur. Elle est soumise à son poids propre et aux charges du plancher (charges permanentes réparties), aux charges d'exploitation (personnes, etc.) et à une charge ponctuelle en son extrémité représentant le poids d'un garde-corps lourd.

Schéma de la poutre console étudiée
p (G+Q) F (Fg+Fq) Portée, L = 5 m
Schéma 3D interactif du balcon
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la console \(L\) 5 \(\text{m}\)
Charges permanentes réparties \(G\) 4.0 \(\text{kN/m}\)
Charges d'exploitation réparties \(Q\) 3.0 \(\text{kN/m}\)
Charge permanente ponctuelle \(F_g\) 2.0 \(\text{kN}\)
Charge d'exploitation ponctuelle \(F_q\) 5.0 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 235 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 180 -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\) et \(F_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer le moment fléchissant (\(M_{\text{Ed}}\)) et l'effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) maximaux.
  3. Choisir un profilé IPE et vérifier sa résistance à la flexion.
  4. Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS.

Les bases du calcul de structure métallique

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux pour les consoles.

1. Les États Limites (ELU & ELS) :
La philosophie reste la même que pour une poutre sur appuis :

  • L'État Limite Ultime (ELU) : Vérification de la RÉSISTANCE avec des charges majorées (\(\gamma_G=1.35\), \(\gamma_Q=1.5\)).
  • L'État Limite de Service (ELS) : Vérification de la DÉFORMATION (flèche) avec des charges réelles (non majorées).

2. Formules pour une poutre console :
Les efforts maximaux se situent TOUJOURS à l'encastrement : \[ M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{2} + F \cdot L \quad \text{(moment négatif)} \] \[ V_{\text{max}} = p \cdot L + F \]

3. Vérification de la flèche pour une console :
La flèche maximale se situe en bout de console et se calcule par superposition des effets : \[ f_{\text{max}} = \frac{p_{\text{ser}} \cdot L^4}{8 \cdot E \cdot I} + \frac{F_{\text{ser}} \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I} \]

Correction : Calculs de Résistance et Déformation

Question 1 : Calculer les charges de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

Pour garantir la sécurité, on ne calcule pas la structure avec les charges réelles, mais avec des charges "majorées". L'Eurocode impose d'appliquer des coefficients de sécurité différents pour les charges permanentes (mieux connues, donc coefficient plus faible) et les charges d'exploitation (plus incertaines, coefficient plus élevé). On combine ces charges majorées pour obtenir le scénario le plus défavorable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions est une approche semi-probabiliste de la sécurité. Les coefficients (1.35 et 1.5) ont été déterminés par des analyses statistiques pour garantir un niveau de fiabilité cible pour la structure sur sa durée de vie, en tenant compte des incertitudes sur les charges et les résistances des matériaux.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la première étape de tout calcul de structure : définir les "actions" (les forces) qui s'appliquent. Une erreur à ce stade se répercutera sur tout le reste du dimensionnement. Pensez-y comme à la recette de cuisine : si vous vous trompez dans les quantités d'ingrédients, le plat final ne sera pas réussi.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de combinaison d'actions pour le bâtiment est donnée par la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures). La formule de base pour l'ELU est \(\sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_{0,i} Q_{k,i}\). Pour notre cas simple, elle se réduit à \(1.35 G + 1.5 Q\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q \]
\[ F_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot F_g + 1.5 \cdot F_q \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges d'exploitation réparties et ponctuelles sont de même nature (par exemple, présence de personnes sur toute la surface) et sont donc appliquées simultanément avec le coefficient de 1.5.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes : \(G = 4.0 \, \text{kN/m}\), \(F_g = 2.0 \, \text{kN}\)
  • Charges d'exploitation : \(Q = 3.0 \, \text{kN/m}\), \(F_q = 5.0 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez toujours les unités en tête. Ici, on combine des kN/m avec des kN/m, et des kN avec des kN. Les résultats seront logiquement en kN/m et en kN. Une vérification rapide des unités à chaque étape permet de déceler de nombreuses erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges sur la console
G, FgQ, Fq+=p_Ed, F_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge répartie de calcul :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (4.0 \, \text{kN/m}) + 1.5 \cdot (3.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 5.4 \, \text{kN/m} + 4.5 \, \text{kN/m} \\ &= 9.9 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge ponctuelle de calcul :

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (2.0 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (5.0 \, \text{kN}) \\ &= 2.7 \, \text{kN} + 7.5 \, \text{kN} \\ &= 10.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges de calcul ELU résultantes
p_Ed = 9.9 kN/mF_Ed=10.2kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les charges de calcul sont significativement plus élevées que les charges de service. C'est cet ensemble de forces majorées qui sera utilisé pour vérifier que la poutre ne casse pas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'inverser les coefficients ou d'appliquer le mauvais coefficient à la mauvaise charge. Toujours 1.35 pour le permanent (G) et 1.5 pour le variable (Q) dans les cas courants en bâtiment.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU vise la sécurité et la résistance.
  • On majore les charges avec les coefficients : \(1.35\) pour le permanent (G) et \(1.5\) pour l'exploitation (Q).
  • Chaque type de charge (répartie, ponctuelle) doit être majoré séparément.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les structures très sensibles comme les ponts ou les centrales nucléaires, les combinaisons d'actions sont beaucoup plus complexes et incluent des charges accidentelles comme les séismes, les explosions ou les chocs de véhicules, avec des coefficients spécifiques.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi 1.35 et 1.5 ?

Ces valeurs sont le fruit d'un consensus européen basé sur des décennies de retours d'expérience et d'analyses statistiques. Elles représentent un compromis entre un niveau de sécurité élevé et un coût de construction raisonnable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les charges de calcul à l'ELU sont \(p_{\text{Ed}} = 9.9 \, \text{kN/m}\) et \(F_{\text{Ed}} = 10.2 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation ponctuelle \(F_q\) était de 8 kN, quelle serait la nouvelle charge \(F_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer les efforts maximaux (MEd et VEd)

Principe (le concept physique)

Pour une console, les efforts internes (moment fléchissant et effort tranchant) sont nuls à l'extrémité libre et augmentent progressivement jusqu'à atteindre leur maximum absolu à l'encastrement. C'est ce point unique qui subit la totalité des sollicitations et qui doit être dimensionné.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes des efforts internes sont des outils graphiques essentiels. Pour notre console, le diagramme de l'effort tranchant est linéaire (il part de F_Ed à l'extrémité et augmente jusqu'à V_max à l'encastrement) et le diagramme du moment fléchissant est parabolique, avec une valeur de zéro à l'extrémité et son maximum (négatif) à l'encastrement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Contrairement à une poutre sur deux appuis où le moment est positif (la poutre "sourit"), le moment dans une console est négatif (la poutre "fait la tête"). Cela signifie que c'est la fibre supérieure de la poutre qui est tendue, et la fibre inférieure qui est comprimée. C'est une différence fondamentale.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des efforts internes à partir des actions est une application directe de la statique du solide et de la théorie des poutres, qui sont les fondements de la RdM et des Eurocodes. Les normes ne donnent pas ces formules, car elles sont considérées comme des connaissances de base de l'ingénieur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Efforts maximaux à l'encastrement :

\[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{2} + F_{\text{Ed}} \cdot L \]
\[ V_{\text{Ed,max}} = p_{\text{Ed}} \cdot L + F_{\text{Ed}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un encastrement parfait, ce qui signifie que la liaison avec le mur est totalement rigide et ne permet aucune rotation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges de calcul : \(p_{\text{Ed}} = 9.9 \, \text{kN/m}\), \(F_{\text{Ed}} = 10.2 \, \text{kN}\)
  • Portée de la console, \(L = 5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est en kN/m et la portée en m. Le moment sera donc en kN·m et l'effort tranchant en kN. C'est le système d'unités standard pour les calculs de structure. Pour les calculs de résistance, il faudra souvent convertir les kN·m en N·mm (\(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Forme attendue)
Effort Tranchant (V)V_max?Moment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= \frac{9.9 \, \text{kN/m} \cdot (5 \, \text{m})^2}{2} + (10.2 \, \text{kN}) \cdot (5 \, \text{m}) \\ &= \frac{9.9 \cdot 25}{2} + 51 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 123.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} + 51 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 174.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed,max}} &= (9.9 \, \text{kN/m} \cdot 5 \, \text{m}) + 10.2 \, \text{kN} \\ &= 49.5 \, \text{kN} + 10.2 \, \text{kN} \\ &= 59.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Valeurs calculées)
Effort Tranchant (V)59.7 kNMoment Fléchissant (M)-174.75 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié les sollicitations maximales que la poutre devra supporter. Le moment de 174.75 kN·m est l'effort principal qui va dicter le choix du profilé. L'effort tranchant de 59.7 kN est également significatif et devra être vérifié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier le carré sur la portée L dans la formule du moment, ou d'oublier le terme dû à la force ponctuelle. Il est crucial de superposer les effets de toutes les charges appliquées.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les efforts maximaux dans une console sont toujours à l'encastrement.
  • Le moment est négatif et se calcule par \(M = pL^2/2 + FL\).
  • L'effort tranchant se calcule par \(V = pL + F\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un portique réel, la liaison entre la traverse et les poteaux n'est pas une simple rotule mais un encastrement. Cela change complètement les diagrammes ! Un moment négatif (qui tend la fibre supérieure) apparaît aux appuis, et le moment positif en travée est réduit (typiquement à \(pL^2/24\)). La poutre travaille beaucoup plus efficacement.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le poids propre de la poutre est inclus ?

Dans cet exercice, il est implicitement inclus dans les charges permanentes G. Dans un calcul réel, on fait une première estimation avec un poids propre supposé, on choisit un profilé, puis on vérifie que le poids réel de ce profilé est bien inférieur ou égal à ce qu'on avait supposé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment maximal est \(M_{\text{Ed}} = 174.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et l'effort tranchant maximal est \(V_{\text{Ed}} = 59.7 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 4 m, quel serait le nouveau moment maximal en kN·m ?

Question 3 : Choisir un profilé IPE et vérifier sa résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

Le moment de 174.75 kN·m calculé est la sollicitation maximale que la poutre doit pouvoir encaisser sans risque. Notre travail consiste à trouver, dans un catalogue de produits standards, le profilé IPE le plus économique (le plus léger) dont la capacité de résistance en flexion (\(M_{c,Rd}\)) est supérieure ou égale à cette sollicitation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de section plastique (\(W_{\text{pl}}\)) représente la capacité maximale d'une section à reprendre un moment fléchissant avant de former une "rotule plastique" (plastification complète de la section). Il est supérieur au module élastique (\(W_{\text{el}}\)) utilisé dans les calculs élastiques. L'utilisation de \(W_{\text{pl}}\) permet un dimensionnement plus économique en tirant parti des réserves de résistance du matériau au-delà de sa limite purement élastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cœur du métier de l'ingénieur structure : traduire un effort de calcul en un élément physique concret. On calcule d'abord un "module de section requis", puis on cherche dans le catalogue le profilé le plus léger (donc le plus économique) qui fournit au minimum ce module.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion des sections est détaillée dans le chapitre 6.2.5 de l'Eurocode 3 (NF EN 1991-1-1). La norme classe les sections en 4 classes. Pour les profilés IPE usuels, la section est de Classe 1, ce qui autorise l'utilisation du module de section plastique pour le calcul de la résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du module de section plastique requis :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_y} \]

2. Vérification du profilé choisi :

\[ \text{Ratio} = \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le phénomène de déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché par le plancher du balcon. Sinon, un calcul plus complexe serait nécessaire.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 174.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

N'oubliez pas la conversion des unités ! \(174.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 174.75 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\). Cela permet d'obtenir directement le module requis en mm³, que l'on convertit ensuite en cm³ (\(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\)) pour le comparer aux valeurs des catalogues.

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection du Profilé
M_EdCalculer W_pl,reqChercher dans cataloguele 1er IPE avec W_pl > W_pl,req
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(W_{\text{pl,y,req}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{174.75 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 743617 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 743.6 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue de profilés :

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)Choix
IPE 300628.4❌
IPE 330903.6✔️
IPE 3601198✔️ (surdimensionné)

On choisit donc le profilé IPE 330, le premier de la liste à satisfaire la condition.

3. Vérification finale du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} M_{c,\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{903.6 \times 10^3 \cdot 235}{1.0} \\ &= 212.3 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 212.3 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \\ &= \frac{174.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{212.3 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 0.82 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance
Sollicitation M_Ed=174.8Résistance M_Rd (IPE 330)=212.3OK ✔️ (Ratio = 82%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'IPE 330 est validé pour la résistance. Il travaille à 82% de sa capacité, ce qui est un bon ratio, ni trop proche de la rupture, ni trop surdimensionné et coûteux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la confusion entre module plastique \(W_{\text{pl}}\) et module élastique \(W_{\text{el}}\). Pour les calculs de résistance en Classe 1 ou 2, on utilise le module plastique. Pour les calculs de contraintes en service (ELS), on utilise le module élastique. De plus, ne jamais oublier la conversion des unités entre kN·m et N·mm.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • On dimensionne en calculant le module de section requis : \(W_{\text{pl,req}}\).
  • On choisit le profilé le plus léger dont le \(W_{\text{pl}}\) est supérieur au \(W_{\text{pl,req}}\).
  • La vérification finale se fait en s'assurant que le ratio \(M_{\text{Ed}} / M_{\text{Rd}}\) est inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres alvéolaires (avec des ouvertures circulaires ou hexagonales dans l'âme) sont une technique pour augmenter la hauteur (et donc l'inertie et la résistance) d'une poutre sans augmenter significativement son poids. Elles sont très efficaces pour les grandes portées où le poids propre devient un facteur critique.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si aucun profilé ne convient ?

Si même le plus gros profilé du catalogue n'est pas suffisant, l'ingénieur doit trouver d'autres solutions : utiliser un PRS (Profilé Reconstitué Soudé) sur mesure, changer la conception (ajouter un poteau intermédiaire), ou utiliser une poutre en treillis, beaucoup plus efficace pour les très grandes portées.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 330 est adéquat pour reprendre le moment fléchissant de calcul.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le moment \(M_{Ed}\) était de 200 kN·m, quel serait le \(W_{\text{pl,y,req}}\) (en cm³) ?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

La résistance ne fait pas tout. Un balcon qui fléchit de manière visible sous le poids des occupants, même sans risque de rupture, est inacceptable. On vérifie donc que la déformation verticale (flèche) en bout de console, sous les charges de service (réelles, non majorées), reste dans des limites de confort définies par la norme (ici, L/180).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche d'une console (\(f \propto L^4\)) montre une dépendance encore plus critique à la portée que pour une poutre sur appuis. Elle dépend aussi de la rigidité de la poutre, \(E \cdot I\), qui combine la rigidité du matériau (\(E\)) et la rigidité de la forme (\(I\), le moment quadratique). C'est pourquoi on utilise le moment quadratique (\(I\)) pour les calculs de déformation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent la vérification de la flèche qui est dimensionnante pour les consoles. Une console peut être très résistante mais trop "souple". La limite de flèche pour une console (L/180) est d'ailleurs souvent plus stricte que pour une poutre (L/250) car la déformation est plus perceptible.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont données dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. Pour les consoles, une limite courante est L/180 pour la flèche totale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Charges de service :

\[ p_{\text{ser}} = G + Q \quad \text{et} \quad F_{\text{ser}} = F_g + F_q \]

2. Flèche maximale (superposition) :

\[ f_{\text{max}} = \frac{p_{\text{ser}} \cdot L^4}{8 \cdot E \cdot I_y} + \frac{F_{\text{ser}} \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I_y} \]

3. Vérification :

\[ f_{\text{max}} \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{180} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le module de Young de l'acier \(E = 210000\) MPa et le moment quadratique \(I_y\) de l'IPE 330 choisi, qui est donné par les catalogues.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges : \(G=4.0\), \(Q=3.0\) kN/m ; \(F_g=2.0\), \(F_q=5.0\) kN
  • Portée, \(L = 5 \, \text{m}\)
  • Profilé : IPE 330, avec \(I_y = 11770 \, \text{cm}^4\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est ici le point le plus délicat ! La formule contient \(L^4\). Il est plus simple de tout convertir dans un système cohérent, par exemple N et mm. Le résultat de la flèche sera alors directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche en bout de console
f_max = ?Limite adm. = L/180
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charges de service et conversion d'unités :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= 4.0 \, \text{kN/m} + 3.0 \, \text{kN/m} \\ &= 7.0 \, \text{kN/m} = 7.0 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F_{\text{ser}} &= 2.0 \, \text{kN} + 5.0 \, \text{kN} \\ &= 7.0 \, \text{kN} = 7000 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ L = 5000 \, \text{mm} \quad | \quad I_y = 11770 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \]

2. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{7 \cdot (5000)^4}{8 \cdot 210000 \cdot 11770 \cdot 10^4} + \frac{7000 \cdot (5000)^3}{3 \cdot 210000 \cdot 11770 \cdot 10^4} \\ &= 22.1 \, \text{mm} + 11.8 \, \text{mm} \\ &= 33.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{180} \\ &= \frac{5000 \, \text{mm}}{180} \\ &= 27.8 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 33.9 \, \text{mm} > 27.8 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 33.9/27.8 \approx 1.22 > 1.0) \Rightarrow \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_max=33.9 mmFlèche adm. f_adm=27.8 mmNON CONFORME ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

C'est un cas d'école : le profilé IPE 330, bien que suffisamment résistant, n'est pas assez rigide. La flèche calculée dépasse la limite admissible de plus de 20%. L'ingénieur doit donc rejeter ce profilé et en choisir un plus inerte (un IPE 360 par exemple) pour satisfaire le critère de déformation, qui est ici plus contraignant que le critère de résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier la vérification à l'ELS ! C'est une erreur grave de s'arrêter après la vérification de résistance. De plus, il faut bien utiliser les charges de service (non pondérées) pour le calcul de flèche. Utiliser les charges ELU conduirait à une flèche surestimée et à un surdimensionnement inutile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELS vise le confort et la fonctionnalité.
  • On utilise les charges de service (non majorées) : \(p_{\text{ser}} = G + Q\).
  • La flèche doit être inférieure à une limite normative (ex: L/180 pour une console).
  • La flèche est souvent le critère qui dimensionne les consoles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour lutter contre la flèche, les ingénieurs utilisent parfois la "contre-flèche". Cela consiste à fabriquer la poutre avec une courbure initiale vers le haut. Une fois mise en place et chargée, la poutre se déforme vers le bas et devient (idéalement) parfaitement horizontale en service.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/180 ?

Non, cela dépend de l'usage du bâtiment et de la nature des éléments supportés. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, on peut exiger L/500. Pour une console, la limite est plus sévère (par exemple L/180). Ces limites sont spécifiées dans les annexes nationales des Eurocodes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche de l'IPE 330 (33.9 mm) est supérieure à la flèche admissible (27.8 mm). Le profilé n'est donc pas validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la limite de flèche était L/150, quelle serait la flèche admissible en mm ?

Outil Interactif : Paramètres de la Console

Modifiez les paramètres du balcon pour voir leur influence sur la résistance et la flèche.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
3.0 kN/m
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS -

Le Saviez-Vous ?

Le viaduc de Millau, l'un des plus hauts ponts du monde, a été construit en grande partie grâce à la technique du "lançage". Les sections du tablier métallique étaient assemblées sur la terre ferme puis poussées au-dessus du vide, se comportant comme d'immenses consoles pendant la construction avant de rejoindre la pile suivante.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le moment est dit "négatif". Qu'est-ce que ça change pour la poutre ?

Un moment négatif signifie que la poutre se courbe vers le bas, tendant les fibres supérieures et comprimant les fibres inférieures. C'est l'inverse d'une poutre sur deux appuis. Cela a des implications sur la stabilité au déversement : la semelle supérieure, étant comprimée, a tendance à vouloir "flamber" latéralement si elle n'est pas maintenue.

Comment est réalisé l'encastrement dans la réalité ?

Un encastrement parfait est un modèle théorique. En pratique, on l'obtient en prolongeant la poutre à l'intérieur de la structure porteuse (un mur en béton ou un plancher) sur une longueur suffisante. La poutre est alors scellée ou connectée à l'armature du béton, créant une liaison très rigide capable de reprendre à la fois l'effort tranchant et le moment fléchissant.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une poutre console soumise à des charges descendantes, où le moment fléchissant est-il maximal ?

2. Si la portée (L) d'une console double, sa flèche maximale due à une charge répartie est...

Poutre en Console (Porte-à-faux)
Élément de structure qui n'est supporté qu'à une seule de ses extrémités par un encastrement. Tous les efforts sont transmis à ce seul appui.
Encastrement
Liaison structurale qui empêche à la fois la translation et la rotation de l'élément. C'est le point où le moment fléchissant est maximal dans une console.
Moment Fléchissant Négatif
Convention de signe pour un moment qui tend la fibre supérieure d'une poutre et comprime sa fibre inférieure, provoquant une déformation "convexe" (vers le bas).
Calculs de Résistance et Déformation

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